第6讲数列综合问题

1、第6讲数列的综合问题知识梳理1. 等差数列的补充性质卄a a °右aj >0, d cO, &有最大值，可由不等式组丿来确定n ；Un 41 兰 °卄Qn兰°若aj cO, d >0, Sn有最小值，可由不等式组 丿来确定n.an用兰°2. 若干个数成等差、等比数列的设法三个数成等差的设法：x d, x, x d ；四个数成等差的设法： x3d,xd,x d, x - 3d .三个数成等比的设法：x q, x, x q ；四个数成等比的设法：x, xq, xq2, xq3.3. 用函数的观点理解等差、等比数列等差数列 a 坤，an =

2、 a (n - 1)d = dn y -d ,当d 0时，Q 1是递增数列,an是n的一次函数；当d =0时，fan 是常数列，an是n的常数函数；当d : 0时，&匚是递减数列,an是n的一次函数.等比数列：an冲，an二叩：当a1 0,q 1或a：0,0 ： q ： 1时，：an堤递增数列；当 a1- 0,0 ： q ： 1 或 a： 0, q 1 时，'an 是递减数列;当q =1时，：an 是一个常数列；当q：0时，an?是一个摆动数列.4. 解答数列综合问题的注意事项认真审题、展开联想、沟通联系；将实际应用问题转化为数学问题；将数列与其它知识(如函数、方程、不等式、解

3、几、三角等)联系起来重难点突破1. 重点：掌握常见数列应用问题的解法；掌握数列与其它知识的综合应用2. 难点：如M可将实际应用问题转化为数学问题，综合运用所学知识解决数列问题热点考点题型探析考点数列的综合应用题型1等差、等比数列的综合应用【例1】已知等差数列 a 与等比数列中，ba1,ba3,b3 a6，求bn ?的通项.【解题思路】由等比数列：bn /知：b|,b2,b3成等比，从而找出a1, d的关系.【解析】设等差数列 玄的公差为d，等比数列bn 的公比为q，；h 是等比数列，.b1,b2,b3成等比，则a2 二a?日6 = (ai 2d)2 =佝 d)(ai 5d)，解得 d =0或

4、d - -2ai - -2.当d =0时，q=1，d=1，bn=1;当d = -2时，.1 a3a1 2dnJD -1，q3， . bn - 3.a2ai +d【名师指引】综合运用等差、等比数列的有关公式和性质是解决等差、等比数列综合问题的关键【例2】已知Sn为数列：an 的前n项和，a1 =1，Sn =4an 2.设数列:bn中 bn =an 1 -2an，求证：?是等比数列；设数列 心中，cn =芸，求证： C ?是等差数列；求数列、an /的通项公式及前 n项和.【解题思路】由于 乜'和匕 坤的项与'an中的项有关，且 &彳二4an 2，可利用an、Sn的关 系作

5、为切入点.【解析】；& 1 =4an 2，& 2 = 4an 4 2，两式相减，得Sn 2-Sn1=4an1_ 4an 二： 2 = 4an 1 _ 4an，-an 2- 2an 1=2(an 1_ 2an )又；bn -an 1 -2an，- bn 1 =2bn，由a 1 ， Sn 二 4an 2，得a? = 5d = a? - 2ci| =3，. :bn f是等比数列,bn =3 2n由知，an 2 二 4an 1 4an，且 Cnan2nCn 1 - Cnn 1n2 2a n 1 anan 1 2a nbn3 2n42n 1<cn 是等差数列，cn n4卜an =(

6、3n_1)2心Cn j，且 Cn，n 1，a> 3 nn 2n n 442n4当 n =1 时，(3-1)21' =1 = a1，.an =(3n-1) 2n2，Sn = (3n-4) 2nJ 2.【名师指引】等差、等比数列的证明方法主要有定义法、中项法；将“Sn = 4an 2 ”化归为an 4 = f (an)是解题的关键.题型2数列与函数、方程、不等式的综合应用【例3】(2008韶关模拟) 设函数f(x)的定义域为R，当 x ： 0 时,f (x) . 1，且对任意的实数x,y R，有 f(x y) = f (x)f (y).求f (0)，判断并证明函数f (x)的单调性;

7、数列*an匚满足a1 = f (0),且f (an彳)二f (-2 -a.)(n N)求'an 通项公式;11112当a 1时，不等式二 丄.2£(log a 4 X - log aan 卅an_2a2n35x - 1)对不小于2的正整数恒成立，求X的取值范围.【解题思路】从已知得到递推关系式，再由等差数列的定义入手；恒成立问题转化为左边的最小值【解析】f(0)=1，f (x)在R上减函数(解法略) a1 = f(0)“f(务山 f(_2p)f(2 an)由f (x)单调性an 1 = an2= an 1 - an =2，故 an 等差数列1 1 1-an =2n -1 bn

8、.,则 bn 1an 1an 2a2n丄an -2an -3丄a2n 211.bm -bna2n+ a2n 七玄.十4n+1 4n+3 2n+1(4n1)(4 n 3)(2 n 1)-0,bn是递增数列当n _2时,1 11112(bn ) min - b2=+a3a4573512351235(loga .! X - log a X 1)即 logaiXlogaX 1 ： 1= loga 1 X ： loga X而a . 1，二x . 1，故x的取值范围是1,:【名师指引】 数列与函数、方程、不等式的综合问题，要注意将其分解为数学分支中的问题来解决.题型3数列的应用问题【例4】在一直线上共插有

9、13面小旗，相邻两面之距离为 10m，在第一面小旗处有某人把小旗全部集中 到一面小旗的位置上，每次只能拿一面小旗，要使他走的路最短，应集中到哪一面小旗的位置上？最短路程是多少？矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。【解题思路】本题求走的总路程最短，是一个数列求和问题，而如何求和是关键，应先画一草图，研究他从第 一面旗到另一面旗处走的路程 ，然后求和聞創沟燴鐺險爱氇谴净。【解析】设将旗集中到第X面小旗处，则从第一面旗到第 X面旗处，共走路程为10(x-1)，然后回到第二 面处再到第X面处是20(x -2)，从第X面处到第(x - 1)面处路程为20,从第X面处到第(x - 2)面取旗再到第X面处，路程为202，

10、总的路程：残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟。S=10(x1)20(x2)20(x3)27'20 220 12020 2+20 工(13_x)= 10(x1)20 (X丫 -2)20(13 -x)(14 -x)21,an，则 a Sn 1，= 10(x -1) (x-2)(x-1)(13_x)(14_x)】= 10(2x2 -29x183) =20(x -29)2315 .44由于X N .,当x=7时，S有最小值S= 780(m).答：将旗集中以第7面小旗处，所走路程最短.【名师指引】 本例题是等差数列应用问题.应用等差数列前n项和的公式，求和后，利用二次函数求最短 距离时，要特别注意自变量 n的

11、取值范围.酽锕极額閉镇桧猪訣锥。【例5】用砖砌墙，第一层(底层)用去了全部砖块的一半多一块，第二层用去了剩下的一半多一块， 依次类推，每一层都用去了上次剩下的砖块的一半多一块，到第十层恰好把砖块用完，问共用了多少块 ？【解题思路】建立上层到底层砖块数 an与各的关系式是关键，应分清它是等差，还是数列等比数列易得 a - 2, an1 an_ = 2an，即 an =28n4因此,每层砖块数构成首项为2,公比为2的等比数列，则S102(1 210)1-2=2046 (块)【解析】设从上层到底层砖块数分别为 a1, a2，-答:共用2046块.【名师指引】建立an与Sn的关系式后，转化为求数列通项

12、的问题.【例6】2002年底某县的绿化面积占全县总面积的40 %，从2003年开始，计划每年将非绿化面积的8%绿化，由于修路和盖房等用地，原有绿化面积的2%被非绿化.4设该县的总面积为1,2002年底绿化面积为a1,经过n年后绿化的面积为an 1,试用an表示1 10 n nan 1 ；求数列a 的第n 1项an彳；至少需要多少年的努力，才能使绿化率超过 60%（参考数据：|g 2 = 0.3010,lg 3 =0.4771 ）【解题思路】当年的绿化面积等于上年被非绿化后剩余面积加上新绿化面积【解析】设现有非绿化面积为 b1,经过n年后非绿化面积为bn .于是a1 b1 =1,anbn = 1

13、.依题意，an -是由两部分组成,一部分是原有的绿化面积an减去被非绿化部分8 bn100n100n '100988 u988(1 - an)9an 1an+bn =an+10010010010010an92494、1-an，an 1(an-).于是an a后剩余的面积 竺已,另一部分是新绿化的面积,彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑。2259是公比为 ，首项a1010 52的等比数列.54 2 9二an 1飞(-詐不)'5 5 104 2 9 an 160%,()(广5 5 10城)"n(lg 9-1) ： -lg 2, n6.57201 - 2lg3答:至少需要7年的努力，才能

14、使绿化率超过60% .【名师指引】 解答数列应用性问题，关键是如何建立数学模型，【新题导练】1.四个实数，前三个数成等比数列，其和为19，后三个数成等差数列，其和为12，求原来的四个数.将它转化为数学问题【解析】设后三个数分别为 x-d,x, x d，贝U （x-d） x（x，d）=12=x=422前三个数成等比数列，.第一个数为（4 _d） ，（4 _d） （4 一 d） 4 = 19，442 2解得 d1=14,d2-2，当 d - 14 时，®25 ;当 d=-2 时，®9 .44原来的四个数分别为25,-10,4,18或9,6,4,2.2.已知Sn为数列'耳

15、的前n项和，点an,Sn在直线y = 2x -3n上.若数列'an - c；成等比，求常数的值;求数列a ?的通项公式；数列中是否存在三项，它们可以构成等差数列？若存在，请求岀一组适合条件的项；謀荞抟箧飆鐸怼类蒋薔。若不存在，请说明理由.【解析】由题意知Sn =2an -3n， Sn十=2an十一3(n 1)，得an d - 2an -3，.=2，c =3；an 3 a =2a3 ,a3，由知：an 3 = (a, 3) 2n二 an = 3 2n - 3an - 3 =(a,3) 2n=an =3 2n -3；设存在 s, p,r N .(s ： p : r)，使 as,ap,ar成

16、等差数列，.2ap 二 as ar即 2(3 2p -3) =(3 2s -3) (3 2r -3)，. 2p 1 =2s 2r，2卩亠因为 s, p,r N .(s ： p : r)，.2p1,2r为偶数，12r为奇数，这与(:)式产生矛盾.所以这样的三项不存在.3. (2009金山中学)数列首项a,2S2=1，前n项和Sn与an之间满足 耳-(n _ 2)2Sn -1(2)求数列的通项公式f1 1(1 )求证：数列是等差数列ISJ(3)设存在正数k，使(1+ S I1 + S?卅l(1 + Si )启k J2n +1对于一切n乏N5*1都成立，求k的最大值。1 1由(1)有家1肿卄'

17、;右又 d = S1 =1(2n 1)(2n 3)(门二 2)an 二n=i)设F(n)= 1 S 1七彳山1 Sn、2n 1F(n 1)(1_Sn 1)丄 2 n_12n 2F(n)2n 32n 12n 3. 4n2 8n 3故使F (n) _ k恒成立只需 k F( n)min又 F (n)min 二 F (1) =又k 0.0 ： k空乙3，所以，k的最大值是生3 .334.夏季高山上的温度从脚起，每升高100m，降低0.7 C，已知山顶处的温度是 14.8山脚处的温度为26 C，问此山相对于山脚处的高度是多少米.厦礴恳蹒骈時盡继價骚。【解析】；每升高100m米温度降低0.7 c，.该处

18、温度的变化是一个等差数列问题山底温度为首项a =26,山顶温度为末项an =14.8,所以26 (n -1)(-0.7) =14.8，解之可得n =17，此山的高度为(17-1)100 =1600(m).5.由原点O向三次曲线y = x3 - 3ax2亠bx(a = 0)引切线，切于不同于点O的点P., (x1, y1)，再由P引此曲线的切线，切于不同于 P的点P2(x2, y2)，如此继续地作下去，得到点 列'Pn(xn, yn)l试回答下列问题：求x1 ； (2)求xn与xn d的关系式；茕桢广鳓鯡选块网羈泪。若a 0，求证：当n为正偶数时，xn : a ；当n为正奇数时，xn a

19、 .【解析】由 y = x3 - 3ax2 bx(a = 0) 得 yz =3x 6ax+ b.过曲线上点 p (x1, y1)的切线l1的方程是:y _(x； -3ax2 b) =(3%2 _6aN b)(x片),(洛=0).由它过原点，有-x；3ax-b%=-x1 (3x-6ax1b),2xf= 3ax； (x-20),捲3a过曲线上点Pn (xn 1,yn )的切线丨n+1的方程是:n-2时a Sn -Sn 1 - 2n1 2(n1) 1(2n 一 1)(2n 一3)3 2 2Xn - 3axn' bxn _ ( Xi 1_3 aXi 1y (Xn勺3aXn1bXn 1)=(3X

20、n1daXn .!b)(X Xn1).,由 In 1 过曲线上点，有2'b.J = (3 人i '6 aX)i b( X 和),V Xn人勺=0，以XnXn勺除上式，得2 2 2XnXnXn1Xn1 _ 3a(XnXn1 ) 3Xn1- 6aXn-1' b,22_xn 彳除之，得 xn 2xn 彳一3a 二 0.Xn ' Xn Xn 1 - 2Xn 1 - 3a(Xn - Xn J = 0,以 Xn1方法1由得Xn 1Xn|a,. Xn 1 a 二*(Xn a).a1故数列x n- a是以X 1 - a=2为首项，公比为一的等比数列，鹅娅尽損鹤惨歷茏鴛賴。a ,

21、 1 xn Ata / 1 x n,Xn _ a(), Xn =1 - () a.2 2 211- a 0，二当 n 为正偶数时，Xn 二1一()na 二1 一(一)na ： a;2211当 n 为正奇数时,xn =1( 一一)na =1+()na a a.221 3131/13、 3方法 2 t Xn 1Xn a,. Xnx.a( 冷上 a) a2 2222 22 2_/1 2+3"1 X/1、n+3 + /12+川+/1 x 2,2 2 2 2 222 2:/n I匸)a.以下同解法1.抢分频道基础巩固训练1.首项为a的数列：an '既是等差数列，又是等比数列，则这个的前

22、n项和Sn为（）a. an4b.anC.(n T)ad.na【解析】D.由题意，得数列"an匚是非零常数列，.Sn二na.2.等差数列Bn及等比数列h :中,a二 d 0, a?二 b?0,则当n - 3时有A. an - bnB.an = bnC.an - bnD.a.岂 bn【解析】D.特殊法，Bn'及"bn匚为非零常数列时，an二bn ；取an: 1,2,3，bn: 1,2,4时，a:：bn.3. 已知a, b, c成等比数列， m是a,b的等差中项，n是b,c的等差中项，则 a c =.m na c【解析】2.特殊法，取a=1,b=2,c=4 ,2.m n4

23、. Sn为等差数列'an匚的前n项和，a1 0， S3 =，问数列的前几项和最大？公差不为零的等差数列 a：冲，= 15， &2,&5,&14成等比数列，求数列的前n项和Sn .【解析】方法 1：设 Sn = An2 Bn(A = 0)，由 Ss 二 ，得 9A 3B =121A11B，即 B - -14 A， Sn = An2 Bn 二 An2 -14An = A(n - 7)249A，.当n = 7时，Sn有最大值为S7.方法2:由S3二Sm，得a4 a5 a- a1 0，；江？是等差数列，.4(a7a8)= 0=a7a0.由a 0，"a是等差数列

24、，.a?二-as0,a：0，当n = 7时，Sn有最大值为S7.设 an = An B , ； a3 =15，a2,a5,a14成等比数列,an = 6n - 3.3A + B=15'A = 6：(5A + B)2 = (2A + B)(14A + B) = B = -32Sn =6(12 3 n) -3n = 3n .5.已知 a 0,a = 1，数列 b 的前 n 项和 Sna lg a2 1-(1 n - na)an (n N )，若数列：bn(1 -a)的每一项总小于它后面的项，求 a的取值范围.alg a)2r)/"【解析】当n =1时，b二alga.当n _2时，

25、=Sn -&二2 a + n(1 _a)an： = nan lga，二 bn = nan lg a (1 a)由题意，得 bn- bn 0，即 bn lg a (n 1) - n 】0.n1当 a 1 时，an lg a 0，- a1， a 1 ；n1当 0 ： a ： 1 时，an lg a ： 0，a1 -，. 0 a : 1n 1综上，a的取值范围 o, 16.等差数列:an 中，an 0，其公差d = 0 ；数列bn ?是等比数列，bn 0，其公比q = 1.若ai =bi,a2n 1 =b2n 1，试比较an 1与bn 1的大小，说明理由;若a1 =a2二b2，试比较an d

26、与bn d的大小，说明理由【解析】方法i: an,bn的图象大致如下图所示:由图可知，an 1 bn 1 ； 由图可知，an d bn 1方法2：(用作差比较法，略).综合拔高训练7.某养渔场，据统计测量，第一年鱼的重量增长率为200%，以后每年的增长率为前一年的一半饲养5年后，鱼重量预计是原来的多少倍？如因死亡等原因，每年约损失预计重量的10%，那么，经过几年后，鱼的总质量开始下降?【解析】设鱼原来的产量为 a，q =200% = 2a1 二 a(1 q),aa1(1q> 二 a(1 q)(1 q>，1 11405 aa(1 2)(1 1)(1)(12)(13)12.7a2 22

27、2332由可知,而鱼每年都损失预计产量的10%，即实际产量只有原来的910设底年鱼的总量开始减少，则可，即_an兰an十q9an 1(1 冷讦 - an -1 q 9 an - and屮需1 1=兰362r,118.18乞2n空32，解得，n =5.经过5年后，鱼的总量开始减少.8.数列"an'的前n项和为Sn(n N )，点(an, Sn)在直线y =2x -3n .若数列an c成等比数列，求常数 C的值；求数列an的通项公式;数列an中是否存在三项，它们可以构成等差数列？若存在，请求出一组适合条件的项;若不存在，请说明理由.【解析】由题意知sn = 2an - 3n,

28、&勺=2an彳- 3(n 1),得打细卜害=2心3a! =S =2a! -3，二印=3，由知:an”3 = （a週3）公二 an =3汉2n 3（设存在s, p,層N*,且使as,ap,ar成等差数歹【, l 2ap = as ar 即 2（3卜3） = （3” 3询（3 2 3）2P 1 =2S 2r2pi =12心头)因为S、P、rN*且spr二2p*、2r为偶数1+2 r S为奇数，(*)式产生矛盾.所以这样的三项不存在.9.(2001 全国)从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据1规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少，本年度当地旅游业收入估计400万元，由于51该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加.籟丛妈羥为贍债蛏练淨。4设n年内(本年度为第一年)总收入为an万元，旅游业总收入为bn万元，写出表达式至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入？11【解析】3.第一年投入为800万元，第二年投入为800(1)万元，第n年的投入为800(1)