结构力学(虚功原理与结构位移计算)

1、第四章第四章 虚功原理和结构位移计算虚功原理和结构位移计算Computation of displacement of structure主主 要要 内内 容容42 刚体体系虚功原理及其应用刚体体系虚功原理及其应用43 变形体结构位移计算一般公式变形体结构位移计算一般公式44 荷载作用下的位移计算及举例荷载作用下的位移计算及举例45 图图 乘乘 法法46 温度作用时的位移计算温度作用时的位移计算 47 互等定理互等定理48 小小 结结41 结构位移概念结构位移概念 1 1、工程结构在荷载作用、温度变化、材料收缩和支座移、工程结构在荷载作用、温度变化、材料收缩和支座移动等因素下：动等因素下： 结

2、构的形状一般会发生变化结构的形状一般会发生变化-变形变形( (或形变或形变) ) 结构的截面位置会发生变化结构的截面位置会发生变化- -位移位移( (线位移或角位移线位移或角位移) ) ( () )为超静定结构的内力分析打下基础为超静定结构的内力分析打下基础（）为研究结构动力计算和稳定分析的打基础）为研究结构动力计算和稳定分析的打基础 在结构的制作、架设、养护等过程中，往在结构的制作、架设、养护等过程中，往往需预先知道结构的变形情况，以便采取往需预先知道结构的变形情况，以便采取相应的措施（如图），以消除位移的影响相应的措施（如图），以消除位移的影响 2、结构位移计算的目的、结构位移计算的目的

3、(1)验证结构的刚度验证结构的刚度3 3、位移产生的原因、位移产生的原因（1）、结构）、结构内力内力应变应变结构上各点位置发生变化结构上各点位置发生变化荷载作用荷载作用变形变形（2）、结构）、结构非荷载作用非荷载作用温度改变、支座移动、温度改变、支座移动、材料涨缩、制造误差材料涨缩、制造误差位移位移虽不一定产生应力和应变，但却使结构产生位移。虽不一定产生应力和应变，但却使结构产生位移。变形变形(deformation)结构在外部因素作用下，产生尺寸形状的改变；结构在外部因素作用下，产生尺寸形状的改变；由于变形将导致结构各结点位置的移动，于是产生由于变形将导致结构各结点位置的移动，于是产生位移位

4、移。1）、）、线位移线位移 4 4、结构位移结构位移2）、）、角位移角位移： 3）、位移有）、位移有“相对位移相对位移”与与“绝对位移绝对位移”之分。之分。 上述各种位移统称为上述各种位移统称为“广义位移广义位移”。与广义位移相对应的力称为与广义位移相对应的力称为“广义力广义力”。水平线位移：水平线位移： H铅直线位移：铅直线位移： V 在梁和桁架中，垂直方向位移称为在梁和桁架中，垂直方向位移称为挠度挠度(deflection)(deflection)在刚架中，结点水平方向位移在刚架中，结点水平方向位移称为称为侧移侧移在超静定刚架中，荷载作用下，在超静定刚架中，荷载作用下，结点不仅有角位移，同

5、时有侧结点不仅有角位移，同时有侧移现象。如图示移现象。如图示4）、各种位移举例、各种位移举例相对位移相对位移Relative displacementCD= C+ D绝对位移绝对位移( (Absolute displacement) )一般而言，位移有其产生的一般而言，位移有其产生的原因原因和所在结构和所在结构部位和方向部位和方向。位移用位移用表示表示.双角标双角标表示表示第二角标：第二角标：产生该位移的原因产生该位移的原因第一角标：第一角标：位移的地点和方向位移的地点和方向ijPjABijij由于作用于由于作用于j点确定方向的力点确定方向的力Pj所引起的所引起的i点在某点在某 确定方向的位移

6、确定方向的位移ijPj=1ABijjj柔度柔度( (Flexibility ) )单位力所引起的位移单位力所引起的位移ij 间接柔度间接柔度jj 直接柔度直接柔度jj 0ij00=05 5、计算位移的有关假定、计算位移的有关假定 1)、结构材料服从、结构材料服从“虎克定律虎克定律”，即应力、应变成线形关系。，即应力、应变成线形关系。 2)、小变形假设。变形前后荷载作用位置不变。、小变形假设。变形前后荷载作用位置不变。 3)、结构各部分之间为理想联结，不计摩擦阻力。、结构各部分之间为理想联结，不计摩擦阻力。 4)、当杆件同时承受轴力与横向力作用时，、当杆件同时承受轴力与横向力作用时， 不考虑由于

7、杆弯曲不考虑由于杆弯曲 所引起的杆端轴力对弯矩及弯曲变形的影响。所引起的杆端轴力对弯矩及弯曲变形的影响。 满足以上要求的体系为满足以上要求的体系为“线变形体系线变形体系”。因位移与荷载因位移与荷载为线形关系，故求位移时可用为线形关系，故求位移时可用叠加原理。叠加原理。PPBA6 6、计算结构位移的方法、计算结构位移的方法几何法几何法单位荷载法单位荷载法一、基本概念一、基本概念 1、功、功 (Work)： 2、实功：力由于自身所引起的位移而作功。、实功：力由于自身所引起的位移而作功。P当静力加载时，即：当静力加载时，即： P由由0增加至增加至P 由由0增加至增加至 PT21 实功的计算式为：实功

8、的计算式为： 3、虚功：当位移与作功的力无关时，这样的功称为虚功。、虚功：当位移与作功的力无关时，这样的功称为虚功。 PT PAA D虚功的计算式为：虚功的计算式为： 4、虚功对应的两种状态及应满足的条件：、虚功对应的两种状态及应满足的条件：虚功的两因素虚功的两因素:力力相应的位移相应的位移（1）虚力状态：虚力状态：为求真实位移而为求真实位移而虚设的力虚设的力状态，应满足状态，应满足静力平衡静力平衡条件条件（2）虚位移状态：虚位移状态：为求真实力而为求真实力而虚设的位移虚设的位移状态，应满足状态，应满足变形协调条变形协调条。 刚体虚功原理：刚体平衡的刚体虚功原理：刚体平衡的充要条件充要条件是作

9、用于刚体上是作用于刚体上的的外力外力在刚体的在刚体的任何虚位移任何虚位移上所作的虚功总和为上所作的虚功总和为零零。即：。即： (3)、虚力原理虚力原理：研究虚设的平衡力系在实际位移上的：研究虚设的平衡力系在实际位移上的 功，以计算结构的未知位移功，以计算结构的未知位移(如挠度、转角等如挠度、转角等). (4)、虚位移原理虚位移原理：研究实际的平衡力系在虚设位移上的功，：研究实际的平衡力系在虚设位移上的功， 以计算结构的未知力以计算结构的未知力(如支座反力等如支座反力等).二、刚体虚功原理二、刚体虚功原理理论力学理论力学质点、质点系虚功原理质点、质点系虚功原理W外外01、虚力原理、虚力原理 (

10、Virtual force theory )以图以图(a)示静定梁为例说明虚力原理示静定梁为例说明虚力原理已知：支座已知：支座A移动位移动位 移移c1，求求 解：解：因位移状态给定因位移状态给定故用虚力原理故用虚力原理虚设一单位力，如图虚设一单位力，如图(b)示示ABCP=1R1图（图（b）由平衡条件知：由平衡条件知：R1ab由虚功方程：由虚功方程：011abc即即abc1未知力与已知力未知力与已知力之间的几何方程之间的几何方程ABC图（图（a）abc1 AB应用虚力原理求未知位移的应用虚力原理求未知位移的关键关键是沿拟求位移是沿拟求位移方向虚设单方向虚设单位荷载，并利用平衡条件求与已知位移位

11、荷载，并利用平衡条件求与已知位移c1对应的支反力对应的支反力R1这种解法称为这种解法称为单位荷载法。单位荷载法。特点特点：利用静力平衡，通过虚功方程来解几何问题。：利用静力平衡，通过虚功方程来解几何问题。适用范围：适用范围：刚体体系的位移计算，刚体体系的位移计算，变形体体系的位移计算问题。变形体体系的位移计算问题。2、支座位移时静定结构的位移计算、支座位移时静定结构的位移计算虚设单位荷载的虚设单位荷载的目的目的 使虚功方程中正好包含拟求位移对应的力使虚功方程中正好包含拟求位移对应的力即：单位荷载所作的虚功在数值上正好等于拟求的位移。即：单位荷载所作的虚功在数值上正好等于拟求的位移。例例1 :

12、如图示梁在支座如图示梁在支座A有竖向位移有竖向位移cA，拟求，拟求C点的竖向位移点的竖向位移C;C;(1) 杆杆CD的转角的转角.解解: (1)在点加一竖向在点加一竖向 ，图，图(b)示示:(a)(b)(c)列虚功方程：列虚功方程：0311ACc()在杆上一力偶在杆上一力偶 ，图，图()示示:021lcA解得：解得：ACc31Acl 21 所得位移为正，表明所得位移为正，表明与单位荷载方向一致与单位荷载方向一致小结：小结：支座支座K有给定位移有给定位移cK时静定结构的位移计算步骤时静定结构的位移计算步骤2.令虚设力在令虚设力在 实际位移上作虚功，写出虚功方程实际位移上作虚功，写出虚功方程01K

13、RKcF沿拟求位移沿拟求位移方向虚设相应的单位荷载，求出单位方向虚设相应的单位荷载，求出单位 荷载下的支座反力荷载下的支座反力FRK.得到虚设的平衡力系。得到虚设的平衡力系。3. 求拟求位移为：求拟求位移为：KRKcF图（c）例例2：已知已知B截面处有相对转角截面处有相对转角，拟求，拟求A点的竖向位移点的竖向位移。分析：分析：图（b）图（a）Ma . 12) 虚设虚设P=13) 虚功方程虚功方程01MaM所以所以1）等效图（）等效图（b）例题例题3 三铰刚架，支座三铰刚架，支座B发生如图所示的位移发生如图所示的位移,a=5cm, b=3cm, l=6m,h=5m。求由此而引起的左支座处杆端截面

14、的转角。求由此而引起的左支座处杆端截面的转角 A。-5解：思路解：思路:沿拟求位移方向上沿拟求位移方向上加单位力加单位力（图（图2），求出支座），求出支座反力后依求位移公式计算位移：反力后依求位移公式计算位移：（图（图1）（图（图2） aKACR )05. 0101()03. 061( ).(01. 0 rad3. 局部变形时刚体体系的位移计算公式图示悬臂梁图示悬臂梁B点附近的微段点附近的微段ds有局部变形有局部变形微段局部变形包括微段局部变形包括平均剪切应变平均剪切应变轴线曲率为轴线曲率为k轴向伸长应变轴向伸长应变求求A点沿点沿 方向的位移分量方向的位移分量 dBCAsdsC1A1d思思 路

15、：路：相对剪切位移相对剪切位移 d= ds相对转角相对转角 d= k ds = ds/R相对轴向位移相对轴向位移 dds首先首先dl l g gdsd 其次：将微段变形集中化，即其次：将微段变形集中化，即ds 0B截面发生集中的相对位移截面发生集中的相对位移d、 d 、 d最后：应用刚体虚功原理，得最后：应用刚体虚功原理，得dNdQdMddsNQkMd)(或或虚设单位力在截面虚设单位力在截面B处引处引起的弯矩、剪力、轴力起的弯矩、剪力、轴力BAP=1 局部变形的位局部变形的位移计算公式移计算公式 kcddudRKQNFFFM kcdsRKQNFFFM0gRKQNFFFM、 其中其中 -虚拟单位

16、力下的弯距、轴力、虚拟单位力下的弯距、轴力、 剪力和反力剪力和反力 kc、0g-实际变形状态轴线曲率、轴线伸长应实际变形状态轴线曲率、轴线伸长应 变、平均剪切应变和支座位移变、平均剪切应变和支座位移 一、公式一、公式dsNQkMd)(dsFFkMdQN)(0支座支座位移位移分析，见图分析，见图 (a)求结构上任一点求结构上任一点C沿指定方向沿指定方向K-K上上的分位移的分位移KP(1)可按常规计算方法，可按常规计算方法， 但计算工作麻烦。但计算工作麻烦。(2)利用虚功原理，利用虚功原理， 结构有变形又要有力系。结构有变形又要有力系。求结构变形，须有平衡力系求结构变形，须有平衡力系虚功原理中，虚

17、功原理中，作功力系与位移可以彼此无关，作功力系与位移可以彼此无关，二者之一可以虚设二者之一可以虚设。见图见图(b) 状态状态II表示虚拟状态，沿表示虚拟状态，沿K-K方向作用方向作用1KP 虚拟力引起的内力为虚拟力引起的内力为,KKKNMQ求求KP(1)先设刚架处于先设刚架处于II： 内力，外力满足平衡条件内力，外力满足平衡条件(2)再设其产生再设其产生I 的位移：的位移： 即，将结构的实际位移作为即，将结构的实际位移作为 状态状态II的虚位移的虚位移根据虚功原理和根据虚功原理和 得：得：1KP 1KPMdNdQ dsRclg1KPMdNdQ dsRclgPKPKPKKPM MN NkQ Qd

18、sdsdsRcEIEAGA，NddsEAlMddsEIkQdsdsGAgPKPKPKKPM MN NkQ QdsdsdsRcEIEAGA此即为由虚功原理得到的此即为由虚功原理得到的计算结构位移的一般公式计算结构位移的一般公式 (称单位载荷法称单位载荷法)它可以计算结构的：线位移、角位移、结构绝对、相对位移。它可以计算结构的：线位移、角位移、结构绝对、相对位移。虚拟状态中的虚拟状态中的单位力单位力为所计算为所计算位移相应的广义力位移相应的广义力。二、变形体位移计算的步骤：二、变形体位移计算的步骤：1、沿拟求位移、沿拟求位移方向虚设相应的单位荷载方向虚设相应的单位荷载3、利用公式计算拟求位移、利用

19、公式计算拟求位移注：注：1、是广义位移是广义位移2、应用单位荷载法每次只能求得一个位移、应用单位荷载法每次只能求得一个位移3、虚拟单位力的指向可任意假定，求出结果为正表明、虚拟单位力的指向可任意假定，求出结果为正表明 实际位移方向与虚拟单位力的方向一致，否则相反实际位移方向与虚拟单位力的方向一致，否则相反2、确定单位荷载下的结构内力、确定单位荷载下的结构内力 M、 N、 Q 和支反力和支反力R三、几种类型的虚拟状态三、几种类型的虚拟状态 求线位移：求线位移： 沿拟求位移方向上施加相应的单位力。沿拟求位移方向上施加相应的单位力。求转角、相对转角：求转角、相对转角： 沿拟求位移方向上施加相应的单位

20、力矩。沿拟求位移方向上施加相应的单位力矩。若求结构上若求结构上C点的竖向位移，可在该点沿所求位移方点的竖向位移，可在该点沿所求位移方向加一单位力，如图示向加一单位力，如图示2) 若求结构上截面若求结构上截面A的角位移，可在截面处加一单位力偶。的角位移，可在截面处加一单位力偶。若求桁架中若求桁架中AB杆的角位移，应加杆的角位移，应加一单位力偶，构成这一力偶的两个一单位力偶，构成这一力偶的两个集中力的值取集中力的值取 1/d。作用于杆端。作用于杆端且垂直于杆且垂直于杆(d 为杆长为杆长)。3) 若要求结构上两点若要求结构上两点(A、B)沿其连线的相对位移，可在沿其连线的相对位移，可在该两点沿其连线

21、加上两个方向相反的单位力。该两点沿其连线加上两个方向相反的单位力。4) 若求梁或刚架上两个截面的相对角位移，可在两个若求梁或刚架上两个截面的相对角位移，可在两个截面上加两个方向相反的单位力偶。截面上加两个方向相反的单位力偶。PFQPNPPF,F,MEIMPEAFNPGAFQPk0dsMdsFdsF0QNgdsGAFFkdsEAFFdsEIMMQPQNPNP一、荷载作用下内力和变形的关系一、荷载作用下内力和变形的关系dsGAFFkdsEAFFdsEIMMQPQNPNP以拉力 为拉FFNPN,QPQF,F拉时时其乘积取正两者使杆件同侧纤维受 PM,M式式 中中M, FN , FQ是实际荷载引起的内

22、力是实际荷载引起的内力以使微段顺时针转动为正以使微段顺时针转动为正1 1）梁和刚架）梁和刚架dsEIMMP2 2）桁架）桁架dsEAFFNPN3 3）桁梁混合结构）桁梁混合结构dsEAFFdsEIMMNPNP4 4）拱）拱dsEAFFdsEIMMNPNP二、各类结构的位移公式二、各类结构的位移公式 三、位移计算举例三、位移计算举例 例题例题1 试求图示刚架试求图示刚架A点的竖向位移点的竖向位移AV。各杆材。各杆材料相同，截面抗弯模量为料相同，截面抗弯模量为EI。解：（解：（1）在）在A点加一单位力，建立坐标系如（图点加一单位力，建立坐标系如（图2）示，写出）示，写出弯矩表达式弯矩表达式AB段：

23、段：BC段：段： （2）荷载作用下（图）荷载作用下（图1）的弯矩表达式）的弯矩表达式AB段：段：BC段：段：1xMK lMK 221qxMP 22qlMP （3）将以上弯矩表达式代入求位移公式）将以上弯矩表达式代入求位移公式)(85)2)(1)2)(1402210211 EIqldxqllEIdxqxxEIdsEIMMllPKAV例例2，计算图示刚架，计算图示刚架C端的水平位移和角位移端的水平位移和角位移已知已知EI为常数。为常数。解：在载荷作用下，解：在载荷作用下，刚架的刚架的 图如图所示，图如图所示，PM状态状态IAB柱212PMqa 212PMqx BC梁求求C点的水平位移，可在点的水平

24、位移，可在C点加一单位力点加一单位力得状态得状态II，KM图图BC梁0KMAB柱KMx状态状态II代入位移公式，得：代入位移公式，得：201()20aPKcxqaM MdsdxEIEI 44qaEI求求C点的角位移，点的角位移， 可在可在C点加一单位弯矩点加一单位弯矩, 如图示如图示.其计算方法与其计算方法与(1)相同相同例例2. 计算桁架结点计算桁架结点C 的竖向位移，设各杆的竖向位移，设各杆EA都相同。都相同。解解 1)、分析内力：、分析内力：本问题因为桁架与载荷均对称，本问题因为桁架与载荷均对称，所有只需计算所有只需计算一半桁架的内力一半桁架的内力。ABDE利用体系利用体系整体平衡整体平

25、衡关系，得：关系，得：支座反力支座反力ABVVP利用利用结点法结点法，取，取A点分析点分析由由A点的点的Y方向平衡得：方向平衡得：0AADVYADAYVP ABDE利用三角形关系利用三角形关系A点点X方向平衡方向平衡得：得：0ACADNXACNP(拉力拉力)ABDE(压力压力)2ADADdYNd22ADADNYP 同理同理2ADADdXNdADXP ABDE取取D点分析点分析D点点X方向平衡方向平衡DEADNXP (压力压力)显然显然DC杆的杆力为杆的杆力为零零。2)、计算位移、计算位移C点加一单位力点加一单位力 P1由位移公式：由位移公式：2(22)6.83( )PdPdEAEA1212 (

26、2 ) ()222() ( 1) 2 22PdPdPdEA 1cPKN N lEA 为正值表示，为正值表示，C处的位移与虚拟力的方向相同。处的位移与虚拟力的方向相同。c例题例题3 试求图示桁架试求图示桁架C点的竖向位移点的竖向位移CV。各杆材料相。各杆材料相 同，截面抗拉压模量为同，截面抗拉压模量为26/102mKNEA (kN)NP图图( a)KN图图( b)解（解（1）在）在C点加一单位力，作桁架内力图点加一单位力，作桁架内力图.如图如图(b)示示. （2）作出荷载作用下的桁架内力图）作出荷载作用下的桁架内力图,如图如图(a)示示. （3）将）将NK、NP代入求位移公式代入求位移公式dsE

27、ANNPKCV)2()20() 1()5()36.22()12. 1 ()5()36.22()49. 1 ()3()10()67. 0(1EA)(03. 0m 例题例题3 试求图示半径为试求图示半径为R的圆弧形曲梁的圆弧形曲梁B点的竖向点的竖向位移位移BV。梁的抗弯刚度。梁的抗弯刚度EI为常数。为常数。解（解（1）在）在B点加一单位力，写出单位力作用下的弯矩表达式点加一单位力，写出单位力作用下的弯矩表达式 （2）写出单位力作用下的弯矩表达式）写出单位力作用下的弯矩表达式 （3）将）将MK、MP代入求位移公式代入求位移公式dsEIMMPKBP)(EI4PRdsinEIPR3202320)Rd)(

28、sinPR)(sinR(EI1sinPRMPsinRMK 练习题：练习题： 试求图示连续梁试求图示连续梁C点的竖向位移点的竖向位移CV和和A截截面的转角面的转角A , 截面抗弯模量为截面抗弯模量为EI。PCBAl/2l/2答案：答案：)(483EIplcv)(162EIplACBAl/2l/2M答案：答案：)(162EIMlcv)(3EIMlA(1)(2)PM实际荷载实际荷载2qx21虚设单位荷载虚设单位荷载Mx3 3）求位移）求位移dsEIMMPAVdsEIx)(qx21(L028EIqL4(3) (3) 试求所示悬臂梁在试求所示悬臂梁在A A端的竖向位移端的竖向位移 解：解： 1 1）虚设

29、单位荷载如图）虚设单位荷载如图( (b) b) 2 2）求内力表达式求内力表达式 讨论讨论:解：解：NF0.50.5001.5-1.581.5-1.58(4) (4) 求所示桁架顶点求所示桁架顶点C C的竖向位移的竖向位移。 2 2）求）求NPF1.51.54.50-4.743.00-4.42-0.951.503 3）求）求CEALFFNPNC1.66cm2Pqx21MxMNPFQPFqxsin FNPqxqxcos FQPsinFNcosFQdsEIMMABPMdsx2EIqAB3Rsin x )cosR(1yRdds 3EIqR4M3EA2qR2N3GAkqR2G(5) (5) 求求B B

30、点的竖向位移。点的竖向位移。一、图乘法得引入一、图乘法得引入二、图乘法适用条件及公式推导二、图乘法适用条件及公式推导1、适用条件、适用条件lPdxEIMM积分积分可通过可通过M 、MP两图相乘两图相乘的方法求得的方法求得. 1）、杆件为）、杆件为等截面直杆等截面直杆。 2）、）、EI为常数为常数。 3）、）、M、MP 图形中图形中至少有一个为直线图形至少有一个为直线图形。2、公式推导、公式推导lPdsEIMM结论：结论：在满足前述条件下，积分式在满足前述条件下，积分式 之值之值等于某一图形等于某一图形 面积面积乘以该面积形心所对应的另一直线图乘以该面积形心所对应的另一直线图形的纵形的纵距距y0

31、,再除以再除以EI。lPdsEIMMyxoyycdxdMP(x)M (x)xxcBABAPdxMMEI1 BAPdxMtgxEI 1 baPdxxMtgEI 1 BAxdtgEI 1PcxtgEI1cPyEI1此即位此即位图乘法的公式图乘法的公式积分问题积分问题转化为转化为求内力图的求内力图的面积、形心、和竖标面积、形心、和竖标的问题的问题lPdsEIMMcPyEI13、使用乘法时应注意的问题、使用乘法时应注意的问题 1）、适用条件必须满足，缺一不可。）、适用条件必须满足，缺一不可。2)、正负号规则：、正负号规则：面积面积与标距与标距y y0 0在杆件同侧，乘积为正；否则为负。在杆件同侧，乘积

32、为正；否则为负。a） 杆件是等截面直杆，即杆件是等截面直杆，即EI常数常数b）两内力图中至少有一个是直线）两内力图中至少有一个是直线c）纵距）纵距y0只能从直线图中取得只能从直线图中取得.4 4、几种常见图形的、几种常见图形的面积和形心面积和形心位置位置三、使用乘法时应注意的问题三、使用乘法时应注意的问题M图图MP图图Pyo01yEIP 1、yo必须取自直线图形必须取自直线图形M图图MP图图)(12211yyEI 1y12y22、当当M为折线为折线图形时图形时，必须必须分段分段计算计算M图图1EI1EI2EI2EIMP图图22211111yEIyEI3、当杆件为当杆件为变截面变截面时亦应时亦应

33、分段分段计算计算1y12y2MP图图M图图4、图乘有图乘有正负正负之分之分：弯矩图在杆轴线弯矩图在杆轴线同侧取正号；同侧取正号； 异侧取负号。异侧取负号。Pyo01yEIP Pyo01yEIP M图图MP图图221111yEIyEI 5、若两个图形若两个图形均为直线图形时，均为直线图形时，则面积、纵标可则面积、纵标可任意任意分别分别取自两图形取自两图形2y21y1 )()(1432211yyyyEI 6、图乘时，可将弯矩图图乘时，可将弯矩图分解为简单图形，按叠加法分解为简单图形，按叠加法分别图乘分别图乘l)22(61)323(2)332(21bcadcdaclEIdcbldcalEIy1y21

34、y3y42abcdMP图图M图图M图图MP图图acdl )2()832()332()2(1dcqlldcalEI82qla82qll 使用乘法时应注意的问题小结：使用乘法时应注意的问题小结： 1、yo必须取自直线图形；必须取自直线图形； 2、当、当M为折线为折线图形时图形时，必须分段，必须分段计算；计算； 3、当杆件为、当杆件为变截面时亦应分段变截面时亦应分段计算；计算； 4、图乘有正负图乘有正负之分之分； 5、若两个图形、若两个图形均为直线图形时，均为直线图形时，则面积、纵标可则面积、纵标可任任 意意分别取自两图形；分别取自两图形； 6、图乘时，图乘时，可将弯矩图可将弯矩图分解为简单图形，按

35、叠加法分解为简单图形，按叠加法 分别图乘；分别图乘； 7、三角形、标准二次抛物线的面积、形心公式必须三角形、标准二次抛物线的面积、形心公式必须 牢记。牢记。5 5、举例、举例解：解：1 1）作）作M Mp p图图2 2）作）作 图图M3 3）求）求BLqL813220w21y0EIy0Bw(a)1w解：解：1 1）作）作M Mp p图图2 2）作）作 图图M3 3）求）求c2L2L210wLF65yP0EIAy0c 例例2 2 图示为一悬臂梁，在图示为一悬臂梁，在 A A 点作用集中荷载点作用集中荷载F Fp p 。试求。试求 中点中点C C 的挠度的挠度CVw1w2w3解：解： 1 1）作）

36、作M Mp p图图2 2）作）作 图图M3 3）求）求HB1y2y3yL2qL2121wL32y1L2qL2122wL32y2L8qL3223w2Ly3EIyiiBwH 例例3 3 试求下列图示刚架结点试求下列图示刚架结点B B 的水平位移的水平位移BH 。各杆截面。各杆截面为矩形为矩形bh,bh,惯性矩相等。只考虑弯曲变形的影响。惯性矩相等。只考虑弯曲变形的影响。解：（解：（1）绘）绘Mp图图)(0924. 013860 mEIlP1CV)6()3006()26()45632()362()23006(EI1dsEIMM 例题例题 试求左图所示刚架试求左图所示刚架C点的竖向位移点的竖向位移CV

37、和转角和转角 C。各杆材料相同，截面抗弯模量为各杆材料相同，截面抗弯模量为:25105 . 1mKNEI （2）求求C C点的竖向位移，在点的竖向位移，在C C处加一单位力，绘处加一单位力，绘M1图图Mp图图M1图图(3) 求求C点的转角点的转角).(rad0168. 0EI25201)6300(1)45632(1)26300(EI1C在在C处加一单位力偶，绘出（处加一单位力偶，绘出（M2图）图）Mp图图M2图图一、由于温度改变引起的位移一、由于温度改变引起的位移静定结构温度改变并不引起内力，变形和位移是材料自由膨胀、收缩的结果。杆件的微段h1 、 h2分别为轴至上、下边缘的距离上边缘温度上升

38、1t 下边缘温度上升2t 沿杆截面厚度为线性分布，轴线温度0t上下温差 t轴线温度：轴线温度：1 12 20hth tth上下边缘的温差：上下边缘的温差：21 ttt曲率：曲率：伸长应变：伸长应变：0t21()dtt dstdshdsh线膨胀系数线膨胀系数d 由位移计算公式：由位移计算公式：0KPtNdMdN t dsMdshldsds若若 沿每一杆件的全长为常数，则：沿每一杆件的全长为常数，则：0, ,t t h0cttNdsMdsh 以温度升高为正，弯矩 和温差 引起的0t tM弯矩为同一方向时，其乘积取正，反之取负。式中式中:例：试求右图，例：试求右图，a所示刚架所示刚架C点的点的水平位

39、移水平位移 。 已知刚架各杆外侧温度无变化，内侧温度上已知刚架各杆外侧温度无变化，内侧温度上 升升10C，刚架各杆的截面相同且与形心轴对刚架各杆的截面相同且与形心轴对 称，线膨胀系数为称，线膨胀系数为 。c解：在解：在C点沿水平方向点沿水平方向 加一单位力加一单位力 P1 。作出相应的 、 图。并有：MN轴向上的温度上升值。轴向上的温度上升值。01211()(010 )522tttC10010tC 式中式中 h 为截面高度。所得结果为正值，表示为截面高度。所得结果为正值，表示C点位移点位移与单位力方向相同。与单位力方向相同。0cttNdsMdsh 杆件由于温度改变而发生的弯曲变形，杆件由于温度

40、改变而发生的弯曲变形，该变形与由于该变形与由于 所产生的弯曲变形方向相同所产生的弯曲变形方向相同(如图虚线所示如图虚线所示)，M应用条件：应用条件：线线性性小小变形体系变形体系1 1、功的互等定理、功的互等定理功的互等定理：功的互等定理：在任一线形变形体系中在任一线形变形体系中第一状态外力在第二状态位移上所作的功等于第二状态第一状态外力在第二状态位移上所作的功等于第二状态外力在第一状态位移上所作的功，即外力在第一状态位移上所作的功，即2 2、位移互等定理、位移互等定理位移影响系数位移影响系数ijPjijFjiij如果作用在体系上的力是单位力，则在第一个单位力方向上，如果作用在体系上的力是单位力

41、，则在第一个单位力方向上，由于第二个单位力所引起的位移等于第二个单位力方向上，由于第二个单位力所引起的位移等于第二个单位力方向上，由于第一个单位力所引起的位移。由于第一个单位力所引起的位移。3 3、反力互等定理、反力互等定理反力影响系数反力影响系数ijjRijrcFjiijrr 如果结构支座发生的是单位位移，则支座如果结构支座发生的是单位位移，则支座1由于支座由于支座2的的单位位移所引起的反力单位位移所引起的反力r12等于支座等于支座2由于支座由于支座1的单位位的单位位移所引起的反力移所引起的反力r21。4 4、位移、反力互等定理（自学）、位移、反力互等定理（自学）要求要求1 1 熟练写出位移

42、计算一般公式及其各符号含义，并理解公熟练写出位移计算一般公式及其各符号含义，并理解公式推导过程式推导过程2 2 熟练掌握静定结构位移计算方法。熟练掌握静定结构位移计算方法。积分法积分法 图乘法图乘法（应用条件、计算步骤、注意事项）（应用条件、计算步骤、注意事项）刚架、梁、桁架和组合结构的位移计算刚架、梁、桁架和组合结构的位移计算3 3 互等定理互等定理4 4、习题、习题一、判断题一、判断题1 1）计）计 算算 组组 合合 结结 构构 的的 位位 移移 时时 可可 以以 只只 考考 虑虑 弯弯 曲曲 变变 形形 的的 影影 响响 ， 即即 。（。（ ） (MMEIsP/)d2 2）静）静 定定

43、结结 构构 的的 内内 力力 计计 算算 ， 可可 不不 考考 虑虑 变变 形形 条条 件件 。（）。（）3 3）静定结构在温度变化、支座移动等影响下，不仅产生变形，）静定结构在温度变化、支座移动等影响下，不仅产生变形，同时产生内力。（）同时产生内力。（）4 4）静定结构在荷载作用下，产生的位移大小与该结构的各杆）静定结构在荷载作用下，产生的位移大小与该结构的各杆EIEI的相对值有关。（）的相对值有关。（）5 5） 求求 图图 示示 结结 构构 A A 点点 竖竖 向向 位位 移移 可可 用用 图图 乘乘 法法 。（）。（） qA6 6）静）静 定定 结结 构构 ，在，在 支支 座座 移移 动

44、动 作作 用用 下下 ， 有有 位位 移移 、 有有 内内 力力 产产 生。生。 （ ） 二、选择题二、选择题1 1）求）求 图图 示示 梁梁 铰铰 C C 左左 侧侧 截截 面面 的的 转转 角角 时时 ， 其其 虚虚 拟拟 状状 态态 应应 取（）取（） 2 2）图）图 示示 结结 构构 （ EI EI = = 常常 数数 ）, , 受受 荷荷 载载 P P 及及 支支 座座 移移 动动 的的 共共 同同 作作 用用 ， A A 端端 的的 弯弯 矩矩 M MA A 等等 于于 ： A. A. PlPl+3+3EIaEIa/4( /4( 上上 侧侧 受受 拉拉 ） ; ;B. B. Pl+

45、EIaPl+EIa/3 ( /3 ( 上上 侧侧 受受 拉拉 ） ; ; C. C. PlPl/2+3/2+3EIaEIa/4( /4( 下下 侧侧 受受 拉拉 ） ; ;D. D. PlPl/2(/2(下下 侧侧 受受 拉拉 ） 。( () ) aPl2l2lA3 3）图）图 示示 结结 构构 的的 两两 个个 状状 态，态， 位位 移移 互互 等等 ， 和和 的量的量 纲纲 为为 ： A. A. 长长 度度 ； B. B. 无无 量量 纲纲 ； C. C. 长长 度度 / / 力力 ； D. D. 力力 / /长长 度度 。 （ ） 12211221p1=121122=1P状状 态态 (1) (1) 状状 态态 (2) (2)4 4）图）图 示示 梁梁 A A 点点 的的 竖竖 向向 位位 移移 为为 （ 向向 下下 为为 正正 ）：）： A . ; A . ; B . ; B . ; C . ;C . ; D . D . 。( () ) P lE I32 4/ ()P lE I31 6/ ()5963PlEI/ ()5483PlEI/()PEIEIAl/l/2225 5）图）图 示示 结结 构构 EI EI = = 常常 数数 ， 刚刚 结结 点点 C C 的的 角角