抛物线及其标准方程公开课

1、 在初中，我们学习过了二次函在初中，我们学习过了二次函数，二次函数数，二次函数 的图的图象是什么？象是什么？想一想？想一想？2yaxbxcyxo 二次函数是开口向上或向下的抛物线。二次函数是开口向上或向下的抛物线。探究.gsp探究： 在平面内，已知定点F，定直线（点F不在直线 上），当动点P到定点F和到定直线 的距离相等时，动点P的轨迹是什么？lll 平面内与一个定点平面内与一个定点F F和一条定直线和一条定直线l l（l l不经过点不经过点F F）的距离相等的点的轨迹叫做的距离相等的点的轨迹叫做FMl定点定点F F 抛物线的抛物线的定直线定直线l 抛物线的抛物线的思考：若思考：若 l 经过点

2、经过点F呢？呢？答：过答：过F且垂直于且垂直于 l 的直线的直线FFKMNxxyyFKMNoo问题：问题：设设焦点到准线的距离为常数焦点到准线的距离为常数P(P0),如何建立坐标系如何建立坐标系,使所建立的抛物线的方程使所建立的抛物线的方程更简单更简单？方案一方案一方案二方案二方案三方案三FKMNoxyxyoFMlNK设设KF= p则则F（ ，0），），L：x =- p2p2设动点设动点M的坐标为（的坐标为（x，y） 由抛物线的定义可知，由抛物线的定义可知，化简得化简得 y2 = 2px（p0）解：如图，取过焦点解：如图，取过焦点F F且垂直于准线且垂直于准线L L的直的直线为线为x x轴，线

3、段轴，线段KFKF的中垂线为的中垂线为y y轴轴 ( p 0)2)2(22pxypx 方程方程 y2 = 2px（p0）其中其中 为正常数，它的几何意义是为正常数，它的几何意义是: 焦焦 点点 到到 准准 线线 的的 距距 离离2)0 ,2pxpxF准线方程是轴正半轴上，坐标为（在焦点 在建立椭圆、双曲线的标准方程在建立椭圆、双曲线的标准方程时，选择不同的坐标系我们得到了不时，选择不同的坐标系我们得到了不同的标准方程。那么，抛物线的标准同的标准方程。那么，抛物线的标准方程还有哪些形式方程还有哪些形式?请探究之后填写下请探究之后填写下表。表。向右向左向上向下pxy220ppxy220ppyx22

4、0ppyx220p0 ,2p2px0 ,2p2px 2, 0p2py2, 0p2py 求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：求下列抛物线的焦点坐标和准线方程： （1）y2 = 20 x （2）y=2x2 （3）2y2 +5x =0 （4）x2 +8y =0焦点坐标焦点坐标准线方程准线方程（1 ）（2）（3）（4）（5，0）x= -5（0，）18y= - 188x= 5（- ，0）58（0，-2）y=2注意：求抛物线的焦点注意：求抛物线的焦点一定要先把抛物线化为一定要先把抛物线化为标准形式标准形式抛物线方程标准方程为y2 =+ 2px(p0)开口向右:y2 =2px(p 0)开口向左:y2 = -2

5、px(p 0)标准方程为x2 =+ 2py(p0)开口向上:x2 =2py (p 0)开口向下:x2 = -2py (p0)焦点在x轴上焦点在y轴上看，“大小”是一次项系数的 ，看41oyx例例1.根据下列条件，写出抛物线的标准方程：根据下列条件，写出抛物线的标准方程：（1）焦点是）焦点是F（3，0）；）；（2）准线方程）准线方程 是是x = ；41（3）焦点到准线的距离是）焦点到准线的距离是2.y2 =12xy2 =xy2 =4xy2 = -4xx2 =4yx2 = -4y由前面两个题目，反思研究得到：由前面两个题目，反思研究得到：已知抛物线的标准方程 求其焦点坐标和准线方程先定位先定位（确

6、定焦点的位置），（确定焦点的位置），后定量后定量（确定（确定p的值）的值）例例2：求过点：求过点A（-3，2）的抛物线的的抛物线的 标准方程。标准方程。AOyx解：解：1）设抛物线的标准方程为）设抛物线的标准方程为 x2 =2py，把把A（-3，2）代入代入， 得得p= 49 2）设抛物线的标准方程为）设抛物线的标准方程为 y2 = -2px，把把A（-3，2）代入代入， 得得p= 32抛物线的标准方程为抛物线的标准方程为x2 = y或或y2 = x 。29342、抛物线的、抛物线的标准方程与其焦点、准线标准方程与其焦点、准线3、注重、注重数形结合数形结合的思想的思想4、注重、注重分类讨论分类

7、讨论的思想的思想(A) y2 = - 4x1 . 选择题: (1) 准线方程为x=2的抛物线的标准方程是( )(B) y2 = - 8x(D) y2 = 8x(C) y2 = 4x(2) 抛物线x2 +y=0 的焦点位于 ( )(A) x轴的负半轴上 (B) x轴的正半轴上(D) y轴的正半轴上(C) y轴的负半轴上BC当堂检测当堂检测2. 填空题填空题: 经过点（经过点（8,8）的）的抛物线的标准方程为抛物线的标准方程为 y2 = -8x 或 x2 = 8y解：因为点（解：因为点（8,8）在第二象限，）在第二象限，所以抛物线开口向上或者开口向左所以抛物线开口向上或者开口向左设抛物线方程为设抛物线方程为y2=-2p1x或或x2=2p2y,由由x=-8时，时，y=8得：得：p14，p24，所以，所求抛物线方程为：所以，所求抛物线方程为：y2= - 8x 或 x2= 8yAOyx当堂检测当堂检测1、我们知道二次函数、我们知道二次函数y=ax2（a0)的的图象是抛物线，指出它的开口方向、图象是抛物线，指出它的开口方向、焦点坐标和准线方程。焦点坐标和准线方程。2. 抛物线抛物线 y2 = 2px ( p0 ) 上一点上一点M到焦点到焦点的距离