双曲线基本知识点及例题

1、【模拟试题】1. 过双曲线的一个焦点作x轴的垂线，求垂线与双曲线的交点到两焦点的距离。2. 已知双曲线的离心率为2,求它的两条渐近线的夹角tan MbJP = 2，建立适当坐标系,tan 二丄3. 在面积为1的厶PMN中，-求以M、N为焦点且过点P的双曲线方程。+ 二=1(陶 ma。)一 二f > 0J4. 已知椭圆和双曲线：有相同的焦点>二，P是两条曲线的一个交点，求丨- 1丨的值。+/ =15. 已知椭圆二 及点B( 0, 2)，过左焦点Fi与点B的直线交椭圆于C、D两点，椭圆的右焦点为 卩2,求厶CDF的面积。6. P为椭圆二 上任意一点，Fi为它的一个焦点，求证以焦半径Fi

2、P为直径的圆与以长轴为直径的圆相切。7. 已知两定点 A ( 1, 0)，B (1, 0)及两动点 M (0， yi), N (0，y2)，其中厂，设直线AM与BN的交点为P。(1) 求动点P的轨迹C的方程；(2) 若直线 ' -与曲线C位于y轴左边的部分交于相异两点 E、F,求k 的取值范围。23/： ax +by-3a = 0双曲线= 18. 直线： 只有一个公共点，求直线I的方程。【试题答案】1解：双曲线方程为1-=13, 于是焦点坐标为片(-G 0)*码,0) 设过点F1垂直于x轴的直线I交双曲线于11- / = 12i_1=21”25 日口| . . 25*0即网芯. - -

3、 | ： -25313.|=24|=24+-=25 .313故垂线与双曲线的交点到两焦点的距离为 1 - 二。2.解：设实轴与渐近线的夹角为工，则se c(X = 2,即 cosct =2”71-Ct = 一322 oi= Ji- :2 7T 7T TC = 两条渐近线的夹角为 '-点评Q的关系即COS Ct =(1)离心率e与-2(2)要注意两直线夹角的范围，否则将有可能误答为 -；'3.解：以MN所在直线为x轴，MN的中垂线为y轴建立直角坐标系，设Mg 0)?叫 0)(两 >0,>0)(如图所示)<yF ,MUN K-62-J3F =-解得L设双曲线方程为

4、琴）代入，可徐12所求双曲线方程为亠 点评：选择坐标系应使双曲线方程为标准形式，然后采用待定系数法求出方 程。4解：P在椭圆上，丨亠-,又点P在双曲线上，L' ,|刊祁出朋F吗肿|£尽|二4杯、两式分别平方得1 '两式相减得4 ' -' -：J '：1 ,I 丹;| 码 |m5解：.再（7 学二直线硒的方程%二心-2y=-2x-2£一*y 2x 2 ,壬得g宀辰+6二。+ 才=1.2丄与椭圆有两个公共点，设为:16eg 71> D（心，兀贝山帀斗心=-2兀也二_123.|匚二|、: ' ;匸 八 J |& _ 4

5、祈 故£又点F2到直线BF1的距离一一来解。S说明：本题也可用至斗匹=16.略解1设 J、为椭圆上任意一点，贝U -咖苜中点，则M（冬产.号），|0岡二抑兀+八北二扣+ %）又两圆半径分别为+讣-故此两圆内切。略解2如图,此两圆内切7.解：（1）由题意得AM的方程为亠 ,BN的方程为：两式相乘，得即为轨迹U的方程尹二 4 一 1,（2）由宀八1得(l-P)xJ + 2fcc-2= 0A = 4jta-4(l-2)(-2) >0,8 解:由处+切-丸二0得纫二一口x +为（1）11'匚/. x = 3,代入- - - = 1 得尸=0此时直线I: x= 3与双曲线只有一个公共点（3, 0）;（2）当b"时，直线l方呈为一：'F二送（工-弘由 Q ：得（4耳-+4护j 二 °L9 44护-9/二0, -= ± -时，方程可化为=3, -> = 0 当” 二二此时亘线人 尸± |（X-3）与双曲线有一个公夬為当 I'r" / -I. H - - - -! - ： 一. .一恒成立，此时直线l与双曲线必相交于两点。综上所述，满足条件的直线I共有三条：L ：- ；'''小结：含参数的直线方程，若化简为，则可知|必过定点（3