(完整版)解三角形教案(精简版)

1、高一数学必修5第一章解三角形教学设计教学过程 理解定理正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即a b csin A sin B sin C(1)正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k使a ksin A,b ksin B , c ksin C ；(2)asin Absin Bsin C等价于asin Asin B ' sin Csin B ' sin A sin C7从而知正弦定理的基本作用为:已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如bsin Aa -；sin B已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的

2、正弦值，如sin Aa .-sin B o b一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形例题分析例题.在 ABC中，已知aJ3, b <2, B=45 0.求A C和c.解：QB 450 900且b a,A有两解.由正弦定理，得sin A asin B b1) 当 A=600 时,C=180 0-A-B=75 0,3?sin450 色2 万bsinC 2sin750;-sinB sin 452) 当 A=1200时,C=180 0-A-B=15 0,bsinC2sin150sinBsin 450A 600 或 A6226221200练习:2)1) ABC 中,cAB

3、C 中,c76, A 450,a273，求 B、C、b.<6, A 450, a 2,求 b、C、b.3)已知ABC中，sin Asin B:sin C 1:2:3 ,求 a:b:c小结(由学生归纳总结)(1)定理的表示形式:asin Absin Bcsin Ca b csin A sin B sin C或a ksin A, bksin B , c ksin C(k 0)(2)正弦定理的应用范围:已知两角和任一边，求其它两边及一角；已知两边和其中一边对角，求另一边的对角课题：§1.1.2余弦定理授课类型：新授课理解定理余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这

4、两边与它们的夹2abcosC角的余弦的积的两倍。即a2b2 c22occosAb2a2c22accosBc2a2b2思考：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可求出第四个量，能否由三边求出一角？（由学生推出）从余弦定理，又可得到以下推论:,222八 b c acosA ,2bc22,2a c bcosB ,2ac,222b a ccosC2ba从而知余弦定理及其推论的基本作用为:已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边;已知三角形的三条边就可以求出其它角。思考：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平 方之间的关系，如何看这两个定理

5、之间的关系?（由学生总结）若ABC中，C=900 ,贝ij cosC 0 ,这时c2 a2 b2由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例。例题分析600,求b及A. 2)2 2 2 3 ( .62) cos 450b 2.2.例 1.在 ABC中，已知 a 2J3, c J6 J2, B解：: b2 a2 c2 2accosB = (2 3)2 ( 6 =12 ( 6 .2)2 4.3( 3 1) = 8求A可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理:解法一： cos Ab2 c2 a2 (2.2)2 ( 6.2 )2 (2-. 3)2解法二： sin A -sinB b2bc_2

6、 2 2 (,6、2)2 30-=sin45 , 2.22, A 600.又 62 > 2.4 1.4 3.8,2用< 2 1.8 3.6,A 600. a < c ,即 00 V A< 900,评述：解法二应注意确定A的取值范围。练习：在 ABC中，若a2 b2 c2 bc,求角A （答案：A=1200 ）小结：（1）余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例;（2）余弦定理的应用范围：.已知三边求三角；.已知两边及它们的夹角，求第三边。课题：§1.1. 3解三角形的进一步讨论授课类型：新授课教学过程探索研究例1.在 ABC中，已知

7、a,b,A,讨论三角形解的情况分析：先由sin B 四叱可进一步求出B；则C 1800 （A B）,从而c asin C aA1 .当a为钝角或直角时，必须 a b才能有且只有一解；否则无解。2 .当A为锐角时，如果a >b ,那么只有一解；如果a b ,那么可以分下面三种情况来讨论:（1）若a bsin A,则有两解；（2）若a bsin A,则只有一解；（3）若a bsinA,则无解（以上解答过程详见课本第9-10页）评述：注意在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，只有当A为锐角且bsin A a b时,有两解；其它情况时则只有一解或无解。练习：（1）在 abc中，已知a 8

8、0, b 100, A 450,试判断此三角形的解的情况。1 _0（2）在 ABC中，若a 1, c , C 40 ,则符合题意的 b的值有个。2（3）在 ABC中，a xcm, b 2sm,B 450,如果利用正弦定理解三角形有两解，求x的取值范围。（答案：（1）有两解；（2） 0; （3） 2 X 2，2）利用正弦定理、余弦定理判定三角形的形状例2 .根据所名条件，判断 ABC的形状.D 在 ABC中，已知 a 7, b 5, c 32) a cos A bcosB; 3 )acos AbcosBccosCa2 b2 c2分析：由余弦定理可知 a2 b2 c2 222abcA是直角AB（g

9、直角三角形A是钝角AB（g钝角三角形A是锐角AB提锐角三角形(注意：A是锐角/ AB(g锐角三角形)1)解：Q 72 52 32,即 a2 b2 c2,AB(g钝角三角形。2)解：解法一(化边)222222由余弦定理得 a cos A bcosB a () b (- )2bc2ac2 24,22,42,2、/22.2、-a cab cb0,(ab ) (cab )02, 222,2c 2, 22a b 0 或 c a b 0 a b c 或 a b故ABC是直角三角形或等腰三角形解法二(化角)由 acosA bcosB;可得 2RsinAcosA 2Rsin BcosB即 sin2A sin2

10、B 2A 2B或 2A 2b 1800，即 A B 或 a+b=900故ABC是直角三角形或等腰三角形3）解：（化角）解法一：由正弦定理得a 驯小，b csin B sin Csin Ccsin A,cosCcos A代入已知等式得csin Acsin Bcos A sin CcosB sinCsin B sin CcosB cosC即 tan A tan B tanCA,B,C (0,)A B C 故ABC是等边三角形2Rsin A（化边）解法二：由已知等式得cosA2Rsin B2RsinCcosBcosC即 tan A tan B tanCA,B,C(0,)ABC是等边三角形练习:1)A

11、BC中，已知sin Asin B：sin C1:2:3 ,判断ABC的类型。2)ABC 中，A2,判断 ABC的形状。3)判断满足下列条件的三角形形状,八 sin A sin BsinC =cosA cosB提示：利用正弦定理或余弦定理，三角形面积公式，S= absinC ,2“化边为角”或“化角为边”S= bcsinA, S=例3、在 ABC中，求证：（1）22,2a b2c1.-acsinB222 sin A sin Bsin2 C2.22._一.(2)a + b + c =2 (bccosA+cacosB+abcosC )分析：这是道关于三角形边角关系恒等式的证明问题，观察式子左右两边的

12、特点，联想到用正弦定理来证明证明：（1）根据正弦定理，可设asin A左边=二 bsin B22a b2cc_ = k显然k0,所以sinCk2 sin2 A k2 sin2 B sin2 A sin2 Bk2sin2Csin2 C=右边（2）根据余弦定理的推论，b2右边=2（bc 一2222222c a cab ab+ca+ab2bc2ca2ab2-)二(b2 +c2 - a2 )+(c 2 +a 2 -b 2 )+(a 2 +b 2 -c2)=a 2 +b2 +c2 =左边变式练习1:已知在 ABC中,B=30 ,b=6,c=6 V3 ,求 a 及例 4 .在 ABC 中，A 600 ,ABC的面积 b csin A sin B sin C的值分析：可利用三角形面积定理1 .- 1-1.一 absin C -acsin B -bcsin A 以及正弦te理222a b csin A sin B sin C 解：由 S 1bcsin A 3 得csin A sin Bsin C从而2 a b c2sin A sin B sin C2 ,贝1J a' asin A练习:(1)在ABC中，若 a 55, b(2)在ABC中，其三边分别为（答案:(1) 600或 1200 ； (2)c2 2bccosA=3,即 a J3 ,16,且此三角形的面积 S 220J3