(完整版)高考数学专题《数列》超经典

1、高考复习序列-高中数学数列、数列的通项公式与前n项的和的关系anSi,SnSn1sn+1 -aiSn-1sn 1,nan(na2 L=an+12)an+ an（注：该公式对任意数列都适用）（注：该公式对任意数列都适用） （注：该公式对任意数列都适用） （注：该公式对任意数列都适用）二、等差与等比数列的基本知识1、等差数列通项公式与公差:定义式：a般式：aanain 1 d anpn q推广形式:anam (n m)dSn Sm前n项和与公差的关系：d 工一m 2 n m前n项和与通项a。的关系:前n项和公式：snn(a an)2n(n 1) d2前n项和公式的一般式:应用：若已知f n 2n2

2、an 与 Sn的关系：anSn例：等差数列Sn 2n 1 ,an常用性质:若 m+n=p+q ,贝U有 amanm、p成等差数列;Sn An2 Bn,其中 A -,B 2d 21n(a1 d )n .22a1 -d2即可判断f n为某个等差数列an的前n项和，并可求出首项及公差的值。Sn i（n 2）（注：该公式对任意数列都适用）an 1（直接利用通项公式作差求解）ap aq ；特别地：右 am是an,ap的等差中项，则有 2aman a p n、等差数列的“间隔相等的连续等长片断和序列”(如 ai a2 a3, a4a5a6, a?a8a9,）仍是等差数列；an为公差为d等差数列，Sn为其前

3、n项和，则Sm,S2mSm,S3m也成等差数列，A、构成的新数列公差为D=m2d,即m2d=（S2m-Sm）- Sm;B、对于任意已知Sm, Sn,等差数列an公差Sn Sm d n m 2 n m d也构成一个公差为d等差数列。217为在等差数丸g中工()口“= E* am = nt mw% 良M用*睥=0；若又二5m =n, mw*= (m + n)i3.若g j与由.均为等差数列，且前设项却分别为k与亶，则M4.项/为之口6N ）得散的等差数列（外。符,邑川-M七 * 口士G=一=h（1tt + fln+i）（a* 口"工为中间的两项）;.Hn-n项数为奇数2蔺1f N1的等差

4、数列伍,有:=（' I） /1口”为中互项J ；5时一5曲=刖等=言5折,5侵分税为数列中所有奇数项的和与年有偎数里的和.若项数为偶数，设共有 2n项，则S偶 S奇 nd ；若项数为奇数，设共有 2n 1项,则S奇 S偶 an且亘；S 禺an 1&-S禺n例：已知等差数列 an ,其中S1010QS100解析:法一，用等差数列求和公式na 110,则 S1n (n 1)210求出a,d法二,S10,S20S10, S30S20.S110S100 成等差数列，设公差为D,则:S110法三,S100若010S1045D= w,(n>wr)p 则S=一仍 + 叫二4I。= -1

5、63.等比数列的通项公式:一般形式:n 1anaiqqn(n N推广形式：anamnan amai(1 qn)其前n项的和公式为:sn1 q na1，q,qai,qna1，q数列an为等比数列Jan 12anan1 an2,n Nann 1a qanap0, nN*SnAnq常用性质: 若m+n=p+q,则有 amanapaq ；特别地：若am是an,ap的等比中项，则有am2anaPn、m、p成等比数列；等比数列的“间隔相等的连续等长片断和序列”（如a1a2a3,a4a5a6, a7a8a9 ,）仍是等比数列；an为等比数列，Sn为其前n项和，则Sm,S2m Sm,S3m S2m, S4m

6、&m .也成等比数列（仅当当q 1或者q 1且m不是偶数时候成立）；设等比数列bn的前n项积为Tn,则Tk, TZT上，Tk成等比数列. Tk T2kT3k an为等比数列，则下标成等差数列的对应项成等比数列. an既是等差数列又是等比数列an是各项不为零的常数列.判断或证明一个数列是等差数列的方法：定义法：an 1 an d（常数）（nN）4是等差数列中项法：2an 1 an an 2（n N ） an是等差数列一般通项公式法：an kn b（k,b为常数） an是等差数列一般前n项和公式法：Sn An2 Bn（A,B为常数）烝 是等差数列判断或证明一个数列是等差数列的方法：a（1）

7、定乂法：q （常数）an为等比数列；an2 中项法：an 1an an 2（an 0） an为等比数列；（3）通项公式法：an k qn （k,q为常数）an为等比数列；（4）前n项和法：Sn k（1 qn） （k,q为常数）an为等比数列。Sn k kqn （k,q为常数）an为等比数列。数列最值的求解（1） & 0, d 0时，Sn有最大值；a1 0, d 0时，Sn有最小值；（2） Sn最值的求法：若已知 Sn, Sn的最值可求二次函数2Sn an bn的最值;可用二次函数最值的求法（nN）；或者求出an中的正、负分界项，即:若已知则Sn最值时n的值（n N ）可如下确定anan

8、 1an例1:等差数列an中，4 0,S9Sl2 ,则前a10, S9SI2S12S9a12 ana100an 1项的和最大。a112 a11a12a10a12例2.a12a10设等差数列求出公差指出a1同理:故an变式:解析:ana100的前n项和为d的范围,前11（或前10项）项和最大Sn,已知a3 12, S120, S130S2,， S12中哪一个值最大,a3 2d 12 2d,S12S312,并说明理由。a12212 2 12 2d 11d156 52d,根据已知S2 J S136 ,an 0 n若等差数列的首项为为a16S120, S30,224d 37144 42d0 ,可知，n

9、=12是前7,所以，S6最大31,从第16项开始小于1，但要注意此时还要一个隐含条件a15n项和正负分界项,则此数列公差d的取值范围是1 ,联立不等式组求解。3、若数列的前n项和Sn n2 10n,则annsn数值最小项是第项。【解析】：法一（导数法）：根据等差数列前n项和的标准形式SnAn2 Bn ,可知该数列为等差数列,an 2n 1110n9,a2 S22,nSn 2n 11n7, da2 a12,f(n) nSn-2-2n 11n, f (n)4n11 一，11,当f （n） 0时，即n 一时,取得最小值,411其中21143,分别求出f （2）14, f（3）15,可见当n=3时ns

10、n取得最小。法二（列举法）：对于a1 0且数值较小，d 0且数值较大时，可用列举法，分别求出n=1、2时的nsn的值，再进行比较发现。.一.an4、已知数列 an , ai 33,anian2n,则一的最小值为n析】：法一（均值不2)： 由累加法：an a1 n -nann2-n 33 ,令f (n)anf(5)n33,5n丝1,可见当n nf(6) 63,可见 n 633,n即n .33时，免取得最小值，5 .33 n6时取得最小值。法二（列举法）：实在没招时使用该法。5、已知等差数列的前n项和Sn, S100, S1525,则n Sn的最小值为Sn Sm6,Snmn3 10n233, s0

11、0aiaio0 a13，令f(n) nSn,f (n)n2"n,当f（n） 0,即n 即时取得最小值, 336 207,而f(6) -48, f -49,故取-49已知等比数列J的首项为公比为-/其前项和等比数列；/中，为工，一名S对川e N*恒成立.Mji-J的最小 昆JtV，递减数列,r-iit则数列是名-工递增数列，故I sj即一工用-工。"72"工11 re -i0 ¥ TTL3T山题意可加；*-£&时印七、.恒：由立.则H,B >37212所以3一W之即/一.4的最小色为婴口12 72 7272数列通项公式的求法:类型1

12、 :等差数列型ani an f (n)思路：把原递推式转化为 an i anf (n),再使用累加法(逐差相加法)求解。例，已知数列an满足an 1 an 2n 1, a1 1 ,求数列an的通项公式。解：由 an 1 an 2n 1 得 an 1 an 2n 1 则an an 1 2(n 1) 1an 1 an 2 2(n 2) 1 ?a2 a1 2* 1 1以上逐次累加，an n2所以数列an的通项公式为an n2变式：已知数列an满足an 1 2an 3 2n , a1 2 ,求数列an的通项公式。解：an 12an 32n 两边除以2n1,得：1n,则 n 11n,此时 f (n),故

13、数列nJ2nl 2n 22n 1 2n 222n:是以± 2 1为首项，以刍为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得之 1 (n 1)另，所以数列an21222n2,一31c的通项公式为an (3n)2 n评注：本题an 1、an前的系数不一致，不能直接使用前述方法， 解题的关键是把递推关系式 an 1 2an 3 2n转化为帮 牛 3,说明数列、是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出2 1 (n 1)3,2n2n22n2 n2进而求出数列an的通项公式。类型2：等比数列型an 1f (n)ana把原递推式转化为 f(n),再使用累乘法(逐商相乘法)求解。 an例 (2004

14、年全国I第15题，原题是填空题)已知数列an满足a11,ana12a23a3L (n1)an 1 (n2),求an的通项公式。解：因为 an a1 2a2 3a3 L (n 1)an 1(n 2)所以 an 1a1 2a2 3a3 L (n 1)an 1 nan an 1(n 2)用式一式信 an 1 an nan.则 an1 (n 1)an(n 2)；故an所以an且L马lan 1 an 2a3一 a2n(n 1)a2,crn!L 4 3a?a2.2由 an a1 2a2 3a3L (n 1)ani(n2),取 n2得 a2 a12a2,则 a2 a1,又知 a1 1,则 a2 1,代入得a

15、n 13 4 5, n! L n o所以,an的通项公式为ann!2a评注：本题解题的关键是把递推关系式an 1 (n 1)an(n 2)转化为 n 1(n 2),进而求出 an2时，an的表达式，最后再求出数列an的通项公式。三外La3 a2,从而可得当nan 1 an 2 a2类型4 ：待定系数法处理an 1 pan q或an 1 pan qn型数列把原递推式 an 1 pan q,转化为 an 1 tp( an t),t p；转化思路：1 q令an1 t p(an-t),此式与原式比较，得到t L,则数列a为等比数列1 qan-t例，数列 an , a1 1,an 1 2an 3,求an

16、2 a-, 1解：令an 1 t 2(an t),比较原递推式，t -1,所以 上一 2即an 1是公比为2的等1 3an 1比数列，an1 = ( & 1 )2n-1,或令an1bn,bn是公比为2的等比数列，所以bn b1*2n1,其中 b1 a1 1 2, bn 2n,变式1 ：已知数列an满足an1 2an 3 5n, a1 6,求数列 an的通项公式。a2 a_ 3a_思路：等式两边同时除于5;原递推式变成色叶W*a' -,令曾 bn ,55 5n 55n,2.3.12 小bn 1-bn=bn1 t二(bn555t)212bn1bn1 *-*-5552t -41 35

17、2n 1匚n bn51bn2n 1研1评注：本题解题的关键是把递推关系式an2an 35n转化为通项公式。2an变式2：已知数列an满足an 1 ,a1an 2思路：将原递推式两边倒数后换元，再转化为5变式3：已知数列an满足an 1 3 an ,ai思路：将原递推式两边求对数后换元，再转化为变式4:已知数列1 一 ,an满足 an 1 (1 4an16思路：换元bn24an ,贝U an如n2类型5已知Sn、an递推式Sn f an求an这种类型一般利用S1,n 1 a nSn Sn 1, n导出面的方法求解出 an （知识迁移：an例，已知数列前n项和Sn4an12n 2解：（1）an 1

18、SnSn(41an 12 n 1 )(412 anL 2n 11 * 12 2n 112 an1 b1aianan 12n 1 5nt p（an -t）,最后再求出数列an的1 ,求数列an的通项公式。an 1pan q,7 ,求数列an的通项公式。an 1 pan q,1),S,nSn24an）, ai 1 ,求数列an的通项公式。再代入原递推式，再转化为an 1panq,Sn Sn 1,消去Sn ,得到为与an 1的递推式，再利用前Sn 2,n，求：（1）an1an 2n 2) an1Qn 1272 an 11与2门的关系，（2）通项ano12 an2nan1 _x 二2 2n 22n 1

19、(2)由上式：2n 1an i 2nan 2 2n1ani 2nan 2,令 bn2nan ,即有bn1b02 ,而，b,2 ai2S12 ,所以,bn为bi 2,公差为2,的等差数列,bn2n, bn 2nan 13231、 等差数列求和公式:追上nai皿3222、等比数列求和公式：Snna1a1(1 qn)1 qaanq1 q(q 1)(q 1),一， 一，,1,、23例 1已知 log 3 x ，求 x x xlog 2 3xn 的前n项和.由 log 3 x1 log 2 3log 3 x, 八1log 3 2x -, 由等比数列求和公式得2类型6: aiga2g_ ganf(n)求

20、anf ,(n 1)用作商法：an f (n)f (n 1),()数列求和的常用方法然数和公式：n n 1n 2;2 n n 1 2n 1 n 6223 n n 1 n 4、利用等差等比数列的求和公式求和1(1 )Sn x x2 x3 xn = x(1 x ) = 22n_ = 1 工(利用等比数列求和公式 )1 x .12n1 -2例 2设 Sn= 1+2+3+ +n, nC N，求 f (n)Sn(n 32)Sn 1的最大值.11-解：由等差数列求和公式得Sn-n(n 1), Sn1 -(n 1)(n 2)22f (n)Sn(n 32)Sn1n2n2 34n 64111= -c,64825

21、0n 34(. n )50n.nn=8 时，f (n)max150219二、错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列an - bn的前n项和，其中 an 、 bn 分别是等差数列和等比数列.23n 1例 3求和：Sn 1 3x 5x 7x (2n 1)x解：由题可知，(2n 1)xn 1的通项是等差数列2n 1的通项与等比数列xn1的通项之积设 xSn 1x 3x2 5x3 7x4(2n 1)xn 得(1 x)Sn 1 2x 2x2 2x3 2x42xn 1 (2n 1)xn(错位相减)1 n 1再利用等比数列的求和公式得：(1 x)Sn 1 2

22、x 1 x (2n 1)xn1 xSn(2n 1)xn1 (2n 1)xn (1 x)(1 x)22 4例4求数列一，二2 226232n2n前n项的和.解：由题可知,"1的通项是等差数列2n的通项与等比数列一2n的通项之积设Sn2n2n2Sn2226242n2n 11 一-(1 -)Sn22222232242 2n2 n 2n 121 2n2n 12n 1Sn4 n2n 1三、反序相加法求和,再把它与原数列这是推导等差数列的前 n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序）22 八sin 88 sin 89 的值相加，就可以得到 n个（a1 an）. 222 ,例 5求

23、sin 1 sin 2 sin 3解：设 S sin21 sin2 2sin23sin2 88sin2 89=n 1 125将式右边反序得S sin2 89 sin2 88sin2 3 sin2 2sin21又因为 sin x cos(90x),sin2x cos2x2S222 _2 _(sin 1 cos 1 ) (sin 2 cos 2 )22(sin 89 cos 89 ) =89S= 44.5已知函数证明：(2)<io8 )io；的值.解:(2)利用第（1）小题已经证明的结论可知,（1）先利用指数的相关性质对函数化简，后证明左边=右边10/ 1 5令* =于+ f + + fuo

24、j IwJ+ / +,+/ +/UoJ lioj两式相加得:=9所以 一四、分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常 见的数列，然后分别求和，再将其合并即可例5求数列的前n项和：11,1 a4a7, _ 1解：设 Sn(1 1)(-a4)7)(4a1 3n 2)将其每一项拆开再重新组合得Sn (1 1 aX)n 1) a(13n 2)当a=1时,Sn(3n 1)n2(3n21)n1a 1 时，Sn - d 1 1a(3n 1)n2(3n 1)n2五、裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项,最终达到求和的目的.通项分解（裂项）如:(1)anf(n 1)f(n)sin 1cosn cos(n 1)tan(n 1) tan n(3)an1n(n 1)1"l；a12n 1 2n2n 1 2n 1(4)an(An B)(An C)C B(AnAn.- n; an111例6 求数列 尸，十一尸，:, 的刖n项和.