1第1章有理数

1、第1章 有理数11具有相反意义的量专题 有理数的分类1 既不是正数，又不是整数的有理数是()A零和正分数 B零和负分数 C只有负分数 D零和分数2 写出三个有理数，使它们满足：是负数；是整数；能被2、3、5整除3 将有理数3，0，20，125，1，|12|，(5)放入恰当的集合中【知识要点】1在具有相反意义的一对量中，把其中的一种量用正数表示，另一种量用负数表示20既不是正数，也不是负数；正数和0统称为非负数 3 正整数、零和负整数统称为整数；正分数和负分数统称为分数；整数和分数统称为有理数【温馨提示】1在有理数的分类中，要特别注意“0”，它既不是正数，也不是负数2在分类时，要做到不遗漏，不重

2、复【方法技巧】1判断是否是具有相反意义的一对量，可以不管数量，只看前面的关键词是不是我们通常所说的“反义词”2在分类中，任何一个数有且只有一个合适的类别，凡出现“无家可归”或“脚踏两只船”的现象的分类都是错误的参考答案1B 【解析】A选项中正分数是正数，C选项中还有零，D选项中的分数可能是正数，只有B选项正确故选B2解：所求的数是负数又是整数，而且还是2、3、5的最小公倍数，据此即可写出答案符合条件的数有30、60、90、120等故答案为：30，60，90(答案不唯一)3 解：如图所示：12数轴、相反数与绝对值专题一 绝对值的非负性1 小明、小亮、小花、小倩四人是一个学习小组的同学，下面是该小

3、组学习有理数的绝对值时进行的小组讨论：小明说：“a的绝对值是它的相反数a”；小亮说：“如果有理数a的绝对值是它本身，那么a一定是正数”；小花说：“如果a为有理数，那么|a|一定是负数”；小倩说：“你们说得都不对”你认为这四位同学中谁说错了？谁说对了？错的该怎样改正？2 若a、b、c都是有理数，且|a1|+|b+2|+|c4|=0，求a+|b|+c的值3 探究题(1)比较下列各式的大小：|2|+|3| |2+3|；|3|+|5| |(3)+(5)|；|0|+|5| |0+(5)|；(2)通过(1)的比较，请你分析，归纳出当a，b为有理数时，|a|+|b|与|a+b|的大小关系(3)根据(2)中你

4、得出的结论，求当|x|+5=|x5|时，求x的取值范围专题二 数轴、相反数与绝对值的 “大融合”4 已知有理数a与b互为相反数，有理数c到原点的距离为1，有理数d为绝对值最小的数，求式子2013(a+b)+c+2013d的值5 如图，数轴上标出了7个点，相邻两点之间的距离都相等，已知点A表示4，点G表示8.(1)点B表示的有理数是 ，表示原点的是点是 (2)图中的数轴上另有点M到点A，点G距离之和为13，则这样的点M表示的有理数是 (3)若将原点取在点D，则点C表示的有理数是 ，此时点B与点 表示的有理数互为相反数6 一个有理数x在数轴上对应的点为A，将A点向左移动3个单位长度，再向左移动2个

5、单位长度，得到点B，点B所对应的数和点A对应的数的绝对值相等，求点A的对应的数x是多少？【知识要点】1规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴任何有理数都可以用数轴上唯一的一个点来表示2如果两个数只有符号不同，那么其中的一个数叫作另一个数的相反数0的相反数是03一个数的绝对值等于数轴上表示这个数的点与原点的距离正数的绝对值是它的本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0互为相反数的两个数的绝对值相等一般地，如果a表示一个数，则：(1)当a是正数时，；(2)当a=0时，；(3)当a是负数时，即是指a和-a中非负数的那一个【温馨提示】(针对易错)1画数轴时必须具备三要素：原点、正方向和单位长

6、度2任何一个数都有相反数，两个互为相反数的绝对值相等3一个数的绝对值是一个非负数，在求一个数的绝对值时，不能只是去掉绝对值符号，一定要考虑绝对值符号内的式子表示的数是正数还是负数【方法技巧】1求一个数的相反数，在这个数的前面加上负号即可2求一个数的绝对值时，先分清这个数是正数、0还是负数，再按照相应的情况“对号入座”，即去掉绝对值后是否添上负号3几个非负数之和等于零，其中每一个数都等于零参考答案1 解：小明、小亮、小花都说错了只有小倩是对的小明说错了，因为a的绝对值应该分情况进行讨论，即；小亮说错了，因为a的绝对值等于本身的数除了正数还有0；小花说错了，因为|a|不一定是负数，还可能是0，即|

7、a|0故小倩是对的2 解：因为|a1|+|b+2|+|c4|=0，所以|a1|=0，|b+2|=0，|c4|=0，所以a=1，b=2，c=4，所以a+|b|+c=1+2+4=73 解：(1)因为|2|+|3|=5，|2+3|=1，所以|2|+|3|2+3|.因为|3|+|5|=8，|(3)+(5)|=8，所以|3|+|5|=|(3)+(5)|.因为|0|+|5|=5，|0+(5)|=5，所以|0|+|5|=|0+(5)|.故答案为，=，=(2)根据(1)中规律可得出：|a|+|b|a+b|(3)因为|5|=5，所以|x|+5=|x|+|5|=|x+(5)|=|x5|.所以x0.即当|x|+5=

8、|x5|时，x04 解：因为有理数a与b互为相反数，所以a+b=0.因为有理数c到原点的距离为1，所以c=1 或c=-1.因为有理数d为绝对值最小的数，所以d=0.所以当c=1时，原式=2013×0+1+0=1；当c=-1时，原式=2013×0+(-1)+0=-1所以原式的值为1或15 (1) 2，C；(2) 45或85；(3) 2；F 【解析】 (1)因为数轴上标出了7个点，相邻两点之间的距离都相等，已知点A表示4，点G表示8，所以AG=|8+4|=12，所以相邻两点之间的距离=2，所以点B表示的有理数是4+2=2，点C表示的有理数2+2=0.故答案为2，C；(2)设点M

9、表示的有理数是m，则|m+4|+|m8|=13，所以m=45或m=85.故答案为45或85；(3)若将原点取在点D，因为每两点之间距离为2，所以点C表示的有理数是2.因为点B与点F在原点D的两侧且到原点的距离相等，所以此时点B与点F表示的有理数互为相反数6 解：由题意得：点A对应的数为x，则点B所对应的数x32=x5，又点B所对应的数和点A对应的数的绝对值相等，|x|=|x5|，所以x=2513 有理数的大小比较专题 比较有理数的大小1(1) 如果|a|=4，|b|=3，则比较a与b的大小会有哪几种情况？(2)已知a表示小于0的数，试比较a与的大小2 试比较，这四个数的大小【知识要点】1正数大

10、于负数， 0大于负数两个负数，绝对值大的反而小 2在以向右为正方向的数轴上，右边的点表示的数比左边的点表示的数大【温馨提示】比较两个数的大小时，要特别注意两个负数的大小比较，同时注意解题格式【方法技巧】1比较两个负数的大小时，应先比较它们的绝对值的大小，再根据“绝对值大的反而小”得出结论2利用数轴比较有理数的大小时，先在数轴上准确地找出表示这些数的点，再根据这些数在数轴上的位置按从左到右的顺序把这些数用“<”连接起来即可参考答案1 解：(1)因为|a|=4，|b|=3，所以a=±4，b=±3.所以当a=4，b=3时，ab；当a=4，b=3时，ab；当a=4，b=3时，

11、ab；当a=4，b=3时，ab(2) (1)a1时，；(2)a=1时，；(3)1a0时，2 解：因为，因为，所以14 有理数的加法和减法专题一 有理数的加减法运算1 从1，2，3，10，每个数前面任意添上正负号，则得到这十个新数和的绝对值的最小值为 2 a、b、c、d表示4个有理数，其中每三个数之和是1，3，2，17，且abcd，求a、b、c、d3 小明编写了一个计算机计算程序，当输入任何一个有理数时，显示屏上的结果总等于所输入的这个有理数的绝对值与2的和若输入2，这时显示的结果应当是多少？如果输入某数后，显示的结果是7，那么输入的数是多少？(写出过程)专题二 有理数加减法的运用4 已知|a|

12、=2013，|b|=2012；且a+b0，求ab的值5 问题：能否将1，2，3，410这10个数分成两组，使它们的差为5解：1+2+3+10=55，要使差为5，需将这10个数分成两组，一组的和为30，另一组的和为25，然后把它们相减下面给出一种分法，例如：(6+7+8+9)(1+2+3+4+5+10)=5.应用：在1、2、3、4、5、6、7、8、9、10这10个数前面任意添上“+”号或“”号，(1)能否使它们的和等于7？(2)能否使它们的和等于2；若能，给出一种分法；若不能，请说明理由6 某市质量技术监督局从某食品厂生产的袋装食品中抽出样品20袋，检测每袋的质量是否符合标准，把超过或不足的部分

13、分别用正、负数来表示，记录如下表：与标准质量的差值(单位：克)620134袋数143453(1)若标准质量为450克，则抽样检测的20袋食品的总质量为多少克？(2)若该种食品的合格标准为450±5g，求该食品的抽样检测的合格率专题三 有理数加减法的巧算7 计算：8 计算：9 阅读理解：计算：解析：因为，原式=上面这种计算方法叫拆项法，请你仿照上面的方法计算：【知识要点】1有理数加法法则是：(1)两个负数相加，结果是负数，并且把它们的绝对值相加；(2)异号两数相加，当两数的绝对值不相等时，取绝对值较大的加数的符号，并且用较大的绝对值减去较小的绝对值；(3)互为相反数的两个数相加得0；一

14、个数与0相加，仍得这个数 2加法交换律：a+b=b+a即，两个有理数相加，交换加数的位置，和不变加法结合律：a+b+c=(a+b)+c=a+(b+c)即，三个有理数相加，先把前两个数相加，再把结果与第三个数相加；或者先把后两个数相加，再把结果与第一个数相加，和不变三个或三个以上有理数相加，可以写成这些数的连加式对于连加式，根据加法交换律和加法结合律，可以任意交换加数的位置，也可以先把其中的某几个数相加3减去一个数，等于加上这个数的相反数【温馨提示】1 如果两个数的和等于0，那么这两个数互为相反数2 如果一个式子中既有加法运算，又有减法运算，可以把它们全部转化为加法运算，原来的算式就转化为求几个

15、正数或负数的和3进行有理数的加减法运算时，必须注意符号【方法技巧】1 进行有理数的加法，必须确定符号和计算绝对值即先根据两个加数是同号还是异号确定结果的符号，再确定绝对值2有理数减法运算，当被减数少于减数时，一般都是转化为加法而进行3灵活运用加法运算律，能简化运算参考答案1 1 【解析】 因为1+2+3+10=55，所以从1，2，310，每个数前面任意添上正负号，得到这十个新数和的绝对值的最小值为：28与27的差，所以这十个新数和的绝对值的最小值为1故答案为：12 解：因为四个数的和是×(13+2+17)=5，所以5(1)=6，5(3)=8，52=3，517=12.所以a、b、c、d

16、分别是8、6、3、123 解：这个有理数的绝对值与2的和，当输入2时，显示的结果应当是|2|+2=4；如果显示的结果是7，因为|±5|+2=7所以输入的数是5或54 解：因为|a|=2013，|b|=2012，所以a=±2013，b=±2012.因为a+b0，所以a=2013，b=2012或a=2013，b=2012.所以ab=20132012=4025，或ab=2013(2012)=1.所以ab的值是4025或15 解：(1)能使它们的和等于7的分法，如：12+34+56+79+810=7(2)不能，因为1+2+3+10=55是一个奇数，所以无论怎样分，结果都不

17、可为偶数6 解：(1)总质量为=450×20+(6)+(2)×4+1×4+3×5+4×3=900068+4+15+12=9017(克)；(2)合格的有19袋，所以该食品的抽样检测合格率为×95%=95%7 解：原式=08 解：原式=9 解：原式=15 有理数的乘法和除法专题一 有关字母型的乘除法1. 四个整数a，b，c，d互不相等，且abcd=25，求a+b+c+d的值2a，b为有理数，且|a+b|=ab，试求ab3 设a=-1÷2÷3÷4，b=-1÷(2÷3÷4)，c=-1

18、÷(-2÷3)÷4，d=-1÷2÷(3÷4)，计算(b÷a)÷(c÷d)的值专题二 有关数字型的乘除法4计算：5 计算：6 阅读下面的材料：计算：解：=-720+=根据你对材料的理解，计算：专题三 有关探究型的乘除法7 将2013减去它的，再减去余下的，再减去余下的，以此类推，直至减去余下的，试探究最后的结果是多少？8 中央电视台每一期的“开心辞典”栏目，都有一个“二十四点”的趣味题，将四个数(四个数都用且只能用一次)进行“+”、“”、“×”、“÷”运算，可加括号使其结果等于24例如：

19、对1、2、3、4可作运算(1+2+3)×4=24，也可写成4×(1+2+3)=24，但视作相同方法的运算现有四个有理数3，5，7，13，请你写出一个符合条件的算式，使其结果等于249 如图，是一个“有理数转换器”(箭头是指数进入转换器的路径，方框是对进入的数进行转换的转换器)(1)当小明输入3；4；2013这四个数时，这四次输出的结果分别是？(2)你认为当输入什么数时，其输出结果是0？(3)你认为这个“有理数转换器”不可能输出什么数？【知识要点】1两数相乘，同号得正，异号得负，并且把绝对值相乘；任何数与0相乘，都得0几个不等于0的数相乘，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数

20、有偶数个时，积为正2乘法交换律：a×b=b×a乘法结合律：(a×b)×c= a×(b×c)乘法对加法的分配律：a×(b+c) = a×b+a×c3两数相除，同号得正，异号得负，并且把绝对值相除；0除以任何一个不等于0的数都得04一般地，如果两个数的乘积等于1，我们把其中一个数叫做另一个数的倒数，0没有倒数除以一个不等于零的数等于乘这个数的倒数【温馨提示】1有理数乘除法运算时，要注意与有理数加法运算确定符号的区别2几个有理数连除，不要弄错除数【方法技巧】1几个有理数相乘除，结果的符号由负数的个数决定，当负数

21、有奇数个时，结果为负；当负数有偶数个时，结果为正2对于分数除法，一般先转化为乘法3正确运用乘法运算律能简化运算参考答案1 解：因为25=5×5，整数a，b，c，d互不相等，且abcd=25，所以a，b，c，d的值只能分别为5，5，1，1.所以a+b+c+d=02 解：因为|a+b|=a+b或ab，所以a+b=ab或ab=ab，解得b=0或a=0.所以ab=03 解： ，则 (b÷a)÷(c÷d)=，所以bd=，ac=，所以原式=4 解：原式=5 解：原式=-10-6+15-1=-26 解：=-900+=7 解：根据题意得：=1 故结果为18 解：(-5)

22、×(-13)+7÷3=249 解：(1)因为32，所以输入3时的程序为：(35)=20.所以2的相反数是20，2的倒数是，所以当输入3时，输出；当输入4时，因为42，所以4的相反数是40，4的倒数是.所以当输入4时，输出；当输入时，2，所以其相反数是，其绝对值是，所以当输入时，输出；当输入2013时，20132，所以其相反数是20130，其倒数是，所以当输入2013时，输出.(2)因为输出数为0，0的相反数及绝对值均为0，所以应输入0；(3)由(1)中输出的各数均为非负数可知，输出的数应为非负数16 有理数的乘方专题 有理数乘方的探究题1 观察下列等式，然后填空1+3=22

23、=4；1+3+5=32=9；1+3+5+7=42=16；1+3+5+7+9=52=25；1+3+5+7+9+11=62=_.(1)第5个式子等号右边的结果应填的数是 ；(2)根据规律计算：1+3+5+7+9+1997+1999= ；(3)请写出第n(n是正整数)个等式是：1+3+5+(2n+1)= 2 问题：你能比较两个数20122013与20132012的大小吗？为了解决这个问题，我们先把它抽象成这样的问题：写成它的一般形式，即比较nn+1和(n+1)n的大小(n是自然数)然后，我们分析n=1，n=2，n=3，这些简单情形入手，从而发现规律，经过归纳，才猜想出结论(1)通过计算，比较下列各组

24、中两个数的大小(在空格中填“”“”“=”)12_21，23_32，34_43，45_54，56_65，66_75；(2)从第(1)题的结果经过归纳，可以猜想出nn+1和(n+1)n的大小关系；(3)根据上面归纳猜想得到的一般结论，试比较下列两个数的大小：20122013与201320123 阅读下面一段：计算1+5+52+53+599+5100观察发现，上式从第二项起，每项都是它前面一项的5倍，如果将上式各项都乘以5，所得新算式中除个别项外，其余与原式中的项相同，于是两式相减将使差易于计算解：设S=1+5+52+53+599+5100，则5S=5+52+5100+5101，得4S=51011，则S=上面计算用的方法称为“错位相减法”，如果一列数，从第二项起每一项与前一项之比都相等(本例中是都等于5)，那么这列数的求和问题，均可用上述“错位相减”法来解决下面请你观察算式是否具备上述规律？若是，请你尝试用“错位相减”法计算上式的结果【知识要点】1求n个相同因数的乘积的运算，叫做乘方，在an中，a叫做底数，n叫做指数2正数的任何正整数次幂都是正数；负数的奇次幂是负数， 负数的偶次幂是正数，0的任何正整数次幂都是0 3把一个绝对值大于10的数记做的形式，其中a是整数数位只有一位的数(即1|a|10)，这种记数法叫做科学记数法【温馨提示】1有理数运算时，应根据乘方的意义计算，切不可把