专题七立体几何-2020版数学(理)二轮专项复习

1、专题07立体几何§ 7 1点、直线、平面之间的位置关系【复习要求】1了解四个公理与等角定理；2. 理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定定理；3能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题.【例题分析】例1 如图，在正方体 ABCD AIBICIDI中，E, F分别是AB, AAI的中点. 求证：（I ）E、C、Di、F四点共面；（ ）CE、DA、DiF三线共点.例2 在四棱锥P ABCD中，底面ABCD是平行四边形，M , N分别是AB, PC的中点，求证：MN /平面PAD .在直三棱柱DABC AiBiCi 中，AAi = AC, AB丄AC,求证:AC BC

2、i.例4 在三棱锥 P-ABC中，平面FAB平面 ABC, AB丄BC, AP PB,求证：平面 PAC 平面 PBC.例5如图，在斜三棱柱ABC AiBiCi中，侧面AiABBi是菱形，且垂直于底面ABC , AiAB = 60°, E, F 分别是 ABi, BC 的中点.(I )求证：直线EF /平面AiACCi；( )在线段AB上确定一点G,使平面EFG丄平面ABC ,并给出证明.练习7 1一、选择题：i .已知m, n是两条不同直线，:,-, 是三个不同平面，下列命题中正确的是()(A)若 m / 壽,n /二i ,贝U m / n(B)若 m 丄二,n 丄二，贝U m /

3、 n(C)若丄,丄，则】/(D)若 m / : , m/ 1 ,则/ -2. 已知直线 m, n和平面J ,：,且ml n, 口丄一二，二丄：，则()(A) 门丄：(B) n/：,或 n：(C)门丄：(D) n /：,或 n:3. 设a, b是两条直线，、1是两个平面，则al b的一个充分条件是()(A) al： ,b /：,：丄：(B) al：,bl ： , ： /L(C)a 二：二,匕丄：，：/：(D) a 二X,b / ：,：丄：4. 设直线m与平面相交但不垂直，则下列说法中正确的是()(A) 在平面内有且只有一条直线与直线m垂直(B) 过直线m有且只有一个平面与平面：垂直(C) 与直线

4、m垂直的直线不可能与平面平行(D) 与直线m平行的平面不可能与平面垂直、填空题:5在三棱锥 P ABC 中，PA = PB = . 6 ,平面 PAB平面 ABC, PA PB, AB丄 BC,BAC = 30° ,贝U PC =6. 在直四棱柱 ABCD AiBiCiDi中，当底面ABCD满足条件 时，有AiC丄BD(只要求写出一种条件即可)7. 设:是两个不同的平面，m, n是平面:,:之外的两条不同直线，给出四个论断：m n 二丄：n丄：m以其中三个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出正确的一个命题.&已知平面:丄平面1 , - = I ,点A , AT ,直线A

5、B/ I ,直线ACI ,直线m/: , m/ 给出下列四种位置： AB/ m;AC丄m;AB / 一：；AC-, 上述四种位置关系中，不一定成立的结论的序号是 .三、解答题：9.如图，三棱锥 P ABC的三个侧面均为边长是 1的等边三角形，M , N分别为PA, BC 的中点.(I )求MN的长；( )求证：PA丄BC.10.如图，在四面体 ABCD中，CB = CD , AD丄BD ,且E、F分别是 AB、BD的中点.求 证：(I )直线EF /平面ACD ;( )平面EFC丄平面 BCD .11.如图，平面ABEF丄平面ABCD ,四边形ABEF与ABCD都是直角梯形， BAD = FA

6、BH分别为FA, FD的中点.( )C, D, F, E四点是否共面？为什么？(川)设AB= BE ,证明：平面 ADE丄平面 CDE .§ 7 2空间几何体的结构【复习要求】1了解柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征；2. 会画出简单几何体的三视图，会用斜二侧法画简单空间图形的直观图;3. 理解球、棱柱、棱锥、台的表面积与体积的计算公式.【例题分析】例1如图，正三棱锥 P ABC的底面边长为a,侧棱长为b.(I )证明：FA丄BC;( )求三棱锥P ABC的表面积; (川)求三棱锥P ABC的体积.例2 如图，正三棱柱 ABC AiBiCi中，E是AC的中点.(I )求证：平面

7、BECi 平面ACCiA仁( )求证：ABIH平面BECi.例3 在四棱锥 P ABCD中，平面 FAD丄平面 ABCD , AB / DC , FAD是等边三角形，已知 BD = 2AD = 8, AB =2DC =4.5 .(I )设M是PC上的一点，证明：平面 MBD丄平面FAD; ( )求四棱锥P ABCD的体积.例4如下的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图它的主 视图和左视图在下面画出 (单位：Cm)(I )画出该多面体的俯视图；( )按照给出的尺寸，求该多面体的体积；(川)在所给直观图中连结 BC/,证明：BC/平面EFG .例5在棱长为a的正方体ABCD A

8、iBiCiDi中，E, F分别是BBi, CD的中点，求 三棱锥F AiEDi的体积.练习7 2、选择题:1将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则这个球的表面积为（）（A）2 二（B）4 二（C）8 二（D）16 二2.如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（）(A)9 二(B)10 二4÷2 2(C)11 二(D)12 二3. 有一种圆柱体形状的笔筒，底面半径为4 cm,高为12 Cm .现要为100个这种相同规格的笔筒涂色（笔筒内外均要涂色，笔筒厚度忽略不计）如果所用涂料每05 kg可以涂1 m2, 那么为这批笔筒涂色约需涂料（）（A）1.23 k

9、g（B）1.76 kg（C）2.46 kg（D）3.52 kg4. 某几何体的一条棱长为 ' 7 ,在该几何体的正视图中， 这条棱的投影是长为6的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为 a和b的线段，则a+ b的最大值为（）(A) 2 2(B) 2 3(C)4(D) 2、5、填空题:5如图，正三棱柱 ABC A1B1C1的每条棱长均为 2, E、F分别是BC、AQ的中点，贝U EF 的长等于.6. 将边长为1的正方形ABCD沿对角线AC折起，使得BD = 1 ,则三棱锥D ABC的体积是.7. 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面.已知该六棱柱的顶点都在同一个

10、球面上，且该六棱柱的高为 3 ,底面周长为3,则这个球的体积为 .三、解答题：&如图，在正四棱柱 ABCD AiBiCiDi中，E是DDi的中点(I )求证：BDi/ 平面 ACE;( )求证：平面 ACE丄平面 BiBDDi 9.如图，已知 ABCD AiBiCiDi是棱长为3的正方体，点 E在AAi上，点F在CCi上，且AE= FCi = i (I )求证：E, B, F, Di四点共面；2( )若点G在BC上，BG ,点M在BBi上，GM丄BF ,求证：EM丄面BCCiBi.3§ 7 3空间向量与立体几何【复习要求】i了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，

11、掌握空间向量的正交分 解及其坐标表示.2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.3 掌握空间向量的数量积及其坐标表示；能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直.4. 理解直线的方向向量与平面的法向量.5 能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系.6 能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题.【例题分析】例 1 如图，在长方体 OAEB OiAiEiBi 中，OA = 3, OB = 4, OOi= 2,点 P 在棱 AAi 上，且AP= 2PA1,点S在棱BBi上，且BiS= 2SB,点Q, R分别是OiBi, AE的中点，求 证：PQ/ RS.例 2 已知正方体 ABCD AiB

12、iCiDi 中，M, N, E, F 分别是棱 AiDi, AiBi, DiCi, BiCi的中点，求证：平面 AMN /平面EFBD .例3 在正方体ABCD AiBiCiDi中，M , N是棱AiBi, BiB的中点，求异面直线 AM和CN所成角的余弦值.例4如图，正三棱柱.,2a ,求直线ACi与平面ABBiAi所成角的大小.B例5 如图，三棱锥 P ABC中，PA丄底面ABC, ACBC, PA= AC = 1 , BC =点2 ,求二面角A PB C的平面角的余弦值.例 6 如图，三棱锥 P ABC 中，FA丄底面 ABC, PA = AB, ABC = 60°, BCA

13、= 90° ,点D , E分别在棱 PB, PC上，且DE / BC.(I )求证：BC 平面PAC;( )当D为PB的中点时，求 AD与平面PAC所成角的余弦值；(川)试问在棱PC上是否存在点E,使得二面角 A DE P为直二面角？若存在，求出 PE : EC的值；若不存在，说明理由.练习7-3一、选择题：1.在正方体 ABCD AiBiCiDi中，E是BBi的中点，则二面角 切值是()E AiDi D的平面角的正(A)2(B)2(C) - 5(D) 2 22. 正方体ABCD AiBiCiDi中，直线ADi与平面AiACCi所成角的大小是()(A)30 °(B)45 &

14、#176;(C)60 °(D)90 °3. 已知三棱柱 ABC AiBiCi的侧棱与底面边长都相等，Ai在底面ABC内的射影为 ABC的中心，贝U ABi与底面ABC所成角的正弦值等于()i2-32(A)：(B)可(C)W(D)-33334.如图，: ' = I, A , B - , A, B 到 I 的距离分别是 a 和 b, AB 与： , :所成的角分别是 二和,AB在:内的射影分别是 m和n,若a>b,则下列结论正确的是（）(A) l>, m>n(C) n V , mv n二、填空题：5.在正方体 ABCD AiBiCiDi 中，E, F,

15、 G, H 分别为 AAi, AB, BBi, BiCi 的中点，则 异面直线EF与GH所成角的大小是 .则该正四6 .已知正四棱柱的对角线的长为6 ,且对角线与底面所成角的余弦值为棱柱的体积等于QlCI7.如图，正四棱柱 ABCD AiBiCiDi中，AAi= 2AB,则异面直线 AiB与ADi所成角的余弦 值为.1&四棱锥P ABCD的底面是直角梯形， BAD = 90°, AD / BC, ABrBC AD ,2PA丄底面ABCD ,PD与底面ABCD所成的角是30 °.设AE与CD所成的角为二，则CoSr三、解答题：9.如图，正四棱柱 ABCD AiBiCi

16、Di 中，AAI= 2AB= 4,点 E 在 CCi 上，且 CiE = 3EC .(I )证明：AiC丄平面BED ;( )求二面角Ai DE B平面角的余弦值.10.如图，在四棱锥 O ABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，ZABC , OA底4面ABCD , OA = 2, M为OA的中点，N为BC的中点.(I )证明：直线MN /平面OCD ;( )求异面直线 AB与MD所成角的大小.11. 如图，已知直二面角 ： PQ - , A PQ, B ： , C : , CA= CB , BAP = 45直线CA和平面:所成的角为30 °(I )证明：BC PQ;( )求二面角

17、B AC P平面角的余弦值.1.、选择题：关于空间两条直线(A)若 a / b, b 二：,(C)若 a / : , b / :,2.正四棱锥的侧棱长为3.4.5.习题7b和平面二，下列命题正确的是()(B)若 a / : , b 二：,(D)若a丄：，b丄：,则 a / :贝 U a / b则a / b则 a/ b2 .3 ,底面边长为2 ,则该棱锥的体积为(8(B)-3已知正三棱柱 ABC AiBiCi的侧棱长与底面边长相等，则直线 角的正弦值等于()、6. I02(A) V(B)-T(C)-T已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸(单位:体的体积是()(A)8(C)6(D)2AB

18、i与侧面ACCiAi所成(D)弓Cm),可得这个几何10O侧视正40003(A) Cm33(C)2000cm若三棱柱的一个侧面是边长为2的正方形,的菱形，则该棱柱的体积等于()(B) 2 220侧视8000 3(B) Cm3(D)4000cm 3另外两个侧面都是有一个内角为60°(C) 3.2(D) 4 . 2二、填空题:6.已知正方体的内切球的体积是4 = 3,则这个正方体的体积是7.若正四棱柱 ABCD AiBiCiDi的底面边长为和BCi所成角的余弦值是.1, ABi与底面ABCD成60°角，则直线ABi9.若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为连结球面上两点的线段称为球的弦半径为-3,则其外接球的表面积是4的球的两条弦 AB、CD的长度分别等于274.3 ,每条弦的两端都在球面上运动，则两弦中