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文档简介
1、§15. 复 数 知识要点1. 复数的单位为i,它的平方等于1,即.复数及其相关概念: 复数形如a + bi的数(其中);实数当b = 0时的复数a + bi,即a;虚数当时的复数a + bi;纯虚数当a = 0且时的复数a + bi,即bi.复数a + bi的实部与虚部a叫做复数的实部,b叫做虚部(注意a,b都是实数)数集C全体复数的集合,一般用字母C表示.两个复数相等的定义:.两个复数,如果不全是实数,就不能比较大小.若为复数,则若,则.(×)为复数,而不是实数若,则.()若,则是的必要不充分条件.(当,时成立)2. 复平面内的两点间距离公式:.其中是复平面内的两点所对
2、应的复数,间的距离.由上可得:复平面内以为圆心,为半径的圆的复数方程:.曲线方程的复数形式:为圆心,r为半径的圆的方程.表示线段的垂直平分线的方程.为焦点,长半轴长为a的椭圆的方程(若,此方程表示线段).表示以为焦点,实半轴长为a的双曲线方程(若,此方程表示两条射线).绝对值不等式:设是不等于零的复数,则.左边取等号的条件是,右边取等号的条件是.左边取等号的条件是,右边取等号的条件是.注:.3. 共轭复数的性质: ,(a + bi) () 注:两个共轭复数之差是纯虚数. (×)之差可能为零,此时两个复数是相等的4 复数的乘方:对任何,及有 注:以上结论不能拓展到分数指数幂的形式,否则
3、会得到荒谬的结果,如若由就会得到的错误结论.在实数集成立的. 当为虚数时,所以复数集内解方程不能采用两边平方法.常用的结论: 若是1的立方虚数根,即,则 .5. 复数是实数及纯虚数的充要条件:.若,是纯虚数.模相等且方向相同的向量,不管它的起点在哪里,都认为是相等的,而相等的向量表示同一复数. 特例:零向量的方向是任意的,其模为零.注:. 6. 复数的三角形式:.辐角主值:适合于0的值,记作.注:为零时,可取内任意值.辐角是多值的,都相差2的整数倍.设则.复数的代数形式与三角形式的互化:,.几类三角式的标准形式:7. 复数集中解一元二次方程:在复数集内解关于的一元二次方程时,应注意下述问题:当时,若0,则有二不等实数根;若=0,则有二相等实数根;若0,则有二相等复数根(为共轭复数).当不全为实数时,不能用方程根的情况.不论为何复数,都可
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