第1节3讲平面汇交力系-力线平移

1、第第2 2章章 平面任意力系平面任意力系2 21 1 力线平移定理力线平移定理2 22 2 平面一般力系向一点简化平面一般力系向一点简化2 23 3 分布荷载分布荷载2 26 6 物体系统的平衡问题物体系统的平衡问题2 25 5 平面平行力系的平衡条件平面平行力系的平衡条件2 24 4 平面一般力系的平衡条件平面一般力系的平衡条件定理定理 ：作用在刚体上某点的力 F ，可以平行移动到刚体 上任意一点，但必须同时附加一个力偶，其力偶 矩等于原来的力 F 对平移点之矩。证明：证明：如下图所示：)()(FMMFdFMBB2 21 1 力线平移定理力线平移定理(a)ABdFABdFF”(b)图2-1力

2、线平移定理的证明BdAM=Fd(c)FF 可见，一个力可以分解为一个与其等值平行的力和一个位于平移平面内的力偶。反之，一个力偶和一个位于该力偶作用面内的力，也可以用一个位于力偶作用面内的力来等效替换 如打乒乓球，若球拍对球作用的力其作用线通过球心（球的质心），则球将平动而不旋转；但若力的作用线与球相切“削球”，则球将产生平动和转动。cFcFcm图2-2(a)(b)FF1F2Fn图2-3 设在某一刚体上作用着平面一般力系F1、F2、Fn，如图2-3所示。显然无法象平面汇交力系那样，用力的平行四边形法则来合成它。2 22 2 平面一般力系向一点简化平面一般力系向一点简化平面一般力系平面力偶系平面汇

3、交力系向一点简化合成合成F（合力）Mo（合力偶） 应用力线平移定理，将该力系中的各个力逐个向刚体上的某一点o（称为简化中心）平移（图2-4b)，再将所得的平面汇交力系和平面力偶系分别合成（图2-4c) 。过程为：图2-4 平面一般力系的简化（a)1F2FnFod1d2dn(b)2F1FnFo(c)1F2FnF1M2MnMoyxMo(d)RF由此可见，主矢与简化中心的位置有关。由此可见，主矢与简化中心的位置有关。FFFFFFFFnnR2121 事实上，可直接用原力系（事实上，可直接用原力系（F1，F2，Fn）中的各力）中的各力作出力多边形，作出力多边形，力多边形的封闭边称为原力系的主矢力多边形的

4、封闭边称为原力系的主矢。FR的大小和方向等于主矢，作用点在的大小和方向等于主矢，作用点在O点。点。 由此可见，Mo一般与简化中心的位置有关，它反映了原力系中各力的作用线相对于O点的分布情况，称为原力系对O点的主矩。)()()()(M21210FMFMFMFMMMMonooon(2-3)（2-2）平面一般力系的三种简化结果平面一般力系的三种简化结果1 . 1 . 力系简化为力偶力系简化为力偶力系合成为一力偶，所以主矩与简化中心的位置无关。0, 0oRMFFFFABC例例PaMMMFCBAR866. 0, 0aaa2. 力系简化为合力力系简化为合力 FR 就是原力系的合力，合力的作用线通过简化中心

5、。力系仍可简化为一个合力，但合力的作用点不通过简化中心。（1）0, 0oRMF（2）0, 0oRMF3. 力系平衡力系平衡是平面一般力系平衡的充分和必要条件。0, 0oRMF图2-5 力系简化为合力Moo( )a(c)od(b)odFROOOFRFRFRFR显然有合力矩定理合力矩定理 平面一般力系如果有合力，则合力对该力系作用平面一般力系如果有合力，则合力对该力系作用 面内任一点之矩等于力系中各分力对该点之矩的面内任一点之矩等于力系中各分力对该点之矩的 代数和代数和证明证明 如右图所示。)()(),(,)(0FMFMFMMMdFFMoRooooRR图2-6 合力矩定理证明图示(b)oOdMoo

6、O( )aFRFRFRFR图示一塔示起重机。机架m1=50t，重心在o点。已知起重机的最大起吊质量m2=25t，欲使起重机在空载与满载时都不会翻到，平衡锤的质量m3 应如何？cbxyFRxaLW1o例例2-1图中 a=3m,b=1.5m,c=6m, l=10m,W=m2g, =m3gW1=m1g。QPF 的方向铅垂向下。【解】【解】机架重量、起吊重量及平衡锤重量分别设为W1 、 W、 Q。这是一个平面一般力系的特例平面平行力系。取坐标如图，可知合力R的投影为cbxyFRxaLW1ogmmmFgmgmgmFFFFRyRyxRx)(, 0321321式中x随 m2、m3 而变，其他各量都是不变的。

7、 合力的作用线与x 轴的交点的坐标设为x，则由合力矩定理得即cbxyFRxaLW1o(a)()(FMFMARA321321321)()()()(mmmcmlambamxcgmlagmbagmxFR欲使起重机不翻倒tcbamm5 .376) 5 . 13 (50)(13即得应有应有 ax0(1) 空载时， =0，w=0， x0，由( )式得2ma0)(31cmbam欲使起重机不致翻倒，应有为了保证安全，可取m3 =36.537t。（2） 满载时， m2 =25t，x 由( ) 式得aataclmbmmamcmlmbmmmmacmlambam1 .363610255 . 150)()()(2133

8、321321321tmt5 .371 .363一平面力系向A、B两点简化的结果相同，且主矢和主矩都不为零，问是否可能？ 思考题思考题2-1AB图2-81F2FnF在什么情况下，一平面力系向一点简化所得的主矩为零？思考题思考题2-2AB图2-91F2FnF 集中力或集中荷载：集中力或集中荷载：力或荷载的作用面积很小或与整个构件的尺寸相比很小，可以认为集中作用在一点上。例如，道路给轮子的力等。几种分布荷载几种分布荷载（1）体分布荷载：荷载（力）分布在整个构件内部各点上。 例如，构件的自重等。 （2）面分布荷载：分布在构件表面上的荷载（力）。例如， 风压力、雪压力等。（3）线分布荷载：荷载分布在狭长

9、范围内，如沿构件的轴线 分布。2 23 3 分布荷载分布荷载（1）集中荷载的单位，即力的单位为（N,kN)。荷载的单位荷载的单位分布荷载的大小用集度表示，指密集程度。（2）体分布荷载的单位：3/ mN（3）面分布荷载的单位：2/mN（4）线分布荷载的单位：mN /如图2-10所示的均布荷载，其合力为：,6 .1741691.10kNlqF作用线则通过梁的中点。（1）均布荷载：集度为常数的分布荷载。）均布荷载：集度为常数的分布荷载。分布荷载的计算方法分布荷载的计算方法Fq=10.91kN/m16 m图2-10AFBF 如图2-11所示坝体所受的水压力为非均布荷载，其计算方法见例2-2。（2）非均

10、布荷载：荷载集度不是常数的荷载。）非均布荷载：荷载集度不是常数的荷载。yABC图2-11yq【解】【解】取坐标系如图所示。在 x 处取一微段，其集度为Lxqq0微段上的荷载为：xxLqxqF0求图示梁上分布荷载的合力。例例2-2AB图2-12xxxylxcF0q以A为简化中心，有xxxlqFMMlqxdxlqxxlqFFFFxAAlxyyx)()(2)(00000000limlim320020lqdxxlqlAB图2-13xxxylxcF0q 由此可见，分布荷由此可见，分布荷载合力的大小等于荷载载合力的大小等于荷载集度图的面积。合力作集度图的面积。合力作用线的位置为：用线的位置为：llqlqF

11、MxyAC3223020AB图2-14xxxylxcF0q如图2-15所示，已知水坝的坝前水深h=10m，求1m长的坝面上水压力的合力之大小和作用线的位置。例2-3AByCdhqdy1myqF图2-15 取1m 长的坝考虑时，作用于坝面的水压力可以简化为沿坝面中心线平行分布的线荷载。 【解】【解】在深度为y处，水的压强为AByCdhqdy1myqF)(mkNyF)()()1 (mkNhqmkNhdydyhqhy 该分布荷载是三角形分布的，其合力大小为三角形的面积，作用线在距水面2/3处。mhdkNqhF67. 610323249110)1081. 9 (2121 平面一般力系平衡的充分必要条件

12、是：力系的主矢和对任意一点的主矩都为零。即平面一般力系的平衡方程为： 0Fy 0Fx0, 0ORMF0)(FMO2 24 4 平面一般力系的平衡条件平面一般力系的平衡条件MooRFO例例2-4图2-16所示为一悬臂式起重机简图，A、B、C处均为光滑铰链。水平梁AB自重 P=4kN,荷载 F =10kN, 有关尺寸如图所示，BC 杆自重不计。求BC杆所受的拉力和铰链A给梁的反力。图2-16ABDEP P0302m1m1mcF【 解】解】（1）取AB梁为研究对象。 （2）画受力图。 未知量三个：独立的平衡方程数也是三个。（3）列平衡方程，选坐标如图所示。（1）（2）（3）AxFAyFTF030si

13、n0)(030sin0030cos0000AEFADPABFFMFPFFYFFXTATAyTAxABDEP030AyFAxFTFF由（3）解得以FT 之值代入（1）、（2），可得则铰链A的反力及与x轴正向的夹角为：kNFPFT195 . 041034230sin4320kNFkNFAyAx5 . 4,5 .160223 .15arctan1 .17AxAyAyAxAFFkNFFF思考题思考题2-3如果下图中的荷载 F 可以沿AB梁移动，问荷载 F 在什么位置时杆AB所受的拉力最大？其值为多少？ABDEP P0302m1m1mcF可否求出FT、FAx、FAy；（1）由下图所示的受力图，试按00)

14、(0)(xBAFFmFm思考题2-4ABDEP030AyFAxFTFF0 xF 平面平行力系：各力的作用线在同一平面内且互相平行的力系。 图示一受平面平行力系作用的物体，如选轴与各力作用线垂直，显然有：yox2F1FnF2 25 5 平面平行力系的平衡条件平面平行力系的平衡条件即平面平行力系平衡的充要条件是：力系中各力的代数和以及各力对任一点之矩的代数和都为零。 这样，平面平行力系的平衡条件可写为： 平面平行力系平衡方程的二矩式为注意：A、B两点的连线不能与各力的作用线平行。0)(0)(FMFMBA0yF0)(FMoyox2F1FnF【解】【解】画出起重机的受力图。可见它受到的是一个平面平行力

15、系的作用。 取坐标如图，列平衡方程在例2-18中，设 W= m2 =20 t, Q= m3 =37 t , 其他数据同题4-1 , 即 m1 = 50 t, = 3m, b = 1.5 m，c = 6 m, l=10m, 求左右两轨的反力。例例2-5a图2-18cbxyRxLo1Wa.0)(FMA0Y036135 . 4321BNFgmgmgmgmgmgmFBN32123135 . 10321gmgmgmFFBNANgmgmgmFAN32133105 . 0kNgmkNgmkNgm81. 93781. 92081. 950321上述结果可用来进行校核。求出的左右轨的反力均不为负值，可见所取平衡

16、锤的质量可以保证安全。)(860)(8 .189kNFkNFBNAN0)(FMB图2-19cbxyRxLo1Wa图示的连续梁，约束反力有哪几个？求解约束反力时有几个独立的未知量？能够列几个独立的平衡方程？思考题思考题2-5图2-20ACBM2F442qDaaaaa 静定问题：静定问题：一个静力平衡问题，如果未知量的数目正好等于独立的平衡方程数，单用平衡方程就能解出这些未知量。如图2-21所示结构。q图2-21ACBM22F6aaaa 超静定问题：一个静力平衡问题，如果未知量的数目超过独立的平衡方程数目，用刚体静力学刚体静力学方法就不能解出所有的未知量。如图2-22所示结构。图2-22ACBM2

17、F442qDaaaaa注意：判断问题是否静定，不能单纯从未知量的数目来考虑，还应对问题多作具体分析。如图2-23所示梁。 分析图中的梁可知，虽然平衡方程数等于未知量数，实际上它不能平衡。Aq图2-23CBM2F442Daaaaa如图2-24所示平面汇交力系的平衡方程可否用一个投影式、一个力矩式？或两个都用力矩式？如果可以用，有什么限制条件？为什么要附加这种条件？思考题思考题2-6o图2-242F1FnF如图2-25所示平面一般力系，其平衡方程能否用三个投影式？为什么？思考题思考题2-7图2-251F2FnF如图2-26所示平面平行力系，其平衡方程能否用两个投影式？为什么？00yxFF思考题思考

18、题2-8yox2F1FnF 图2-26如图2-27所示平面力偶系，其平衡方程能否用投影式？为什么？思考题思考题2-9图2-271M2MnM或MMMMMn21MM 物体系：由几个物体通过一定的约束方式联系在一起的系统。如图2-28、图2-29所示。2 26 6 物体系统的平衡问题物体系统的平衡问题CD3m1.5m4.5m3mAB20kN2m2.5m1.5m10kNE2kN/mG图2-281 、内力和外力、内力和外力外力外力：系统以外的物体给所研究系统的力。内力内力：在系统内部，各个物体之间，或一 个物体的这一部分与哪一部分之间， 相互作用的力。如图2-30所示。mqCADBE30。a3aF图2-

19、29CB20kNACxFCyFBNFAxFAyFxy2kN/mEGExFEyFGNF10kNCE图2-30CyFCxFDNFExFEyFCD3m1.5m4.5m3mAB20kN2m2.5m1.5m10kNE2kN/mG2 、物体系平衡问题的静定或超静定、物体系平衡问题的静定或超静定 物体系是由几个物体组成，可分别分析各个物体的受力情况，画出受力图。 根据受力图的力系类型，可知各有几个独立的平衡方程，如平面一般力系有三个独立的平衡方程等。 总计独立平衡方程数，与问题中未知量的总数相比较。 若未知量总数超过独立的平衡方程总数，则问题是超静定的。 若未知量总数小于独立的平衡方程总数，则系统可能不平衡

20、，而若计算表明，所有的平衡方程都能满足，则说明系统处于平衡，但题给的条件有些是多余的或系统的结构是不稳固的。 若未知量总数正好等于独立的平衡方程总数，则问题是静定静定的。注意：注意： （1） 在总计独立的平衡方程数时，应分别考虑系统中每一个物体，而系统的整体则不应再加考虑。因为系统中每一个物体既已处于平衡，整个系统当然处于平衡，其平衡方程可由各个物体的平衡方程推出，因而是不独立的。 （2）在求解物体系的平衡问题时，不仅要研究整体，还要研究局部个体，才能使问题得到解决。应该从未知量较少或未知量数正好等于独立的平衡方程数的受力图开始，逐步求解。求图2-31所示多跨静定梁的支座反力。梁重及摩擦均不计

21、。例例2-6CD3m1.5m4.5m3mAB20kN2m2.5m1.5m10kNE2kN/mG图2-31CB20kNACxFCyFBNFAxFAyFxy2kN/mEGExFEyFGNF10kNCE图2-32CyFCxFDNFExFEyFCD3m1.5m4.5m3mAB20kN2m2.5m1.5m10kNE2kN/mG 从各受力图来看，未知量共9个，即5个支座反力和C、E处铰链反力各 2 个。而梁共有三个，则其独立的平衡方程有 9 个。也即题中所研究的问题为静定问题。分析：先作各梁受力图如下。CB20kNACxFCyFBNFAxFAyFxy2kN/mEGExFEyFGNF10kNCECyFCxF

22、DNFExFEyF【解】【解】由对称关系得：（2）研究CE梁 （1）研究EG梁2kN/mEGExFEyFGNF10kNCECyFCxFDNFExFEyF)(5 . 4)5 . 42(21kNFFGNEy00ExxFF0, 00CECxCECxxFFFFF（3）研究AC梁CB20kNACxFCyFBNFAxFAyFkNFFFFMDNEyDNC44.10062105 . 40)(kNFFFFMFFFFFBNCyBNACxAxCxAxx08.1505 . 732060)(00010kNCECyFCxFDNFExFEyFkNFFFFFAyCyBNAyy98. 80200图2-33所示三铰拱上，作用着均

23、匀分布于左半跨内的铅直荷载，其集度为q(kN/m) , 拱重及摩擦均不计。求铰链A、B处的反力。例例2-7qAhl/2l/2CB图2-33ACBAxFAyFBxFByFq【解】【解】（1）研究整体其受力如图所示。ACBAxFAyFBxFByFq)(8304320)(qlFllqlFFMAyAyB)(80420)(qlFllqlFFMByByA（2）研究AC,并画其受力图。系统整体是平衡的，其每个局部也是平衡的。AAxFAyFqCCxFCyF)(16)(160422830)(22hqlFhqlFlqlllqhFFMBxAxAxC试判断图2-34（a）的受力图2-34（b）是否正确？qYA=0.5

24、qLYB=0.5qL(b)图2-34ACBAyFByFq( )图2-34ACBa2l2lh例例2-8由左半部分受力图可知，AC不能平衡，(c)图是错的。(c)qACBAyFByFAAyFqCCxFCyF0.5ql(d) 图示混合结构受荷载F作用，求支座B的反力，以及杆件1、2所受的力例例-921DEBACAxFAyFBNF)(aF【解】【解】先取整体为研究对象，受力图如（ ）所示，由a0912, 0)(PFFMBNA得：PFBN43再取结构右半部分为研究对象，受力情况如图( b )所示，由0336 , 0)(DSBNCFPFFM得：PFDS21DDSFSF1SF2（b）ECBCxFCyFPDS

25、FBNF（c）最后选取节点D为对象，其受力图如图（ c ）所示，列平衡方程：045sin, 0045cos, 001201SSySDSxFFFFFF解得：PFPFSS21;2221 图示结构由AB、CD、DE三个杆件铰结组成。已知 。求铰链B的约束反力NFmNqma2000,500,2例例2-10CDBEAaaaAxFAyFCSF)(aABEByFBxFESFAxFAyF)(bF【解】【解】取整体为研究对象，其受力如图（ a ）所示。列平衡方程0, 0qaPFFAyy解得：NqaPFAy3000035 . 1, 0)(2aFFqaPaFMAxAyC解得：NFqaPFAyAx550035 . 1再取AEB为研究对象，考虑到DE为二力杆，AEB受力如（b）图所示，列平衡方程：0, 0BxAxxFFF得：NFFAxBx55000, 0)(aFaFaFFMAyBxByE得：NFFFBxAyBy2500(