正弦与余弦定理练习题及答案

1、.国庆作业（一）正弦定理和余弦定理练习题一选择题1在 ABC中， A45°， B60°， a2，则 b 等于 ()A. 6B.2C.3D262在ABC中，已知 a ， B°， C°，则 b等于()86075A4 2B4 3C 4 6D.3233在ABC中，角 A、 B、 C 的对边分别为 a、b、c，A°，a4， b6034 2，则角 B 为()A 45°或 135° B 135°C 45° D 以上答案都不对4在ABC中，abc ，则sinAsinBsinC等于()1 56A156B651C615D不确

2、定5在 ABC中， a，b，c 分别是角 A，B，C所对的边，若 A105°，B45°，b ，则 c()2A1B.1C 2D.124cos A b6在 ABC中，若 cos B a，则 ABC是()A等腰三角形 B 等边三角形C 直角三角形D 等腰三角形或直角三角形;.7已知ABC中， AB， AC ， B°，则 ABC的面积为()313033333A. 2B.4C.2 或 3D.4 或 28ABC的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c. 若 c2，b6，B 120°，则 a 等于 ()A. 6B2C.3D.2二、填空题9在 ABC中，角 A、B、

3、C 所对的边分别为 a、b、c，若 a1，c3，C 3 ，则 A_.4310在 ABC中，已知 a 3 ，b4，A30°，则 sin B_.11在 ABC中，已知 A30°， B 120°， b12，则 ac_.12在 ABC中， a2bcosC，则 ABC的形状为 _abc13在 ABC中，A60°，a 63，b12，S ABC 183，则sin Asin Bsin C _，c_.14 已 知 三 角 形ABC 中 ， A B C 1 2 3 ， a 1 ， 则a2bcsinA2sinBsinC_.115在 ABC中，已知 a32，cosC3，SABC

4、 43，则 b_.16在 ABC中， b43，C30°， c2，则此三角形有 _组解;.17如图所示，货轮在海上以 40 km/h 的速度沿着方位角 ( 指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平转角 ) 为 140°的方向航行，为了确定船位，船在 B 点观测灯塔 A 的方位角为 110°，航行半小时后船到达 C点，观测灯塔 A 的方位角是 65°，则货轮到达 C 点时，与灯塔 A 的距离是多少？（17 题）三、简答题CC18在 ABC中， a、b、c 分别为角 A、B、 C的对边，若 a23，sin 2cos21，BC2A4sincos，求 A、B 及 b

5、、 c.sin219(2009 年高考四川卷 ) 在 ABC中，A、B 为锐角，角 A、B、C 所对应的边分310别为 a、b、c，且 cos 2A 5， sin B 10 .(1) 求 AB 的值； (2) 若 ab 2 1，求 a，b，c 的值;.20 ABC中， ab60 3，sin Bsin C， ABC的面积为 15 3，求边 b 的长21已知 ABC的周长为21，且 sin Asin B2sin C.(1) 求边 AB的长；1(2) 若 ABC的面积为 6sin C，求角 C的度数23在 ABC中，BC5，AC3，sin C2sin A.(1) 求 AB的值；(2) 求 sin(2

6、 A 4)的值;.余弦定理练习题源网在中，如果 ， ，1，那么 AC 等于 ()1ABCBC6AB4 cosB3A 6B 26C3 6D462在 ABC 中， a2，b31，C30°，则 c 等于 ()A.3B.2C. 5D2在ABC中，2b2c2 3bc，则 A 等于 ()3aA 60°B45°C120°D150°4在 ABC 中， A、 B、 C 的对边分别为a、b、c，若 (a22b2，则B的值为()c)tanB3ac 5A.6B.3C.6或6D.3或23;.5在 ABC 中，a、b、c 分别是 A、B、C 的对边，则 acosBbcos

7、A等于()A aBbC cD以上均不对6如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为 ()A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D由增加的长度决定7已知锐角三角形的面积为3，ABC 中，|AB|4，|AC|1，ABC )则AB· 的值为 (ACA 2B 2C4D 48在 ABC 中， b3，c3，B30°，则 a 为()A.3B2 3C. 3或2 3D29已知 ABC 的三个内角满足2BAC，且 AB1，BC4，则边 BC 上的中线 AD 的长为 _10 ABC 中， sinAsinBsinC( 31)( 3 1) 10，求最大角的度数11已知 a、b、c

8、 是 ABC 的三边， S 是 ABC 的面积，若 a4，b5，S5 3，则边 c 的值为 _12在 ABC 中， sin Asin Bsin C234，则 cos Acos Bcos C_.;.113在 ABC 中，a3 2，cos C3，S ABC4 3，则 b_. 14已知 ABC 的三边长分别为 AB7，BC5，AC6，则AB·BC的值为 _a2b2c215已知 ABC 的三边长分别是a、 b、c，且面积 S，4则角 C_.16(2011 年广州调研 )三角形的三边为连续的自然数，且最大角为钝角，则最小角的余弦值为 _17在 ABC 中， BCa，ACb，a，b 是方程 x2

9、2 3x20的两根，且 2cos(AB)1，求 AB 的长18已知 ABC 的周长为21，且 sin Asin B2sin C.(1)求边1AB 的长； (2)若 ABC 的面积为 6sin C，求角 C 的度数;.19在 ABC 中， BC5， AC3，sin C2sin A.(1)求 AB 的值；(2)求 sin(2A4)的值20在 ABC 中，已知 (abc)(abc)3ab，且 2cos Asin BsinC，确定 ABC 的形状正弦定理1在 ABC 中， A 45°， B 60°， a2，则 b 等于 ()A.6B. 2C.3D2 6解析：选 A. 应用正弦定理得

10、：a b，求得 b asinB 6.sinAsinBsinA2在 ABC 中，已知 a 8， B 60°， C 75°，则 b 等于 ()32A4 2B4 3C4 6D. 3解析：选 C.A 45°，由正弦定理得b asinB4 6.sinA3在 ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、 c，A 60°，a 43， b 42，则角 B为();.A 45°或 135 °B135°C 45° D以上答案都不对解析：选 C. 由正弦定理a b得： sinBbsinA2，又 a>b， B<60

11、6;， BsinAsinBa245°.4在 ABC 中， a b c 1 56，则 sinA sinB sinC 等于 ()A 156B65 1C615D不确定解析：选 A. 由正弦定理知 sinA sinBsinC a bc 1 5 6.5在 ABC 中， a， b，c 分别是角 A， B，C 所对的边，若 A 105 °， B45°， b2，则 c ()11A 1B.2C 2D.4解析：选 A. C 180° 105° 45° 30°，由bc得 c2×sin 30 °sinB 1.cos AbsinC

12、sin45 °6在 ABC 中，若 cos B a，则 ABC 是 ()A 等腰三角形B等边三角形C直角三角形D 等腰三角形或直角三角形解析：选 D. b sin B， cos A sin B，asin Acos Bsin AsinAcosA sinBcosB， sin2Asin2B即 2A 2B 或 2A 2B ，即 AB，或 A B2.7已知 ABC 中， AB3， AC 1， B30°，则 ABC 的面积为 ()33A. 2B. 4333C.2或 3D. 4或2解析：选 D. AB AC ，求出 sinC3， AB AC，sinC sinB2 C 有两解，即 C 60

13、°或 120°， A 90°或 30°.1AB·ACsinA 可求面积再由 S ABC28 ABC 的内角 A、B、 C 的对边分别为a、 b、 c.若 c2， b6， B 120 °，则 a 等于()A.6B 2C.3D. 2解析：选 D.由正弦定理得62 ，sin120°sinC1 sinC2.又 C 为锐角，则C 30°， A 30°， ABC 为等腰三角形，ac2.;.9在 ABC 中，角 A、 B、 C 所对的边分别为a、 b、 c，若 a 1， c3， C ，则 A3_.a c解析：由正弦定理

14、得：，sinAsinC所以 sinAa·sinC1c .2又 a c， A C ， A.36答案： 610在 ABC 中，已知43， b 4， A 30°，则 sinB _.a3解析：由正弦定理得a bsinAsinB1? sinB bsinA4×42 3a3 2 .3答案：3211在 ABC 中，已知 A 30°， B 120 °， b 12，则 a c _.解析： C 180°120° 30° 30°， a c，由ab得， a12×sin30°3，sinAsinBsin120 4&

15、#176; a c 8 3.答案：8312在 ABC 中， a2bcosC，则 ABC 的形状为 _解析：由正弦定理，得 a 2R·sinA， b 2R·sinB，代入式子 a 2bcosC，得2RsinA2·2R·sinB·cosC，所以 sinA2sinB·cosC，即 sinB·cosCcosB·sinC 2sinB·cosC，化简，整理，得sin(B C) 0. 0° B 180°， 0° C 180°， 180° B C 180°， B

16、 C 0°，B C.答案：等腰三角形13在 ABC 中，A60°，a 63，b 12，S ABC 183，则ab c _，sinA sinB sinCc_.;.解析：由正弦定理得a bc a 6 3 12，又 SABC 1bcsinA，1sinA sinB sinCsinAsin60°22×12×sin60 ×°c183， c 6.答案： 12 6a 2b c _.14已知 ABC 中， A B C1 2 3，a 1，则 sin A 2sin B sin C解析：由 A B C1 2 3 得， A 30°， B 6

17、0°， C 90°， 2R a 1 2，sinAsin30°又 a 2Rsin A，b 2Rsin B，c 2Rsin C，a 2b c 2RA 2sinB sin C 2R 2.sin A 2sin Bsin Csin A 2sin B sin C答案： 215在 ABC 中，已知 a 32， cosC 1， SABC 43，则 b _.3解析：依题意， sinC2213，3， SABC absinC 42解得 b 2 3.答案：2 316在 ABC 中， b43， C 30°，c 2，则此三角形有 _组解解析： bsinC 413且 c 2，3

18、15; 22 c<bsinC，此三角形无解答案： 017如图所示，货轮在海上以40 km/h 的速度沿着方位角(指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平转角)为 140°的方向航行，为了确定船位，船在B 点观测灯塔A 的方位角为110 °，航行半小时后船到达 C 点，观测灯塔 A 的方位角是 65°，则货轮到达 C 点时，与灯塔 A 的距离是多少？1解：在 ABC 中， BC 40× 20，2 ABC140° 110° 30°， ACB(180 °140°) 65° 105°，所以

19、 A 180° (30 ° 105°) 45°，由正弦定理得BC·sin ABCACsinA20sin30°sin45 10 2(km)°即货轮到达 C 点时，与灯塔A 的距离是 10 2 km.;.18在 ABC 中， a、b、c 分别为角A、B、C 的对边，若a 2CC1，sin Bsin3，sincos2A224C cos 2 ，求 A、B 及 b、c.CC11，解：由 sincos ，得 sinC22425又 C (0， )，所以 C 或 C6 .6由 sin Bsin C cos2 A，得 21sin Bsin C

20、21 cos(B C)，即 2sin Bsin C 1 cos(BC)，即 2sin Bsin C cos(B C) 1，变形得cos Bcos C sin Bsin C1，5即 cos(BC) 1，所以BC ， B C6 (舍去 )，26A (B C) 3 .由正弦定理a b c，得sin Asin Bsin C1sin B 23×2 2.b casin A32故 A2， B ， b c 2.3619 (2009 年高考四川卷 )在 ABC 中， A、 B 为锐角，角 A、B、 C 所对应的边分别为a、310b、 c，且 cos 2A5， sin B10 .(1)求 A B 的值；

21、 (2) 若 a b2 1，求 a，b， c 的值解： (1) A、 B 为锐角， sin B 1010， cos B 1sin2B3 1010.又 cos 2A 1 2sin2A3， sinA 5， cos A 2 5，555 cos(A B) cos Acos B sin Asin B2531051025×10 5×102 .又 0A B， A B.432(2)由(1) 知， C 4， sin C2 .;.由正弦定理：abc得sin Asin Bsin C5a10b2c，即 a2b， c5b. a b2 1，2bb2 1， b 1. a 2， c 5.20 ABC 中，

22、 ab 603， sin B sin C， ABC 的面积为 153，求边 b 的长解：由 S 1absin C 得， 1531×603×sin C，22 sin C1， C 30°或 150°. 2又 sin B sin C，故 B C.当 C 30°时， B 30°， A 120°.ab又 ab 603， sin A sin B， b 215.故边 b 的长为 215.余弦定理源网11在 ABC 中，如果 BC 6，AB 4， cosB3，那么 AC 等于 ()A 6B 26C 36D 46解析：选 A. 由余弦定理，得

23、ACAB 2 BC2 2AB·BCcosB2214 6 2×4×6× 6.32在 ABC 中， a 2， b3 1， C30°，则 c 等于 ()A.3B. 2C.5D 2解析：选B. 由余弦定理，得c2 a2 b2 2abcosC 22 ( 3 1)2 2×2×( 3 1)cos30 ° 2， c 2.3在 ABC 中， a2 b2 c23bc，则 A 等于 ()A 60°B 45°C 120 °b2c2a2D 150 °D.cos A 3bc3解析：选2bc2bc 2 ，

24、 0° A 180°， A150°.4在 ABC 中， A、 B、 C 的对边分别为a、b、c，若 ( a2c2 b2)tanB 3ac，则B的值为();.A. 6B. 3 5 2C. 或6D. 或363解析：选D.由 (a2c2b2)tanB3ac，联想到余弦定理，代入得a2c2 b2313 cosBcosB2ac2·· .tanB2sinB 2显然 B ， sinB 3或22 . B3 3 .5在 ABC 中， a、 b、 c 分别是 A、B、 C 的对边，则acosB bcosA 等于 ()A aB bC cD 以上均不对a2 c2 b2

25、b2 c2 a22c2解析：选C.a·2acb·2bc 2c c.6如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为()A 锐角三角形B 直角三角形C钝角三角形D 由增加的长度决定解析：选A. 设三边长分别为a，b， c 且 a2b2 c2 .设增加的长度为m，则 c m am，cmb m，又 (a m)2 (b m)2 a2 b2 2(ab)m 2m2 c2 2cm m2(cm)2，三角形各角均为锐角，即新三角形为锐角三角形7已知锐角三角形 ABC 中， |AB| 4， |AC| 1， ABC 的面积为3，则 AB ·AC的值为()A 2B 2C

26、 41D 4解析：选 A. S ABC 3|AB| ·|AC| sinA·21 2×4×1×sinA， sinA 23，又 ABC 为锐角三角形， cosA 1，21 AB·AC4×1× 2.28在 ABC 中， b3， c 3， B 30°，则 a 为 ()A.3B2 3C.3或 23D 2解析：选C.在 ABC 中，由余弦定理得 b2 a2 c22accosB，即 3 a2 933a， a2 3 3a 6 0，解得 a 3或 2 3.9已知 ABC 的三个内角满足2B A C，且 AB 1， BC 4

27、，则边BC 上的中线;.AD 的长为 _解析： 2BA C， AB C ， B 3.在 ABD 中，ADAB 2BD 2 2AB·BDcosB11 4 2×1×2× 3.2答案：310 ABC 中， sinAsinB sinC ( 3 1) ( 3 1) 10，求最大角的度数解： sinA sinB sinC ( 3 1) ( 3 1) 10， a b c ( 3 1) ( 31) 10.设 a ( 3 1)k， b( 31)k，c 10k(k 0)， c 边最长，即角C 最大由余弦定理，得cosCa2b2 c21，2ab2又 C (0 °，

28、180°)， C 120°.11已知 a、 b、 c 是 ABC 的三边， S 是 ABC 的面积，若 a 4， b 5， S 53，则边 c 的值为 _13解析： S absinC，sinC， C 60°或 120°.221222 cosC ± ，又 c a b 2abcosC，2 c2 21 或 61， c21或 61.答案： 21或 6112在 ABC 中， sin A sin Bsin C 23 4，则 cos A cos Bcos C _.解析：由正弦定理a b c sin A sin Bsin C 2 34，设 a2k(k0)，则

29、b 3k， c 4k，cos Ba2 c2 b2k2k2k211，2×2k×4k162ac同理可得： cos A 78， cos C 14， cos A cos B cos C 14 11 ( 4)答案： 14 11 ( 4)13在 ABC 中， a 32， cos C1， SABC 43，则 b _.3122解析： cos C3， sin C3 .1又 SABC 2absinC 4 3，1 2 2即 2·b·3 2·3 4 3， b 2 3.;.答案：2314已知 ABC 的三边长分别为AB 7，BC 5，AC 6，则 AB·BC的

30、值为 _222解析：在 ABC 中， cosB AB BC AC 49 25 362×7×5 19，35 AB·BC|AB |19 7×5×(35) 19.答案： 1915已知 ABC|BC·| · cos( B)的三边长分别是a、b、c，且面积 Sa2 b2 c2，则角 C _.4解析：1a2 b2 c2a2 b2 c2 ababsinC S·242ab21 2abcosC， sinC cosC， tanC 1， C45°.答案： 45°16(2011 年广州调研 )三角形的三边为连续的自然数，且最大角为钝角，则最小角的余弦值为 _解析：设三边长为k 1，k， k 1(k2，k N) ，k2 k2 k2 0则? 2 k4，kk 1 k 1 k 3，故三边长分别为2,3,4 ，32 42 227最小角的余弦值为2×3×48.答案： 7817在 ABC 中， BCa， AC b， a