高数数学-D1_9连续函数的运算ppt课件

1、目录 上页 下页 返回 结束 一、延续函数的运算法那么一、延续函数的运算法那么 第九节二、初等函数的延续性二、初等函数的延续性 延续函数的运算与初等函数的延续性 第一章 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理2. 延续单调递增函数的反函数也延续单调递增延续单调递增函数的反函数也延续单调递增. xx cot,tan在其定义域内延续一、延续函数的运算法那一、延续函数的运算法那么么定理定理1. 在某点延续的有限个函数经有限次和在某点延续的有限个函数经有限次和 , 差差 , 积积 ,( 利用极限的四那么运算法那么证明)连续xx cos,sin商(分母不为 0) 运算, 结果仍是一个在该点延续的函数 .

2、例如例如,例如例如,xysin在,22上延续单调递增，其反函数xyarcsin(递减)(证明略)在1, 1上也延续单调(递减)11xOy22递增.xsinxarcsin目录 上页 下页 返回 结束 定理定理3. 延续函数的复合函数是延续的延续函数的复合函数是延续的.xye在),(上延续其反函数xyln在),0(上也延续单调递增.证证: 设函数设函数)(xu,0连续在点 x.)(00ux,)(0连续在点函数uxfy . )()(lim00ufufuu于是)(lim0 xfxx)(lim0ufuu)(0uf)(0 xf故复合函数)(xf.0连续在点 x又如又如, 且即xyOxylnxey 11单调

3、 递增,目录 上页 下页 返回 结束 例如例如,xy1sin是由延续函数链),(,sinuuy,1xu *Rx因此xy1sin在*Rx上延续 .复合而成 ,xy1sinxyO目录 上页 下页 返回 结束 例例1 . 设)()(xgxf与均在,ba上延续, 证明函数)(, )(max)(xgxfx 也在,ba上延续.证证:21)(x)()(xgxf)()(xgxf)()()(21xgxfx)()(xgxf根据延续函数运算法那么 , 可知)(, )(xx也在,ba上延续 .)(, )(min)(xgxfx 目录 上页 下页 返回 结束 二、初等函数的延续性二、初等函数的延续性根本初等函数在定义区间

4、内延续延续函数经四那么运算仍延续延续函数的复合函数延续一切初等函数在定义区间内延续例如例如,21xy的延续区间为1, 1(端点为单侧延续)xysinln的延续区间为Znnn, ) 12( ,2(1cosxy的定义域为Znnx,2因此它无延续点而目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 求求.)1 (loglim0 xxax解解: 原式xxax1)1 (loglim0elogaaln1例例3. 求求.1lim0 xaxx解解: 令令, 1xat那么, )1 (logtxa原式)1 (loglim0ttataln阐明阐明: 由此可见当由此可见当0e,xa时, 有)1ln(x1e xxx目录 上页 下

5、页 返回 结束 例例4. 求求.)21 (limsin30 xxx解解:原式elim0 x)21ln(sin3xxelim0 xx36e阐明阐明: 假假设设,0)(lim0 xuxx那么有)()(1lim0 xvxxxu,)(lim0 xvxxe)(1ln)(lim0 xuxvxxe)()(lim0 xuxvxxx2目录 上页 下页 返回 结束 1,41,)(xxxxx例例5. 设设,1,21,)(2xxxxxf解解:讨论复合函数)(xf的延续性 . )(xf1,2xx1,2xx故此时延续; 而)(lim1xfx21lim xx1)(lim1xfx)2(lim1xx3故 )(xfx = 1为第一类延续点 .1)(),(2xx1)(, )(2xx,)(1为初等函数时xfx在点 x = 1 不延续 , 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结根本初等函数在定义区间内延续延续函数的四那么运算结果仍延续延续函数的反函数延续延续函数的复合函数延续 初等函数在定义区间内延续阐明阐明: 分段函数在界点处能否延续需讨论其分段函数在界点处能否延续需讨论其 左、右延续性左、右延续性.目录 上页 下页 返回 结束 思索与练习思索与练习,)(0连续在点若xxf是否连在问02)(, )(xxfxf续? 反例, 1,1)(xf x 为有理数 x 为无理数)(xf处处延