高等数学多元函数微分法及其应用(本科)全册配套精品完整课件

1、高等数学多元函数微分法及其应用高等数学多元函数微分法及其应用(本科本科)全册配套精品完整课件全册配套精品完整课件 )(0oPPUPP 00一、一、 区域区域1. 邻域邻域点集点集, ),(0PPU称为点称为点 P0 的的 邻域邻域. .例如例如, ,在平面上在平面上, , ),(),(0yxPU( (圆邻域圆邻域) )在空间中在空间中, , ),(),(0zyxPU( (球邻域球邻域) )说明：说明：若不需要强调邻域半径若不需要强调邻域半径 , ,也可写成也可写成. )(0PU点点 P0 的的去心邻域去心邻域记为记为PP 0yyxx2020)()(zzyyxx202020)()()(在讨论实际

2、问题中也常使用方邻域在讨论实际问题中也常使用方邻域, ,平面上的方邻域为平面上的方邻域为 (),(),0yxPU。0P因为方邻域与圆因为方邻域与圆邻域可以互相包含邻域可以互相包含. .,0 xxyy02. 区域区域(1) 内点、外点、边界点内点、外点、边界点设有点集设有点集 E 及一点及一点 P : 若存在点若存在点 P 的某邻域的某邻域 U(P) E , 若存在点若存在点 P 的某邻域的某邻域 U(P) E = , 若对点若对点 P 的任一邻域的任一邻域 U(P) 既含既含 E中的内点也含中的内点也含 E则称则称 P 为为 E 的的内点内点；则称则称 P 为为 E 的的外点外点 ;则称则称

3、P 为为 E 的的边界点边界点 . .的外点的外点 ,显然显然, E 的内点必属于的内点必属于 E , E 的外点必不属于的外点必不属于 E , E 的的边界点可能属于边界点可能属于 E, 也可能不属于也可能不属于 E . PE(2) (2) 聚点聚点若对任意给定的若对任意给定的 , ,点点P P 的去心的去心),PU(E邻域邻域内总有内总有E E 中的点中的点 , , 则则称称P P 是是E E 的的聚点聚点. .聚点可以属于聚点可以属于E E , , 也可以不属于也可以不属于E E ( (因为聚点可以为因为聚点可以为 所有聚点所成的点集成为所有聚点所成的点集成为E E 的的导集导集 . .

4、E E 的边界点的边界点 ) ) 内点一定是聚点；内点一定是聚点； 边界点可能是聚点；（孤立点是边界点，但不边界点可能是聚点；（孤立点是边界点，但不是聚点）是聚点） 若点若点 的某一个邻域内除点的某一个邻域内除点 外其余各点都不属外其余各点都不属于于E E，则称，则称 为点集为点集E E的的孤立点孤立点。0 x0 x0 x1| ),(22 yxyx例如例如边界上的点都是聚点也都属于集合边界上的点都是聚点也都属于集合10| ),(22 yxyx例如例如(0,0)(0,0)既是既是边界点也是聚点但不属于集边界点也是聚点但不属于集合合D(3) 开区域及闭区域开区域及闭区域 若点集若点集 E 的点都是

5、的点都是内点内点，则称，则称 E 为为开集开集； 若点集若点集 E E , 则称则称 E 为为闭集闭集； 若集若集 D 中任意两点都可用一完全属于中任意两点都可用一完全属于 D 的折线相的折线相连连 , 开区域连同它的边界一起称为开区域连同它的边界一起称为闭区域闭区域. .则称则称 D 是连通的是连通的 ; 连通的开集称为连通的开集称为开区域开区域 ,简称简称区域区域 ; E 的边界点的全体称为的边界点的全体称为 E 的的边界边界, 记作记作 E ;例如，例如，在平面上在平面上0),( yxyx41),(22yxyx0),( yxyx41),(22yxyx开区域开区域闭区域闭区域 xyOxy2

6、1OxyOxy21O 整个平面整个平面 点集点集 1),(xyx是开集，是开集， 是最大的开域是最大的开域 , 也是最大的闭域也是最大的闭域 ;但非区域但非区域 .11 对区域对区域 D , 若存在正数若存在正数 K , 使一切点使一切点 P D 与某定点与某定点 A 的距离的距离 AP K , 则称则称 D 为为有界域有界域 , 界域界域 .否则称为否则称为无无xyO（4）n维空间维空间 n维空间的记号为维空间的记号为;nR n维空间中两点间距离公式维空间中两点间距离公式 ),(21nxxxP),(21nyyyQ.)()()(|2222211nnxyxyxyPQ n维空间中邻域、区域等概念维

7、空间中邻域、区域等概念 nRPPPPPU ,|),(00 特殊地当特殊地当 时，便为数轴、平面、时，便为数轴、平面、空间两点间的距离空间两点间的距离3, 2, 1 n内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义邻域：邻域：设两点为设两点为二二 、二元函数的定义、二元函数的定义当当2 n时时，n元元函函数数统统称称为为多多元元函函数数. 多元函数中同样有定义域、值域、自变量、多元函数中同样有定义域、值域、自变量、因变量等概念因变量等概念.类似地可定义三元及三元以上函数类似地可定义三元及三元以上函数,( , ),( , )Dx yzz zf x yx yD点集 称为

8、函数的定义域，称为自变量， 称为因变量，数集称为值域。例例1 1 求求 的定义域的定义域222)3arcsin(),(yxyxyxf 解解 013222yxyx 22242yxyx所求定义域为所求定义域为., 42| ),(222yxyxyxD （6） 二元函数二元函数 的图形的图形),(yxfz （如下页图）（如下页图）二元函数的图形通常是一张曲面二元函数的图形通常是一张曲面.22222(2)z xyzxy例 描绘下列函数的图形(1) =xyzoxyzsin 例如例如,图形如右图图形如右图.2222azyx 例如例如,左图球面左图球面.),(222ayxyxD 222yxaz .222yxa

9、z 单值分支单值分支:三、多元函数的极限三、多元函数的极限说明：说明：（1）定义中）定义中 的方式是任意的；的方式是任意的；0PP （2）二元函数的极限也叫二重极限）二元函数的极限也叫二重极限);,(lim00yxfyyxx（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似）二元函数的极限运算法则与一元函数类似例例2 2 求证求证 证证01sin)(lim222200 yxyxyx01sin)(2222 yxyx22221sinyxyx 22yx , 0 , 当当 时，时， 22)0()0(0yx 01sin)(2222yxyx原结论成立原结论成立例例3 3 求极限求极限 .)sin(lim22200

10、yxyxyx 解解22200)sin(limyxyxyx ,)sin(lim2222200yxyxyxyxyx 其中其中yxyxyx2200)sin(limuuusinlim0, 1 222yxyx x21 , 00 x. 0)sin(lim22200 yxyxyxyxu2 例例4 4 证明证明 不存在不存在 证证26300limyxyxyx 取取,3kxy 26300limyxyxyx 6263303limxkxkxxkxyx ,12kk 其值随其值随k的不同而变化，的不同而变化，故极限不存在故极限不存在（2） 找两种不同趋近方式，使找两种不同趋近方式，使),(lim00yxfyyxx存在，

11、存在，但两者不相等，此时也可断言但两者不相等，此时也可断言),(yxf在点在点),(000yxP处极限不存在处极限不存在确定极限确定极限不存在不存在的方法：的方法：n元元函函数数的的极极限限利用点函数的形式有利用点函数的形式有 设设n元函数元函数)(Pf的定义域为点集的定义域为点集0, PD是其聚点且是其聚点且DP 0，如果，如果)()(lim00PfPfPP 则称则称n元函数元函数)(Pf在点在点0P处连续处连续. .四、多元函数的连续性四、多元函数的连续性定义定义3 3例例5 5 讨论函数讨论函数 )0 , 0(),(, 0)0 , 0(),(,),(2233yxyxyxyxyxf在在(0

12、,0)处的连续性处的连续性解解 取取,cos x sin y)0 , 0(),(fyxf )cos(sin33 2 2)0 , 0(),(fyxf故函数在故函数在(0,0)处连续处连续.),0 , 0(),(lim)0,0(),(fyxfyx , 0 ,2 当当 时时 220yx例例6 6 讨论函数讨论函数 0, 00,),(222222yxyxyxxyyxf在在(0,0)的连续性的连续性解解取取kxy 2200limyxxyyx 22220limxkxkxkxyx 21kk 其值随其值随k的不同而变化，的不同而变化，极限不存在极限不存在故函数在故函数在(0,0)处不连续处不连续闭区域上连续函

13、数的性质闭区域上连续函数的性质 在有界闭区域在有界闭区域D D上的多元连续函数，在上的多元连续函数，在D D上至少取得它的最大值和最小值各一次上至少取得它的最大值和最小值各一次 在有界闭区域在有界闭区域D D上的多元连续函数，如上的多元连续函数，如果在果在D D上取得两个不同的函数值，则它在上取得两个不同的函数值，则它在D D上上取得介于这两值之间的任何值至少一次取得介于这两值之间的任何值至少一次（1）最大值和最小值定理）最大值和最小值定理（2）介值定理）介值定理多元初等函数：由多元多项式及基本初等函数多元初等函数：由多元多项式及基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可经过有限次的

14、四则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表示的多元函数叫多元初等函数用一个式子所表示的多元函数叫多元初等函数一切多元初等函数在其定义区域内是连续的一切多元初等函数在其定义区域内是连续的定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域例例.11lim00 xyxyyx 求求解解)11(11lim00 xyxyxyyx原式原式111lim00 xyyx.21 ).()(lim)()()()(lim00000PfPfPPfPfPPfPfPPPP 处连续，于是处连续，于是点点在在的定义域的内点，则的定义域的内点，则是是数，且数，且是初等函是初等函时，如果时，如果一般地，

15、求一般地，求多元函数极限的概念多元函数极限的概念多元函数连续的概念多元函数连续的概念闭区域上连续函数的性质闭区域上连续函数的性质（注意趋近方式的（注意趋近方式的任意性任意性）五、小结五、小结多元函数的定义多元函数的定义 若点若点),(yx沿着无数多条平面曲线趋向于沿着无数多条平面曲线趋向于点点),(00yx时，函数时，函数),(yxf都趋向于都趋向于 A，能否，能否断定断定Ayxfyxyx ),(lim),(),(00？思考题思考题思考题解答思考题解答不能不能.例例,)(),(24223yxyxyxf )0 , 0(),(yx取取,kxy 2442223)(),(xkxxkxkxxf 00 x

16、但是但是 不存在不存在.),(lim)0,0(),(yxfyx原因为若取原因为若取,2yx 244262)(),(yyyyyyf .41yxyxyx200limxxxx320lim)(lim320 xxx,1练习练习00ln(1)1.limxyxyxxy是否存在？解解: 利用所以极限不存在.333,0,yxyx)1ln( yxxyxyx)1ln(lim00yxx22002.lim()xyxyxy求2222ln()0000lim()limxyxyxyxxyyxye解220ln()xyxy又2222ln()2xyxy22,xyt令( , )(0,0)x y 当时0t 有，0lim lnttt又0l

17、nlim1/ttt0lim()0tt0lim ln0ttt所以222200limln()02xyxyxy即2200limln()0 xyxyxy从而，22000lim()1xyxyxye故一、一、 填空题填空题: :1 1、 若若yxxyyxyxftan),(22 , ,则则),(tytxf= =_. .2 2、 若若xyyxyxf2),(22 , ,则则 )3, 2(f_; ; ), 1(xyf_. .3 3、 若若)0()(22 yyyxxyf, ,则则 )(xf_. .4 4、 若若22),(yxxyyxf , , 则则 ),(yxf_. .函数函数)1ln(4222yxyxz 的定义域

18、是的定义域是_. .练练 习习 题题 6 6、函数、函数yxz 的定义域是的定义域是_. . 7 7、函数、函数xyzarcsin 的定义域是的定义域是_. . 8 8、函数、函数xyxyz2222 的间断点是的间断点是_. .二二、 求求下下列列各各极极限限: :1 1、 xyxyyx42lim00 ；2 2、 xxyyxsinlim00；3 3、 22222200)()cos(1limyxyxyxyx . .三、三、 证明：证明：0lim2200 yxxyyx. .四、四、 证明极限证明极限yxxyyx 11lim00不存在不存在 . .一、一、 1 1、 ),(2yxft； 2 2、12

19、13 , , ),(yxf； 3 3、 xx21 ； 4 4、 yyx 112； 5 5、 xyyxyx4, 10),(222 ； 6 6、 yxyxyx 2, 0, 0),(； 7 7、 xyxxyx , 0),( xyxxyx , 0),(； 8 8、 02),(2 xyyx. .二、二、1 1、41 ； 2 2、0 0； 3 3、 . .练习题答案练习题答案不存在不存在.观察观察26300limyxyxyx ,263图形图形yxyxz 观察观察26300limyxyxyx ,263图形图形yxyxz 不存在不存在.观察观察26300limyxyxyx ,263图形图形yxyxz 不存在不

20、存在.观察观察26300limyxyxyx ,263图形图形yxyxz 不存在不存在.观察观察26300limyxyxyx ,263图形图形yxyxz 不存在不存在.观察观察26300limyxyxyx ,263图形图形yxyxz 不存在不存在.观察观察26300limyxyxyx ,263图形图形yxyxz 不存在不存在.观察观察26300limyxyxyx ,263图形图形yxyxz 不存在不存在.观察观察26300limyxyxyx ,263图形图形yxyxz 不存在不存在.观察观察26300limyxyxyx ,263图形图形yxyxz 不存在不存在.观察观察26300limyxyxy

21、x ,263图形图形yxyxz 不存在不存在.观察观察26300limyxyxyx ,263图形图形yxyxz 不存在不存在.一、偏导数的定义及其计算法一、偏导数的定义及其计算法同理可定义同理可定义函数函数),(yxfz 在点在点),(00yx处对处对y的偏导数，的偏导数， 为为yyxfyyxfy ),(),(lim00000 记为记为00yyxxyz ，00yyxxyf ，00yyxxyz 或或),(00yxfy. .00yyxxxz ，00yyxxxf ，00yyxxxz 或或),(00yxfx.同理可以定义函数同理可以定义函数),(yxfz 对自变量对自变量y的偏导的偏导数，记作数，记作

22、yz ，yf ，yz或或),(yxfy.偏导数的概念可以推广到二元以上函数偏导数的概念可以推广到二元以上函数如如 在在 处处 ),(zyxfu ),(zyx,),(),(lim),(0 xzyxfzyxxfzyxfxx ,),(),(lim),(0yzyxfzyyxfzyxfyy .),(),(lim),(0zzyxfzzyxfzyxfzz 例例1 . 1 . 求求223yyxxz解法解法1 1xz)2, 1 (xz解法解法2 2) 2, 1(xz在点在点(1,2)(1,2)处的偏导数处的偏导数. .) 2, 1(yz,32yx yzyx23 ,82312)2, 1 (yz72213462xx

23、1)62(xx81xz231yy 2)23(yy72yz先求后代先求后代先代后求先代后求例例 2 2 设设yxz )1, 0( xx， 求求证证 zyzxxzyx2ln1 .证证 xz,1 yyx yz,ln xxyyzxxzyx ln1xxxyxyxyylnln11 yyxx .2z 原结论成立原结论成立解解 xz xyxxyxx2222211322222)(|yxyyyx .|22yxy |)|(2yy yz yyxxyxx222221132222)()(|yxxyyyx yyxx1sgn22 )0( y00 yxyz不存在不存在例例 4 4 已知理想气体的状态方程已知理想气体的状态方程R

24、TpV （R为常数） ，求证：为常数） ，求证：1 pTTVVp.证证 VRTp;2VRTVp pRTV;pRTV RpVT;RVpT pTTVVp2VRT pR RV . 1 pVRT 偏导数偏导数xu 是一个整体记号，不能拆分是一个整体记号，不能拆分;).0, 0(),0, 0(,),(,yxffxyyxfz求求设设例例如如 有关偏导数的几点说明：有关偏导数的几点说明：、 求分界点、不连续点处的偏导数要用求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求；定义求；解解xxfxx0|0|lim)0 , 0(0 0 ).0 , 0(yf 、偏导数存在与连续的关系、偏导数存在与连续的关系例如例如,函数函数

25、0, 00,),(222222yxyxyxxyyxf,依定义知在依定义知在)0 , 0(处，处，0)0 , 0()0 , 0( yxff.但函数在该点处并不连续但函数在该点处并不连续. 偏导数存在偏导数存在 连续连续.一元函数中在某点可导一元函数中在某点可导 连续，连续，多元函数中在某点偏导数存在多元函数中在某点偏导数存在 连续，连续，4、偏导数的几何意义、偏导数的几何意义,),(),(,(00000上上一一点点为为曲曲面面设设yxfzyxfyxM 如图如图几何意义几何意义: :),(22yxfxzxzxxx ),(22yxfyzyzyyy ),(2yxfyxzxzyxy ),(2yxfxyz

26、yzxyx 函函数数),(yxfz 的的二二阶阶偏偏导导数数为为纯偏导纯偏导混合偏导混合偏导定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数偏导数.二、高阶偏导数二、高阶偏导数例例 5设设13323 xyxyyxz，求求22xz 、xyz 2、yxz 2、22yz 及33xz .解解xz ,33322yyyx yz ;9223xxyyx 22xz ,62xy 22yz ;1823xyx 33xz ,62y xyz 2. 19622 yyxyxz 2, 19622 yyx原函数图形原函数图形偏导函数图形偏导函数图形偏导函数图形偏导函数图形二阶混合偏二阶混合偏导函

27、数图形导函数图形观察上例中原函数、偏导函数与二阶混合偏导观察上例中原函数、偏导函数与二阶混合偏导函数图象间的关系：函数图象间的关系：例例 6 6 设设byeuaxcos ，求求二二阶阶偏偏导导数数.解解,cosbyaexuax ;sinbybeyuax ,cos222byeaxuax ,cos222byebyuax ,sin2byabeyxuax .sin2byabexyuax 注意注意: :从例从例5 5和例和例6 6中看到中看到,22xyzyxz但这一结论并不总成立但这一结论并不总成立. .0,)(4222224224yxyxyyxxxyfyfxxy)0, 0(), 0(lim0),(yx

28、fy例如例如, ,),(yxfx)0 , 0(yxfxfxffyyxxy)0, 0()0,(lim)0 , 0(0二者不等二者不等yyy0lim1xxx0lim1),(yxf0, 022 yx4224222224,0()xx yyyxyxy0,022 yx0,222222yxyxyxyx0, 022 yx定理定理 如果函数如果函数),(yxfz 的两个二阶混合偏导数的两个二阶混合偏导数xyz 2及及yxz 2在区域在区域 D D 内连续，那末在该区域内这内连续，那末在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等两个二阶混合偏导数必相等问题：问题：混合偏导数都相等吗？具备怎样的条件才混合偏导数都相等吗？具

29、备怎样的条件才相等？相等？例例 6 6 验证函数验证函数22ln),(yxyxu 满足拉普拉满足拉普拉斯方程斯方程. 02222 yuxu解解),ln(21ln2222yxyx ,22yxxxu ,22yxyyu ,)()(2)(222222222222yxxyyxxxyxxu .)()(2)(222222222222yxyxyxyyyxyu 22222222222222)()(yxyxyxxyyuxu . 0 偏导数的定义偏导数的定义偏导数的计算、偏导数的几何意义偏导数的计算、偏导数的几何意义高阶偏导数高阶偏导数（偏增量比的极限）（偏增量比的极限） 纯偏导纯偏导混合偏导混合偏导（相等的条件）

30、（相等的条件）三、小结三、小结若函数若函数),(yxf在 点在 点),(000yxP连连续，能否断定续，能否断定),(yxf在点在点),(000yxP的偏导数必定存在？的偏导数必定存在？思考题思考题思考题解答思考题解答不能不能.,),(22yxyxf 在在)0 , 0(处处连连续续,例如例如,)(xuuf练习题练习题 设设, )(ufz 方程方程)(uu( )dxyp tt确定确定 u 是是 x , y 的函数的函数 ,)(, )(可微其中uuf)(),(utp连续连续, 且且, 1)( u求求.)()(yzxpxzyp解解:xzyuufyz)(xuuxu)()(xpyuuyu)()(ypxu

31、)(1)(uxpyu)(1)(uyp)(uf yzxpxzyp)()(yuxpxuyp)()(0定理定理.证证: :令令),(),(),(0000yxxfyyxxfyxF),(),()(00yxfyyxfx则则),(yxFxxx)(10 xyxxfyyxxfxx ),(),(010010yxyyxxfyx),(2010),(),(0000yxfyyxf),(),()(00yxfyxxfy)10(1)1,0(21,),()()(00连续都在点和若yxx,yfx,yfxyyx),(),(0000yxfyxfxyyx则则)()(00 xxx又令又令同样同样),(),(),(0000yxxfyyxxf

32、yxF),(),(0000yxfyyxf)()(00yyyyxyyxxfxy),(4030) 1,0(43),(),(0000yxfyxfxyyx）（）（因yxfyxfxyyx, 0 x故令),(4030yyxxfxy),(2010yyxxfyx在点在点)(00yx ，连续连续, ,得得0y一一、 填填空空题题: :1 1、 设设yxztanln , ,则则 xz_ _ _ _ _ _ _ _ _; ; yz_ _ _ _ _ _ _ _ _ _. .2 2、 设设 xzyxezxy则则),(_ _ _ _ _ _ _ _; ; yz_ _ _ _ _ _ _ _ _. .3 3、 设设,zy

33、xu 则则 xu_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _; ; yu_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _; ; zu_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. .4 4、 设设,arctanxyz 则则 22xz_ _ _ _ _ _ _ _ _; ; 22yz_ _ _ _ _ _ _ _; ; yxz2_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. . 练练 习习 题题 5 5、设、设zyxu)( , ,则则 yzu2_. .二、二、 求下列函数的偏导数求下列函数的偏导数: : 1 1、yxyz)1( ； 2 2、zyxu)arctan( . .三、三、 曲线曲线

34、4422yyxz, ,在点在点(2,4,5)(2,4,5)处的切线与正向处的切线与正向x轴所成的倾角是多少轴所成的倾角是多少? ?四、四、 设设xyz , ,求求.,22222yxzyzxz 和和五、设五、设)ln(xyxz , ,求求yxz 23和和23yxz . .六、六、 验证验证: : 1 1、)11(yxez , ,满足满足zyzyxzx222 ； 2 2、222zyxr 满足满足 rzzryrxr 222222. .七、设七、设 0, 00,arctanarctan),(22xyxyyxyxyxyxf 求求xyxff ,. .一、一、1 1、yxyxyxy2csc2,2csc22

35、；2 2、)1(2 yxyexy, ,)1(2 xxyexy；3 3、xxzxzyzyzyln1,1 , , xxzyzyln2 ；4 4、22222222222)(,)(2,)(2yxxyyxxyyxxy ；5 5、)ln1()(yxyzyyxz . .二、二、1 1、 xyxyxyxyyzxyyxzyy1)1ln()1(,)1(12; ;练习题答案练习题答案 2 2、zzyxyxzxu21)(1)( , , ,)(1)(21zzyxyxzyu zyxyxyxzu2)(1)ln()( . .三、三、4 . .四、四、,)1(,ln222222 xxyxxyzyyxz )1ln(12 yxyy

36、xzx. .五、五、223231, 0yyxzyxz . .七、七、 0, 0; 0, 00, 0,0,arctan2yxyxyxyxyyxyxfx, , 0, 0, 10,0, 12222yxxyyxyxxfxy. .),(),(yxfyxxf xyxfx ),(),(),(yxfyyxf yyxfy ),( 二二元元函函数数对对x和和对对y的的偏偏微微分分 二二元元函函数数对对x和和对对y的的偏偏增增量量由一元函数微分学中增量与微分的关系得由一元函数微分学中增量与微分的关系得一、全微分的定义一、全微分的定义 如果函数如果函数),(yxfz 在点在点),(yx的某邻域内的某邻域内有定义，并设

37、有定义，并设),(yyxxP 为这邻域内的为这邻域内的任意一点，则称这两点的函数值之差任意一点，则称这两点的函数值之差 ),(),(yxfyyxxf 为函数在点为函数在点 P对应于自变量增量对应于自变量增量yx ,的全增的全增量，记为量，记为z ， 即即 z =),(),(yxfyyxxf 全增量的概念全增量的概念 如果函数如果函数),(yxfz 在点在点),(yx的全增量的全增量),(),(yxfyyxxfz 可以表示为可以表示为)( oyBxAz ，其中，其中BA,不依赖于不依赖于yx ,而仅与而仅与yx,有关，有关，22)()(yx ，则称函数则称函数),(yxfz 在点在点),(yx可

38、微分，可微分，yBxA 称为函数称为函数),(yxfz 在点在点),(yx的的全微分全微分，记为，记为dz，即，即 dz= =yBxA . .全微分的定义全微分的定义 函函数数若若在在某某区区域域 D 内内各各点点处处处处可可微微分分，则则称称这这函函数数在在 D 内内可可微微分分. 如果函数如果函数),(yxfz 在点在点),(yx可微分可微分, 则则函数在该点连续函数在该点连续.事实上事实上),( oyBxAz 0000limlimlimlim ( )0,xyzA xB yo 故故函函数数),(yxfz 在在点点),(yx处处连连续续.则则二、可微的条件二、可微的条件证证如如果果函函数数)

39、,(yxfz 在在点点),(yxP可可微微分分, ),(yyxxPP的的某某个个邻邻域域)( oyBxAz 总成立总成立,当当0 y时，上式仍成立，时，上式仍成立，此时此时| x ,),(),(yxfyxxf |),(|xoxA Axyxfyxxfx ),(),(lim0,xz 同理可得同理可得.yzB 一元函数在某点的导数存在一元函数在某点的导数存在 微分存在微分存在多元函数的各偏导数存在多元函数的各偏导数存在 全微分存在全微分存在例如，例如，.000),(222222 yxyxyxxyyxf在点在点)0 , 0(处有处有0)0 , 0()0 , 0( yxff)0 , 0()0 , 0(y

40、fxfzyx ,)()(22yxyx 则则 22)()(yxyx 22()()xyxy 说说明明它它不不能能随随着着0 而而趋趋于于 0,0 当当 时，时，),()0 , 0()0 , 0( oyfxfzyx 函数在点函数在点)0 , 0(处不可微处不可微.221()()2xyxy 说明说明：多元函数的各偏导数存在并不能保证全：多元函数的各偏导数存在并不能保证全 微分存在，微分存在，定理定理（充分条件）如果函数（充分条件）如果函数),(yxfz 的偏的偏导数导数xz 、yz 在点在点),(yx连续，则该函数在点连续，则该函数在点),(yx可微分可微分证证),(),(yxfyyxxfz ),()

41、,(yyxfyyxxf ),(),(yxfyyxf ),(),(yyxfyyxxf xyyxxfx ),(1 )10(1 在第一个方括号内，应用拉格朗日中值定理在第一个方括号内，应用拉格朗日中值定理xxyxfx 1),( （依偏导数的连续性）（依偏导数的连续性）且且当当0, 0 yx时时，01 .其中其中1 为为yx ,的函数的函数,xxyxfx 1),( yyyxfy 2),( z 2121 yx, 00 故函数故函数),(yxfz 在点在点),(yx处可微处可微.同理同理( ,)( , )f x yyf x y,),(2yyyxfy 当当0 y时，时，02 ,2( ,)yfx yyy2(0

42、1)习惯上，记全微分为习惯上，记全微分为.dyyzdxxzdz 全微分的定义可推广到三元及三元以上函数全微分的定义可推广到三元及三元以上函数.dzzudyyudxxudu 通常我们把二元函数的全微分等于它的两个通常我们把二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合叠加原理也适用于二元以上函数的情况叠加原理也适用于二元以上函数的情况例例 1 1 计算函数计算函数xyez 在点在点)1 , 2(处的全微分处的全微分.解解,xyyexz ,xyxeyz ,2)1 ,2(exz ,22)1 ,2(eyz .222dyedxedz 所求全微分所

43、求全微分例例 2 2 求函数求函数)2cos(yxyz ，当，当4 x， y，4 dx， dy时的全微分时的全微分.解解),2sin(yxyxz ),2sin(2)2cos(yxyyxyz dyyzdxxzdz),4(),4(),4( ).74(82 例例 3 3 计计算算函函数数yzeyxu 2sin的的全全微微分分.解解, 1 xu,2cos21yzzeyyu ,yzyezu 所求全微分所求全微分.)2cos21(dzyedyzeydxduyzyz 例例 4 4 试证函数试证函数 )0 , 0(),(, 0)0 , 0(),(,1sin),(22yxyxyxxyyxf在在点点)0 , 0(

44、连续且偏导数存在，但偏导数在点连续且偏导数存在，但偏导数在点)0 , 0(不连续，而不连续，而f在点在点)0 , 0(可微可微.思路：按有关定义讨论；对于偏导数需分思路：按有关定义讨论；对于偏导数需分 )0 , 0(),( yx，)0 , 0(),( yx讨论讨论.证证 221sinxyxyxy因为 )0 , 0(xfxfxfx )0 , 0()0 ,(lim0, 000lim0 xx同理同理. 0)0 , 0( yf00lim( , )0(0,0)xyf x yf所以当当)0 , 0(),( yx时，时， ),(yxfx,1cos)(1sin22322222yxyxyxyxy 当当点点),(

45、yxP沿沿直直线线xy 趋趋于于)0 , 0(时时,),(lim)0,0(),(yxfxxx,|21cos|22|21sinlim330 xxxxxx不存在不存在.所以所以),(yxfx在在)0 , 0(不连续不连续.同理可证同理可证),(yxfy在在)0 , 0(不连续不连续.22)()(1sinyxyx (0,0)(0,0)(,)(0,0)00 xyffxfyfxyf (0,0)(0,0)xyffxfy 22221sin()()()()xyxyxy 说明说明: : 此题表明此题表明, , 偏导数连续只是可微的充分条件偏导数连续只是可微的充分条件. .故故),(yxf在点在点)0 , 0(可

46、微可微. 0)0,0( df22221sin()()()()xyxyxy 221()()2xy 00 多元函数连续、可导、可微的关系多元函数连续、可导、可微的关系函数可微函数可微函数连续函数连续偏导数连续偏导数连续函数可导函数可导全微分在近似计算中的应用全微分在近似计算中的应用都较小时，有近似等式都较小时，有近似等式连续，且连续，且个偏导数个偏导数的两的两在点在点当二元函数当二元函数yxyxfyxfyxPyxfzyx ,),(),(),(),(.),(),(yyxfxyxfdzzyx 也可写成也可写成.),(),(),(),(yyxfxyxfyxfyyxxfyx 例例 5 5 计算计算02.

47、2)04. 1(的近似值的近似值.解解.),(yxyxf 设函数设函数.02. 0,04. 0, 2, 1 yxyx取取, 1)2 , 1( f,),(1 yxyxyxf,ln),(xxyxfyy , 2)2 , 1( xf, 0)2 , 1( yf由公式得由公式得02. 0004. 021)04. 1(02. 2 .08. 1 、多元函数全微分的概念；、多元函数全微分的概念；、多元函数全微分的求法；、多元函数全微分的求法；、多元函数连续、可导、可微的关系、多元函数连续、可导、可微的关系（注意：与一元函数有很大区别）（注意：与一元函数有很大区别）三、小结三、小结 函数函数),(yxfz 在点在

48、点),(00yx处可微的充分条件是处可微的充分条件是:（1）),(yxf在点在点),(00yx处连续；处连续；（2）),(yxfx 、),(yxfy 在点在点),(00yx的的 某邻域存在；某邻域存在；（3）yyxfxyxfzyx ),(),(， 当当0)()(22 yx时是无穷小量；时是无穷小量；（4）22)()(),(),(yxyyxfxyxfzyx , 当当0)()(22 yx时是无穷小量时是无穷小量.思考题思考题一、一、 填空题填空题: :1 1、 设设xyez , ,则则 xz_； yz_； dz_._.2 2、 若若)ln(222zyxu , ,则则 du_._.3 3、 若函数若

49、函数xyz , ,当当1, 2 yx, ,2 . 0, 1 . 0 yx时时, ,函数的全增量函数的全增量 z_;_;全微分全微分 dz_._.4 4、 若 函 数若 函 数yxxyz , , 则则xz对对的 偏 增 量的 偏 增 量 zx_;_; xzxx0lim _. _.练练 习习 题题二、二、 求函数求函数)1ln(22yxz 当当, 1 x 2 y时的全微分时的全微分. .三、三、 计算计算33)97. 1()02. 1( 的近似值的近似值. .四、四、 设有一无盖园柱形容器设有一无盖园柱形容器, ,容器的壁与底的厚度均为容器的壁与底的厚度均为cm1 . 0，内高为，内高为cm20,

50、 ,内半径为内半径为cm4, ,求容器外壳体求容器外壳体积的近似值积的近似值. .五、五、 测得一块三角形土地的两边边长分别为测得一块三角形土地的两边边长分别为m1 . 063 和和m1 . 078 , ,这两边的夹角为这两边的夹角为0160 . .试求三角形面积试求三角形面积的近似值的近似值, ,并求其绝对误差和相对误差并求其绝对误差和相对误差. .六六、利利用用全全微微分分证证明明: :乘乘积积的的相相对对误误差差等等于于各各因因子子的的相相对对误误差差之之和和; ;商商的的相相对对误误差差等等于于被被除除数数及及除除数数的的相相对对误误差差之之和和. .七、求函数七、求函数 ),(yxf

51、 0,00,1sin)(22222222yxyxyxyx 的偏导数的偏导数, ,并研究在点并研究在点)0 , 0(处偏导数的连续性及处偏导数的连续性及 函数函数),(yxf的可微性的可微性. .一、一、1 1、)(1,1,2dydxxyexexexyxyxyxy ；2 2、222)(2zyxzdzydyxdx ； 3 3、-0.119,-0.125-0.119,-0.125；4 4、yyxyy1,)1( . .二、二、dydx3231 . . 三、三、2.95. 2.95. 四、四、3cm3 .55. .五、五、%.30. 1 ,m6 .27,m212822七、七、),(),(yxfyxfyx

52、 在在)0 , 0(处均不连续处均不连续, , ),(yxf在点在点(0,0)(0,0)处可微处可微. .练习题答案练习题答案证证),()(tttu 则则);()(tttv 一、链式法则一、链式法则，获得增量获得增量设设tt 22( ),zzzuvouvuv ( )zzuzvotutvtt0lim,tudutdt 0000( )limlimlimlimttttzzuzvotutvtt 0lim,tvdvtdt 00( )( )limlimttoott 00lim.tdzzz duz dvdttu dtv dt 22002222200( )limlim( )limlim0()()0ttouvto

53、uvdudvtdtdt 上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况.则则dtdwwzdtdvvzdtduuzdtdz uvwtz以上公式中的导数以上公式中的导数 称为称为dtdz( , , ),( ),( ),( )zf u v wuu tvv tww t例如由( ( ), ( ), ( )zf u t v t w t复合得到： 上定理还可推广到中间变量不是一元函数上定理还可推广到中间变量不是一元函数而是多元函数的情况：而是多元函数的情况：).,(),(yxyxfz 如果如果),(yxu 及及),(yxv 都在点都在点),(yx具有对具有对x和和y的偏

54、导数，且函数的偏导数，且函数),(vufz 在对应在对应点点),(vu具有连续偏导数，则复合函数具有连续偏导数，则复合函数),(),(yxyxfz 在对应点在对应点),(yx的两个偏的两个偏导数存在，且可用下列公式计算导数存在，且可用下列公式计算 xvvzxuuzxz ， yvvzyuuzyz .uvxzy链式法则如图示链式法则如图示 xz uzxu vz,xv yz uzyu vz.yv zwvuyx特殊地特殊地),(yxufz ),(yxu 即即,),(yxyxfz ,xfxuufxz .yfyuufyz 令令,xv , yw 其中其中, 1 xv, 0 xw, 0 yv. 1 yw把把)

55、,(yxufz 中中的的u及及y看看作作不不变变而而对对x的的偏偏导导数数两者的区别两者的区别区别类似区别类似例例 1 1 设设vezusin ，而，而xyu ，yxv ， 求求 xz 和和yz .解解 xz uzxu vzxv 1cossin veyveuu),cossin(vvyeu yz uzyu vzyv 1cossin vexveuu).cossin(vvxeu 例例 2 2 设设tuvzsin ，而而teu ，tvcos ， 求求全全导导数数dtdz.解解tzdtdvvzdtduuzdtdz ttuvetcossin ttetettcossincos .cos)sin(costtt

56、et 例例 3 3 设设),(xyzzyxfw ，f具有二阶具有二阶 连续偏导数，求连续偏导数，求xw 和和zxw 2. .解解令令, zyxu ;xyzv 记记,),(1uvuff ,),(212vuvuff 同理有同理有,2f ,11f .22f xwxvvfxuuf ;21fyzf wvuzyx zxw2)(21fyzfz ;221zfyzf yzf zf1zvvfzuuf 11;1211fxyf zf2zvvfzuuf 22;2221fxyf 于是于是 zxw21211fxyf 2f y )(2221fxyfyz .)(22221211f yf zxyfzxyf vuzyx12,ff解

57、 令cos,sinxryr则22,arctan,yrxyx于是( , )( cos , sin )uf x yf rr22( , )(,arctan)yF rFxyxuryxuu ruxrxx 2sincosu xu yuur rrrr,rxxr x2xy2)(1xy22yxyuryx22,arctan,yrxyxuu ruyryy 222221()()()()uuuuxyrr从而从而2cossinu yuxuur rrrr2221)(1,yxxyryyrxyxuryx22,arctan,yrxyx22sin(cos)uuuxxrrsin(cos )()uuxrxr()cos(cos )uux

58、rrx sinsin()()uuxrxr,uurryx222()ururxrx cos( sin)urx222sin()ururxxr 2cossinrruxxr2222222222sincossincos22sincossinuuurrrruurrr ,uurryx222222222222sincoscossin22sincoscosuuuuyrrrruurrr 同理可得同理可得从而从而22222222211uuuuuxyrrrr解 分析： gfufvffyxxuxv xuv gfufvffxyyuyv yuv 221( , ),()2gf u v uxy vxy221( , ),(),2g

59、 x yf xyxy是由 复合而成 所以22()ggxxx()ffyxxuv()()fffyxxuvxv222222()()fufvffufvyxuxu v xvv uxvx 22222222fffffyxyxyxuu vvv uv 22222222ffffyxyxuu vvv ,ffuvuvyx同理可得同理可得222222222()()()()2ggffxyyyyyuvfffxyyuvyvffffxxyyuv uvv 所以所以22222222222222()()ggffxyxyxyxyuv 设函数设函数),(vufz 具有连续偏导数，则有全微分具有连续偏导数，则有全微分dvvzduuzdz

60、;当当),(yxu 、),(yxv 时，有时，有dyyzdxxzdz .全微分形式不变形的实质全微分形式不变形的实质： 无论无论 是自变量是自变量 的函数或中间变量的函数或中间变量 的函数，它的全微分形式是一样的的函数，它的全微分形式是一样的.zvu、vu、二、全微分形式不变性二、全微分形式不变性dxxvvzxuuz dyyzdxxzdz dyyvvzyuuz dyyudxxuuz dyyvdxxvvzduuz .dvvz 解解, 0)2( zxyezed, 02)( dzedzxydezxy)()2(ydxxdyedzexyz dyexedxeyedzzxyzxy)2()2( xz ,2 z