空间向量及其加减法

1、 空间向量及其加减法空间向量及其加减法 与数乘运算与数乘运算 莆田科技学校莆田科技学校童童 斌斌复习回顾：平面向量1、定义： 既有大小又有方向的量叫做向量。几何表示法:用有向线段表示字母表示法：用小写字母表示，或者用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示。相等向量：长度相等且方向相同的向量ABCD2、平面向量的加法、减法与数乘运算向量加法的三角形法则向量加法的平行四边形法则向量减法的三角形法则a ba ba (k0)ka (k0)k向量的数乘aaABbCaABbDCaABbCa b3、平面向量的加法、减法与数乘运算律加法交换律：加法结合律：数乘分配律：abba)()(cbacbababa )(

2、 推广:（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量；nnnAAAAAAAAAA11433221（2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量。01433221AAAAAAAAn新课讲授阅读教材阅读教材P P26 26 ，研究空间向量与平面向量的关系研究空间向量与平面向量的关系, ,回答回答下面的问题：下面的问题：（1 1） 试说出：空间向量与平面向量有何共同之处？试说出：空间向量与平面向量有何共同之处？（2） 如何理解空间的一个如何理解空间的一个“平移平移”就是一个向量？就是一个向量？（3） 空间任意两个向量是否都可以将它们平移到同空间任意两个向

3、量是否都可以将它们平移到同 一个平面当中？一个平面当中？（4）把平面向量的运算推广到空间向量，）把平面向量的运算推广到空间向量， 怎么定义空间向量的加法，减法及数乘向量运算？怎么定义空间向量的加法，减法及数乘向量运算？（5）空间向量的运算律有哪些？）空间向量的运算律有哪些？（6）从平面和空间两个角度验证向量加法结合律）从平面和空间两个角度验证向量加法结合律?在空间，具有在空间，具有大小大小和和方向方向的量叫做向量；用的量叫做向量；用有向线段有向线段表示；并且同向且等长的有向线段表示；并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量。表示同一向量或相等的向量。（1 1） 试说出：空间向量与平面向

4、量有何共同试说出：空间向量与平面向量有何共同 之处？之处？ABCD（2） 如何理解空间的一个如何理解空间的一个“平移平移”就是一个向量？就是一个向量？因为空间的一个因为空间的一个“平移平移”有有大小大小和和方向方向，所以是，所以是一个向量。一个向量。例如：例如：“平行四边形平行四边形ABCD自西向东平移自西向东平移4个单个单位长度位长度”到达到达A1B1C1D1的位置。的位置。DCABC1D1B1A1a 这个这个“平移平移”就就 是一个向量。是一个向量。a=“自西向东平移自西向东平移4个单位长度个单位长度”（3） 空间任意两个向量是否都可以将它们空间任意两个向量是否都可以将它们 平移到同一个平

5、面当中？平移到同一个平面当中？ 由由O、A、B、三点确定一个平面、三点确定一个平面或共线可知，或共线可知，已知空间两个任意向量已知空间两个任意向量、a, b.OBb ,OAa 作作OAaBbab 空间任意两个向量都空间任意两个向量都 可用同可用同 一平面内的有向线段表示。一平面内的有向线段表示。ababOABb结论：空间任意两个向量都是共面向量，所以它们可用结论：空间任意两个向量都是共面向量，所以它们可用同一平面内的两条有向线段表示。同一平面内的两条有向线段表示。因此凡是涉及空间任意两个向量的问题，平面向量中有因此凡是涉及空间任意两个向量的问题，平面向量中有关结论仍适用于它们。关结论仍适用于它

6、们。思考：它们确定的平面是否唯一？思考：它们确定的平面是否唯一？思考：空间任意两个向量是否可能异面？思考：空间任意两个向量是否可能异面？abbaOACB（4）与平面向量运算一样，我们定义）与平面向量运算一样，我们定义 空间空间 向量的加法、减法与数乘向量运算如下：向量的加法、减法与数乘向量运算如下：,OBOAABab ,CAOAOCab .O PaR aaa加法交换律：加法结合律：数乘分配律： （5）同样，空间向量的加法与数乘向量运同样，空间向量的加法与数乘向量运 算满算满 足如下运算律：足如下运算律：abba)()(cbacbabkakbak )(abcOBCab+abcOBCbc+(平面向

7、量)()(cbacba（6）平面向量加法结合律：）平面向量加法结合律：ab+c+()ab+c+()AAabcOABCab+abcOABCbc+（6）空间向量加法结合律：）空间向量加法结合律：)()(cbacba(空间向量)ab+c+()ab+c+()例1：已知平行六面体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1，化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量。(如图)ABCDA1B1C1D11)2()1 (AAADABBCAB;)1 (ACBCAB解：1)2(AAADAB1AAAC 1CCAC 1AC1121)4()(31) 3(CCADABAAADABABCDA1B1C1D

8、1M(4)设设M是线段是线段CC1的中点的中点,则则)(311AAADAB121CCADABACCM AM (3)设设G是线段是线段AC1的三等分点的三等分点,则则113AC AGG1121)4()(31)3(CCADABAAADABABMCGD)(21 )2()(21 ) 1 (ACABAGBDBCAB练习1在空间四边形在空间四边形ABCDABCD中中, ,点点M M、G G分别是分别是BCBC、CDCD边的中点边的中点, ,化简化简MGBMAB原式) 1 (AGAGAM (2)原式=MG 平面向量概念加法减法数乘运算运算律定义 表示法 相等向量减法:三角形法则加法:三角形法则或平行四边形法则空间向量具有大小和方向的量数乘:ka