自动控制系统的数学模型习题答案

1、自动控制系统的数学模型习题答 案总19页-本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可-内页可以根据需求调整适宜字体及大小-2-1、试列写图2-40中各电路的微分方程，图中5、u2为输入、输出电压。UiR2U2b图2-40习题2-1用图答：a设中间变量i1,i2,i3 如下图，那么根据基尔霍夫电压回路、节点电流定 律，得u1 hR电 dt C1i2Gdti3 R2U2dt(1)(2)(3)U2i3C2(4)将3整理得：i3 C2U； 5将5带入到2，得i2-dt R2C2u'2 u2 6G即i2GC2R2U"2 C1U； 7将5、 7带入到4及6带入到1，整理得u1 i1R1仝d

2、t (i2 i3)R|R2C2u'2 u2C1C1C2 R2 u"2C1u'2 C2u'2 R|C2 R2 U 2 U 2R1C1 R2C2u"2R1C1u'2R|C2u'2R2C2U 2 U2Ui设TiRiG , T2R2C2 , T3R1C2，那么TiT2U 2 TiT2 T3 u 2 U2Uib设中间变量ii,i2,i3 如下图，那么根据基尔霍夫电压回路、节点电流定 律，得厂 ui iiR Li'2 iLi '2 i3R2 U2 2u2dt 3CIii i2 i3 4将3变形得：i3 Cu'2 5将5带入

3、到2，得Li'2 R2Cu'2 u2 6即i2- u2 i u2dt 7将5、 7带入到4及6带入到i，整理得uii RiLi 2 i 2 i 3 RiR2Cu 2 u2u2dtCu'2 RiR2Cu 2 u 28对8两边求导，整理得(RiC1)u'2RiLU2u'i设 T1R1C，T；,R2C，T3L，那么有R1R2C)u"2(Rc(T1T2M2(T31)U'21T3U2u'1或者为(T1 T2 )T3U 2 (T2 T3) U 2 U2T3U 12-2、设机械系统如图2-41所示，图中r、 c为输入、输出角位移角度，试列写该

4、机械系统的微分方程。提示扭力矩M与角位移、弹性系数k成正比。风阻M与角速度'、阻尼系数 f成正比。习题2-2用图图 2-41解：根据牛顿第二定律：对直线运动F ma，而旋转运动(r aK J1( r a)"(1)(ac)k2f 'c J2( a c)"(2)在零初始条件下，对式1、 2两试进行拉氏变换，得:2 2rSk1玄匕 J1S ,S J1S aS22a(S)k2c(S)k2fS c(S)J2S a(S) J2S c(S)由式3、 4得:a(S)ki Jis2 ki Jis2rG)(5)a(S)k2 fsJ2 s2k2J2s2c(S)(6)将式6除以式4

5、得:即:即:即:c(S)r(s)c(S)r(s)Ji J2Ji J 2S2J 2 s )(kiJ is2).22 2(k2fs J2s )(ki Jis )J i J 2s(ki J 2 k： J i) sJi J 2SfJis3(ki2d2dtd4 r(t)JiJ2 fJfJiS3 (kzJi2(kzJi ki2)s k2Ji)s2d3 c(t)dt3(ki J 2k? Ji)kik2(k2 J1ki k 2ki J2)s2 ki fs kik2kifs kik? c(s)r(S)2kJ)攀dtk1 f(8)攀kik2 c(t)dt宀kik2 r(t)川2 dt4'、2 、2&quo

6、t;dt2、在如图2-42所示系统中，用一台交流电动机拖动一台直流发电机，设交2-3流电动机的角速度为系统的输入，电阻R两端的电压u为输出，直流电机的内 阻Ra、电感为La，试列写该机械系统的微分方程。u解：直流发电机输出电压Ua CeEe ，其中Ce为由直流发电机决定的电势LC艸dt常数，而 为直流发电机的定子励磁磁通。设各支路电流如下图，根据基尔霍 夫电压回路定律，有dia(t)(1)Ee (t)Raia(t)U L adt根据基尔霍夫电流定律，有ia(t)L(t) iR(t)(2)另外根据元件特性，有u(t)1iR(t)R - L(t)dt(3)由(3)式得iR(t)u(t)R(4)L(

7、t)C du(t) dt(5)将(4)、(5)式带入到(2)式，得ia(t)u(t) C du(t)(6)Rdt将(6)式带入(1)式，整理得u(t)Ee22-4、图2-43为加速度测试仪，箱体 内部由质量块m弹簧k、阻尼器 f、指针、刻度表构成，系统的输入 为箱体垂直方向的加速度a，系统的 输出为质量块m上的指针相对箱体刻度表的垂直方向位移yt，试建立该系统的微分方程，并说明在一定条件下位移y与加速度a成正比。解：绝对位移与相对位移的关系为(1)y Xyt箱体内部质量块m的受力关系为d2ydtfdy_dtky 0(2)将1式变形y ytX带入到式(2)得dt2d2xt)ltF)ky(3)考虑

8、到ad2xdt2为系统的输入，整理3式，得d2ytm dt2当质量块m很小、阻尼系数f也很小时，式4哼 ky ma(4)近似为myta，这说明加速度越大，相对位移向下也越大。k2-5、试画出习题2、3系统的动态结构图。解：1习题2根据牛顿第二定律：对直线运动F ma，而旋转运动M J ' J ")(1)(2)(r aKJ, r a)"(ac)k2f 'c J2( a c)"在零初始条件下，对式(1)、( 2)两试进行拉氏变换，得：2 2r(S)k1a(S)k1J1S r(S) J1S a (s)2 2a(s)k2c(s)k2fS c(s)J2S a

9、(s) J2S c(s)由式3、 4得:a(S)kiJis2kiJ1s2r(s)a(S)k2 fsJ2 s2k2J2S2c(s)(5)(6)系统的动态结构图为k1 J1s2a(s)k2J2s2k1 J1s2k2 fsJ2s2r(s)2习题3设各支路电流如下图，建立如下各局部的微分方程Ee (t)Raia(t)U L ( 1)dtia(t) ic(t) iR(t) ( 2)1-U(t) iR(t)R C ic(t)dt (3) 对上述各式在零初始条件下，进行拉氏变换，得厂Ee(s)RalaG) U(s)LslaVIa(s)LG)Ir(s)匚 U(s)Ir(s)R1 sCIC(s)由式4刁曰得：I

10、a(s)Ee (s)RaU(s)Ls由式5刁曰得：lc(s)la(s) lr(s)由式6刁曰得：U(s)1lc(S)sCIr(s)U(s)故系统的动态结构图为:(4)(5)(6)下列图中的虚线框7下列图中的虚线框8下列图中的虚线框9下列图中的虚线框102-6、设某系统用如下微分方程组描述，试画出系统的动态结构图x't)r(t) c(t)dx1x2(t)kixi(t)dtX3(t)k2 X2(t)X4(t) X3(t)k3Xi(t)T 竽 c(t)k4X4(t)dt解：对的微分方程组在零初始条件下进行拉氏变换，得Xi(s) R(s) C(s)X2(s) sXi(s) kiXi(s)( s

11、 ki)Xi(s)X3(s) k2X2(s)X4(s)X3(s) k3Xi(s)TsC(s) C(s)k4X4(s)故系统的动态结构图为:2-7、设某系统用如下微分方程组描述，试画出系统的动态结构图Xi(t)r(t) c(t)dx1X2(t)- kiXi(t) ni(t)dtX3(t)k2X2(t)X4(t) X3 (t) k3X- (t) k4H(t)T 岐 c(t)k5X4(t)dt解：对的微分方程组在零初始条件下进行拉氏变换，得X1(s) R(s) C(s)X2(s) sX1 (s) k1X1(s) N1(s)X3(s) k2X2(s)X4(s)X3(s) k3X-(s)k4N2(s)T

12、sC(s) C(s)k5X4(s)故系统的动态结构图为：2-8、画出如图2-44所示系统的动态结构图，并比拟&与b的结果为什么 不同。a解：a设通过R、R2、Ci的电流为i 1、i 2、i 3，A点的电压为U%那么可直接运用 元件的欧姆定律建立关系：Ui(s) Ua(s)Ii(s)Ri1Ua(S) l3(s) = sCiUa(s) U2(s)I2(s)R2li(s) l2(s) 4(s)1U2(s) l2(S)-SC2这样a图对应的动态结构图如下:Ui(s).i 2,隔离放大器的输入电压为b设通过R、C及F2、C2的电流为ii、U0i、输出电压为5,那么可直接运用元件的欧姆定律建立关系

13、:Ui(s)U oi (S) li(s)RiUoi(s)ili(s)-sCiU°2SUo2SKU oi(s) Uoi(s)U2(S) l2(S)R2Uo2Sl2(s) 1SC2这样b图对应的动态结构图如下:比拟a与b的结果是不同，因为a考虑了负载效应，b图由于隔离 放大器的作用，对应的动态结构图中前后两个R、C网络已经不存在电流反应了。2-9、利用等效变换化简习题2-6、2-7、2-8 a系统的动态结构图，求系统的 传递函数。1、将习题2-6系统的动态结构图化简为:R(s)(s)褊k2k4 s (k|k2 k3)k4(T k2k4 )s 1 (k|k2 k3)k42、对习题2-7系统

14、的动态结构图，求系统的传递函数(1)求从R(s)到C(s)的传递函数，另Ns) N2(s) 0，将习题2-7系统的动 态结构图化简为：R(s)C(s)(s)R(s)k?k5 s («k2 k3)k5(T k?k5 )s 1 (k k3)k5(2)求从Njs)到C(s)的传递函数，另R(s)N2(s) 0，将习题2-7系统的动态结构图化简为：(去掉了为零的信号，同时把原来的负反应极性沿信号顺 沿到下一个比拟点)Ni(s)N1(S)C(s)Ni(s)k2k5Ni(s)(Tk2k5 )s 1(k*2 ks*(3) 求从N2(s)到C(s)的传递函数，另R(s) Ni(s)0,将习题2-7化

15、简为：k2k5N2(S)衆)仃 k2k5 )s 1 (kik2 k3)k53、对习题2-8 (a)系统的动态结构图，求系统的传递函数再被Ri与sC2的串联的结果H(s) SRC2负反应，故：(、GgG)1Ui(s)1 Gi(s)G2(s)H(s) R1GR2C2S2(RCi R2C2 RiC2)s 12-10、利用梅逊增益公式求习题 2-6、2-7、2-8(a)系统的传递函数。解：(1) 由习题2-6的系统的动态结构图从R(s)到C(s)有两条前向通道p ( s &沐2- , P2 k3-JTs 1Ts 1121 ；有两个闭合回路L1(s kjk2， L2k3。无两个Ts 1Ts 1及

16、以上不接触回路，故(s) C(s)P1 (IP2 2k2k4 s (k1k2 k3)k4L2)(T k2k4 )s 1 (kh k3)k4(2) 由习题2-7的系统的动态结构图，求系统的传递函数Ni(s)；N2(s)kk从R(s)到C(s)有两条前向通道Pi( s ki)k25 ， P2k35Ts 1Ts 112 1 ;有两个闭合回路L1( s kjk2上匚，L2k3。无Ts 1Ts 1两个及以上不接触回路，故C(S) R 1l2 2k2k5 s (k1k2k3)k5R(S) 1 (LiL2)(T k2k5 )s 1 (kik2 k3)k5从Ni(s)到C(s)有一条前向通道R,1 1 ;有两

17、个闭合回路Ts 1L1( s kjk2 ' , L2k3 '。无两个及以上不接触回路，特征多项Ts 1Ts 1式 1 (L1L2)，故从N1 (s)到C(s)的传递函数(s) C(s)R1 1k2k5N1 (s)Nds)(T k2k5 )s 1 (kh k3)k5从N2(s)到C(s)有一条前向通道R，11 ;有两个闭合回路Ts 1kkL1( s kjk?，L2k3。无两个及以上不接触回路，特征多项Ts 1Ts 1式 1 (L1 L2)，故从N2 (s)到C(s)的传递函数N2 (s)C(s)N2(s)k2k5(T k2k5 )s 1 (k k3)k5由习题2-8( a)的系统

18、的动态结构图，求系统的传递函数5(%从5(s)到 (s)有一条前向通道R1 1Ri sG1R2sG1;有三个闭合回路L1sRGL21sRC2L31sR?C1有两个互不接触回路(3)1L2-，特征多项式1 (LiL2)LL2，故从Ui(S)到5(s)的112 2传递函数(s)U 2(s) Pi 1帀RQ R2C2s2(R1C1R2C2R-iC2)s 12-11、利用梅逊增益公式图2-45的传递函数C(s)/R(s)、C(s)/N(s)、E(s)/R(s)。解：1、对于(a)图：系统有两个闭合回路L1G1(s)G2(s)k1, L2G1(s)G2(s)G3(s)k2。无两个及以上不接触回路。(1)

19、 求传递函数C(s)/R(s)2、从R(s)到C(s)有一条前向通道R G(s)G2(s)G3(s)，去掉该通道无回路:(s) C(s)G(s)G2(s)G3(s)R(s) 1 (L1 L2)(2)求传递函数C(s)/N(s)从N (s)到C(s)有一条前向通道1，故(s)N!1 (L1 L2)G1 (s)G2(s)k1 G1(s)G2(s)G3(s)k2G1 (s)G2 (s)G3 (s)，去掉该通道无回路:G(s)G2(s)G3(s)G1(s)G2(s)k1 G1(s)G2(s)G3(s)k2(3)求传递函数E(s)/R(s)从R(s)到E(s)有一条前向通道1，去掉该通道仍有一个回路:1

20、 G (s)G2 (s)，故er(s) Rs)对于(b)图：1 G(s)G2(s)1 (L1L2)1 G(s)G2(s)k1 G1(s)G2(s)G3(s)k2系统有一个闭合回路L1G2(s)G3(s)。无两个及以上不接触回路，特征式从R(s)到C(s)有两条前向通道R Gds)，去掉R通道无回路：11，P2 G2(S)，去掉P2通道无回路:21，故(s)的R1 1R2 2R(s)G(s) G2G)1 G2(S)G3(S)(2) 求传递函数C(s)/N(s)从N(s)到C(s)有一条前向通道R 1，去掉该通道无回路：1 1，故(、C(s)Pi i1(s) N(s)1 G2(s)G3(s)(3)

21、 求传递函数E(s)/R(s)从R(s)到E(s)有一条前向通道P 1，去掉该通道没有回路：1 1，故E(s) R 1ER(s)R(s)3、对于(c)图：系统有四个闭合回路L11 G2(s)G3(s)G1(S)G3(S)、L2G2(S)G3(S)、L3G1(s)G3 (s)G4 (s)、L4G2(s)G3(s)G4(s)。无两个及以上不接触回路，特征式 1 (L1 L2 L3 L4)(1)求传递函数C(s)/R(s)从R(s)到C(s)有两条前向通道P G1(s)G3(s)，去掉P通道无回路:1 1，P2 G2(S)G3(S)，去掉P2通道无回路：2 1，故(s)C(s)R(s)R 1 P2 2从N(s)到C(s)有一条前向通道PG3G)，去掉该通道无回路:11，故G1(s)G3(s) G2(s