怎样梯形中的辅助线

1、难点突破：怎样做梯形中的辅助线梯形是一种特殊的四边形，它是平行四边形和三角形知识的综合，通过适当地添加辅助线，把梯形转化为三角形、平行四边形的组合图形，再运用三角形、平行四边形的知识去解决梯形的有关问题。下面列举数例，以说明梯形中常见辅助线的作法一、平移一腰法例1如图1,梯形ABCD中，AB /CD，以AC、AD为边作 ACED . DC的延长线交 BE 于 F.求证：EF=FB.简析：在梯形 ABFD中，过C作CG/ BF交AB于G,由 GBFC得CG=FB， 再证 EDFAA CAG，得 EF=CG=FB .例 2 如图 2,梯形 ABCD 中,AB/CD , ?d =80 c =50。求

2、证：AD = CD - AB o证明：过点A作AE/BC交DC于E,所以.AED = . C =50因为.匕D =80所以.DAE =50所以.AED 二.DAE所以AD =DE易证AB = EC ,所以 AD 二 CDAB二、平移对角线法过梯形上底的一个端点作某一条对角线的平行线，构造平行四边形和三角形，从而引出证题思路。如：例3.女口图2，梯形 ABCD中,AB/CD,中位线EF=7cm,对角线AC _BD,. BDC =30，求梯形的高。G C HD2图2证明：过点B作BG/AC交DC的延长线于 G因为ac _bd , 所以 BG _BD , AB =CG因为.BDC =3011所以 B

3、G GD AB 亠 CD22因为 AB - CD =2EF ， 所以 BG 二 EF =7 因为 / BDC 二.GBH =30所以 GH = BG =3.5 ，2所以 BH = 72 -3.5 2例4.如图2,等腰梯形 ABC冲，AD/ BC，AB=CD ACL BD 于O点.假设中位线长为匹求梯形ABC皿勺潮积S.简析：由Tag丄BD, AC=BD,因此，过D作DE “AC交EC延长线于E爲可得 KDH为等腰直角三角形.又由6CED可得CE-AD, -BE=BC +AI )=2mp于是帀 沁DB瓦三、延长双腰法延长两腰相交于一点，可构造两个三角形，利用这两个三角形的有关条件和性质进行证明，

4、也是常用的方法之一。如：例5.如图5,梯形 ABCD中AB/CD, Na+NB =90 ° M N分别是AB CD的中点。、 1求证：MN (AB -CD ) 02图5证明：延长AD BC相交于E, 因为.A心/B =90所以,:DEC和.AEB都是直角三角形 连结EM EN可知E、M N三点共线，在Rt.AAEB中，M是AB的中点， 所以EM =!AB21 同理可证：EN =_CD2例6如图3,梯形ABCD中，AD /BC, E 为 AB 上一点，EF / AD 交 DC 于假设AD=2，BC=3,梯形AEFD的面积为5,梯形BCFE的面积为求EF的长.A简析：延长BA与CD交于点

5、由AD0EF可得需，由0消SgS * BC,可得-WRC2 - AD51詮詈A代值得班詁越四、作高法个矩形，可过梯形上底的端点作梯形的两条高，把梯形分割为两个直角三角形和一 使证明的思路明朗化。如：例7.如图4,梯形ABCD 中, AD/BC ,两条对角线相交于 E, ab_ac，且AB=ACBD=BC求证：CD=CE证明：分别过点 A、D作AM _ BC于M DN _BC于N。 因为AB二AC , 所以 AM = 1 BC。2因为 BD =BC 且 DN =AM ,1所以 DN 二_ BD ,2所以 £DBN =30,易得 /BDC =75。因为.DEC 二.DBC 心/ ACB

6、=3045 =75 ,所以.BDC =. DEC ,所以CD=CE例8如图4,梯形ABCD中AD / BC,AC=BD , AC丄BD于D点.且高为10cm , 求中位线MN的长度.图4简析：过 O 点作高 EF,由 AC1BD, AC=BD 可知 OE = AAD, OF = eG/.MN = i(AD + BQ =OE + OF = 10cm.五、作中位线法连结上底的一个端点与腰的中点并延长与下底的延长线相交， 角形能使证明的思路清晰明朗。如：借助所得的三例9 .如图9,梯形ABC冲，2O求证：EF = 1 (AD - BC )。图9证明：连结AF并延长交BC的延长线于点G先证"

7、df二gcf ,有 AD =CG ,AF =FG11易得 EF = BG =_(AD BC ) 022例10如图5,梯形ABCD中，AD /BC, M、N分别是两腰AB、CD的中点,ME / AN，交下底BC于E.求证：NE=AM简析：连结 MN，先证 AMN MBE，可得 AMEN，于是AM=NE .六、作对角线法根据图形中的条件，连结两腰中点或过一腰的中点作平行线构成梯形的中位线，利用中位线的性质来寻求解题思路，也是解梯形题目常见的方法之一。如：例11 .求证：直角梯形如图 11,:ARCD . AD/7RC. -= =BE的两个直角顶点到对腰中点的距离相等求证：CE = DE 0证明：过

8、E点作EF/BC交DC于F因为ae be且EF/AD/BC， 所以DF=CF 因为.C 二 Rt ?，所以 BC _DC， 所以 EF _DC 0所以CE =DE。例12如图6,梯形ABCD中，两底 AD、BC的中点为 M、N，贝U MN与AB、CD的关系是、AB + CD(A) MN> 了一AB + CD(B) MN< -、丫 AB + CD(QMn =(D)不能确定.简析：连结ED,并连结其中点F与M、N,由三角形中位线可得PM=AAB, PN JcD,在ZXFMN中，MNvPM + PN = (AB 4 - CD),应选(B).W£七、三角形割补法即连结梯形一底端点

9、与腰(或对角线)的中点，并延长与另一底相交构造全等三角形.这就相当于将梯形的一角割下，补在恰当位置构成三角形或平行四边形.例 13 如图 7,梯形 ABCD 中，AD / BC，Z C=90 ° , E 是 AB 中点， 求证：DE=CE .S7简析：连结DE并延长，交CB延长线于F,由厶ADE凹ZXBFE得E为DF中点，又由于/XCDF 为 RtZ,于是 CE = fDF 二 DE.例14如图8,梯形ABCD中.AD / BC，E、F是对角线BD、AC的中点,求证：EF = -(BC-AD).简祈：连结DF并延长交BC于G.由三角形中位线定理得 EF=|BG,又由/XADF CGF 得 GC=AD ,BG = (BCAD),二EF=；BG,(BC-AD) 当然在梯形的证明和计算中，作的辅助线并不一定是单一的，有时可同时作两种或两 把梯形问题转化为平行四边形和三角形的有关知识来解决。种以上，目的是一致的，练习题1 .如图 9,梯形 ABFD 中，AD / CE /BF, AC : CB=m : n, AD=a,BF=b,求CE的长