§76高阶线性微分方程ppt课件

1、7.6 高阶线性微分方程高阶线性微分方程一、举例一、举例例例: :设有一弹簧下挂一重物设有一弹簧下挂一重物,如果使物体具有一个初如果使物体具有一个初始速度始速度00 v,物体便离开平衡位置物体便离开平衡位置,并在平衡位置并在平衡位置附近作上下振动附近作上下振动.试确定物体的振动规律试确定物体的振动规律)(txx .解解受力分析受力分析;. 1cxf 恢恢复复力力;. 2dtdxR 阻力阻力xxo,maF ,22dtdxcxdtxdm 02222 xkdtdxndtxd物体自由振动的微分方程物体自由振动的微分方程,sin ptHF 若若受受到到铅铅直直干干扰扰力力pthxkdtdxndtxdsi

2、n2222 强迫振动的方程强迫振动的方程二阶线性微分方程二阶线性微分方程)()()(22xfyxQdxdyxPdxyd 时，时，当当0)( xf二阶线性齐次微分方程二阶线性齐次微分方程时，时，当当0)( xf二阶线性非齐次微分方程二阶线性非齐次微分方程n阶线性微分方程的一般形式阶线性微分方程的一般形式Ly)=).()()()(1)1(1)(xfyxPyxPyxPynnnn 二、线性微分方程的解的结构二、线性微分方程的解的结构1.1.二阶齐次方程解的结构二阶齐次方程解的结构: :定定理理 1 1 如如果果函函数数)(1xy与与)(2xy是是方方程程( (1 1) )的的两两个个解解, ,那那末末

3、2211yCyCy 也也是是( (1 1) )的的解解. .（21, CC是是常常数数）问题问题: :一定是通解吗？一定是通解吗？2211yCyCy )1(0)()( yxQyxPy也也是是解解是是解解，1212yyy 不不是是通通解解1212211)2(yccycyc 定定义义 设设nyyy,21为为定定义义在在区区间间I内内的的n个个函函数数如如果果存存在在n个个不不全全为为零零的的常常数数，使使得得当当x在在该该区区间间内内有有恒恒等等式式成成立立 02211 nnykykyk， 那那么么称称这这n个个函函数数在在区区间间I内内线线性性相相关关否否则则称称线线性性无无关关 例如例如xx2

4、2sin,cos1，xxxeee2, ，线性无关线性无关线性相关线性相关时，时，当当),( x特别地特别地: 若若在在 I 上上有有常常数数， )()(21xyxy则则函函数数)(1xy与与)(2xy在在 I 上上线线性性无无关关.例如例如, 0 yy,sin,cos21xyxy ,tan12常数常数且且 xyy.sincos21xCxCy 推广推广 如果如果)(1xy，)()(2xyxyn，是齐次方程是齐次方程)2(0)()()(1)1(1)( yxayxayxaynnnn 的的 n 个线性无关的特解个线性无关的特解, , 那么那么nnyCyCyCy 2211就是方程就是方程(2)的通解的通

5、解. . )1(0)()( yxQyxPy如何求方程如何求方程(1)(1)的两个线性无关的特解的两个线性无关的特解, ,是一件困难是一件困难事，我们常采用事，我们常采用观察方法观察方法有目的、有分析的观察。有目的、有分析的观察。.,0)1(21xxecxcyexyyxyx 故故通通解解为为观观察察出出两两个个线线性性无无关关解解例例注注: :如果只能观察一个解如果只能观察一个解: y1(x), 那么那么 ,1)(2112dxeyyydxxP 补充补充可观察出可观察出一个特解一个特解0)()( yxQyxPy, 0)()()1( xxQxP若若;xy 特解特解, 0)()(1)2( xQxP若若

6、;xey 特特解解, 0)()(1)3( xQxP若若.xey 特特解解的的一一个个非非零零特特解解，是是方方程程设设)1(1y12)(yxuy 令令代入代入(1)式式, 得得, 0)()()(2(111111 uyxQyxPyuyxPyuy,uv 令令则有则有, 0)(2(111 vyxPyvy, 0)(2(111 uyxPyuy即即证明证明:解得解得,1)(21 dxxPeyvdxeyudxxP )(211,1)(2112dxeyyydxxP 刘维尔公式刘维尔公式齐次方程通解为齐次方程通解为.1)(211211dxeyyCyCydxxP 0)(2(111 vyxPyvy的一阶方程的一阶方程

7、 v2.2.二阶非齐次线性方程的解的结构二阶非齐次线性方程的解的结构: : yyy证证明明： yyy)()( yyxQyyxPyy则则 yxQyxPyyxQyxPy)()()()()(xf 定理定理 4 4 设非齐次方程设非齐次方程(2)(2)的右端的右端)(xf是几个函是几个函数之和数之和, , 如如)()()()(21xfxfyxQyxPy 而而*1y与与*2y分别是方程分别是方程, , )()()(1xfyxQyxPy )()()(2xfyxQyxPy 的特解的特解, , 那么那么*2*1yy 就是原方程的特解就是原方程的特解. .特解的叠加原理特解的叠加原理例如：例如：.342的的特特

8、解解求求方方程程xexyy .538141:,538141344222xxxexexeyyxyy 故故原原方方程程的的特特解解和和为为的的特特解解及及可可以以看看出出非齐次线性方程通解求法非齐次线性方程通解求法 - - 常数变易法常数变易法 设对应齐次方程通解为设对应齐次方程通解为2211yCyCy (3)设非齐次方程通解为设非齐次方程通解为2211)()(yxcyxcy 22112211)()()()(yxcyxcyxcyxcy 设设0)()(2211 yxcyxc22112211)()()()(yxcyxcyxcyxcy (4)得得代入方程代入方程将将),2(,yyy )()()()()(

9、)()()()(222211112211xfyxQyxPyxcyxQyxPyxcyxcyxc ,)()()(21xwxfyxc ,)()()(12xwxfyxc 积分可得积分可得,)()()(211 dxxwxfyCxc,)()()(122 dxxwxfyCxc非齐次方程通解为非齐次方程通解为.)()()()(12212211 dxxwxfyydxxwxfyyyCyCy)()()(2211xfyxcyxc (5)(4),(5)联立方程组联立方程组 )()()(0)()(22112211xfyxcyxcyxcyxc, 0)(2121 yyyyxw系系数数行行列列式式.1111的通解的通解求方程求

10、方程 xyxyxxy解解, 01111 xxx对应齐次方程一特解为对应齐次方程一特解为,1xey 由刘维尔公式由刘维尔公式 dxeeeydxxxxx1221,x 对应齐方通解为对应齐方通解为.21xeCxCY 例例,)()(21xexcxxcy 设原方程的通解为设原方程的通解为应满足方程组应满足方程组，)()(21xcxc 1)()(0)()(2121xxcexcxcexcxxx解得解得 xxexcxc)(1)(2122)(Cexexcxx ，11)(Cxxc 原方程的通解为原方程的通解为. 1221 xxeCxCyx的的解解。是是齐齐次次微微分分方方程程的的解解，则则是是非非齐齐次次微微分分方方程程若若定定理理)1()3(,52121yyyy )()()(111xfyxQyxPy 证证明明：)()()(222xfyxQyxPy 0)()()(212121 yyxQyyxPyy求求通通解解。及及有有两两个个特特解解：设设例例,)1()()(1221xeyxeeyxfyxpyxxx xeyyx 21解：解：xecyx xexecyxx2 解解321,yyy都是微分方程的解都是微分方程的解,23xeyy ,212