【数学】2010年高考试题——数学(江西卷)(文)

1、绝密启用前2010年普通高等学校招生全国统一考试(江西卷)文科数学1至2页，第n卷3本试卷分第I卷(选择题)和第n卷(非选择题)两部分，第I卷 至4页，共150分。考生注意:1 .答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上，考生要认真核对答题 卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是 否致。2 .第I卷每小题选出答案后，用 2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。第n卷用黑色墨水签字笔在答题卡 上作答。若在试题卷上作答，答案无效。3 .考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回。参考公式球的表面积公式-2

2、.S =4二 R其中R表示球的半径球的体积公式V二 R33其中R表示球的半径如果事件A,B互斥，那么P(A B) =P(A) P(B)如果事件A, B ,相互独立，那么P(A B) =P(A) P(B)如果事件a在一次试验中发生的概率是p ,那么n次独立重复试验中恰好发生 k次的概率Pn(k) =。"(1 - Pl”一.选择题：本大题共 12小题，每小题 5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 一一2.2 一一1 .对于实数a,b,c , a ab 是 ac > bc 的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条彳D.既不充分也不必要条件【答

3、案】B【解析】主要考查不等式的性质。当C=0时显然左边无法推导出右边，但右边可以推出左边2 .若集合 A=x |x®, B =x x 之 0,则 A，B =A. xTExEIB. xx 至 0C. x0xE1D. 0【答案】C【解析】考查集合与简单不等式。 解决有关集合的问题关键是把握住集合中的元素，由题知集合A是由大于等于-1小于等于1的数构成的集合，所以不难得出答案3 . (1-x)10展开式中x3项的系数为A. -720B. 720C. 120D. -120【答案】D【解析】考查二项式定理展开式中特定项问题，解决此类问题主要是依据二项展开式的通项,由4 .若 f （x） =ax

4、4 + bx2 +c 满足 f '（1） = 2 ,贝 U f '（1）=A. -4B. -2C. 2D. 4【答案】B【解析】考查函数的奇偶性，求导后导函数为奇函数，所以选择B5 .不等式x -2 >x2的解集是A.（-二，2）B.（-：，:：）C. （2,二：）D.（-二,2）（2,二）【答案】A【解析】考查含绝对值不等式的解法，对于含绝对值不等式主要是去掉绝对值后再求解，可以通过绝对值的意义、零点分区间法、平方等方法去掉绝对值。但此题利用代值法会更好26 .函数y =sin x+sinx1的值域为D."故令sin X = t.5. 5 .A. -1,1B.

5、 , -1C. ,144【答案】C【解析】考查二次函数型值域问题。通过函数形状发现此函数很像二次函数,x2可得y =t +t -1从而求解出二次函数值域7 .等比数列an中，|a1 |=1,a5 =与a2,a5 Aa2，则an =A. （-2尸B. T-2n）C. （-2）nD. -（-2）n【答案】A【解析】考查等比数列的通项公式。用代特值法解决会更好。ax8 .若函数y=的图像关于直线 y=x对称，则a为1 xA. 1B. -1C. ±1D.任意实数【答案】B【解析】考查反函数，因为图像本身关于直线 y=x对称故可知原函数与反函数是同一函数, 所以先求反函数再与原函数比较系数可得

6、答案。或利用反函数的性质，依题知（1, a/2）与（a/2, 1）皆在原函数图故可得 a=-19.有n位同学参加某项选拔测试，每位同学能通过测试的概率都是p （0 M p父1）,假设每位同学能否通过测试是相互独立的，则至少有一位同学通过测试的概率为A. （1 - p）nB. 1 - pnC. pnD. 1 -（1-p）n【答案】D【解析】考查n次独立重复事件中 A事件恰好发生 K次的公式，可先求n次测试中没有人通 过的概率再利用对立事件得答案D10.直线 y=kx+3与圆(x2)2+(y 3)2 =4相交于 M、N 两点，若|MN| > 2J3 ,则 k 的取值范围是A.一4,0B. -

7、 3，-C. -、, 3, .3 D. 一3,0【答案】B【解析】考查相交弦问题。法一、可联立方程组利用弦长公式求| MN |再结合| MN| >2点可得答案法二、利用圆的性质知：圆心到直线的距离的平方加上弦长的一半的平方等于半径的 平方求出| MN|再结合| MN| > 2&可得答案11 .如图，M是正方体ABCD A1B1C1D1的棱DD1的中点，给出下列命题AB、B1Ci都相交；AB、B1C1都垂直；AB、B1Ci都相交；AB、BQ都平行.C.D,过M点有且只有一条直线与直线 过M点有且只有一条直线与直线 过M点有且只有一个平面与直线 过M点有且只有一个平面与直线 其

8、中真命题是：A.B.【答案】C【解析】考查立体几何图形中相交平行垂直性质12.如图，四位同学在同一个坐标系中分别选定了一个适当的区间，各自作出三个函数y =sin 2x ,nny =sin(x +), y =sin(x )的图像如下。结果发现其中有一位同学作出的图像有 63错误，那么有错误 的图像是A【答案】C【解析】考查三角函数图像，通过三个图像比较不难得出答案 绝密启用前2010年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）文科数学第n卷注意事项：第n卷2页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，若在试题上作答，答案无效。二.填空题：本大题共 4小题，每小题4分，共16分。请把答案填在答题卡上1

9、3 .已知向量a , b满足|b| = 2, a与b的夹角为60，则b在a上的投影是【解析】考查向量的投影定义，b在a上的投影等于b的模乘以两向量夹角的余弦值14 .将5位志愿者分成3组，其中两组各2人，另一组1人，分赴世博会的三个不同场馆服 务，不同的分配方案有 种（用数字作答）；【答案】90【解析】考查排列组合里分组分配问题，2215点A（x0,y0）在双曲线 人-上=1的右支上，若点A到右焦点的距离等432于 2x0,则 X0 =；【答案】2【解析】考查双曲线的比值定义， 利用点A到右焦点比上到右准线的距离等 于离心率得出X0 =216.长方体ABCD -A1B1C1D1的顶点均在同一个

10、球面上，AB = AA =1 ,BC=J2,则A, B两点间的球面距离为3【解析】考查球面距离， 可先利用长方体三边长求出球半径，在三角形中求出球心角， 再利用球面距离公式得出答案 三.解答题：本大题共 6小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17.（本小题满分12分）设函数 f(x) =6x3 3(a 2)x2 2ax.(1)若f(x)的两个极值点为x1, x2,且x1x2 =1,求实数a的值；(2)是否存在实数a,使得f (x)是(8,+g)上的单调函数？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由.【解析】考查函数利用导数处理函数极值单调性等知识解：f (x) =18x2 6

11、(a 2)x 2a,_ ,2a.(1)由已知有 f (x,) = f (x2) = 0,从而 x1x2 =行=1，所以 a = 9 ;(2)由 A=36(a+2)2 4父18M2a = 36(a2+4)a0,所以不存在实数 a,使得f(x)是R上的单调函数.18.(本小题满分12分)某迷宫有三个通道，进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门。首次到达此门，系统会随机(即等可能)为你打开一个通道 .若是1号通道，则需要1小时走出迷宫；若是 2号、3号通道，则分别需要 2小时、3小时返回智能门.再次到达智能门时，系统会随机打开 一个你未到过的通道，直至走出迷宫为止 (1)求走出迷宫时恰好用了 1小时的概

12、率；(2)求走出迷宫的时间超过 3小时的概率.【解析】考查数学知识的实际背景，重点考查相互独立事件的概率乘法公式计算事件的概率、随机事件的数学特征和对思维能力、运算能力、实践能力的考查。1解：(1)设A表不走出迷宫时恰好用了 1小时这一事件，则 P(A) = -.31111(2)设B表示走出迷宫的时间超过 3小时这一事件，则 P(B) =+=.6 6 6 219.(本小题满分12分)2二二已知函数 f (x) = (1 cot x)sin x-2sin(x )sin( x ).44(1)若 tana = 2 ,求 f (口)；n n(2)若x = ,T,求f (x)的取值范围.12 2【解析】

13、考查三角函数的化简、三角函数的图像和性质、三角函数值域问题。依托三角函数化简，考查函数值域，作为基本的知识交汇问题，考查基本三角函数变换，属于中等题解：(1) f (x) =sin2 x+sin xcosx+cos2x =1 -cos2x 1 .八 八 -sin 2x cos2x11二一 (sin 2xcos2x)一222sin 二 cos 二由 tan 口 =2 得 sin 2a= 22sin .工 +cos ;2 tan ;1 tan2 ;22c cos : -sin ;cos 2：二22sin Q-+cos ;3所以 f(>)=.51(2)由(1)得 f (x) = (sin 2x

14、 +cos2x) 21.2 . = sin(2 x _) 一2242由内嗫2得从而 f (x) =5二 5二.一二2x + 乏， ,所以 sin(2x+)w412 44一一二.1 一sin(2x ) - 0,1,2.20.(本小题满分12分)如图，ABCD与AMCD都是边长为2的正三角形，平面 面 BCD , AB _L平面 BCD ,AB =2.3.(1)求直线AM与平面BCD所成的角的大小；(2)求平面ACM与平面BCD所成的二面角的正弦值【解析】本题主要考查了考查立体图形的空间感、线面角、二面角、向量、二面角平面角的判断有关知识, 能力解法一：(1)取CD中点O,连又平面MCD _L平面

15、BCD ,则斗同时也考查了空间想象能力和推理OB, OM,则 OB± CD, OMXCD.MOL平面 BCD ,所以 MO / AB, A、B、O、M共面.延长AM、BO相交于E,则/ AEB就是AM与平面BCD所成的角.EO MO 1OB=MO= V3 , MO/AB,则 =一，EO=OB =EB AB 2所以 EB=273 = AB,故 /AEB =45：(2) CE是平面ACM与平面BCD的交线.由(1)知，O是BE的中点，则 BCED是菱形.空间/ OMBOECHt.二FMCD，平D则有 sin a = cost AM ,n作BF，EC于F,连AF,则AF，EC, / AFB

16、就是二面角 A-EGB的平面角，设为 0 .因为/ BCE=120° ,所以/ BCF=60° .BF =BC sin60°=73,x . AB 小2 5tan8 =2, sin 0 =BF5L LA ,、-2*5所以，所求二面角的正弦值是 公5.5解法二：取CD中点O,连OB, OM,则OB, CD, OM ± CD,又平面MCD 1平面BCD ,则MOL平面BCD .以。为原点，直线 OC、BO、OM为x轴，y轴，z轴，建立空间 直角坐标系如图.ob=om=73,则各点坐标分别为 O (0, 0, 0), C (1, 0, 0),m(0, 0, 73

17、), b(0,-m，0), a(0, - 73, 273),(1)设直线AM与平面BCD所成的角为a.因 AM = (0, 33, -43),平面 BCD 的法向量为 n = (0,0,1).(2) CM =(-1,0,73), CA = (-1,-73,2 73).% _CM 一 -x3z=0.一设千面 ACM的法向g为n1 (x, y, z) ,由得 厂 .解得n _ CA-x 八 3y 23z=0x = J3z , y =z ,取R =(/3 , 1,.售平面 BCD的法向量为n = ( 0 , 0, 1则21.(本小题满分12分)设所求二面角为 日，则sin8 =22已知抛物线C1 ：

18、 x2 +by = b2经过椭圆C2 ： x2r+yr =1(a>b>0)的两个焦点 a b求椭圆C2的离心率;(2)设Q(3, b),又M , N为Ci与C2不在y轴上的两个交点，若AQMN的重心在抛物线C1上，求C1和C2的方程.【解析】考查椭圆和抛物线的定义、基本量，通过交点三角形 来确认方程。解：(1)因为抛物线Ci经过椭圆C2的两个焦点Fi(c,0),F2(c,0), 所以 c2 +bx0 =b2 ,即 c2 =b2,由 a2 = b2 +c2 =2c2得椭圆 C2 的 离心率e = -2.2(2)由(1)可知a2 =2b2,椭圆C2的方程为:22.(本小题满分14分)2

19、b22 上 b2=1联立抛物线C1的方程x2+by =b2得：2y2by b2=0,解得：y =-b或y = b (舍去)，所以x = ± -b , 22b,-b),N(b,-b),所以 AQMN 的重心坐标为(1,0).因为重心在 C1上，所以12+b m 0 = b2,得b =1 .所以a2 = 2.所以抛物线C1的方程为：x2 + y = 1,2椭圆C2的方程为： L+y2 =1.2正实数数列an中，a1 =1,a2 =5,且a2成等差数列.(1)证明数列an中有无穷多项为无理数；(2)当n为何值时，an为整数，并求出使 an <200的所有整数项的和.【解析】考查等差数

20、列及数列分组求和知识证明：(1)由已知有：a； =1 +24(n _1),从而 an = Ji +24(n 1),方法一：取 n 1 =242k1，则 an =91 +242k ( kw N*) 用反证法证明这些 an都是无理数.假设an =小+242k为有理数，则an必为正整数，且an >24k,故 an 24k >1.an 24k >1,与(an 24k )(an +24k)=1 矛盾，所以an =也+242k ( k w N*)都是无理数，即数列an中有无穷多项为无理数；方法二：因为a2+=1+24n, (nWN),当n的末位数字是3,4,8,9时，1 + 24n的末位

21、 数字是3和7 ,它不是整数的平方， 也不是既约分数的平方， 故此时an书=41+ 24n不是有 理数，因这种n有无穷多，故这种无理项 an中也有无穷多.(2)要使 an为整数，由(an 1)(an+1)=24(n1)可知：an -1,an+1同为偶数，且其中一个必为3的倍数，所以有an 1 = 6m或an+1 = 6m当 an = 6m +1 时，有 a2 =36m2 +12m +1 =1 +12m(3m +1) ( m N )又 m(3m+1)必为偶数，所以 an=6m + 1 ( m w N )满足 a2 =1+24(n-1)口 h m(3m 1),即门=+1 (m=N)时，an为整数；

22、2n同理 an =6m1(m = N )有an=36m 12m+1 =1+12m(3m-1) (m=N )m(3m -1).*也满足 a2 =1 +24(n -1),即 n1 +1 ( m= N )时，an 为整数；显然an =6m1(m匚N ) an =6m+1 ( m = N )是数列中的不同项；m(3m 1)m(3m-1)*,所以当 n = ' 21 +1 ( m = N )和 n = J21 +1 ( m= N )时，an 为整数;由 an = 6m + 1 < 200 (mwN)有 0EmE33, *由 an = 6m -1 < 200 (mwN )有1EmE33

23、.设an中满足an <200的所有整数项的和为 S ,则5 1971 199SR5 11 197) (1 7 199)= 33 34 =673322绝密启用前秘密启用后2010年普通高等学校招生全国统一考试(江西卷)文科数学参考答案、选择题：本大题共 12小题，每小题5分，共60分.题号123456789101112答案BCDBACABDBCC二、填空题：本大题共 4小题，每小题4分，共16分.冗13. 114. 9015. 216.一3三、解答题：本大题共 6小题，共74分.17 .(本小题满分12分)解：f (x) =18x2 6(a 2)x 2a一，,一. 一.2a(1)由已知有

24、f (%) = f (x2) = 0,从而 X1X2 =1 ,所以 a = 9 ；18(2)由 A=36(a+2)2 _4x18x2a = 36(a2+4) >0, 所以不存在实数 a,使得f(x)是R上的单调函数.18 .(本小题满分12分)1解：(1)设A表示走出迷宫时恰好用了1小时这一事件，则 P(A) = -.3,1111(2)设B表示走出迷宫的时间超过3小时这一事件，则 P(B)=+ +=.6 6 6 21 -cos2x 1 .=-sin 2x cos2x19.(本小题满分12分)2斛：(1) f(x)=sin x+sin xcosx+cos2x1 , .八八、1二一 (sin

25、 2x cos2x) 一222 tan ;1 tan2 二2sin - cos 二由 tan ct =2 得 sin 2a = -22sin ,二 cos ;cos 2 二二2 . 2 .cos 二-sin ,21 一 tan 22sin 工, cos -1 tan2 ;2 一 二、1sin(2 x -) 2423 所以f(：)=.511(2)由(1)得 f (x) = (sin 2x +cos2x) +- =225二 5 r -一 、.2 一由 x 匚 , - 得 2x + _ 匚,所以 sin(2x +一 )w ,1 12 2412 442i .2二 11.2从而 f(x) = sin(2

26、x )0,.242220.(本小题满分12分)解法一：(1)取 CD中点。，连 OB, OM,则 OBXCD, OMXCD.又平面MCD _L平面BCD ,则MOL平面BCD ,所以MO/ AB, A、B、O、M共面.延长AM、BO相交于E,则/ AEB就是AM与平面BCD所成的角.EO MO 1-2 KOB=MO=j3, MO/AB,则=,EO=OB=J3, EB AB 2所以 EB =2在=AB,故 ZAEB =45°(2) CE是平面ACM与平面BCD的交线.由(1)知，O是BE的中点，则 BCED是菱形.作BF, EC于F,连AF,则AFL EC, / AFB就是二面角 A-

27、EG B的平面角，设为口 .因为/ BCE=120° ,所以/ BCF=60° .BF =BC sin60，=出，tan 6 =AB=2 , sin e =25 BF5所以，所求一面角的正弦值是 2E5解法二：取CD中点O,连OB, OM,则OB, CD, OM ± CD,又平面MCD _L平面BCD ,则MOL平面BCD .以O为原点，直线 OC、BO、OM为x轴，y轴，z轴，建立空间 直角坐标系如图.ob=om=73,则各点坐标分别为 O (0, 0, 0), C (1, 0, 0),m(0, 0, 73), b(0,-73, 0), a(0, - 73, 2

28、73),(1)设直线AM与平面BCD所成的角为a.则有 sin a = cost AM ,n因 AM = (0, 73, -73),平面 BCD 的法向量为 n = (0,0,1).(2) CM =(-1,0,73), CA=(-1,-石2 石).设平面ACM的法向量为,n1 _ CMn1 (x, y, z),由 < 得. 3z = 0n1 _ CA-x - ,3y 23z = 0.解得取R = (/3 , 1,.1%平面BCD的法向量为n = ( 0 , 0 , 1则n1 nc o s n1 n,>=一一ni设所求二面角为e,则sine = 1-2 2.521.（本小题满分12分

29、）解：（1）因为抛物线Ci经过椭圆C2 的两个焦点 E(y0), F2(c,0),所以 c2 +b 父0 = b2 ,即 c2 =b2,离心率e =2222(2)由(1)可知 a =2b ,椭圆C2的方程为:2. 22_ 2.由a =b +c =2c得椭圆2b2 b2二1联立抛物线C1的方程x2+by =b2得：2y2by b2=0,解得：y = -b或y = b （舍去），所以x = ± -b , 22(1,0).b, -), N ( b, - -),所以AQMN的重心坐标为222222因为重心在C1 上，所以 1 +b0 = b，得 b=1.所以 a =2.所以抛物线G的方程为：x2+y=1,x 2椭圆C2的方程为： + y2 =1.222.（本小题满分14分）证明