圆锥曲线解题方法技巧归纳

1、 圆锥曲线解题方法技巧归纳 第一、知识储备: 1.1. 直线方程的形式 (1) 直线方程的形式有五件：点斜式、两点式、斜截式、截距式、 一般式。 (2) 与直线相关的重要内容 倾斜角与斜率k tan , 0,) 点到直线的距离d A/ By0_C tan (3) 弦长公式 直线 y kx b上两点 A(xi, yj, B(X2, y2)间的距离：AB| Ji k2|x X2 J(1 k2)(Xi X2)2 4沁或 AB Ji *|yi y2 (4) 两条直线的位置关系 l1 l2 k1k2= =- -1 1 l1 /12 k1 k2且 b1 b2 2 2、圆锥曲线方程及性质 (1)(1)、椭圆

2、的方程的形式有几种？(三种形式) 标准方程： 2 2 匚 1(m 0, n 0 且 m n) m n 夹角公式： k2 1 1， 距离式方程: .(x c)2 y2 . (x c)2 y2 2a 参数方程： x a cos , y bsin (2)(2)、双曲线的方程的形式有两种 2 2 争亍1 ；两式相减得 2 Xi 2 X2 4 2 2 y1 y2 0 3 2 2 标准方程：-1(m n 0) m n 距离式方程：|；(x c)2 y2 (x c)2 y2 | (5)(5)、焦点三角形面积公式：P 在椭圆上时，SFPF. uuu UULT UUJir |PFj|PF2| ,PF1?PF2|

3、PF1|PF2品 椭圆焦点在 x 轴上时为 a exo；焦点在 y轴上时为 a ey ，可简记为“左加右减，上加下减”。 双曲线焦点在 x 轴上时为 e|x01 a 抛物线焦点在 x 轴上时为| x, | -|,焦点在 y 轴上时为| y1 | * (6)(6)、椭圆和双曲线的基本量三角形你清楚吗？ _ 第二、方法储备 1 1、点差法(中点弦问题) 2 设 Axy1 1、Bx2,y2，M a,b 为椭圆 4 2a 、 三种圆锥曲线的通径你记得吗? 、 圆锥曲线的定义你记清楚了吗? 如: 已知Fi、 2 2 F2是椭圆L 1的两个焦点, 4 3 平面内一个动点 M M 足MFi MF2 2则动点

4、 M M 的轨迹是( A A、双曲线; B B、双曲线的一支；C C、两条射线; D D、一条射线 b2% (其中 F1PF2 ,cos 円|2 |PF2|2 4c2 咲 (6)(6)、 记住焦 半 径公式 1的弦AB中点则有 1， xi X2 xi X2 yi y2 yi y? 3a kAB = = 4 3 4b 2 2、联立消元法：你会解直线与圆锥曲线的位置关系一类的问题吗？ 经典套路是什么？如果有两个参数怎么办？ 设直线的方程，并且与曲线的方程联立，消去一个未知数，得到 一个二次方程，使用判别式 0,以及根与系数的关系，代入弦 长公式，设曲线上的两点A(N, yj, B(X2, y2)，

5、将这两点代入曲线方 程得到两个式子，然后 - -，整体消元 . ,若有两个 字母未知数，贝 S 要找到它们的联系，消去一个，比如直线过焦点， 则可以利用三点 A A、B B、F F 共线解决之。若有向量的关系，则寻 找坐标之间的关系，根与系数的关系结合消元处理。 一旦设直线 为y kx b，就意味着 k k 存在。 例 1 1、已知三角形 ABCABC 的三个顶点均在椭圆4x2 5y2 80上，且点 A A 是椭圆短轴的一个端点(点 A A 在 y y 轴正半轴上). . (1) 若三角形 ABCABC 的重心是椭圆的右焦点，试求直线 BCBC 的方程； (2) 若角 A A 为900 , A

6、DAD 垂直 BCBC 于 D D，试求点 D D 的轨迹方程. . 分析：第一问抓住“重心”，利用点差法及重心坐标公式可求出中点 弦BCBC 的斜率，从而写出直线 BCBC 的方程。第二问抓住角 A A 为900可得 出 ABAB 丄ACAC,从而得xg 河2 14(yi y2)16 0，然后利用联立消元 法及交轨法求出点 D D 的轨迹方程； 解：(1 1)设 B B ( xi, ,yj ,C(,C(X2, ,y2 ),BC ),BC 中点为( (x。, y。),F(2,0),F(2,0)则有 2 2 2 2 XL 1 1 20 16 ，20 160 0 0 (1)0 (1) 5 4 2，

7、代入(1 1)得 k k - - 5 直线 BCBC 的方程为6x 5y 28 成的比为，双曲线过 C C、D D、E E 三点，且以 A A、B B 为焦点当2 3时, 3 4 两式作差有 (Xi X2)(Xi X2) (y1 y2)( y1 y) X0 yk 20 16 F(2,0)F(2,0)为三角形重心，所以由 X1 X2 3 得X0 yo 2)2)由 AB AB 丄 AC AC 得 x1x2 y1 y2 14(y1 y2) 16 (2) 直 线 BCBC 方 5k2 2 2 )x 10bkx 5b 80 X2 10kb ,X1X2 5b 4 5k2 4 y2 8k 2 ,y1 y2

8、4b2 kx b,代入 4x2 80 直线过定点 2 2 9y 9X 32 y 所以所求点 D D 笋代入 (2) 式得 0 ,解得b 4(舍)或b (0(0，自，设 D D y (x,y(x,y)，则- 16 0 3 3、设而不求法 例 2 2、如图，已知梯形 ABCDABCD 中AB 设 (4 0 程为 y 2 80 0 0 0 (1)0 (1) 5 4 求双曲线离心率e的取值范围。 分析：本小题主要考查坐标法、定比分点坐标公式、双曲线的概念 和性质，推理、运算能力和综合运用数学知识解决问题的能力。建2 2 1 1 , 立直角坐标系xOy，如图，若设 C C C ,h ,代入冷爲1，求得h

9、 L , 2 a b 2 2 进而求得XE L ,yE L ,再代入笃爲1 ,建立目标函数 a b f(a,b,c, ) 0,整理f(e, ) 0 ,此运算量可见是难上加难我们对h可 米取设而不求的解题策略， 建立目标函数f(a,b,c, ) 0 ,整理f(e, ) 0, ,化繁为简. . 解法一：如图，以 ABAB 为垂直平分线为y轴，直线 ABAB 为x轴， 建立直角坐标系xOy ,则 CDCD 丄y轴因为双曲线经过点 C C、D D，且以 A A、 程得 b2 由式得 B B 为焦点，由双曲线的对称性知 C C、D D 关于y轴对称 依题意，记 A A c, 0 , C C C, h ,

10、E Ex。，其中c | AB |为双 曲线的半焦距, h是梯形的咼, 由定比分点坐标公式得 x0 c c 2 _2c 1 2 1 h y0厂 2 2 设双曲线的方程为當 1, 则离心率e - a 由点 C C、E E 在双曲线上，将点 C C、 E E 的坐标和 e -代入双曲线方 a e2 h2 e2 b2 4 X 2 2 1 1 , 将式代入式，整理得 2 e 4 4 1 2 , 4 3 e2 1 . 7 e ,10 所以双曲线的离心率的取值范围为,7,.J0 分析：考虑|AE,AC为焦半径，可用焦半径公式，|AE,|AC用E,C的横坐 标表示，回避h的计算，达到设而不求的解题策略. 所以

11、双曲线的离心率的取值范围为 .7, J0 4 4、判别式法 例 3 3 已知双曲线c工 艺1，直线|过点A、2,0，斜率为k，当0 k 1 2 2 时，双曲线的上支上有且仅有一点 B B 到直线l的距离为 2，试求k的 值及此时点 B B 的坐标。 分析 1 1:解析几何是用代数方法来研究几何图形的一门学科，因 此，数形结合必然是研究解析几何问题的重要手段. .从“有且仅有” 这个微观入手，对照草图，不难想到：过点 B B 作与l平行的直线，必 与双曲线C C 相切. .而相切的代数表现形式是所构造方程的判别式 0. .由此出发，可设计如下解题思路:解得 解法二：建系同解法一, XE c c

12、2 2 c 1 2 1 设I 3得，I 1 解得 AE 3 3 e2 2 4 .7 e .10 a exE , AC 厂代入整理 exC , 亠，由题 e 1 I: y k(x .2) 0 k 1 分析 2 2:如果从代数推理的角度去思考，的距应当把距离用代数式 于是关于x的方程 由0 k 1可知: _ _ _ _ 2 方程 k2 1x2 2k . 2(k2 1) .2kx 2(k2 1) 2k 2 0 的二根同 正，故,2(k2 1) 2k kx 0恒成立，于是 等价于 由如上关于x的方程有唯一解，判别式 0,就可解得 点评：上述解法紧扣解题目标，不断进行问题转换，充分体现了 全局观念与整体

13、思维的优越性. . 例 4 4 已知椭圆 C C：x2 2y2 8和点 P P( 4 4，1 1)，过 P P 作直线交椭圆于 AP AQ A A、B B 两点，在线段 ABAB 上取点 Q Q，使- - -Q Q，求动点 Q Q 的轨迹所 PB QB 在曲线的方程. . M M 到直 k2 1 x2 2k ,2(k2 1) . 2k x , 2(k2 1) -2 .2k 2 0. . 表达，即所谓“有且仅有一点 B B 到直线I的距离为V2 ”，相当于化归 由于0 k 1，所以2 x2 x kx，从而有 I: y k(x .2) 0 k 1 分析：这是一个轨迹问题，解题困难在于多动点的困扰，

14、学生往 往不知从何入手。其实，应该想到轨迹问题可以通过参数法求解 . .因 此，首先是选定参数，然后想方设法将点 Q Q 的横、纵坐标用参数表 达，最后通过消参可达到解题的目的. . 由于点Q(x,y)的变化是由直线 ABAB 的变化引起的，自然可选择直线 ABAB的斜率k作为参数，如何将x,y与k联系起来？ 一方面利用点 Q Q 在 直线 ABAB 上；另一方面就是运用题目条件： 竺 绝来转化由 A A、B B、 PB QB P P、Q Q 四点共线，不难得到x 4(XA XB) 2XAXB，要建立x与k的关系，只需 8 (XA XB) 将直线 ABAB 的方程代入椭圆 C C 的方程，利用

15、韦达定理即可. . 通过这样的分析，可以看出，虽然我们还没有开始解题，但对于 如何解决本题，已经做到心中有数. . 在得到x f k之后，如果能够从整体上把握，认识到：所谓消参, 目的不过是得到关于x,y的方程(不含k)，则可由 将直线方程代入椭圆方程，消去 : f k即可得到轨迹方程。从而简化消去参的过 利用点 Q Q 满足直线 ABAB 的方程：y y = = k (xk (x 4)+14)+1，消去参数 k k y k(x 4) 1 解得 将直线方程代入椭圆方程，消去 y y，利用韦达定理 k k H H，直接代入X 程。 简解：设A xi, yi , B(点2Q 的轨迹方程y)，则由

16、AP PB AQ可得：4 QB Xi X2 x x1 x2 x 解之得：x (1(1) 设直线 ABAB 的方程为： y k(x 4) 1，代入椭圆 C C 的方程，消去y 4(X! x2) 2XM2 8 (Xi X2) 得出关于 X X 的一元二次方程: 2k2 1 x2 4k(1 4k)x 2(1 4k)2 8 0 (2) 4 0 （ 16 2闻 X 16 2/10） 9 9 点评：由方程组实施消元，产生一个标准的关于一个变量的一元 二次方程，其判别式、韦达定理模块思维易于想到. .这当中，难点在 引出参，活点在应用参，重点在消去参，而“引参、用参、消参” 三步曲，正是解析几何综合问题求解

17、的一条有效通道 5 5、求根公式法 2 例 5 5 设直线I过点 P P （0,30,3）,和椭圆亠 9 试求塑的取值范围. . PB 分析：本题中，绝大多数同学不难得到: 筹莫展， 问题的根源在于对题目的整体把握不够事实上，所谓求取 值范围，不外乎两条路：其一是构造所求变量关于某个（或某几个） 参数的函数关系式（或方程），这只需利用对应的思想实施；其二则 是构造关于所求量的一个不等关系 分析 1 1：从第一条想法入手， 塑二 仏已经是一个关系式，但由于 PB XB 有两个变量XA,XB ,同时这两个变量的范围不好控制，所以自然想到利 用第 3 3 个变量 - 直线AB的斜率k. .问题就转化

18、为如何将XA,XB转化4k(4k 1) - X1 X2 2 - , 2k 1 2(1 4k)2 8 X1X2 2 - 2k2 1 代入(1 1),化简得X I k 2 联立，消去得: 与 y k(x 4) 2x y 4 (x 4) 0. 在（2 2）中，由 64k2 64k 24 2 .10，结合（3 3） 4 可求得16 2 10 X 9 16 2.10 9 . 故知点 Q Q 的轨迹方程为：2x y 2 冷1顺次交于 A A、B B 两点, PB= z，但从此后却一 为关于k的表达式，至吐匕为止，将直线方程代入椭圆方程，消去 y y 得 出关于x的一元二次方程，其求根公式呼之欲出. . 把

19、直线 I I 的方程 y y = = kx+3kx+3 代入椭圆方程，消去 y y 得 到关于 x x 的一元二次方程 八D 彳 I简解 1 当直线|垂直于 X 轴时，可求得空 1 ; 求根公式 PB 5 当I与 Ax!,y! , B（X2，y2），直线I的方程为: X XA= f= f（ k k），X XB = g= g（ k k） y kx 3，代入椭圆:方程PB消去y得9k2 4 X2 54kx 45 0 因为椭圆关于求量嘲值对称，点 P P 在 y y 轴上，所以只需考虑k 0的情 往往是产生不等的根源. .由判别式值的非负性可以很快确定 k的取值 范围，于是问题转化为如何将所求量与

20、k联系起来. .一般来说，韦达 定理总是充当这种问题的桥梁，但本题无法直接应用韦达定理，原因 在于AB X不是关于的对称关系式. .原因找到后，解决问题的 方法自然也就有了，即我们可以构造关于 X1,X2的对称关系式. . 把直线 I I 的方程 y y = = kx+3kx+3 代入椭圆方程，消去 y y 得到关于 x x 的一元二次方程 所以 所以 0时, AP PB 27k 6l9k 5 X1 2 ， X2 9k 4 % = _9k_2_9k2_5 - - 1 x2 9k 2.9k2 5 - 2 27k 6 9k 5 2 9 k2 4 18k 9k 21 9k2 54k）2 180 9k

21、2 4 0, ,解得 k2 18 1 1 - 9 2 9 5k2 1，综上 1 5 5 9， AP PB 分析 2:2:如果想构造关于所求量的不等式, 18 9 5k2 则应该考虑到：判别式 韦达定理 X XA+ X+ XB = = f f（ k k），X XA X XB = g= g（ k k） 简解 2 2:设直线I的方程为：y kx 3，代入椭圆方程，消去y得 54k Xl X2 9k2 4 点评：范围问题不等关系的建立途径多多，诸如判别式法，均值 不等式法，变量的有界性法，函数的性质法，数形结合法等等 本题 也可从数形结合的角度入手，给出又一优美解法. . 解题犹如打仗，不能只是忙于冲

22、锋陷阵，一时局部的胜利并不能 说明问题，有时甚至会被局部所纠缠而看不清问题的实质所在，只有 见微知着，树立全局观念，讲究排兵布阵，运筹帷幄，方能决胜千里 第三、推理训练：数学推理是由已知的数学命题得出新命题的基 本思维形式，它是数学求解的核心。以已知的真实数学命题，即定义、 公理、定理、性质等为依据，选择恰当的解题方法，达到解题目标， 得出结论的一系列推理过程。在推理过程中，必须注意所使用的命题 之间的相互关系（充分性、必要性、充要性等），做到思考缜密、推 理严密。通过编写思维流程图来锤炼自己的大脑，快速提高解题能力。2 2 9k 4 x 54kx 45 0 (*) X1X2 45 9k2 4

23、 令竺，则, X2 在（* * ）中，由判别式 0,可得k2 5， 从而, 324 k 2 36，所以 4 45k 20 5 -5. . 结合0 1得 -1. . 5 5 综上， AP 1 1 . . PB 5 丄2 36,解得 5 1 -2 324 k2 45k2 20 例 6 6 椭圆长轴端点为A,B , O为椭圆中心，F为椭圆的右焦点, 且AF FB 1 , |OF | 1.( I)求椭圆的标准方程； (H)记椭圆的上顶点为M ,直线I交椭圆于P,Q两点，问：是否 存在直线I，使点F恰为PQM的垂心？若存在，求出直线I的方程； 若不存在，请说明理由 思维流程: X2 故椭圆方程为3 y2

24、 1 (H)假设存在直线I交椭圆于P,Q两点，且F恰为PQM的垂心，则 设 P(x1,y1),Q(X2,y2)，丁 M(0,1),F(1,0)，故 ky。1 , 于是设直线I为 yxm ,由 2yX2m 得， x2 2y2 2 3x2 4mx 2m2 2 0 uur uuu T MP FQ 0 X1(X2 1) y2(y1 1)又 y Xi m(i 1,2) 得 x(x2 1) (X2 m)(x m 1) 0 即 umr uuu LULT 由 AF?FB 1 , OF (a c)(a (a c)(a c) c) 1 1，c 1c 1 解题过程:和, 两根之积 (I)如图建系，设椭圆方程为 x2

25、 a2 b2 又T AF FB 1 即(a c) (a c) 得出关于 m 的方程 解出 m 1(a b 0)则 c 1 c2 二 a2 2 由 F 为PQM的重心写出椭圆方呈 F 元 2X-IX2 (X-I x2)(m 1) m2 m 0 由韦达定理得 匚 4 4 解得m 或m 1 (舍) 经检验m 符合条件. 3 点石成金：垂心的特点是垂心与顶点的连线垂直对边， 然后转化为两 向量乘积为零. 例 7 7、已知椭圆E的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过 A)、BQ。)、,|三点.(I)求椭圆E的方程: (II)若点D为椭圆E上不同于A、B的任意一点，F( 1,0), H (1,0), 当

26、厶DFH内切圆的面积最大时，求 DFH内心的坐标; 思维流程: 4m 1, 2 2 9 解得m -, n -. .椭圆E的方程X 1 m n 1 4 3 4 3 4 1 -2 h h 2 当点D在椭圆的上顶点时，h最大为.3，所以SDFH的最大值为. 设ADFH的内切圆的半径为R，因为 DFH的周长为定值 6 6.所以, 由椭圆经过 A、B、C 三点 设方程为mx2 ny2 1 得到m,n的方程 由DFH解切m面积最大 转化为 DFH面积最大 解题过 转化为点D的纵坐标的绝对值最大最大 D点坐标为 0, (I)设椭圆万程 ATO)、 DFHo面、最大值为)代入扌椭圆 勺 mx2 ny2 1 m

27、 0,n 0 将”方程，得 (I) |FH | 2，设ADFH边上的高为S DFH D为椭圆短轴端点 SDFH 2R 6 所以R的最大值为 .所以内切圆圆心的坐标为(0, 点石成金： 1 / s的内切圆 的周长r的内切圆 2 例 8 8 已知定点C( 1,0)及椭圆x2 3 3y2 5 ,过点C的动直线与椭圆 相交于A, B两点. . (I)若线段AB中点的横坐标是 -，求直线AB的方程； 2 (H)在x轴上是否存在点M，使MA MB为常数？若存在，求出 点M的坐标；若不存在，请说明理由. . 思维流程： (I)解：依题意，直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为 2 2 2 (k 1)x1x2

28、 (k m)(x1 x2) k y k(x 1), 设 A% yj, B(x2，y2), 36k4 4(3k2 1)(3k2 5) 6k2 3k2 1. k ，符合题意。 3 所以直线AB的方程为x 3y 1 (H)解：假设在X轴上存在点 M (m,0)，使MA MB为常数. . 将 y k(x 1)代入 x2 3y2 5 , 消去y整理得(3k2 1)x2 6k2x 3k2 5 0. 白线段AB中点的横坐标是 得 x1 X2 、2 3k2 3k2 1 当直线 AB与 x轴 不垂直时 ，由(I )知 x-i x2 6k2 3k2 1 3k2 5 X2 3k2 1 所以 MA MB (X1 m)

29、(X2 m) yy (为 m)(x2 m) k2X 1)区 1) m2.将代入，整理得 0, (1) 0. . 1 2 14 (2m -)(3k2 1) 2m ； 3 3 3k2 1 注意到MA MB是与k无关的常数, uur umr 4 MA MB -. 9 当直线AB与x轴垂直时，此时点A, B的坐标分别为 、 ，uuir uuir 4 亦有MA MB 9 倍且经过点 M M (2 2，1 1)，平行于 0M0M 的直线I在 y y 轴上的截距为 m m (m m 个等腰三角形. . 且在 y y 轴上的截距为 1 I 的方程为：y -x m2 2m 6m 14 3(3k2 1) 综上，在

30、 x轴上存在定点 ，使MA MB为常数. . 1 2 14 (2m -)(3k2 1) 2m 2 .i2 -3)- - 3 m2 3k2 1 3k2 1 例 9 9、已知椭圆的中心在原点，焦点在 x x 轴上，长轴长是短轴长的 2 2 点石成金: uuu uur (6m 1)k2 MA MB (6m 1)k 5 m： uur uur MA MB (6m 1)k 5 m2 3k2 1 7 7 - - 3 3 m m 7 7 工 0 0), I交椭圆于 A A、B B 两个不同点。 (I)求椭圆的方程; 求 m m 的取值范围; (皿)求证直线 MAMA、MBMB 与 x x 轴始终围成一 思维流

31、程：解: (1(1) 设椭圆方程为 2 x 2 a 2 1(a b 0) b2 a 2b 则4 1 - a b 1 解得 a2 8 椭圆方程为 2 y- 1 2 (n)v直线i平行于 OM, 2 y 1 x m 由2 2 2 x3 4 2 2mx 2m 4 0 x2 y2 1 8 2 V直 线 1 1 与 椭圆交 于 A A、 B B 两个不同点， (2m)2 4(2m2 4) 0, 解得 2 m 2,且 0 (皿)设直线 MAMA、MBMB 的斜率分别为 k ki, k k2,只需证明 k ki+k+k2=0=0 即可 设 A(X1, yj B(X2, y2),且洛 X2 2m, x1x2

32、2m2 4 则k1 y1 1,k2 y2 1 由 X2 2mx 2m2 4 0 可得 X1 2 X2 2 而k1 k2 y1 1 y2 1 (y1 1) (X2 2) (y2 1)(X1 2) x1 X2 2 (X1 2)(X2 2 2 m2 4 2m2 4m 4m 4 (Xi 2)(X2 2) 故直线 MAMA、MBMB 与 x x 轴始终围成 k1 k2 一个等腰三角形. . 点石成金：直线 MAMA、MBMB 与 x x 轴始终围成一个等腰三角形 ki k2 例 1010、已知双曲线 与 占1的离心率e ，过A(a, ), B( , b)的直 a2 b2 3 线到原点的距离是 仝.(1

33、1)求双曲线的方程； 4 (2 2)已知直线y kx 5(k 0)交双曲线于不同的点 C C, D D 且C，D都 在以B为圆心的圆上，求k的值. . 思维流程：解：T( 1 1)丄 2,原点到直线AB： A y i的 a 3 a b (1 3k2)x2 30kx 78 0. . 设C(xi,yj D(X2, y2),CD 的中点是 即 15 k 2 k 0,又 k 0, k 2 7 1 3k 2 1 3k 2 故所求k= 士 .7 .7 . 点石成金：C, D都在以B为圆心的圆上 BC=BD BEBC=BD BE 丄 CD;CD; 例 1111、已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在 x轴上，椭

34、圆C上的 点到焦点距离的最大值为 3 3,最小值为 1 1. （I）求椭圆C的标准 方程； （IIII）若直线l :y=k=kx+ +m与椭圆C相交于A、B两点（A、B 不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点.求证：直 线I过定点，并求出该定点的坐标. 2 2 思维流程：解：（I）由题意设椭圆的标准方程为 仔每1（a b 0）, a b 由已知得：a c 3, a c 1, 2 2 椭圆的标准方程为-1. 4 3 y kx m, (II II )设 A(X1, yj, B(X2, y2). 联立 x2 y2 1. 4 3 得(3 4k2)x2 8mkx 4(m2 3) 0，则 2 2 ab 距离 d ./a2 b2 b 1, a .3. ab 故所求双曲线方程为 x2 T (2 (2 ) 把y kx 5 代入 3y2 3中消去 y ,整理得 E(xo, yo),则 a 2, c 1, b2 a2 c2 3 3(m2 4k2) 3 4k2 又yy (kx1