小波变换与应用(第六章)

1、2022-2-10小波分析与应用第六章第六章 小波变换与应用小波变换与应用6.1 6.1 短时傅立叶变换与小波分析短时傅立叶变换与小波分析6.2 6.2 小波变换的特点及其基本性质小波变换的特点及其基本性质6.3 6.3 多分辨力小波分析的基本框架多分辨力小波分析的基本框架6.4 6.4 双正交滤波器组的设计双正交滤波器组的设计6.5 6.5 时时- -频信号分析的频信号分析的MatlabMatlab仿真仿真 本章小结本章小结2022-2-10小波分析与应用 前面主要讨论统计量前面主要讨论统计量不随时间变化不随时间变化的的平稳信号平稳信号的数学处的数学处理方法。但实际信号却往往有某个统计量是时

2、间的函数，这理方法。但实际信号却往往有某个统计量是时间的函数，这类信号统称为类信号统称为非平稳信号非平稳信号。例如，绝大多数机电系统的早期例如，绝大多数机电系统的早期故障信号、目标运动时雷达和声纳信号均为非平稳信号。故障信号、目标运动时雷达和声纳信号均为非平稳信号。 虽然虽然卡尔曼滤波卡尔曼滤波、递推最小二乘法递推最小二乘法和和LMSLMS自适应滤波自适应滤波等等也适用于处理非平稳信号，但这些算法仅限于也适用于处理非平稳信号，但这些算法仅限于慢时变信号慢时变信号的的跟踪。当信号的统计特性随时间流逝而发生显著变化时，只跟踪。当信号的统计特性随时间流逝而发生显著变化时，只能用信号的能用信号的瞬时统

3、计特性（局部性能）来表征描述非平稳信瞬时统计特性（局部性能）来表征描述非平稳信号号，对此，对此经典经典的的傅立叶变换傅立叶变换不再是有效的数学工具了。因为不再是有效的数学工具了。因为傅立叶变换是针对傅立叶变换是针对全局信号全局信号进行的变换，反映信号统计特性进行的变换，反映信号统计特性的傅立叶谱，完全不具备的傅立叶谱，完全不具备某一频率分量发生时刻某一频率分量发生时刻的信息。这的信息。这就促使去寻找一种就促使去寻找一种联合时域联合时域和和频域频域的的二维分析方法二维分析方法，来研究，来研究信号的瞬时统计性能，这就是所谓的信号的瞬时统计性能，这就是所谓的时时- -频分析频分析方法。方法。2022

4、-2-10小波分析与应用 非平稳信号的时频分析方法同样可以分为非平稳信号的时频分析方法同样可以分为线性线性和和非线性非线性变换两大类，本章主要是从工程实现的角度出发，介绍目前变换两大类，本章主要是从工程实现的角度出发，介绍目前分析非平稳信号最常用的分析非平稳信号最常用的线性变换方法线性变换方法小波变换小波变换。6.1 6.1 短时傅立叶变换与小波分析短时傅立叶变换与小波分析 先考察声纳进行谱线检测与跟踪时的一种典型工作情先考察声纳进行谱线检测与跟踪时的一种典型工作情况。在图况。在图6-1(a)中，中，A是是目标舰艇目标舰艇，它以，它以恒定速度恒定速度 v 运动，运动，B是是一一静止静止的的声纳

5、浮标声纳浮标（水声传感器水声传感器）。）。A 与与 B 之间的之间的距离距离 rk是是随时间随时间 k 而变化的而变化的。 令水声传感器的位置在目标舰线上的令水声传感器的位置在目标舰线上的投影点为投影点为0，并，并以以目标舰到达目标舰到达0点点的的时刻时刻作为作为时间原点时间原点k= 0，则，则距离线距离线与与目标目标线线的的夹角余弦夹角余弦可表示为可表示为2022-2-10小波分析与应用1001005050-100-100 -50-50 0 0(c)(c)时间时间secs-4-4-3-3-2-2-1-12 21 13 34 45 50 0频率频率 HzHz600600500500400400

6、f0( (1-v/c) )f0( (1+v/c) )f0fkk secsk=0rkkBvA(a)(a)(b)(b)图图6-1 (a) 6-1 (a) 目标舰目标舰A A相对于水听器相对于水听器B B的运动的运动 (b) (b) 接收信号瞬时频率的变化情况接收信号瞬时频率的变化情况 (c) (c) 时时- -频图频图kkrkvcos2022-2-10小波分析与应用 记记 f0为目标舰辐射谱线频率，则由于为目标舰辐射谱线频率，则由于多普勒效应多普勒效应，水声，水声传感器检测到的信号瞬时频率为传感器检测到的信号瞬时频率为 fk 随时间随时间 k 变化的情况以及相应的时变化的情况以及相应的时-频图分别

7、由图频图分别由图6-1(b)和图和图6-1(c)表示。由图可见，当目标距离越近时，信号频表示。由图可见，当目标距离越近时，信号频率随时间的变化速率越快，最需要密切监视目标舰和采取必率随时间的变化速率越快，最需要密切监视目标舰和采取必要的措施。因此，如果没有很好的方法处理快速变化的信要的措施。因此，如果没有很好的方法处理快速变化的信号号，图图6-1(c)时频曲线时频曲线中间过渡部分中间过渡部分将变得将变得模糊不清模糊不清。这不。这不仅无法跟踪（锁定）目标，而且还丧失了检测能力。仅无法跟踪（锁定）目标，而且还丧失了检测能力。 由于经典的傅立叶变换仅在频域里有局部分析（频谱的由于经典的傅立叶变换仅在

8、频域里有局部分析（频谱的分布）的能力，而在时域里不存在这种能力（时域波形完全分布）的能力，而在时域里不存在这种能力（时域波形完全)(1)cos(1200kkkrckvfcvff2022-2-10小波分析与应用不包含任何频域信息），因而，无法处理上述调频信号问不包含任何频域信息），因而，无法处理上述调频信号问题，至于第五章介绍的自适应谱线增强器，基本上可以解决题，至于第五章介绍的自适应谱线增强器，基本上可以解决这一类问题，但效果不好。这一类问题，但效果不好。1946年，年，Dennis Gabor 引进了短引进了短时傅立叶变换时傅立叶变换（Short-time Fourier Transform

9、，STFT）以以及随后发展起来的及随后发展起来的时时- -频信号处理频信号处理方法，可以较好的解决非方法，可以较好的解决非平稳信号的处理问题。平稳信号的处理问题。 STFTSTFT的基本思路是：的基本思路是：把信号划分成许多小的时间间把信号划分成许多小的时间间隔，用傅立叶变换分析每一时间间隔，以便确定该时间间隔隔，用傅立叶变换分析每一时间间隔，以便确定该时间间隔存在的频率。下面就介绍这一思路的数学表示方法。存在的频率。下面就介绍这一思路的数学表示方法。6.1.1 6.1.1 短时傅立叶变换短时傅立叶变换 STFT 是对信号是对信号 x(t) 施加一个实施加一个实滑动窗滑动窗 w(t-)（ 反映

10、反映滑动窗的位置滑动窗的位置）后，再作傅立叶变换，即）后，再作傅立叶变换，即2022-2-10小波分析与应用（.1） 它也可以看作是它也可以看作是 x(t) 与调频信号与调频信号 g(t)=w(t-)e jt 的内积；其的内积；其中，中， 移位因子，移位因子，角频率。角频率。 在这个变换中，在这个变换中，w(t) 起着起着时限作用时限作用，随着时间，随着时间 的变的变化，化，w(t) 所确定的所确定的 “时间窗时间窗” 在在 t 轴上移动，轴上移动，“逐渐逐渐”对对 x(t) 进进行行分析分析, 故故 STFTx(，) 大致反映了信号大致反映了信号x(t) 在时刻在时刻 含有频

11、率成分为含有频率成分为 的相对含量的相对含量，如图，如图6-2所示。所示。 这样，信这样，信号在滑动窗上展开就可以表示为号在滑动窗上展开就可以表示为-t/2 ,+t/2、-/2，+/2 其中，其中，t 和和 分别称为窗口的分别称为窗口的 时宽时宽和和频宽频宽，它们表示时，它们表示时频分析的分辨力。频分析的分辨力。ttwtxtxde)()(),(STFTj 2022-2-10小波分析与应用 在实际应用中，希望在实际应用中，希望窗函窗函 w(t) 是一个是一个“窄窄”的的时间函数时间函数，以便于以便于细致观察细致观察 x(t) 时宽时宽t 内的变化状况；基于同样的理内的变化状况；基于同样的理由，还

12、由，还希望希望 w(t) 的的频带频带 也也很窄很窄，以可以仔细观察，以可以仔细观察 x(t) 的在频带的在频带 区间内的频谱。区间内的频谱。 但海森伯格但海森伯格（Heienberg）的）的测不准原理测不准原理（UncertaintyPrinciple）5指出指出t 和和 是是相互制约相互制约的，两者不可能都的，两者不可能都OOx( (t) )w( (t-) )图图6-2 6-2 短时傅立叶变换的时频特点短时傅立叶变换的时频特点STFTSTFTt2022-2-10小波分析与应用任意小，事实上，窗口的面积必须满足：任意小，事实上，窗口的面积必须满足：t 当且仅当当且仅当w(t) 为高斯函数时，

13、等号才成立。为高斯函数时，等号才成立。 例例6-16-1 假定假定 w(t)是高斯型的，当是高斯型的，当=0 时，有时，有 对于固定频率对于固定频率=0 0, 调频信号调频信号及其及其傅立叶变换傅立叶变换分别为分别为 由于由于0 只影响只影响 g(t) 中的中的复指数因子复指数因子，因此，从，因此，从时域时域上上看，当看，当0 变为变为 20 时，时，g(t) 的的包络不变包络不变，只是包络线下的，只是包络线下的谐波频率发生变化，如图谐波频率发生变化，如图 6-3（a）所示；从）所示；从频域频域上看，当上看，当(4exp)()exp(j)exp()(2002TTGtTttg)/exp()(2T

14、ttw 2022-2-10小波分析与应用020 ttg(t)=exp( (-t2/T) )cos20 t 20 0 0 /210G( () )=T exp -T( (-0 ) )2/4 G( () )=T exp -T( (-20 ) )2/4 g(t)=exp( (-t2/T) )cos0 t( (a) )( (b) )图图6-36-3 STFTSTFT的分析特点的分析特点 （a a） 频率变化的影响；（频率变化的影响；（b b） 基本分析单元的特点基本分析单元的特点OO2022-2-10小波分析与应用0 变为变为20 时，时，G() 的的中心频率变成中心频率变成 20 ，但，但带宽带宽仍保

15、仍保持持不变不变。由此可见，当窗函数。由此可见，当窗函数 w(t) 选定后，时频分辨力也就选定后，时频分辨力也就随之确定了随之确定了,也就是说也就是说 STFT STFT 的的时窗宽度时窗宽度与与频窗宽度频窗宽度是是固定固定的，其实质是只具有的，其实质是只具有单一的分辨力单一的分辨力，如图，如图 6-3(b)6-3(b) 所示。所示。 若要改变分辨力，则必须重新选择窗函数。而在实际应若要改变分辨力，则必须重新选择窗函数。而在实际应用中，对于非平稳信号，用中，对于非平稳信号，当信号波形发生剧烈变化的时刻当信号波形发生剧烈变化的时刻，主频是主频是高频高频，因此，必须选取，因此，必须选取“窄窄”的窗

16、函数，以的窗函数，以提高时域提高时域分分辨力辨力，但与，但与“窄窄”的窗函数的窗函数 g(t) 相对应的频谱带宽则较宽；相对应的频谱带宽则较宽；当当信号波形变化比较平缓的时刻信号波形变化比较平缓的时刻，主频是，主频是低频低频，故又要求的频，故又要求的频谱谱G()必须是必须是“窄窄”的，才能的，才能提高频域分辨力提高频域分辨力，但与，但与“窄窄”的的G()对应的对应的窗函数窗函数则则较宽较宽 。显然，。显然，STFT不能兼顾不能兼顾时域分时域分辨力辨力和和频域分辨力。频域分辨力。这就需要能够根据信号波形主频的变化这就需要能够根据信号波形主频的变化而而 “自适应自适应” 改变窗函数的数学变换改变窗

17、函数的数学变换小波变换。小波变换。2022-2-10小波分析与应用6.1.2 6.1.2 连续小波分析连续小波分析 设设 x( (t) ) 是平方可积函数是平方可积函数 即即 x(t)L2(R) ，(t) 是基本小是基本小波或母小波（波或母小波（mother wavelet）函数，则称）函数，则称（.2）为为 x(t) 的小波变换。式中的小波变换。式中 a 0, 称为称为尺度因子尺度因子；b反映反映时间位时间位移移，其值可正可负。符号，其值可正可负。符号表示内积，而表示内积，而是基本小波的是基本小波的位移位移和和尺度伸缩尺度伸缩，也称之为，也称之为(t)的的生成小波生成小波。

18、由于式（由于式（.2）中的）中的 t ，a 和和b 均为连续变量，因此称均为连续变量，因此称之为之为连续小波变换连续小波变换（CWT）。）。 )(),(d)()(1),(WT*ttxtabttxabaabx)(1)(abtatab 2022-2-10小波分析与应用 关于式（关于式（.2），应作如下几点说明：），应作如下几点说明：（1）基本小波）基本小波(t)可以是复解析信号。例如可以是复解析信号。例如便是解析信号，它是高斯包络下的复指数函数，其便是解析信号，它是高斯包络下的复指数函数，其虚部虚部是是实实部部的的希尔伯特（希尔伯特（Hilbert）变换）变换（he

19、lp Hilbert / Matlab)：其中，其中，* 表示卷积。表示卷积。（2 2）尺度因子尺度因子a 愈大愈大,(t/a)愈宽愈宽，反之亦然反之亦然。对于一个。对于一个持续时间有限的小波，持续时间有限的小波，(t) 与与ab(t) 之间的关系以及不同尺之间的关系以及不同尺度度a下小波分析区间的变化可用图下小波分析区间的变化可用图6-46-4 表示。表示。 tTttTttTtt020202sin)/exp(jcos)/exp()exp(j)/exp()( ttTttTtt1cos)/jexp(cos)/exp()(02022022-2-10小波分析与应用图图6-4 6-4 小波的位移与伸缩

20、及其不同小波的位移与伸缩及其不同 a 值下小波分析区间的变化值下小波分析区间的变化( (t-b) )，移位，移位ttb0ba02a03a04a0a(t-b)/)/a, , a=2bb( (t) )(t/a)，a=2，伸缩，伸缩tt时间分辨宽度时间分辨宽度2022-2-10小波分析与应用 从图中可以看出，小波的持续时间随从图中可以看出，小波的持续时间随 a 的增大而加宽，的增大而加宽，幅度则与幅度则与a 成反比，但波形形状保持不变。成反比，但波形形状保持不变。 （3）ab(t )前加因子前加因子 1/a 的目的是使不同的的目的是使不同的 a 值下值下ab(t) 的能量保持不变。的能量保持不变。

21、（4）式（）式（.2）定义的内积，往往被不严格地解释成）定义的内积，往往被不严格地解释成卷积。这是因为卷积。这是因为 两式相比，区别仅在两式相比，区别仅在(t-b) 改成改成 (b - t) = -(t-b)，即，即(t)的首尾对调。的首尾对调。 如果如果(t) 是关于是关于 t = 0 对称对称的函数，则计算的函数，则计算结果结果是是一样一样的；如的；如非对称非对称，在计算方法上也，在计算方法上也没有本质区别没有本质区别。 ttbtxbbtbxttxtbttxbttxd)()(d)()()(*)(d)()()(),(*卷积：内积：2022-2-10小波分析与应用 下面介绍小波

22、变换在频域上的特点。如果下面介绍小波变换在频域上的特点。如果()是幅频是幅频特性比较集中的带通函数，式特性比较集中的带通函数，式（.2）在频域上可表示为在频域上可表示为（.3） 证明：证明：由傅立叶变换的性质由傅立叶变换的性质 F x(-t)=X(-)，F x*(t)=X*(-) 和卷积定理，有和卷积定理，有 所以所以d)exp(j)()(2),(WT*baXabax )()()(*)(*FT*Xttx )()()(*)(1*FT*aXaattxa 2022-2-10小波分析与应用于是于是由此可见，对于幅频特性比较集中的带通函数由此可见，对于幅频特性比较集中的带

23、通函数()，例，例如，如， *(a) 的幅频特性集中于某一频率点的幅频特性集中于某一频率点0 /a ，则，则小波小波变换变换就具有就具有表征表征待分析待分析信号信号 X()在在频率点频率点0 /a附近附近的的局部局部性质性质的能力。的能力。 例例6-26-2 假定小波假定小波(t) 是高斯型的，即是高斯型的，即Morlet小波小波 的频谱的频谱()为为)()(Fd)exp(j)()(2),(WT*1*aXabaXabax)exp(j)/exp()(02tTtt )(4exp)(20TT2022-2-10小波分析与应用 由于由于()是中心频率在是中心频率在0 处的高斯型函数，如图处的高斯型函数，

24、如图6-5(a)所所示，因此可以表征示，因此可以表征 X() 在在0 附近的局部性质。附近的局部性质。 如果采用不同的尺度伸缩因子如果采用不同的尺度伸缩因子a，(a) 的中心频率和的中心频率和带宽将发生变化。例如当带宽将发生变化。例如当 a=2 时，时，(t /2) 的傅立叶变换为的傅立叶变换为( (a) ) Q = 0 / B|( ()|)|B0| ( ()|)|B= B / a0 / a( (b) ) Q=( (0 / a)/()/(B/a) )=Q图图6-5 6-5 尺度伸缩时小波函数的品质因数不变尺度伸缩时小波函数的品质因数不变)2(exp2)(22)2(F20TTt2022-2-10

25、小波分析与应用 可见可见, ,此时中心频率降到此时中心频率降到0 /2，而，而( (-3 3dB) )带宽也由带宽也由2T-1/2 变为变为 T-1/2 ，如图，如图6-5(b)所示，故所示，故|(a)|的品质因数不变。的品质因数不变。 总之，从频域上看，总之，从频域上看，用不同的尺度作小波变换，相当于用不同的尺度作小波变换，相当于用一组中心频率不同的带通滤波器对信号进行处理。用一组中心频率不同的带通滤波器对信号进行处理。带通滤带通滤波器的作用是对信号进行分解或者调谐。波器的作用是对信号进行分解或者调谐。 图图6-66-6 表示小波变换在时表示小波变换在时-频平面上的基本特点：频平面上的基本特

26、点： 当当 a 值小时值小时，(t/a) 很很“窄窄”，因此在时轴上的观测范，因此在时轴上的观测范围围小，可以小，可以“细致观察细致观察”时域波形时域波形的变化；而在的变化；而在频域上频域上相当于相当于用用较高频率较高频率的的小波小波，对信号的频谱作，对信号的频谱作分辩力较低分辩力较低的分析。的分析。 当当 a 值较大时值较大时，(t/a) 变变“宽宽”，时轴上的观测范围大，时轴上的观测范围大，可以可以“初略观察初略观察”时域波形时域波形；而在频域上相当于用；而在频域上相当于用低频小波低频小波对对信信号作号作分辩力较高分辩力较高的分析。的分析。 分析频率有高有低，但在各分析频段内的品质因数分析

27、频率有高有低，但在各分析频段内的品质因数 Q 却却2022-2-10小波分析与应用保持恒定。保持恒定。带宽带宽时窗宽时窗宽(b b)(a)(a)( (t) )0 / 20( (2) )( () )( (t / 2) )b1b0btt20a=1/20a=10 / 2a=2a=1a=2图图6-6 6-6 小波函数的时频分析特点：小波函数的时频分析特点：（a a） 尺度变化；（尺度变化；（b b）基本单元的分辨力）基本单元的分辨力2022-2-10小波分析与应用 这种分析特点是工程实际所期望的：这种分析特点是工程实际所期望的： 对于对于高频信号高频信号，希望在，希望在时域时域有较高的有较高的分辨力分

28、辨力，而在，而在频域频域分辨力分辨力则允许相应地则允许相应地降低降低，因此就要求用小尺度因子，因此就要求用小尺度因子a的的窄窄小波小波来来 “仔细观测仔细观测” 时域波形时域波形x(t)； 对于对于低频信号低频信号，希望提高，希望提高频域频域上的上的分辨力分辨力，而，而时域分辨时域分辨力力则可以则可以降低降低要求，此时，就应当用具有较大尺度因子要求，此时，就应当用具有较大尺度因子a窄窄带频谱带频谱的小波来的小波来“仔细观测仔细观测”频谱频谱 X()。 小波分析小波分析恰恰具有这种恰恰具有这种自动调整时域自动调整时域和和频域频域的的“视野视野”的的大小大小和和分析频率分析频率的的高低高低，从而保

29、证了各分析频段内的品质因，从而保证了各分析频段内的品质因数数Q 的不变性。而的不变性。而 STFT不具有分析频率降低（或增大）不具有分析频率降低（或增大）时，在时域上的视野自动扩大（或变小）的特点，也不具有时，在时域上的视野自动扩大（或变小）的特点，也不具有品质因数品质因数 Q 恒定的特征。恒定的特征。2022-2-10小波分析与应用6.2 6.2 小波变换的特点及其基本性质小波变换的特点及其基本性质 小波变换的特点是它没有小波变换的特点是它没有固定固定的的核函数核函数；此外，也；此外，也不是不是任何函数任何函数都可作为都可作为基本小波基本小波进行小波变换，它们必须满足一进行小波变换，它们必须

30、满足一定的条件，其反变换才存在。下面就介绍这一方面的内容。定的条件，其反变换才存在。下面就介绍这一方面的内容。6.2.1 6.2.1 小波变换的反演公式小波变换的反演公式 设设( (t) )L2( (R) )，( (t) )的傅立叶变换为的傅立叶变换为( () )，当，当( () )满足容许条件（满足容许条件（admissible condition）:时，才能由小波变换时，才能由小波变换WTx(a,b) 反演原函数反演原函数 x(t)，此时，此时（.1） d| )(|2RC 02d)(1),(WTd1)(babtabaaaCtxx2022-2-10小波分析与应用 证明：证明：

31、 根据根据Parseval定理的广义形式，有定理的广义形式，有（i）由于由于（ii）将式（将式（）代入（）代入（），就有），就有 ) exp(j) (21) (),()(1d)()(21)(),(),(WT*dttttabtaXttxbaababababx)jexp()()(F)(*baatabab d) exp(j| )(| )(2dd)() exp(j) ()()(2ddd)expj() exp(j) ()()()(2d)(1),(WT2*2taXataaXabbtaaXababtabax 2022-2-10小波分析与应用于是于是上式两边同除以上式两边同除以C，即可得到式（，即可得到式（6

32、.）。）。 由容许条件可以推出：能用作基本小波由容许条件可以推出：能用作基本小波(t)的函数至少的函数至少必须满足必须满足()| =0 =0。 亦即亦即(t) 必须是必须是零均值零均值的的、正负、正负交替交替的的振荡波形振荡波形，这便是称之为，这便是称之为“小波小波”的缘由。此外，还的缘由。此外，还可可以推断以推断()必须具有必须具有带通特性带通特性，才能满足容许条件。下面，才能满足容许条件。下面介绍工程上常用的小波函数。介绍工程上常用的小波函数。) () (),(d) exp(j)()d(| )(|21d)(1),(WTd0202txCtttxCtXaaababtabaaax

33、 2022-2-10小波分析与应用 （1）Haar 小波：小波：Haar函数是最简单的小波，它定义为函数是最简单的小波，它定义为 在在Matlab平台上，输入平台上，输入waveinfo(haar) 命令，来获得命令，来获得Haar函数的一些主要性质。函数的一些主要性质。 （2）Morlet 小波：小波：Morlet函数是高斯包络下的单频复正函数是高斯包络下的单频复正弦函数，即弦函数，即 在在Matlab中，输入命令中，输入命令waveinfo(morl) 可以获得该函数可以获得该函数的一些主要性质。的一些主要性质。 其它0,12/11,2/101,)(ttt)(exp2)()exp(j2)/

34、exp()(202 ttt02022-2-10小波分析与应用 （3）Mexican Hat 小波：小波： mexh函数为函数为它是高斯函数的二阶倒数，其波形像墨西哥帽。它是高斯函数的二阶倒数，其波形像墨西哥帽。mexh函数函数在时域和频域都有很好的局部化分析能力，并满足容许条在时域和频域都有很好的局部化分析能力，并满足容许条件。件。 在在Matlab中中mexh 函数可能与上述定义的函数相差一个函数可能与上述定义的函数相差一个常数因子。常数因子。 （4）DOG (Difference of Gaussion) 小波：小波： DOG函数是函数是两个不同尺度的高斯函数之差：两个不同尺度的高斯函数之

35、差：2)/exp()(2)/exp()(1)(2222 ttt)2exp(2)/exp(2)(8)/exp(212)/exp()(2222 ttt2022-2-10小波分析与应用它同样满足容许条件。该小波虽未收入它同样满足容许条件。该小波虽未收入Matlab工具箱中，但工具箱中，但也是一个常用的小波函数。也是一个常用的小波函数。 此外，此外，Matlab小波工具箱中，还有小波工具箱中，还有Daubechies( (dbN) )小波系、小波系、Coiflet( (coifN) ) 小波系和小波系和 SymletsA( (symN) ) 小波系小波系等，读者可自行查阅。等，读者可自行查阅。 在在M

36、atlab中，连续小波变换可以用中，连续小波变换可以用cwt 函数实现。函数实现。6.2.2 6.2.2 小波变换的基本性质小波变换的基本性质 连续小波变换具有以下重要性质：连续小波变换具有以下重要性质：（1 1）线性性质：）线性性质：如果如果 x(t) 的的 CWT 是是 WTx(a,b)，y(t) 的的CWT是是 WTy(a,b)，则有，则有),(WT),(WT)()(CWT2121bakbaktyktxkyx 2022-2-10小波分析与应用 （2 2）平移不变性：）平移不变性：若若 x(t) 的的CWT是是 WTx(a,b)，则，则x(t-t0)的小波变换为的小波变换为这说明这说明 x

37、( (t) ) 的时移对应于的时移对应于 WTx( (a,b) ) 中中 b 的平移的平移。 （3 3）伸缩共变性：）伸缩共变性：若若x( (t) ) 的的CWT是是 WTx( (a,b) )，则，则 x( (kt) ) 的小波变换为的小波变换为 证明：证明：令令x(t)= x(kt)，则，则),(WT)(CWT00tbattxx 0),(WT1)(CWT kkbkakktxx),(WT1 d)(*) (11d)/ (*) (1d)(*)(1),(WTkbkaktkakbttxkaktabkttxakktttabtktxabaxx2022-2-10小波分析与应用 该性质表明当信号该性质表明当信

38、号 x(t) 作某一倍数伸缩时，其小波变换作某一倍数伸缩时，其小波变换将在将在 (a,b) 两轴上作同一比例的伸缩，但不发生波形的失两轴上作同一比例的伸缩，但不发生波形的失真。这正是小波变换具有真。这正是小波变换具有“数学显微镜数学显微镜”功能的重要依据。功能的重要依据。 （4 4）自相似性：）自相似性： 对应于不同尺度因子对应于不同尺度因子a 和不同平移参和不同平移参数数 b 的连续小波变换之间是自相似的。的连续小波变换之间是自相似的。 证明：证明：由于小波族由于小波族ab(t) 是同一基小波是同一基小波(t) 经过伸缩和经过伸缩和平移获得的，而连续小波又具有平移获得的，而连续小波又具有平移

39、不变性平移不变性和和伸缩共变性伸缩共变性，所以在不同的所以在不同的 (a,b) 点的连续小波变换具有自相似性，即性点的连续小波变换具有自相似性，即性质（质（4 4）成立。）成立。 （5 5）冗余性：）冗余性：连续小波变换中存在信息表述的冗余度连续小波变换中存在信息表述的冗余度（redundancy）。连续小波变换的冗余性实际上也是自相似）。连续小波变换的冗余性实际上也是自相似性和伸缩共变性的直接反映，它表现在以下两个方面：性和伸缩共变性的直接反映，它表现在以下两个方面：2022-2-10小波分析与应用 由连续小波变换恢复原信号的由连续小波变换恢复原信号的反演公式反演公式不是不是唯一唯一的，这的

40、，这与傅立叶变换是不一样的。与傅立叶变换是不一样的。 小波变换的核函数（即小波族小波变换的核函数（即小波族ab(t)）存在多种可能的）存在多种可能的选择。例如，小波族选择。例如，小波族ab(t)可以是可以是非正交小波非正交小波、正交小波正交小波或或双正交小波双正交小波，甚至允许是彼此，甚至允许是彼此线性相关线性相关的。的。 小波变换在不同的小波变换在不同的( (a, b) ) 点之间的相关性增加了分析和点之间的相关性增加了分析和解释小波变换结果的困难，因此，应尽量减小小波变换的冗解释小波变换结果的困难，因此，应尽量减小小波变换的冗余度，这是小波分析中主要问题之一。余度，这是小波分析中主要问题之

41、一。6.2.3 6.2.3 连续小波变换的离散化连续小波变换的离散化 在使用小波变换重构信号时或用计算机实现小波变换在使用小波变换重构信号时或用计算机实现小波变换时，必须对小波作离散化处理。连续小波和连续小波变换的时，必须对小波作离散化处理。连续小波和连续小波变换的离散化离散化都是针对都是针对尺度因子尺度因子 a 和和连续平移参数连续平移参数 b 进行的，而进行的，而2022-2-10小波分析与应用不是针对时间变量不是针对时间变量 t，这与我们习以为常的，这与我们习以为常的时间离散化时间离散化有所有所不同。不同。 通常，尺度因子通常，尺度因子 a 和和 b 的离散化公式分别取为的离散化公式分别

42、取为与之对应的离散小波与之对应的离散小波jk(t) 为为（.2） 而离散化小波变换而离散化小波变换 WTx(j,k) 为为（.3） 上式通常被称为离散小波变换（上式通常被称为离散小波变换（discrete wavelet trans -form，DWT），而将变换的结果），而将变换的结果 Cjk 称为小波系数。称为小波系数。1),(,0000 aZkjbkabaajj)()(002/0kbtaatjjjk ZkjtttxkjdefCjkxjk,d)()(),(WT*2022-2-10小波分析与应用 将式（将式（.2）和（）和（.3

43、）代入反演公式（）代入反演公式（.1），），可得到数值计算时使用的信号重构公式，即可得到数值计算时使用的信号重构公式，即（.3）式中式中 c 是与信号无关的常数，常取是与信号无关的常数，常取 c=1。 最常见的情况是取最常见的情况是取 a0=2 和和 b0=1，每个坐标（或网格，每个坐标（或网格点）对应的点）对应的尺度因子尺度因子 a =2 j，平移参数平移参数 b= 2 j k。随着。随着 j 增增加，采样间隔成倍扩大。如果采用对数坐标，并以加，采样间隔成倍扩大。如果采用对数坐标，并以 ln2 为坐为坐标单位，则标单位，则 (a，b) 的离散值可用图的离散值可

44、用图6-7表示。此时表示。此时jk(t) 变为变为（.4） 称为称为二进制小波二进制小波（dyadic wavelet）。）。)()(tCctxjkjkjk )(22)(j2/kttjjk 2022-2-10小波分析与应用 二进制小波对信号的分析二进制小波对信号的分析具有变焦距具有变焦距的作用。假定有一的作用。假定有一放大倍数放大倍数 2j，它对应为观测到信号的某部分内容。若想进一，它对应为观测到信号的某部分内容。若想进一步观测信号更小的细节，则要增加放大倍数即减小步观测信号更小的细节，则要增加放大倍数即减小 j 值；反值；反之，若只是想粗略了解信号的内容，则可以减小放大倍数，

45、之，若只是想粗略了解信号的内容，则可以减小放大倍数，即增大即增大 j 值。（值。（a= 2j） 在在 Matlab 中，离散小波变换可用中，离散小波变换可用 dwt 实现。实现。-8321kTs8-2-6-46420j ln2Ts=2 jTs=2 j图图6-76-7 a-b 平面的二进制动态采样网格点平面的二进制动态采样网格点平移因子平移因子尺度因子尺度因子2022-2-10小波分析与应用 例例6-16-1 某一直升飞机齿轮箱上的早期损伤的特征是，在某一直升飞机齿轮箱上的早期损伤的特征是，在伴随振动信号上产生一个可变周期的非平稳扰动信号，然伴随振动信号上产生一个可变周期的非平稳扰动信号，然而，

46、在故障早期，不一定能观测到明显的故障征兆。为了确而，在故障早期，不一定能观测到明显的故障征兆。为了确认故障是否已发生，可应用小波变换对信号进行分析。认故障是否已发生，可应用小波变换对信号进行分析。 假定选取高斯型小波函数，即假定选取高斯型小波函数，即（）其频谱其频谱()为为（） 可见，振荡频率可见，振荡频率0 位于小波频带的中央。小波变换为位于小波频带的中央。小波变换为)jexp()exp()(022ttt )(41exp)(202 ),(WTd)(jexp)(exp)(/1d)(jexp)(exp1)(),(WT0202bstbtsbtsstxastabtabtatxbaxx 2022-2-

47、10小波分析与应用 因为所选择的小波满足因为所选择的小波满足(-t)= *(t), 根据卷积定理，有根据卷积定理，有因此，有因此，有（）于是，计算小波变换可用快速傅立叶变换来实现。于是，计算小波变换可用快速傅立叶变换来实现。在式（在式（）和（）和（）中，小波的）中，小波的半功率带宽半功率带宽分别为：分别为：0.5888/ 0.707max0.707max(t) 和和 1.1776 0.707max0.707max() 当尺度因子为当尺度因子为 s 时，它们分别变为时，它们分别变为 (0.5888/)s 和和 1.1776s)()(1)(*)()(*)(),(WTFT*sXssttxsststx

48、bsx )()4(1exp)(FT1)()(FT1),(WT20211ssXssXsbsx 2022-2-10小波分析与应用 随着随着 s 增大，小波波形变窄而频带变宽，如果采用固定增大，小波波形变窄而频带变宽，如果采用固定的的0 ，则可能加大两相邻尺度小波的频率重叠，造成冗，则可能加大两相邻尺度小波的频率重叠，造成冗余，如图余，如图 6-8（a）所示。为此，将）所示。为此，将0表示尺度因子表示尺度因子s的线性的线性函函数，即数，即0= c+ds，其中，其中 c 和和 d 为常数。图为常数。图6-8（b）是各小）是各小波频带的中心频率随尺度因子波频带的中心频率随尺度因子s变化的情况。变化的情况

49、。024681005101520051015202505101520图图6-86-8 小波的频带宽度随尺度小波的频带宽度随尺度s s的增加而变宽的增加而变宽 ( (a a) ) 0 0 为常数为常数 ( (b b) ) 0 0= c= c+ +dsds(a)(b)2022-2-10小波分析与应用 下面讨论常数下面讨论常数 c 和和 d 的确定方法的确定方法: : 假定振动信号的截止频率为假定振动信号的截止频率为c ，取，取 s=1, , M（M=10) ), 那么，为使那么，为使不同尺度的小波族不同尺度的小波族完全覆盖完全覆盖被分析被分析信号的频带信号的频带，尺度尺度 s=2 的的小波的中心频

50、率小波的中心频率02 和和信号截止频率为信号截止频率为c 必须必须分别满足以下两个方程（已知：分别满足以下两个方程（已知：0 ， c )：（） （v）当确定了当确定了02 就可选定参数就可选定参数；联立式；联立式 () 和和 () 可选出常可选出常数数 c 和和 d。 式（式（）的离散形式可写成）的离散形式可写成（）77611.2020dc77611.77611.0MdcMc.2;,2,1,),2exp(j)()(1),(10MNnxNMmsNmnmnnXmNnmWT 2022-2-10小波分析与应用 小波变换的时间小波变换的时间-尺度分布仅对尺度分布仅对 N 个采样点作个采样点作 M 次次

51、FFT即可，其结果可用即可，其结果可用 MN 像素的两维等高线来表示。这个问像素的两维等高线来表示。这个问题的其余部分留给读者作课外练习。题的其余部分留给读者作课外练习。6.3 6.3 多分辨力小波分析的基本框架多分辨力小波分析的基本框架 前面用数学显微镜的比喻来解释小波变换的多分辨力概前面用数学显微镜的比喻来解释小波变换的多分辨力概念，并介绍了它的重要特点：当念，并介绍了它的重要特点：当尺度尺度 a 较大较大时视野宽而分析时视野宽而分析频率低，可以对频率低，可以对时域时域信号作信号作粗略粗略的观察（的观察（频率分辨力高频率分辨力高）；）；当当尺度尺度 a 较小较小时时视野窄视野窄而而分析频率

52、高分析频率高，可以对，可以对时域时域信号作信号作细细致致的观察（的观察（频率分辨力低频率分辨力低） 。但不论哪种情况，不同的尺度。但不论哪种情况，不同的尺度下分析的品质因数却保持不变。这种由粗及细对信号进行逐下分析的品质因数却保持不变。这种由粗及细对信号进行逐级分析称为多分辨力分析（级分析称为多分辨力分析（multi-resolution analysis），它），它是小波分析所具有的独特优点。是小波分析所具有的独特优点。2022-2-10小波分析与应用 19881988年年 S . Mallat 从空间的概念上形象地说明了小波的从空间的概念上形象地说明了小波的多多分辨力特性，给出了正交小波的

53、构造方法及基于正交小波分辨力特性，给出了正交小波的构造方法及基于正交小波变换的快速算法，即变换的快速算法，即 Mallat 算法，目前这种算法已推广到算法，目前这种算法已推广到基于非正交小波的快速算法。基于非正交小波的快速算法。Mallat 算法算法在在小波分析小波分析中的中的地地位位相当于相当于FFT在经典在经典傅立叶变换傅立叶变换的的地位地位，它使小波变换的实，它使小波变换的实时计算与分析成为现实。时计算与分析成为现实。6.3.1 6.3.1 多分辨力信号分解与重构的基本概念多分辨力信号分解与重构的基本概念 用用分解树分解树来表示多分辨力分析，如图来表示多分辨力分析，如图6-9 6-9 所

54、示。多分辨所示。多分辨分析首先将分析首先将原始信号空间原始信号空间V0 分解为分解为低频低频和和高频高频两部分，然两部分，然后，仅后，仅对低频部分继续进行分解对低频部分继续进行分解，而，而高频部分则不予以考高频部分则不予以考虑虑。这样，随着分解层次的增加，信号的细节将逐渐呈现出。这样，随着分解层次的增加，信号的细节将逐渐呈现出来。来。 对于三层分解树，分解具有如下关系：对于三层分解树，分解具有如下关系：2022-2-10小波分析与应用式中，符号式中，符号 表示直和。表示直和。 这种分解可看作是函这种分解可看作是函数空间的剖分，数空间的剖分，剖分的目剖分的目的的是是力求构造一个在频率力求构造一个

55、在频率上高度逼近上高度逼近 L2( (R) ) 空间的空间的正交基小波正交基小波，这些频率分，这些频率分辨力不同的辨力不同的正交小波基正交小波基相当于相当于带通各异的带通各异的带通滤波器带通滤波器。因因此，可以从函数空间集或正交滤波器组的角度来理解多分辨此，可以从函数空间集或正交滤波器组的角度来理解多分辨力分析的基本概念和算法。下面先从正交滤波器组出发，定力分析的基本概念和算法。下面先从正交滤波器组出发，定性地解释多分辨力概念，然后再从函数空间分解的角度进一性地解释多分辨力概念，然后再从函数空间分解的角度进一步阐述这一概念。步阐述这一概念。信号信号： V0V1 (低频低频)V2 (低频低频)V

56、3 (低频低频)W3 (高频高频)W2 (高频高频)W1 (高频高频)图图6-9 6-9 三层多分辨力分析的分解结构三层多分辨力分析的分解结构12330WWWVV 2022-2-10小波分析与应用 （1 1）正交滤波器组）正交滤波器组：当信号当信号 x 的采样速率满足的采样速率满足Nyquist条件时，归一化频带将限制在条件时，归一化频带将限制在 -， 之间。如果将信号之间。如果将信号的正的正频率部分，分别用理想频率部分，分别用理想低通滤波器低通滤波器 H0 和理想和理想高通滤高通滤波器波器H1，分解成频带在，分解成频带在 0，/2 的低频部分和频带在的低频部分和频带在 /2， 的高频部分，如

57、图的高频部分，如图6-106-10所示。所示。W1V1V0| |H0()| | | |H1( ()|)| 1 /2- /21 /2 - /2- x(n)低频部分低频部分平滑信号平滑信号高频部分高频部分细节信号细节信号0 /2 /2H1 ()H0 ()2 - | |X( ()|)| 图图6-10 6-10 用正交滤波器组分解信号用正交滤波器组分解信号x2W2V22022-2-10小波分析与应用 因为处理后的两路信号的频带不相交，所以它们必定正因为处理后的两路信号的频带不相交，所以它们必定正交（参见交（参见.1分离系统），故将分离系统），故将滤波器滤波器 H0 和和 H1 称为称为

58、正交正交滤波器组滤波器组（quadrature filter bank）。此外，由于滤波器。此外，由于滤波器 H0和和H1 的输出信号的的输出信号的带宽均减半带宽均减半，因此，因此采样速率采样速率也可以也可以减半减半而不致于引起信息的丢失。在图而不致于引起信息的丢失。在图6-106-10中，用下采样符号中，用下采样符号( (2 ) )表示表示“二抽一二抽一”环节，即在每隔一个样本抽样一次，环节，即在每隔一个样本抽样一次，组组成长度缩短一半的新样本。成长度缩短一半的新样本。 对对低频部分低频部分可按类似的过程可按类似的过程继续分解继续分解下去：每一级分解下去：每一级分解把该级信号分解成把该级信号

59、分解成低频部分低频部分和和高频部分高频部分，各级滤波器是一致，各级滤波器是一致的，滤波器的输出采样率也都可减半。这样，就可以对原始的，滤波器的输出采样率也都可减半。这样，就可以对原始信号信号 x 进行多分辨力分析。图进行多分辨力分析。图6-116-11 表示各级分解的频带及其表示各级分解的频带及其中心频率。下面解中心频率。下面解释这种分解过程所引伸的基本概念。释这种分解过程所引伸的基本概念。2022-2-10小波分析与应用 频率空间的划分：频率空间的划分： 若将原始信号若将原始信号 x 的频带（的频带（0 ）定义为定义为 V0 ，那么，经第一次分解后，那么，经第一次分解后，V0 被被划分划分成

60、两个成两个子空子空间：间：V1（频带（频带 0 /2）和和 W1（频带（频带/2）；经第二级；经第二级分分解后，解后，V1 又被又被划分划分成两个成两个子空间：子空间：V2（频带（频带 0 /4）和和W2（频带（频带/4 /2）。可将这种空间划分记为：。可将这种空间划分记为：图图6-116-11 频带的逐级分解及其中心频率频带的逐级分解及其中心频率W3W1W20/16 /83/16 /43/8 /23/4V0V1V2V3W4V42022-2-10小波分析与应用其中，各其中，各 Wj 是反映是反映 Vj-1 空间细节信号的高频子空间，空间细节信号的高频子空间，Vj 是是反映反映 Vj-1 空间平