祁皑结构力学第6章结构位移计算与虚功-能量法简述

1、第6章 结构位移计算与虚功-能量法简述6-1 变形体虚功原理6-2 变形体虚功原理的应用6-3 刚体虚功原理的应用6-4 互等定理6-1 虚功原理虚功原理6-1-1 虚位移 虚力 虚功虚位移虚位移：与对应的力无关的位移，：与对应的力无关的位移， FP虚虚 力力：与对应的位移无关的力，：与对应的位移无关的力， FP 虚虚 功：彼此无关的位移与力的乘积，功：彼此无关的位移与力的乘积， FP FP状态状态1 状态状态26-1 虚功原理6-1-2虚功原理适用条件1 力系平衡条件分布荷载与截面内力之间的关系分布荷载与截面内力之间的关系NQQ0dd00dd0(1)0dd0 xyFFpxFFqxMMFx 6

2、-1 虚功原理2变形协调条件wAuAAuBBwBuw变形与位移协调变形与位移协调: :位移连续、杆件变形后不断开、不重叠。位移连续、杆件变形后不断开、不重叠。位移与约束协调位移与约束协调: :位移函数在约束处的数值等于约束位移。位移函数在约束处的数值等于约束位移。6-1 虚功原理wM+dwMwMdwqwq+dwq0dxuu+duddux10ddwxw1：由剪切变形引起由剪切变形引起 的竖向位移的竖向位移2ddwxw2：由弯曲变形引起由弯曲变形引起 的竖向位移的竖向位移6-1 虚功原理6-1-2 变形体虚功原理的证明NQQdd0dd0(a)dd0FpxFqxMFx BNAFFMpqFxuwwuw

3、wQ122Q1 ddd ()d0(c)() 将含有将含有“dx”的项合并，得的项合并，得由力的平衡方程：由力的平衡方程：2Q1NQ(dd )(dd )() (dd ) 0(b)BAFp xFq xM Fwxuw 得得6-1 虚功原理根据公式根据公式1212Q12QQd dd()()(d d)ddNNNFFMFFMuwwuwwuwFMwF （c）式积分号中第一项）式积分号中第一项代入式（代入式（c），得），得121QQ212Qdddd ()()(ddd0( )dBBNNAABBAAuwwuwFFMFFMxpqxFxwuww d(uw)=udw+wdu得得6-1 虚功原理将式（将式（d）第一项积分

4、号去掉，得）第一项积分号去掉，得121QQQ212ddd ()()()ddd0(e)BBNNAABBAAFFMFFMxpuwwuwwuwqxFxw ( d )( d )BAxxpquw NQNQ BBBAABBBAAAAFFMFuwuwFM NQ1(ddd )(f)BAuwFFM 12www ，将式（将式（e）第一项上下限代入，并考虑）第一项上下限代入，并考虑2ddwx ，得，得6-1 虚功原理( d )( d )BAxxpquw NQNQ BBBAABBBAAAAFFMFuwuwFM 1NQ(ddd )BAuwFFM 杆端力做的虚功杆端力做的虚功分布力做的虚功分布力做的虚功截面内力截面内力做

5、的虚功做的虚功虚功原理 变形体的一组平衡外力在其协调的微小虚位移上做的虚功等于这组外力产生的内力在虚变形上做的虚功。6-1 虚功原理FR1FP1FP2FP3FP4FP5FR2FR3FP6FP1FP2FP3FP4FP5FP6FR1FR2FR3推广支座反力做支座反力做的虚功的虚功各 杆 端 力 做各 杆 端 力 做的 虚 功 之 和的 虚 功 之 和结点集中力结点集中力做 的 虚 功做 的 虚 功6-1 虚功原理( d )( d )BAxxpquw NQNQ BBBAABBBAAAAFFMFuwuwFM 1NQ(ddd )BAuwFFM 杆系结构的虚功方程杆系结构的虚功方程 将式（将式（f）中的杆

6、端力用结点集中力和支座反力代替，将其）中的杆端力用结点集中力和支座反力代替，将其它项对各杆件求和，得它项对各杆件求和，得PiiRk kNQ1(d )(d )(ddd )llFF cpx uqx wFu FwM 6-1 虚功原理PiiRk kNQ0(d )(d )()dllFF cpx uqx wFFMx 则则若考虑若考虑uxwxx10dddddkd 6-2-1 荷载作用时的位移计算PiiRk kNQ0(d )(d )()dllFF cpx uqx wFFMx 虚功原理的一般公式虚功原理的一般公式6-2 变形体虚功原理的应用变形体虚功原理的应用 1 位移计算公式的推导内力虚功内力虚功1NPQPP

7、ddduwFFM 外力虚功外力虚功1W 位移状态位移状态虚设单位力状态虚设单位力状态NQFFM1Ni1QdddluwWFFM 得得单位荷载法求位移单位荷载法求位移N1QdddluwFFM 6-2 变形体虚功原理的应用对于线弹性材料对于线弹性材料QPNPP1ddddddFFMuxwxxEAGAEI QPQPNN()dPlFkxEAGAFFMFMEI 位移公式变成：位移公式变成：的物理意义：的物理意义： 单位力在位移单位力在位移上所做的虚功，上所做的虚功， 在数值上等于位移在数值上等于位移。6-2 变形体虚功原理的应用FPrFQPFNPMPPPQPPNPPPQNsincosssincosiins

8、nMMF rFFFrFFF 2222PPP0sincossin()dsBVF rkFFsEIGAEA 2222PPP203PPPsincossin() d4F rkFFrEIGAEAF rF rF rkEIGAEA FPrrB例解6-2 变形体虚功原理的应用2122 . 1hIAk对于矩形截面（对于矩形截面（bh）0.4GEletthen23P1143BVF rhEIr 讨论讨论6-2 变形体虚功原理的应用刚架、梁：只考虑弯曲变形引起的位移刚架、梁：只考虑弯曲变形引起的位移dPlMMxEI 对于桁架：只有轴力对于桁架：只有轴力NNPNNPdlF FF F lxEAEA 对于拱：通常只有弯曲一项

9、。当拱轴与压力曲线相近对于拱：通常只有弯曲一项。当拱轴与压力曲线相近 时，需考虑弯曲和轴向变形两项。时，需考虑弯曲和轴向变形两项。NNPPddlF FMMxxEAEI 各类结构的计算公式简化各类结构的计算公式简化6-2 变形体虚功原理的应用PCHF aEA P12 2CVF aEA已知：各杆已知：各杆EA相同，求：相同，求：CVCH、FPaaABCDNPFP2FPFPFN1F1ABCD1N2F21【例】【解】ABCD16-2 变形体虚功原理的应用2P12112Mq lxMlxM 例例 杆件杆件EI=常数。试求常数。试求AVA、解 P02041d11d28lAVlMMxEIq lxlxxEIql

10、EIqlAx11204111d26lAq lxxEIqlEI 6-2 变形体虚功原理的应用22P12:012qxBCMMM 2P112:12qaABMMxM 例例 各杆各杆EI为常数。求为常数。求CHC 、解解aaABCqqa2/2MP图图x1x21a1M图图12M 图图6-2 变形体虚功原理的应用P11P222232120011dd1121 d1 d223CABBCllM MxM MxEIEIqxqaqaxxEIEIEI P11P122411011dd1d24CHABBClM MxM MxEIEIqaqaxxEIEI 22P12:012qxBCMMM 2P112:12qaABMMxM 6-2

11、 变形体虚功原理的应用2 图乘法（1） 图乘法基本公式PdBAM MxEI PP1ddBBAAM MxM MxEIEI tgMx PPdtgdBBAAM MxMxx PtgdBAx Mx 00tgdtgBAxAxAyA Myy0MP图图图图dxABxx0dAMP6-2 变形体虚功原理的应用条件：条件：1各杆各杆EI为常数；为常数； 2杆轴为直线；杆轴为直线； 3 MP、 中至少有一个为直线图形。中至少有一个为直线图形。MP0dBAM MxyA 积分等于曲线图形的面积乘以其积分等于曲线图形的面积乘以其形心对应的直线图形的纵坐标。形心对应的直线图形的纵坐标。Myy0MP图图图图dxABxx0dAM

12、P6-2 变形体虚功原理的应用已知：已知：EI为常数。求：为常数。求：B 2PP11() 122BF lF l lEIEI 解解MP、M图均为直线，纵坐标可从任意图形中选。图均为直线，纵坐标可从任意图形中选。MP图图FPlFPlBAM图图112PP11(1)22BF llF lEIEI 6-2 变形体虚功原理的应用2PPP111151()4228BFa aFa aFaEIEIEI解解“-”“-”说明实际的转角方向与所设的单位力方向相反说明实际的转角方向与所设的单位力方向相反已知：已知：EI=常数。求常数。求B点的转角。点的转角。aaFPAB4EIEIEIMP图图FPaM图图116-2 变形体虚

13、功原理的应用（2） 图形的面积和形心图形的面积和形心ql2/8ab3a/823Aabbaa/413Aab图形的形心与面积一定要与图形的形心与面积一定要与荷载荷载对应对应6-2 变形体虚功原理的应用（3） 图形的分解图形的分解按图形分解按图形分解y1y21 122A yA y1 122A yA y1 122A yA y A1 A2+A2 A1+A2A1 y1y2y1y26-2 变形体虚功原理的应用按荷载分解按荷载分解y1y3y2112233A yA yA yM1M2M1M2M2M1A1A2 A3 6-2 变形体虚功原理的应用折线要分段折线要分段1122A yA yy1y2A1 A2 6-2 变形

14、体虚功原理的应用解 P3P5112 2 26548CVF lllEIF lEI P3P11123 212CVlF l lEIF lEI 取面积的范围内，另外一个图形必须是直线。取面积的范围内，另外一个图形必须是直线。已知：已知：EI=常数。求常数。求CVFPABl/2l/2CFPlMP图图l/21M图图6-2 变形体虚功原理的应用22411213223324724BVqlqlllllEIqlEI解解已知：已知：EI=常数。求常数。求:BVql/2qlABl1M图图MP图图ql2MP图按荷载分解图按荷载分解+ql2/2ql2/26-2 变形体虚功原理的应用2241122123382724BVql

15、qlllllEIqlEIMP图按图按叠加法叠加法分解分解l1M图图MP图图ql2ql2/8+ql26-2 变形体虚功原理的应用已知：已知：EI=常数。求常数。求:CVlqlBAC解解MP图按整个杆件的叠加法分解图按整个杆件的叠加法分解MP图按半个杆件的叠加法分解图按半个杆件的叠加法分解2ql22ql2ql2ql2/2+=2ql22ql2ql2/8ql2/2+=1M图图l/2MP图图2ql26-2 变形体虚功原理的应用42417qlEICVMP图按半个杆件的荷载分解图按半个杆件的荷载分解1M图图l/2MP图图2ql2qlql2/2ql2/2ql2/2+ql2+6-2 变形体虚功原理的应用2m2m

16、 112118585155rad2322CEIEI 已知：已知：EI=常数。求：常数。求：C 解解1kN/m5kN3m4mABC85MP图图(kNm)1M图图(kNm)6-2 变形体虚功原理的应用3 相对位移计算解解内力功内力功 iPWMM3PP111248CDF llF llEIEI 求两点的相对位移：求两点的相对位移：在两点的连线上加一对在两点的连线上加一对儿等值反向的单位力儿等值反向的单位力已知：已知：EI=常数。求：常数。求：CD外力功外力功 11CDW CDCD lM图图11ll/2l/2FPlCDFPl/4FPMP图图6-2 变形体虚功原理的应用解已知：各杆已知：各杆EIEI= =

17、常数。求：常数。求：A A、B B两点之间的相对转角。两点之间的相对转角。111216432 88 81rad()2332A BEIEI 1kNm8m8mABCDMP图图(kNm)328M图图11116-2 变形体虚功原理的应用2p56C CF aEI 已知：已知：EI=常数。求：常数。求：C CM图图1aaFPaFPa/2MP图图FPFPa/2解C6-2 变形体虚功原理的应用外力功外力功PPABWFF P1ABABF ABW 如果如果PPABABFF 那么那么即即NPNP3ABFFFlEAEA 求：求：AB1ABABABl 1ABl 解a aa aa aF FP PA AB BP2F PFP

18、FP2F PFF FNP NP 图图PFPFA AB Ba1a1a/1a/1F FN N图图6-2 变形体虚功原理的应用AB CBaaaFPABC求求6-2 变形体虚功原理的应用ED3m3m3mABC4kN3m2kNMP、FNP图图6kNm4 组合结构位移计算已知：已知：EI、EA 。求：图示结构中。求：图示结构中C截面两侧的相对转角截面两侧的相对转角C C 212111631631262323304CEIEAEIEA 1M11/3NMF、图图解解6-2 变形体虚功原理的应用42422.1 10 kN/cm3200cm16cm .已已知知：，求求：、BVC CEIA5/22m2m11NMF、图

19、图MP、FNP图图20kNm75kN90kNm1131221202220 4220 4234233211215155937.5290327550.0259m4232BVEIEIEAEIEA 2m10kN/mD3m3m4mAB4EIEIEAC6-2 变形体虚功原理的应用MP、FNP图图20kNm75kN90kNm2m10kN/mD3m3m4mAB4EIEIEA5/1212NMF、图图1112111220420490323324231535.83156.257550.0058rad12C CEIEIEAEIEA 6-2 变形体虚功原理的应用 两个悬臂刚架，在悬臂端插入一个长度为两个悬臂刚架，在悬臂

20、端插入一个长度为e的垫块，问的垫块，问需要多大的两个力。需要多大的两个力。解3P123eF aEI P332EIeFPa 已知位移求荷载已知位移求荷载（6 6） 其它其它FPeEIaFP图PMFPFPFPaFPaa图MP1F P1F aa6-2 变形体虚功原理的应用已知：各杆已知：各杆EI相同。由于相同。由于D点下垂过大，要加固一段长为点下垂过大，要加固一段长为a的区段。问加固哪一段效果显著。的区段。问加固哪一段效果显著。33PP023DVF aF aEIEI 解解加固第二跨加固第二跨FPFPaaaaaFPP1F a6-2 变形体虚功原理的应用已知：梁端点已知：梁端点A被拉降低被拉降低=0.0

21、5a。求跨中。求跨中C点的竖向位移。点的竖向位移。3PP32512120.0555558523233FF aaaaaaaaEIEI P20.0365EIFa 3PP1520820.009222CVFaaaaFaEIEI 解A5a4a4aBCFP5FPaPM 图图5FPaP1F 1M图图2aP1F 2M 图图6-2 变形体虚功原理的应用6-2-2温度变化时位移的计算温度改变时：温度改变时：1）由于纤维的伸长或缩短引起轴向变形）由于纤维的伸长或缩短引起轴向变形 2）由于伸长或缩短不一致，引起弯曲变形）由于伸长或缩短不一致，引起弯曲变形 3）温度改变不引起剪切变形）温度改变不引起剪切变形dud 1d

22、wd xd xhdud 2dtx 1dtx 121201ddd2dd2utxtxttxtx 21dddttxtxhh NQ1dddlFuFwM 一般公式一般公式6-2 变形体虚功原理的应用NQ1dddlFuFwM 0NddllttFxMxh N0ddlltxFtxMh N0FMtt AAh MNFQF虚设的单位力状态d xd xhdud 2dtx 1dtx 实际的位移状态符号：符号：1 由温度引起的变形方向与由单位力引起由温度引起的变形方向与由单位力引起的弯曲方向一致时，取的弯曲方向一致时，取“正正”号。号。2 其余符号均取绝对值。其余符号均取绝对值。温度变化引起的位移计算公式温度变化引起的位

23、移计算公式6-2 变形体虚功原理的应用 N021011.51552MFtthlllllhh 图示结构杆件一边温度升高图示结构杆件一边温度升高100C。各杆截面相同为。各杆截面相同为h，且与形，且与形心轴对称。求：心轴对称。求：C点的竖向位移。点的竖向位移。解ll100C100CABC1M图图lFN图图16-2 变形体虚功原理的应用 N0222101051022MFtthllllllhh 图示结构杆件一边温度升高图示结构杆件一边温度升高100C。各杆截面相同为。各杆截面相同为h，且对，且对称于形心。求：称于形心。求：C点的水平位移。点的水平位移。解ll100C100CABC1M图图l1FN图图1

24、6-2 变形体虚功原理的应用11FN图图1 NH022520EMFtthllh 图示结构温度变化如图。各杆截面高度相同为图示结构温度变化如图。各杆截面高度相同为h，且对称于，且对称于形心。求：形心。求：E点的水平位移。点的水平位移。解-200C-200C-200C200C100C-200ClllElM图图16-3刚体虚功原理的应用6-3-1静定结构支座位移下的位移计算静定结构在支座位移作用下，只有刚体位静定结构在支座位移作用下，只有刚体位移，没有变形，即移，没有变形，即1ddd0uw 虚功原理虚功原理RNQ11dddiilFcFuFwM ci位移位移状态状态1R2F力状态力状态R1F故故支座位

25、移引起的位移公式支座位移引起的位移公式RiiF c 6-3 刚体虚功原理的应用RC CiiaFch V14242（）Cllababhh 解已知支座位移。求已知支座位移。求C CCV、abhl/2l/201/h1图1M1/2l/4h图2M16-3 刚体虚功原理的应用已知：已知：AB杆做短了杆做短了lAB。求：安装后，求：安装后，C点的竖向位移。点的竖向位移。解位移状态：只有刚体位移。：只有刚体位移。ddd0uw 力状态：在求位移处加单位：在求位移处加单位力、将有制造误差的杆件去力、将有制造误差的杆件去掉，画出杆件的轴力。掉，画出杆件的轴力。6-3-2静定结构制造误差下的结构位移计算ABCAABl

26、CV实际的位移状态ABNABF1虚设的单位力状态6-3 刚体虚功原理的应用刚体虚功原理刚体虚功原理N10CVABABFl NCVABABFl 拉力拉力短的误差短的误差压力压力短的误差短的误差取取“正正”号号若多个杆件有误差若多个杆件有误差NiiFl 注意：注意：N ABABFl的符号的符号AABlCV实际的位移状态ABNABF1虚设的单位力状态6-3 刚体虚功原理的应用已知：下弦杆均做短了已知：下弦杆均做短了0.6cm。求：结点。求：结点A的竖向位移。的竖向位移。解6m66mA11/21/2 1 11/21/2N142 10.62.4cm2AViiFl 6-3 刚体虚功原理的应用6-3-3静定

27、结构的支反力和内力计算PP1312024yBFFF PPP6224yBFFFF FP2FP2a2a2aaaBEACD实际的力状态实际的力状态FyBAFPBECD2FP虚设的单位位移虚设的单位位移状态状态1/2ABECD13/4求：求：B点的支反力点的支反力; E点的弯矩。点的弯矩。6-3 刚体虚功原理的应用E0M MEFP2FPBEACD1BACDEaa/2实际的力状态实际的力状态虚设的单位位移虚设的单位位移状态状态6-3 刚体虚功原理的应用Q11201012.5kN24BF 左20kNQBF左10kN11/21/42m20kN10kN2m2m2m2m力状态力状态虚设的单位位移虚设的单位位移状态状态6-3 刚体虚功原理的应用Q1( 10)5kN2BF R R力状态力状态虚设的单位位移虚设的单位位移状态状态20kN10kNQBFR R11/26-3 刚体虚功原理的应用 10 110kN mBM 10kNBM20kN11力状态力状态虚设的单位位移虚设的单位位移状态状态6-3 刚体虚功原理的应用N1P120FF 用刚体虚功原理求图示杆件的轴力。用刚体虚功原理