指数函数、对数函数、幂函数图像与性质

1、指数函数、对数函数、幕函数的图像与性质(一) 指数与指数函数1 根式(1) 根式的概念根式的概念付号表示备注如果x a，那么x叫做a的n次方根n 1且 n N当n为奇数时,正数的n次方根是一个正数，负数的n次 方根是一个负数零的n次方根是零当n为偶数时，正数的n次方根有两个，它们互为相反 数扬(a 0)负数没有偶次方根(2) 两个重要公式an为奇数n ana(a 0)| a |n为偶数a(a 0)(n a)n a (注意a必须使n a有意义)。2 有理数指数幕(1 )幕的有关概念正数的正分数指数幕m：annam(a0,m、n N ,且 n1)；正数的负分数指数幕1man1(a 0, m nn

2、m 'aN ,且 n 1)0的正分数指数幕等于0,0的负分数指数幕没有意义注：分数指数幕与根式可以互化，通常利用分数指数幕进行根式的运算。(2 )有理数指数幕的性质 aras=a r+s (a>0,r、s Q); (ar)s=a rs(a>0,r、s Q); (ab) r=arbs(a>0,b>0,r Q);.3 指数函数的图象与性质y=axa>10<a<1图象尸7定义域R值域(0 , + )性质(1 )过定点(0, 1)(2 )当 x>0 时，y>1;x<0 时,0<y<1(2)当 x>0 时，0<y

3、<1;x<0 时,y>1在(-,+)上是增函数(3 )在(-,+)上是减函数注：如下图，是指数函数(1 ) y=ax, (2) y=b x, (3) ,y=c x (4) ,y=d x的图象，如何 确定底数a,b,c,d与1之间的大小关系？12 >(3)X提示：在图中作直线x=1，与它们图象交点的纵坐标即为它们各自底数的值，即c1>d 1>1>a 1>b 1,c>d>1>a>b 。即无论在轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大。(二) 对数与对数函数1、对数的概念(1) 对数的定义xN如果a N(a 0且a 1)，那么数x

4、叫做以a为底，N的对数，记作x loga ,其中a 叫做对数的底数，N叫做真数。(2) 几种常见对数对数形式特点记法一般对数底数为a a 0,且a 11 NlOga常用对数底数为10lg N自然对数底数为eln N2、对数的性质与运算法那么1 对数的性质a0,且a 1 ): log aa| N0 , log a 1 , a'°9aaNlog a N 。2 对数的重要公式:换底公式：logbNlo%a,b均为大于零且不等于1,N0；logalogab蛊。3对数的运算法那么:如果a 0,且aM 0,N0那么 l°ga(MN )log aM log a'°

5、;9a M '°9 a N log a M nn log a M (n R)； log m bn loga b。a m3、对数函数的图象与性质a 10 a 1I卩?图IJ象/ 一J t /匚毗 j * A° ；- jT丨1内1厂輝川gm性千1 定义域：0,+质2值域：R3 当x=1时，y=0即过定点1，0(4)当 0 x 1 时，y (,0)；(4 )当 x 1 时，y (,0)；当 x 1 时，y (0,)当 0 x 1 时，y (0,)5在0,+上为增函数5 在0,+上为减函数注：确定图中各函数的底数 a，b，c，d与1的大小关系提示：作一直线y=1，该直线与四

6、个函数图象交点的横坐标即为它们相应的底数。二 0<c<d<1<a<b.4、反函数指数函数y=ax与对数函数y=log ax互为反函数，它们的图象关于直线y=x对称。三幕函数1、幕函数的定义形如y=x aa R的函数称为幕函数，其中x是自变量，a为常数幕函数的自变量在底数位置， 而注：幕函数与指数函数有本质区别在于自变量的位置不同, 指数函数的自变量在指数位置。2、幕函数的图象注：在上图第一象限中如何确定y=x 3, y=x2,y=x ,1x2,y=x-1方法：可画出 x=x 0 ；当xo>1时，按交点的上下，从高到低依次为3-y=x , y=x ,y=x ,

7、ix2-1y=x ；当0<X0<1时，按交点的上下，从高到低依次为y=x-1, y1x2,y=x , y=x 2, y=x 3。3、幕函数的性质y=xy=x 2y=x 31 y乜y=x -1定义域RRR0, )x| x R且x 0值域R0, )R0, )y | y R且 y 0奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增x 0 ,)时，增；x (,0时，减增增x (0,+)时，减；x (-,0)时，减定点(1 , 1)三：例题诠释，举一反三知识点1:指数幕的化简与求值例 1.(2007育才A(1)计算:2(3 3)喝)。5(0.008)1 1(0.02) 2(0.32)20.0625°

8、.25变式:(1)化简:(200741a3 8a3b2 24b323 ab a32(a 323 b)a'a Va2执信A化简以下各式2(a3 b1)2 a2 b3.11.5 33b2 (13a2b1)其中各字母均为正数(4a3 b3)2.7、00.256) 8知识点2 :指数函数的图象及应用例2.2021广附A实数a、b1满足等式23b，以下五个关系式: 0 v b v a; a vb v 0;0 v a v b;b v a v 0;a=b.A.1个B.2个其中不可能成立的关系式有C.3个D.4变式：2021华附A假设直线y2a与函数11 a 0且a 1的图象有两个公共点，贝U a的取

9、值范围是 知识点3 :指数函数的性质例3.(2021省实(I)求b的值；(n)判断函数f(出)假设对任意的变式：(2021东莞B)1 求 a的值;定义域为R的函数f (x)x .2 b一是奇函数。22X1的单调性；R，不等式ft22tf (2t2k)0恒成立，求k的取值范围.exB)设 a > 0,f(x)= _aaH是R上的偶函数.2求证：fx在0, + g上是增函数. 知识点4 :对数式的化简与求值例 4. 2021 云浮 A计算：1 log2 32 J32(lg 2 )2+lg , 2 lg5+、(lg .2)2 Ig 2 1 ;2lg49-4lg 8+lg 245.变式:2021

10、惠州A化简求值.log 27 +log 212- 1 log 242-1;482(lg2) 2+lg2 lg50+lg25;(log 32+log 92) (log 4 3+log 83).(1 )(2)(3)知识点5 :对数函数的性质例5. (2021深圳A)对于01 loga(1 a) log a (a -);aa 1，给出以下四个不等式：1 loga1 aloga1 一;aa1 a1 a a1其中成立的是与B与C与D与变式:1(2021 韶关 A) 0 v av 1,b > 1,ab > 1，贝U loga -，log ab,log b1b的大小关系是bA.logC. log

11、a bloga b logb1b111logb logad. logb logbbbB. logablog1 logb1 b blogab例6. (2021广州B )函数f(x)=log ax(a >0,a丰1)，如果对于任意 x 3 , + 都有|f(x)|> 1成立，试求a的取值范围.变式：2021 广雅B 函数f x =log 2x2-ax-a在区间-m,1- 3 上是单调递 减函数.求实数a的取值范围.12,丄，在幕函数gx的图4知识点6 :幕函数的图象及应用例7.2021 佛山B点.2,2在幕函数fx的图象上，点 象上.问当 x 为何值时有：(1) f(x) g(x) ；

12、 (2) f(x) g(x) ； (3) f(x) g(x).2变式：2021揭阳B 幕函数fx=x m 2m3 m Z 为偶函数，且在区间0, + 上是单调减函数.1求函数fx;(2)讨论 F (x) =a , f (x)bxf (x)的奇偶性.四：方向预测、胜利在望1 x1 . (A)函数f(x) Ig的定义域为()x 4A (1 , 4) B . 1 , 4)C . ( a, 1) U (4 ,+s )D . (a，1 U (4 ,+a )2. ( A)以下四个数中的最大者是()(A) (ln2)(B) ln(ln2)(C) In 、2(D) In213 (B )设a>1，函数f(

13、x)=log ax在区间a,2a 上的最大值与最小值之差为，那么a=()2A. RQP B. PRQ C.(A) log 1 b log1 a log1 c，那么(2 2 2A. 2b 2a2cB. 2a 2bP D. R2cC. 2c 2b2a2 c ?a2b(A) . 2(B ) 2( C) 2 2(D) 44.(A)f (x)是周期为2的奇函数，当0x1 时，f (x) lg x.设6a f( ),b535f( ),c f(),那么(22)(A) a bc(B) b a c2ex 1,x 2,(C) c b a(D) cab5.(B)设 f(x)=2那么不等式f(x)>2的解集为(

14、)log3(x 1),x2,(A) (1 , 2 )(3 , +a)(B) ( . 10 , +a)(C) (1 , 2 )(10, +a)(D) (1 , 2)6 .(A)设 P log23, Q log32 , Rlog2(log3 2)，那么()(a ) f(x)sin x(B)f(x)x1(C) f(x)-(a a )(D)f(x)ln22x2x9. (A)函数yJlog,3x 2)的定义域是：()A 1,)B (f,)c3,1Dd,110.(A)函数ylog1 X 与 ykx的图象有公共点A ,且点A的横坐标为2，那么k ()8 . (B)以下函数中既是奇函数，又是区间1,1上单调递

15、减的是()(A) loga(xy) 0(B) 0 loga(xy) 11A.4B .414C .121D .-211 .(B )假设函数f (x)x ab1(a0且a1)的图象经过第二、三、四象限，那么一定有()A. 0 a1且b0B.a1且b0C. 0 a1且 b0D.a1且b012 .(B)假设函数f(x)logax(0a1)在区间a, 2a上的最大值是最小值的3倍，那么a=()<2A.B.21c.1D.424213.(A) 0 v x v yv a v 1，那么有()16(A)函数y料的定义域是17 .1(B)函数y ax(a0，a 1)的图象恒过定点 A，假设点A在直线mxny1

16、0(m n0) 上,那么1 1的最小值为m nex,x0.r 118 .(A)设 g(x)0.那么 g(g(；)ln x,x2(C) 1log a (xy)14. (A) f(x6)4(A)315 . ( B )函数 y = lg|x|A .是偶函数，在区间C .是奇函数，在区间log 2(B)(D)x，那么log a(xy) 2f(8)等于(C)181(D)-2()(g, 0)上单调递增(0,+ )上单调递增B .是偶函数，在区间(一8, 0)上单调递减D .是奇函数，在区间(0，+)上单调递减219 . ( B )假设函数f(x) = <2x 2ax a 1的定义域为R，那么a的取值

17、范围为 20 . (B)假设函数 f (x) loga(xx22a2)是奇函数，那么 a=.11 x21.(B)函数f(x) log2 ，求函数f(x)的定义域，并讨论它的奇偶性和单调x1 x性.1 16b3 (a3b32)7 124842 2例1.解:22(1 )(2) a95 1232515 Jab变式:解：(1)41，ab32)4ab2 . (3)110例2.解:B变式:解:1(0,1)；2例3.解:(I) b1(n；)减函数。(川)变式:解:(1) a=1.(2 )略例4.解:(1 ) -1.(2) 1.1(3) 1.2变式:|解：3 32(1) 3(2) 2.5(3)-2 224例5

18、.解:选D。变式:解:C参考答案：三：例题诠释，举一反三log 21例 6解：(1 , 3 U - , 1 )3变式：解：a|2-2.- < a v2例7.解：(1 )当x 1或x 1时，f (x) g(x)；(2 )当i x1 时，f (x) g(x)；(-)当i 1x 1且x 0时，f(x) g(x).变式：解：(1)f(x)=x -4.(2) F(x)=2 bx ,F (-x ) =4,+bx 3.xx当a丰0 ,且b工0时，F(x )为非奇非偶函数当a=0,b丰0时，F (x)为奇函数； 当 当四：方向预测、胜利在望1 5 ADDDC ;F (x)为偶函数；F (x)既是奇函数，又是偶函数16.a 丰 0,b=0 时， a=0,b=0 时，6 10 AADDA ;11 15 CADDB.(-,3)(3,4)17.418119.-1,020.22x0，由 1解x须满足1xX0得1 x 1,0 1X1x所以函数f(x)的定义域为(1,0 )U(0, 1 ).因为函数f (x)的定义域关于原点对称，且对定义域内的任意x，有11X11 X