2.4麦克斯韦速度分布ppt课件

1、2.4 麦克斯韦速度分布麦克斯韦速度分布 前面已指出，麦克斯韦是先导出速度分前面已指出，麦克斯韦是先导出速度分布，然后再从速度分布得到速率分布的。布，然后再从速度分布得到速率分布的。 本节中介绍麦克斯韦速度分布。本节中介绍麦克斯韦速度分布。 为了说明速度分布的含义，先介绍速度为了说明速度分布的含义，先介绍速度空间的概念。空间的概念。 2.4.12.4.1速度空间速度空间 一、速度矢量、速度空间中的代表点一、速度矢量、速度空间中的代表点 （1 ) 1 ) 速度矢量速度矢量 要描述气体分子的速度大小和方向，要描述气体分子的速度大小和方向，需引入速度矢量这一概念，需引入速度矢量这一概念， 速度矢量的

2、方向和大小恰与此瞬时该分速度矢量的方向和大小恰与此瞬时该分子速度的大小、方向一致。子速度的大小、方向一致。 一个分子仅有一个速度矢量。一个分子仅有一个速度矢量。 （1) 1) 速度空间中的代表点速度空间中的代表点把分子的速度矢量沿x、y、z方向的投影vx、vy、vz作直角坐标图， 把所有分子速度矢量的起始点都平移到公共原点O上。在平移时，矢量的大小、方向都不变。平移后，仅以矢量的箭头端点的点来表示这一矢量，而把矢量符号抹去。这样的点称为代表点。如图中的P点所示。 以直角坐标表示的速度空间以直角坐标表示的速度空间 以速度分量vx、vy、vz为坐标轴， 以从原点向代表点所引矢量来表示分子速度方向和

3、大小的坐标称为速度空间。速度空间是人们想像中的空间坐标，所描述的不是分子的空间位置，而是速度的大小与方向。 二、速度空间中代表点的分布二、速度空间中代表点的分布 若把某一瞬时所有分子所对应的速度若把某一瞬时所有分子所对应的速度矢量代表点都标在速度空间中，就构成矢量代表点都标在速度空间中，就构成代表点在速度空间中的一种分布图形，代表点在速度空间中的一种分布图形，如下图如下图速度空间中代表点分布与靶板上靶点分布类似：速度空间中代表点分布与靶板上靶点分布类似：前面已指出，在图前面已指出，在图2.22.2a a中，靶点位于中，靶点位于x x 到到x+dxx+dx，y y 到到y+dyy+dy范围内的概

4、率是以范围内的概率是以f fx x，y ydxdydxdy来表示的，其中来表示的，其中dxdydxdy为这一区域为这一区域大小，大小，f fx x，y y是黑点分布的概率密度。是黑点分布的概率密度。（1 1速度空间中小立方体速度空间中小立方体dvxdvydvzdvxdvydvz中的概率中的概率在三维速度空间中，在vx 到vx+dvx，vy 到vy+dvy，vz 到vz+dvz区间内 划出一个体积为dvxdvydvz的微分元，如下图。数出在这微分元中的代表点的数目dNvx、vy、vz），并把 zyxzyxzyxdvdvNdvvvvdNvvvf),(),(称为坐标为称为坐标为vxvx、vyvy、v

5、zvz处的麦克斯韦速度分布概率密度，处的麦克斯韦速度分布概率密度，它表示在它表示在dvxdvydvzdvxdvydvz小体积元小体积元中代表点的相对密集程度。中代表点的相对密集程度。我们可以这样来求出我们可以这样来求出dNdNvxvx、vyvy、vzvz）（2 2速度空间中厚为速度空间中厚为dvx dvx 无限大平板中的概率无限大平板中的概率 首先问，在N个分子中速度 x分量落在vx 到vx+dvx范围内而vy ,vz 在任意的范围内的分子数 dNvx是多少？, 在速度空间中划出一个垂直于vx轴的厚度为dvx的无穷大平板，如下图. 不管速度的不管速度的y y、z z分量如何，只要速分量如何，只

6、要速度度 x x 分 量 在分 量 在 v x v x 到到vx+dvxvx+dvx范围内，则范围内，则所有这些分子的代所有这些分子的代表点都落在此很薄表点都落在此很薄的无穷的无穷 大平板中大平板中. . 若设此平板中代表点数为若设此平板中代表点数为dNdNvxvx），），则则dNdNvxvx）/N /N 表示分子的速度处于表示分子的速度处于vx vx 到到vx+dvxvx+dvx而而vyvy、vzvz为任意值范围内的概为任意值范围内的概率。率。 显然这一概率与板的厚度显然这一概率与板的厚度dvxdvx成比例。成比例。 并有并有dNdNvxvx）/N = f(vx)dvx/N = f(vx)d

7、vx 称分子称分子x x方向速度分量概率分布函数方向速度分量概率分布函数 同样可分别求出垂直于同样可分别求出垂直于vyvy轴及轴及vzvz轴的轴的无穷大薄平板中代表点数无穷大薄平板中代表点数dNdNvyvy及及 dN dNvZvZ）, ,那么那么 dN dNvyvy）/N = f(vy)dvy/N = f(vy)dvy dN dNvzvz）/N = f(vz)dvz/N = f(vz)dvz分别表示分别表示y y及及z z方向速度分量的概率分布函方向速度分量的概率分布函数。数。 根据处于平衡态的气体的分子混沌性根据处于平衡态的气体的分子混沌性假设，分子速度没有择优取向，故假设，分子速度没有择优

8、取向，故f fvxvx）、）、f fvyvy）、）、f fvzvz应具有相同形应具有相同形式。式。 速度空间中一根截面积为速度空间中一根截面积为dvx dvydvx dvy的无穷的无穷长的方条中的概率长的方条中的概率 （2 2进一步问，分子速率介于进一步问，分子速率介于vx vx 到到vx+dvxvx+dvx，vy vy 到到vy+dvyvy+dvy，而，而vzvz在任意的范在任意的范围内的分子数围内的分子数 dN dNvxvx，vyvy是多少？是多少？显然这些分子的代表点都落在一根平行显然这些分子的代表点都落在一根平行于于vzvz轴、截面积为轴、截面积为dvx dvydvx dvy的无穷长的

9、方的无穷长的方条中。条中。 因为分子落在垂直于dvx轴的平板内的概率是fvxdvx，分子落在垂直于vy轴的平板内的概率是fvydvy。 由相互独立的同时事件概率相乘法则可知， 分子落在方柱体内的概率为方柱体内代表点数dNvx，vy与总分子数N的比值 NvvdNdvvfdvvfyxyyxx),()()(（3 3最后要问，分子速度分量处于最后要问，分子速度分量处于vx vx 到到vx+dvxvx+dvx，vy vy 到到vy+dvyvy+dvy，vz vz 到到vz+dvzvz+dvz范围范围内的概率是多少？内的概率是多少？只需在图中再作一只需在图中再作一垂直于垂直于vzvz轴的、厚度轴的、厚度为

10、为dvzdvz的无穷大薄平的无穷大薄平板板 平板与柱体相交截得一体积为平板与柱体相交截得一体积为dvxdvydvzdvxdvydvz的小的小立方体，计算出在小立方体中的代表点数立方体，计算出在小立方体中的代表点数dNdNvxvx、vyvy、vzvz）而而dNdNvxvx、vyvy、vzvz）/N /N 就是所要求的概率就是所要求的概率因为因为vx vx ，vyvy，vzvz相互独立，故相互独立，故 dN dNvxvx、vyvy、vzvz）/N /N =f(vx)dvxf(vy)dvyf(vz)dvz =f(vx)dvxf(vy)dvyf(vz)dvz 显然，速度分布概率密度显然，速度分布概率密

11、度f fvx vx ，vyvy，vzvz是是分子分别按速度的分子分别按速度的x x、y y、z z方向分量分布的概方向分量分布的概率密度率密度f(vz)f(vz)、f(vy)f(vy)、f(vz)f(vz)的乘积。的乘积。分子处于速度空问任一微小范围分子处于速度空问任一微小范围dvxdvydvzdvxdvydvz内内的概率是的概率是f fvx vx ，vyvy，vzvz与与dvxdvydvzdvxdvydvz的乘积。的乘积。 2.4.2 麦克斯韦速度分布麦克斯韦速度分布（Maxwell velocity distribution） 麦克斯韦最早用概率统计的方法导出了理想气麦克斯韦最早用概率统计

12、的方法导出了理想气体分子的速度分布，这一分布可表示为体分子的速度分布，这一分布可表示为f fvx vx ，vyvy，vzvzdvxdvydvz= dvxdvydvz= zyxzyxdvdvdvkTvvvmkTm2)(exp22222/3iiiidvkTmvkTmdvvf2exp2)(22/1因为因为f fvx vx ，vyvy，vz)= vz)= f(vx)dvxdvxf(vy)dvyf(vz)dvz f(vx)dvxdvxf(vy)dvyf(vz)dvz 麦克斯韦速度分布有麦克斯韦速度分布有其中其中i i 可分别代表可分别代表x x、y y、z z。 欲求分子速度的欲求分子速度的x x分量在

13、分量在vx vx 到到vx+dvxvx+dvx内而内而vyvy、vzvz任意的分子数任意的分子数dN(vx),dN(vx), 这就是速度空间中垂直于这就是速度空间中垂直于x x 轴的无穷大薄平板中轴的无穷大薄平板中的代表点数，显然可对的代表点数，显然可对vyvy、vzvz积分后求出：积分后求出： zzyyxxxdvvfdvvfdvvNfvdN)()()()(2/12/1)2()2exp()2(kTmdvkTmvkTmNxxzzyydvkTmvkTmdvkTmv2exp)2(2exp22xxxxxdvkTmvkTmNvdNdvvf2exp)2()()(22/1利用定积分公式可知上式中的两个积分都

14、是利用定积分公式可知上式中的两个积分都是1 1，故，故 的概率分布曲线如图2.13所示： xxxxxdvkTmvkTmNvdNdvvf2exp)2()()(22/1它对称于纵轴，图中打上斜线的狭条的面积即它对称于纵轴，图中打上斜线的狭条的面积即最后说明，由于麦克斯韦在导出麦克斯韦速最后说明，由于麦克斯韦在导出麦克斯韦速度分布律过程中没有考虑到气体分子间的相度分布律过程中没有考虑到气体分子间的相互作用，故这一速度分布律一般适用于平衡互作用，故这一速度分布律一般适用于平衡态的理想气体。态的理想气体。*2.4.3 相对于相对于vp 的麦克斯韦速度分量分布的麦克斯韦速度分量分布与速率分布与速率分布 误

15、差函数误差函数 附录附录2-12-1中的定积分公式都是从中的定积分公式都是从0 0积分到无穷积分到无穷大，大， 有时需要计算气体分子速度分量或速率有时需要计算气体分子速度分量或速率v v在某给定范围内的分子数或概率。在某给定范围内的分子数或概率。 这时可把麦克斯韦速度分布式或速率分布式分这时可把麦克斯韦速度分布式或速率分布式分别作变量变换，别作变量变换， 使之变换为相对于最概然速率的速度分量分布使之变换为相对于最概然速率的速度分量分布或速率分布的形式。或速率分布的形式。 （一相对于（一相对于 vpvp的速度分量麦克斯韦分布的速度分量麦克斯韦分布令其中令其中 vx/ vp= ux ,vx/ vp

16、= ux ,其中其中vp vp 为最概然速率，为最概然速率，它可以变换为它可以变换为若要求出分子速度若要求出分子速度x x方向分量小于某一数值的方向分量小于某一数值的分子数所占的比率，则可对上式积分分子数所占的比率，则可对上式积分引入误差函数引入误差函数erf(x),erf(x),xxxxxdvkTmvkTmNvdNdvvf2exp)2()()(22/1xxxduuNudN)exp(1)(2xxvuxxxxduuNvdNNvN002)exp()1()()0(xdxxxerf02)exp()2()(误差函数误差函数erf(x)erf(x)有表可查有表可查 例2.2 试求在标准状态下氮气分子速度的

17、x分量小于800ms-1的分子数占全部分子数的百分比. 解解 首先求出首先求出273 K273 K时氮气分子摩尔时氮气分子摩尔质量质量Mm=0.028 kgMm=0.028 kg的最概然速率的最概然速率 . . 由表由表2.12.1查得查得erferf2 2）=0.995=0.995，故这种分，故这种分子所占百分比为子所占百分比为=49.8% =49.8% 。 14022smMRTvmp2402800pxxvvu2022)2()exp()1()0(erfduuNvNxxx（二相对于的麦克斯韦速率分布（二相对于的麦克斯韦速率分布 若令若令 可将麦克斯韦速率分布可将麦克斯韦速率分布表示为表示为 利

18、用利用2.352.35式可求得在某一速率附近微式可求得在某一速率附近微小范围内的气体分子数所占的百分比率。小范围内的气体分子数所占的百分比率。 再利用误差函数可求得在再利用误差函数可求得在0 0 到到 v v 范围内范围内的分子数的分子数 pvvuduuuNdNu22)exp()4()exp()2()()0(2uuuerfNvN 2.4.4 从麦克斯韦速度分布导出速率分布从麦克斯韦速度分布导出速率分布 一、以极坐标表示的射击点分布一、以极坐标表示的射击点分布 按极坐标表示的射击点分布。按极坐标表示的射击点分布。 若用相等的若用相等的r r为间隔，为间隔， 在靶板上画出很多个同心圆，在靶板上画出

19、很多个同心圆， 数出每个圆环中的黑点数数出每个圆环中的黑点数N N。 以以N/N N/N r r 为纵坐标，为纵坐标， r r为横坐标画出竖条，如右图为横坐标画出竖条，如右图 令令r r 0 0，得到光滑曲线，得到光滑曲线， 它表示离靶心不同距离处存在它表示离靶心不同距离处存在 黑点的概率黑点的概率二、气体分子的速率分布二、气体分子的速率分布麦克斯韦速度分布麦克斯韦速度分布: :所有分子速率介于所有分子速率介于v v到到v+dvv+dv 范围内的分子的代表点范围内的分子的代表点都落在以原点为球心，都落在以原点为球心，v v 半径，厚度为半径，厚度为dvdv的一的一 薄层球壳中，如下图。薄层球壳

20、中，如下图。根据分子混沌性假设，气体分子速度没有择优根据分子混沌性假设，气体分子速度没有择优取向，在各个方向上应该是等概率的，说明代取向，在各个方向上应该是等概率的，说明代表点的数密度表点的数密度D D 是球对称的，是球对称的，D D 仅是离开原点仅是离开原点的距离的距离v v的函数。设代表点的数密度为的函数。设代表点的数密度为D Dv v）。）。在球壳内的代表点数在球壳内的代表点数dNvdNv应是应是D Dv v与球壳体与球壳体积的乘积积的乘积 dvvvDdNv24)(在麦克斯韦速度分布中已指出，在速度空间中，在麦克斯韦速度分布中已指出，在速度空间中，在速度分量在速度分量vxvx、vyvy、

21、vzvz附近的代表点数密度附近的代表点数密度是是 NfNfvxvx、vyvy、vzvz），它就是这里的），它就是这里的D Dv v），故），故 将上式代入可以得到将上式代入可以得到这就是麦克斯韦速率分布这就是麦克斯韦速率分布. . )2exp()2()(22/3kTmvkTmNdvdvdvdNvDzyxvdvvvDdNv24)(dvvkTmvkTmNdNv222/3)2exp()2(4dvvkTmvkTmdvvfNdNv222/3)2exp()2(4)(*2.4.5 绝对零度时金属中自由电子的速度分布与绝对零度时金属中自由电子的速度分布与速率分布速率分布 费米球费米球 金属自由电子模型指出， 金属中的价电子是无相互作用的自由电子。 在T=0 K时，自由电子的速度分布可表示为在速度空间中的一个费米球。