概率论自测题

1、 第一章 自测题一、填空题（每小题2分，共计10分）1.概率是刻划_ _的指标.2.实际推断原理的内容是 . 3.设分别代表甲，乙，丙命中目标，则表示 .4.将红、黄、蓝3个球随机的放入4个盒子中，若每个盒子的容球数不限，则有三个盒子各放一个球的概率是 .5.设为随机事件，已知，则 ； .二、是非题（每小题2分，共计20分）1.（ ）从一批产品中随机抽取100件，发现5件次品，则该批产品的次品率为5%.2.（ ）若事件为对立事件，则与互斥，反之不真.3.（ ）对于事件，若，则与互斥.4.（ ）在古典概型的随机试验中，当且仅当是不可能事件.5.（ ）若且，则.6.（ ）设与是两个概率不为零的互不

2、相容事件，则.7.（ ）对于事件，若，则. 8.（ ）设随机事件相互独立，则A与相互独立.9.（ ）设且，则.三、选择题（每小题2分，共计10分）1.某学生参加两门外语考试，设事件=第门外语考试通过 (=1,2)，则事件两门外语考试至少有一门没通过可以表示为( ). (A) ； （B）； （C）； （D）2.设事件满足关系式，则关系式的意义是( ).（A）当A发生时，B或C至少有一个不发生； （B）当A发生时，B和C必定都不发生；（C）当B和C都不发生时，A必定发生； （D）当B或C至少有一个不发生时，A必定发生.3.设事件满足，则（ ）.（A）；（B）；（C）；（D）.4.设，且，则（ ）.

3、（A）A、B互斥； （B）A、B独立； （C）A、B不独立； （D）A与B互逆.5.设是三个相互独立的事件，且，则下列四对事件中，不独立的是（ ）.（A）与；（B）与；（C）与；（D）与.四、计算1. （10分）设事件满足，求.2. （5分）已知事件满足，且，求.3. （5分）10个运动队平均分成两组预赛，计算最强的两个队被分在同一组内的概率.4. （10分）某医院用某种新药医治流感，对病人进行试验，其中的病人服此药，的病人不服此药，五天后有70%的病人痊愈.已知不服药的病人五天后有10%可以自愈.（1）求该药的治愈率；（2）若某病人五天后痊愈，求他是服此药而痊愈的概率.5. （10分）甲袋中

4、有两个白球，四个黑球，乙袋中有四个白球，两个黑球.现在掷一均匀硬币，若得正面就从甲袋中连续摸n次球（取后放回），若得反面就从乙袋中摸n次.若已知摸到的n个球全是白球.求这些球是从甲袋中取出的概率. 6. （10分）12个乒乓球中3个旧的，9个新的.第一次比赛时取出三个用完后放回，第二次比赛时又取出三个.求第二次取出的三个中有两个新球的概率.五、（10分）几何概型的样本空间S与随机事件如图所示，试证相互独立.第一章 自测题参考答案一、填空题（每小题2分，共计10分）1.概率是刻划 一次试验随机事件发生的可能性很小 _的指标.2.实际推断原理的内容是 一次试验小概率事件一般不会发生 . 3.设分别

5、代表甲，乙，丙命中目标，则表示 甲、乙、丙至少一人没命中目标 .4.将红、黄、蓝3个球随机的放入4个盒子中，若每个盒子的容球数不限，则有三个盒子各放一个球的概率是.5.设为随机事件，已知，则 0.4 ； 0.1 . 二、是非题（每小题2分，共计20分）1.（ ）从一批产品中随机抽取100件，发现5件次品，则该批产品的次品率为5%.2.（ ）若事件为对立事件，则与互斥，反之不真.3.（ ）对于事件，若，则与互斥.4.（ ）在古典概型的随机试验中，当且仅当是不可能事件.5.（ ）若且，则.6.（ ）设与是两个概率不为零的互不相容事件，则.7.（ ）对于事件，若，则. 8.（ ）设随机事件相互独立，

6、则A与相互独立.9.（ ）设且，则.三、选择题（每小题2分，共计10分）1.某学生参加两门外语考试，设事件=第门外语考试通过 (=1,2)，则事件两门外语考试至少有一门没通过可以表示为( D ). (A) ； （B）； （C）； （D）2.设事件满足关系式，则关系式的意义是( A ).（A）当A发生时，B或C至少有一个不发生； （B）当A发生时，B和C必定都不发生；（C）当B和C都不发生时，A必定发生； （D）当B或C至少有一个不发生时，A必定发生.3.设事件满足，则（ D ）.（A）；（B）；（C）；（D）.4.设，且，则（ B ）.（A）A、B互斥； （B）A、B独立； （C）A、B不独立

7、； （D）A与B互逆.5.设是三个相互独立的事件，且，则下列四对事件中，不独立的是（ B ）.（A）与；（B）与；（C）与；（D）与.四、计算1. （10分）设事件满足，求.解 ，.， .(另法:通过 也可计算. )2. （5分）已知事件满足，且，求.解 .3. （5分）10个运动队平均分成两组预赛，计算最强的两个队被分在同一组内的概率.解 (分成的两组是可区分的, 如A组和B组).4. （10分）某医院用某种新药医治流感，对病人进行试验，其中的病人服此药，的病人不服此药，五天后有70%的病人痊愈.已知不服药的病人五天后有10%可以自愈.（1）求该药的治愈率；（2）若某病人五天后痊愈，求他是服

8、此药而痊愈的概率.解 （1）设 （服药），（痊愈）. ， .（2）.5. （10分）甲袋中有两个白球，四个黑球，乙袋中有四个白球，两个黑球.现在掷一均匀硬币，若得正面就从甲袋中连续摸n次球（取后放回），若得反面就从乙袋中摸n次.若已知摸到的n个球全是白球.求这些球是从甲袋中取出的概率. 解 设（硬币掷得正面）=（甲袋中连续摸n次球），（摸到的n个球全是白球）. .6. （10分）12个乒乓球中3个旧的，9个新的.第一次比赛时取出三个用完后放回，第二次比赛时又取出三个.求第二次取出的三个中有两个新球的概率.解 设（第一次取出个新球） ,(第二次取出的三个中有两个新球).(本题设（第一次取出个旧球

9、） 也可以.)五、（10分）几何概型的样本空间S与随机事件如图所示，试证相互独立. 证明 只要证(本题利用独立性的定义式也可证明). ，所以相互独立.第二章自测题（每题10分）（时间60分钟）1、设随机变量的分布函数为 试求下列概率：； ； ； ； 2、假设在一次考试中，5名男同学与5名女同学的成绩各不相同现将这10名同学的成绩按大小进行排列，令表示女同学得到的最高名次，试求的分布律3、在一次试验中，设事件发生的概率为，现将此试验独立、重复地进行下去，直至与都发生为止设表示所需要的试验次数，试求的分布律4、问常数取什么值时，数列是离散型随机变量的分布律？5、一个人在一年中患感冒的次数服从参数为

10、的Poisson分布现有一种预防感冒的新药，它对于22%的人来讲，可将上面的参数降为（称为疗效显著）；对37%的人来讲，可将上面的参数降为（称为疗效一般）；而对于其余的人来讲则是无效的现有一人服用此药一年，在这一年中，他患了2次感冒，求此药对他是“疗效显著”概率有多大？6、设连续型随机变量的密度函数为试求：常数；的分布函数；7、设电子元件的电阻（单位：）服从正态分布，现检查15个同类型的电子元件，求这15个元件中至少有两个元件的电阻大于55的概率是多少？8、设连续随机变量的分布函数为（1）、求系数a、b；（2）、P(-2<<2);（3）、 概率密度f(x).9、设随机变量X的密度函

11、数求：Y=X2的概率密度10、假设一部机器在一年内发生故障的概率为 ，机器发生故障时全天停止工作，若一周 个工作日里无故障，可获利润 万元，发生一次故障仍可获利润 万元；发生二次故障所获利润 万元；发生三次或三次以上故障就要亏损 万元，求一周内可获利润的分布律。第二章自测题答案1、； ； ； ； 2、1234563、4、5、设， ，6、； 7、设，则 ， 观察15个电子元件的电阻相当于作一15重的Bernoulli试验，因此若设 ：15个电子元件中电阻大于55的元件个数则再设：则 8、(1) ；（2）；（3）(2) P(>0.3)=9、10、以 表示一周内机器发生故障天数，且 ，则以 表

12、示所获利润，则第三章 多维随机变量及其分布 自测题(90分钟)一、 单项选择题（每题3分，共15分）1设则 （ ）（A） （B） （C） （D）Y不一定服从正态分布2设相互独立，都服从区间0,1上的均匀分布，则服从区间或区域上的均匀分布的是（ ）（A） （B） （C） （D）3设随机变量X和Y, 已知（ ）（A） （B） （C） （D）4设相互独立，且都服从标准正态分布，则（ ）（A） （B） （C） （D）5设两个随机变量相互独立，且，则下列各式中正确的是（ ） （A） （B） （C） （D）二、 填空题（每空3分，共24分）1设的联合分布律如下，且事件X=0与X+Y=1相互独立，则a= ,

13、 b= . XY0100.4b1a0.12设相互独立，表中列出的联合分布律和关于X和Y的边缘分布律的部分数值， XY012则 。 p.j01/811/8pi.1/63设相互独立，且均服从区间0,3上的均匀分布，则 。4设随机变量X和Y相互独立都服从b(2,p)，且，则 。5已知的概率密度为，则 ， 。三、 计算题（共61分）1（10分）设随机变量与相互独立，且服从同一分布的分布律为 又设，求出二维随机变量的联合分布律及关于随机变量、的边缘分布律。2（27分）设二维随机变量的联合概率密度函数为 ，求 常数k； 关于随机变量、的边缘概率密度，并判断是否相互独立； (3) 条件概率密度; (4) ；

14、 (5) ； (6) 随机变量Z=2X-Y的概率密度。3（6分）设随机变量相互独立，其中X的分布律为PX=1=0.3，PX=2=0.7，而Y是连续型随机变量，其分布函数为F(y)，求随机变量Z=X+Y的分布函数FZ(z)。4（18分）一旅客到达汽车站的时间X均匀分布在早上7:55至8点，而汽车在这段时间开出的时刻为Y，且Y具有概率密度（1） 求乘客能乘上汽车的概率；（2）求ZXY的概率密度。第三章 多维随机变量及其分布自测题 参考答案四、 单项选择题1D， 2A， 3C， 4. D，5. B二、填空1. 0.4 , 0.1 。2 7/24 , 2/3 。31/9 。432/81 。5, 1/2

15、 。三、计算题1解：二维随机变量的联合分布律及、Y的边缘分布律为 YX2解 (1)(2)当时，所以当时，所以因为当，时，所以不相互独立。 (3) 当0<x<1时，(4) 由(3)得，即当时，Y服从U(0，1)，所以。(5)因为所以。 (6)当时，所以4（1）X服从U（0，5），乘客能乘上汽车的概率即，得； （2）第四章 自测题时间：120分钟一、 单项选择题 (每题2分，共10分)1随机变量X, Y和X+Y的方差满足D(X+Y)=D(X)+D(Y)是X与Y (A) 不相关的充分条件，但不是必要条件；(B) 不相关的必要条件，但不是充分条件；(C) 独立的必要条件，但不是充分条件；(

16、D) 独立的充分必要条件。 ( )2若方差D(X), D(Y)为非零数，且E(XY)=E(X)E(Y)，则有 (A) X与Y一定相互独立； (B) X与Y一定不相关；(C) D(XY)=D(X)D(Y)； (D) D(X-Y)=D(X)-D(Y)。 ( )3设随机变量X与Y独立同分布，记U=X+Y，V=X-Y，则随机变量U和V必然 (A) 不独立；(B) 相互独立；(C) 不相关；(D) 无法判断。 ( )4若随机变量X与Y不相关，则与之等价的条件是 (A) D(XY)=D(X)D(Y)；(B) D(X+Y)=D(X-Y)；(C) D(XY)¹D(X)D(Y)；(D) D(X+Y)&

17、#185;D(X-Y)。( )5现有10张奖券，其中8张为2元，2张为5元，某人从中随机地无放回地抽取3张，则此人所得奖金的数学期望为(A) 6元； (B) 12元； (C) 7.8元； (D) 9元。 ( )二、 填空题 (每题3分，共18分)1设D(X)=4，D(Y)=9，rXY=0.6，则D(3X-2Y)= 。2已知随机变量XN(0, s2)(s>0)，Y在区间上服从均匀分布，如果D(X-Y)=s2，则X与Y的相关系数rXY= 。3二维随机变量(X, Y)服从正态分布，且E(X)=E(Y)=0，D(X)=D(Y)=1，X与Y的相关系数rXY=-1/2，则当a= 时，aX+Y与Y相互

18、独立。4设XN(0, 4)，Y服从指数分布，其概率密度为如果Cov(X, Y)=-1，Z=X-aY，Cov(X, Z)=Cov(Y, Z)，则a= ，X与Z的相关系数rXZ= 。5设随机变量X在区间-1, 2上服从均匀分布，随机变量 则D(Y)= 。6设随机变量X服从参数为2的泊松分布，用切比雪夫不等式估计P½X-2½³4£ 。三、 基本计算题 (共54分)1(10分) 设x, h是相互独立且服从同一分布的随机变量，已知x的分布律为 Px=i=1/3，i=1, 2, 3 又设X=max(x, h)，Y=min(x, h)，求 (1) 随机变量X的数学期望

19、E(X)，(2) X与Y的相关系数rXY。 2(8分) 设随机变量X, Y的相关系数rXY=0.6，且X与Y的分布律分别为：X0 1P0.5 0.5Y-1 1P0.5 0.5试求X与Y的联合分布律。 3(8分) 设(X, Y)的概率密度为(1) 判别X与Y是否相互独立？是否相关？(2) 求 D(X+Y)。 4(10分)设(X, Y)的联合概率密度为求 E(X)，E(Y)，D(X)，D(Y)，rXY。 5(8分) 设随机变量X1, X2, , Xn相互独立，且都服从数学期望为1的指数分布，求Z=min X1, X2, , Xn的数学期望与方差。 6(10分) 某系某班共有n名新生，班长从系里领来

20、他们所有的学生证，随机地发给每一同学，求恰好拿到自己的学生证的人数X的数学期望与方差。 四、综合题 (共18分)1(8分) 设某种商品每周需求量X是服从区间10, 30上均匀分布的随机变量，而经销商店进货数量为区间10, 30中的某一整数，商店每销售一单位商品可获利500元，若供大于求则削价处理，每处理一单位商品亏损100元，若供不应求，则可从外部调剂供应，此时每单位商品仅获利300元，求最优进货量。 2(10分) 设X1, X2, , Xn(n>2)为独立同分布的随机变量，且均服从N(0, 1)，记 ， Yi=Xi-，i=1, 2, , n求 (1) Yi的方差D(Yi)，i=1, 2

21、, , n； (2) Y1与Yn的协方差Cov(Y1, Yn)； (3) PY1+Yn£0。 第四章 自测题参考答案与提示时间：120分钟四、 单项选择题 (每题2分，共10分)1随机变量X, Y和X+Y的方差满足D(X+Y)=D(X)+D(Y)是X与Y (A) 不相关的充分条件，但不是必要条件；(B) 不相关的必要条件，但不是充分条件；(C) 独立的必要条件，但不是充分条件；(D) 独立的充分必要条件。 ( C )2若方差D(X), D(Y)为非零数，且E(XY)=E(X)E(Y)，则有 (A) X与Y一定相互独立； (B) X与Y一定不相关；(C) D(XY)=D(X)D(Y)；

22、 (D) D(X-Y)=D(X)-D(Y)。 ( B )3设随机变量X与Y独立同分布，记U=X+Y，V=X-Y，则随机变量U和V必然 (A) 不独立；(B) 相互独立；(C) 不相关；(D) 无法判断。 ( C )4若随机变量X与Y不相关，则与之等价的条件是 (A) D(XY)=D(X)D(Y)；(B) D(X+Y)=D(X-Y)；(C) D(XY)¹D(X)D(Y)；(D) D(X+Y)¹D(X-Y)。( B )5现有10张奖券，其中8张为2元，2张为5元，某人从中随机地无放回地抽取3张，则此人所得奖金的数学期望为(A) 6元； (B) 12元； (C) 7.8元； (D

23、) 9元。 ( C )五、 填空题 (每题3分，共18分)1设D(X)=4，D(Y)=9，rXY=0.6，则D(3X-2Y)= 28.8 。2已知随机变量XN(0, s2)(s>0)，Y在区间上服从均匀分布，如果D(X-Y)=s2，则X与Y的相关系数rXY= 1/4 。3二维随机变量(X, Y)服从正态分布，且E(X)=E(Y)=0，D(X)=D(Y)=1，X与Y的相关系数rXY=-1/2，则当a= 2 时，aX+Y与Y相互独立。4设XN(0, 4)，Y服从指数分布，其概率密度为如果Cov(X, Y)=-1，Z=X-aY，Cov(X, Z)=Cov(Y, Z)，则a= -1 ，X与Z的相

24、关系数rXZ=。5设随机变量X在区间-1, 2上服从均匀分布，随机变量 则D(Y)= 8/9 。6设随机变量X服从参数为2的泊松分布，用切比雪夫不等式估计P½X-2½³4£ 1/8 。六、 基本计算题 (共54分)1(10分) 设x, h是相互独立且服从同一分布的随机变量，已知x的分布律为 Px=i=1/3，i=1, 2, 3 又设X=max(x, h)，Y=min(x, h)，求 (1) 随机变量X的数学期望E(X)，(2) X与Y的相关系数rXY。 答：E(X)=22/9，rXY=8/19。提示：X与Y的联合分布律为：YX1 2 3PX=i1231/

25、9 0 02/9 1/9 02/9 2/9 1/91/93/95/9PY=j5/9 3/9 1/912(8分) 设随机变量X, Y的相关系数rXY=0.6，且X与Y的分布律分别为：X0 1P0.5 0.5Y-1 1P0.5 0.5试求X与Y的联合分布律。 答：YX-1 1010.4 0.10.1 0.4提示：由边缘分布及相关系数确定联合分布，设X与Y的联合分布律为YX-1 1PX=i01a bc d0.50.5PY=j0.5 0.513(8分) 设(X, Y)的概率密度为(2) 判别X与Y是否相互独立？是否相关？(2) 求 D(X+Y)。 答：(1) 不独立，相关。(2) D(X+Y)=5/3

26、6。解 ，同理在0<x<1, 0<y<1内，f(x, y)¹fX (x)×fY(y)，所以X与Y不相互独立。，由x与y的对称性知 E(Y)= D(X)=E(X2)-(E(X)2=11/144=D(Y)，Cov(X, Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=-1/144，rXY¹0，故X与Y相关。因此 D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X, Y)=5/36, 。4(10分)设(X, Y)的联合概率密度为求 E(X)，E(Y)，D(X)，D(Y)，rXY。 答：E(X)=2/3，E(Y)=0(由奇偶性及对称性)，D(X)=1/18，D(Y

27、)=1/6，rXY=0。提示：利用公式D(X)=E(X2)-(E(X)2及求解。5(8分) 设随机变量X1, X2, , Xn相互独立，且都服从数学期望为1的指数分布，求Z=min X1, X2, , Xn的数学期望与方差。 答：E(Z)=1/n，D(Z)=1/n2。提示：FZ(z)=1-(1-FX (z)n。6(10分) 某系某班共有n名新生，班长从系里领来他们所有的学生证，随机地发给每一同学，求恰好拿到自己的学生证的人数X的数学期望与方差。 答：E(X)=1，D(X)=1。提示：采用随机变量的分解方法求数学期望。设 则 X=X1+X2+Xn， 注意：X1，X2，Xn不相互独立， 因此在计算

28、方差时，应利用公式四、综合题 (共18分)1(8分) 设某种商品每周需求量X是服从区间10, 30上均匀分布的随机变量，而经销商店进货数量为区间10, 30中的某一整数，商店每销售一单位商品可获利500元，若供大于求则削价处理，每处理一单位商品亏损100元，若供不应求，则可从外部调剂供应，此时每单位商品仅获利300元，求最优进货量。 答： 23单位商品（近似值）。提示：求进货量a=何值时E(X)最大。解答： 设利润为随机变量Y，进货量为a， 则 如下建立利润Y与需求量X之间的函数关系：时，E(Y)达到最大值。2(10分) 设X1, X2, , Xn(n>2)为独立同分布的随机变量，且均服

29、从N(0, 1)，记 ， Yi=Xi-，i=1, 2, , n求 (1) Yi的方差D(Yi)，i=1, 2, , n； (2) Y1与Yn的协方差Cov(Y1, Yn)； (3) PY1+Yn£0。 答：D(Yi)=(n-1)/n，Cov(Y1, Yn)=-1/n，PY1+Yn£0=1/2。提示：Cov(Y1, Yn)=E(Y1Yn)-E(Y1)×E(Yn)=E（(X1-)(Xn-)）。第五章 自测题时间：90分钟七、 单项选择题 (每题5分，共10分)1设X1, X2, , Xn，相互独立，且都服从参数为(>0)的泊松分布,则下列选项正确的是( ) (A

30、)；(B) 当n充分大时, 近似服从标准正态分布；(C) 当n充分大时, 近似服从正态分布N(n, n)；(D) 当n充分大时,。 2. 设X1, X2, , Xn，是独立同分布的随机变量序列，其分布函数为则辛钦大数定律对此序列( )(A) 适用; (B)当常数a,b取适当的数时适用; (C) 不适用; (D)无法判定.八、 填空题 (每题5分，共15分)1 设X1, X2, , Xn相互独立且都服从参数=2的指数分布,则当时,依概率收敛于( ).2设随机变量序列Xn相互独立且都在-1,1上服从均匀分布,则( ) 3在天平上重复称量一重为的物品，假设各次称量结果互相独立同服从正态分布。若以表示

31、次称量结果的算术平均值，则为使 的最小值应不小于自然数（ ）. 三、计算题 (共45分)1 (15分)一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的，假设每箱平均重50千克，标准差为5千克，若用载重量为5吨的汽车承运，试利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱才能保障不超载的概率大于0.977.其中是标准正态分布函数）。 2 (15分)某保险公司经多年的资料统计表明，在索赔户中被盗索赔户占20%，在随意抽查的100家索赔户中被盗的索赔户数为随机变量。（1）写出的概率分布；（2）利用棣莫佛拉普拉斯定理，求被盗的索赔户数不少于14户且不多于30户的概率的近似值。 附表： 3 (15分) 每颗炮弹

32、命中飞机的概率为0.01, 求500发炮弹至少命中7发的概率. 九、 证明题 (共30分)1. (10分)设X1, X2, , Xn，是独立同分布的随机变量序列，且证明:2. (20分)设X1, X2, , Xn，是独立同分布的随机变量序列，已知记,试证明: 当n充分大时, 近似服从正态分布,并给出其分布参数.参考答案选择题 (C) (C)填空题1. 8; 2. ; 3. .计算题.1 解：设是装运的第i箱的重量（单位：千克），可以将视为独立同分布随机变量，而n箱的总重量 是独立同分布随机变量之和。 由条件知 根据列维-林德伯格中心极限定理，近似服从N(50n,25n)分布，则每车的装箱数n决

33、定于条件： 由此可见，从而n<98.0199,即知每车最多可以装98箱。计算题2 解：（1）据题意，可知100家索赔户中被盗的索赔户数服从二项分布，其参数，即，且，（2）由，得 计算题3. 解: 设随机变量X为500发炮弹中命中的炮弹个数, 则XB(500,0.01), 则由德莫佛-拉普拉斯中心极限定理有则三证明题1 证明 因为X1, X2, , Xn，独立同分布,所以也独立同分布,且, 由辛钦大数定律,对任意>0, 有证明题2 证明 因为X1, X2, , Xn，独立同分布,所以也独立同分布,由得, ,由独立同分布中心极限定理, 当n充分大时有则 . 证毕.(另一思路)由独立同分

34、布中心极限定理, 对任意,当n充分大时有因此, 当n充分大时有. 证毕.第六章 自测题时间：120分钟十、 单项选择题 (每题5分，共25分)1. 设总体, 其中已知,未知, X1, X2, , Xn是来自总体X的简单随机样本，则下列表达式中不是统计量的是( )(A) (B) (C) (D) 2. 设随机变量X和Y都服从标准正态分布，则 ( ) (A) X+Y服从正态分布；(B) X2+Y2服从c2分布；(C) X2和Y2都服从c2分布；(D) X2/Y2服从F分布。3. 设二维随机变量(X, Y)服从二维正态分布N(m1, m2, s12, s22, r) (r¹0)，则( )(A

35、) 2X+Y服从正态分布；(B) X2+Y2服从c2分布；(C) X-Y不服从正态分布；(D) X2/Y2服从F分布.4设X1, X2, , X10是来自正态总体的简单随机样本，,则下列选项正确的是( ) (A)； (B) (C) (D) 5. 设总体X和Y相互独立且都服从正态分布,分别是来自总体X和Y容量为n的样本均值, 则当n固定时, 概率的值随着的增大而( )(A)单调增大; (B) 单调减小; (C)保持不变; (D) 增减不定.十一、 填空题 (每题5分，共15分)a) 设随机变量是取自X的样本,为样本均值, 已知，则a ,b的值为( ).2. 设总体X服从正态分布,而是来自总体的简

36、单随机样本，则随机变量 服从（ ）分布，参数为（ ）.3. 设随机变量X服从t(n), 则 服从的分布为( ). 三、计算题 (共60分)4 设容量为n的简单随机样本取自总体N ( 3.4, 36 ),且样本均值在区间(1.4,5.4)内的概率不小于0.95,问样本容量n至少应取多大？2. 设X1, X2, , Xn是来自正态总体的简单随机样本， 试求 3设X1, X2, , X16是来自正态总体的简单随机样本，为样本均值和样本标准差，若试求参数a .（）4. 设总体X服从正态分布，从中抽取简单随机样本，（），其样本均值为，求统计量的数学期望E(Y). 参考答案1.单项选择题 (1) C (2

37、)C (3)A (4) C (5) C选择题4解析: 由此可知当n固定时,与无关. 故选择C. 事实上与无关.2. 填空题: (1) a=5 , b=-5或者a=-5 , b=5.(2) F; (10,5).填空题2解析: 且显然此二者相互独立，则： (3) F(n,1).填空3解析: 由X服从t(n), 故存在使得, 则.3.计算题计算题1解析：设是取自总体的简单随机样本，则： 又由于： 则：，查表得, 即知n至少应取35.计算题2解析：总体故且相互独立，故，则所以计算题3解析: , 相互独立, 则由t分布的定义知,故则4a为t(15)的上0.95分位点, 即计算题4解析: 第七、八章 自测

38、题 时间：90分钟十二、 单项选择题 (每题3分，共12分)1设总体XN (1,s 2)，总体YN (2,s 2)，X1, X2, , Xm和Y1, Y2, , Yn分别是来自总体X和总体Y的样本，样本方差分别为和，则s 2的无偏估计量是( ) (A) ； (B) ； (C) ； (D) 。 2设总体X的概率分布为 X 0 1 2 3 P 其中(0<<1/2)是未知参数，从总体X中抽取容量为8的一组样本，其样本值为3，1，3，0，3，1，2，3，求参数的矩估计值( ) （A）1/3 (B) 1/2 (C) 1/4 (D) 1/83 在假设检验中，显著性水平的意义是 ( )(A) 原

39、假设H0成立，经检验被拒绝的概率；(B) 原假设H0成立，经检验被接受的概率；(C) 原假设H0不成立，经检验被拒绝的概率；(D) 原假设H0不成立，经检验被接受的概率。 4在假设检验问题中，如果H0的拒绝域是W，那么样本值(x1, x2, xn)只可能有下列四种情况，其中拒绝H0且不会犯错误的是( )(A) H0成立，(x1, x2, xn)W；(B) H0成立，(x1, x2, xn)W；(C) H0不成立，(x1, x2, xn)W；(D) H0不成立，(x1, x2, xn)W。十三、 填空题 (每题3分，共18分)1设总体X服从参数为的泊松分布，X1, X2, , Xn是取自X的随机

40、样本，其均值和方差分别为和。如果是的无偏估计，则a= 。2已知,为未知参数的两个无偏估计，且与不相关，。如果也是的无偏估计，且是,的所有同类型线性组合中方差最小的，则a= ，b= 。3设X是在一次随机试验中事件A发生的次数，进行了n次试验得一组样本X1, X2, , Xn，其中事件A发生了k次。则事件A发生的概率p的矩估计为 ；最大似然估计为 。4设(X1, X2, Xn)是取自正态总体XN (,9)的简单随机样本，其中是未知参数，样本均值为，如果对检验问题H0：=0, H1：¹0。当n=25时，取检验拒绝域C=(x1, x2, x25)：|0|³ c ，=0.05, 则c

41、 = ；如果检验拒绝域C=(x1, x2, xn)：|0|³ 1.96 ，则样本容量n= 。5设总体XN (,s 2)，X1, X2, X10是来自总体X的样本，且样本方差S28.72，检验假设H0：s 2=64，H1：s 2>64，显著性水平=0.05，利用统计量 求H0拒绝域为 。6设总体XN (,s 2)，原假设H0：=0，若拒绝域为(ta(n-1),+¥)，则备择假设H1： ； 若拒绝域为（¥，ta/2(n-1)）È(ta/2(n-1),+¥)，则备择假设H1： 。 十四、 基本计算题 (共60分)1(10分) 设总体X 的概率密

42、度为其中q>0为未知参数，从总体中抽取样本X1, X2, , Xn，其观察值为 x1, x2, , xn，(1) 求参数q 的最大似然估计量； (2) 讨论是否具有无偏性；(3) 若不是q 的无偏估计量，修正它，并由此指出q 的一个无偏量估计*。2(10 分) 一个人重复的向同一目标射击，设他每次击中目标的概率为p，射击直至命中目标为止。此人进行了n(n³1)轮这样的射击，各轮射击的次数分别为 x1, x2, xn，试求命中率p的矩估计值和最大似然估计值。 3(10分)设总体X的概率密度函数为，其中为未知参数, 设X1, X2, , Xn 是来自总体X的样本。求的矩估计量，计算的方差，并讨论的无偏性。4(10分) 设总体X在区间（0，q）服从均匀分布(未知参数q >0), X1, X2, Xn是来自总体X的简单随机样本。记X(n)max(X1, X2, Xn) .(1) 求X(n)的分布函数F(n) (x)与密度函数f(n) (x)；(2) 若对检验问题H0：q ³2，H1：q <2,取H0的拒绝域C =X(n)£ 1.5，求犯第一类错误的概率及其最大值； 5(1