第十章 定态问题的常用近似s

1、第十章第十章 定态问题的常用近似方法定态问题的常用近似方法 在量子力学中，体系的能级和定态波函在量子力学中，体系的能级和定态波函 数可以通过求解定态数可以通过求解定态SchrSchrdingerdinger方程得到。方程得到。 但除了少数体系外但除了少数体系外, ,大多数问题不能严格求大多数问题不能严格求 解，而必须采用近似方法。例如微扰论，变解，而必须采用近似方法。例如微扰论，变 分法等。各种近似方法都有其优缺点和适用分法等。各种近似方法都有其优缺点和适用 范围，其中应用最广泛的就是范围，其中应用最广泛的就是微扰论微扰论。 设体系不显含时间的设体系不显含时间的Hamilton为为 ,能量能量

2、 本征方程为本征方程为 (A) 在一般情形下，要严格求解这个方程是困难在一般情形下，要严格求解这个方程是困难 的，但是如果的，但是如果 可以分成两部分可以分成两部分 (B) 其中其中 的本征值及本征函数是已知的，或的本征值及本征函数是已知的，或 者容易解出。而另一部分者容易解出。而另一部分 很小，可以看作很小，可以看作HHE00HHHHW0HHH是加于是加于 上的微扰。其中上的微扰。其中 往往是刻画某种相往往是刻画某种相互作用强度的参数，是一个小量，即互作用强度的参数，是一个小量，即 ， 称为微扰。假设称为微扰。假设 的本征值及本征函数较的本征值及本征函数较容容易解出易解出，或已有，或已有现成

3、的解现成的解(不论如何得到的不论如何得到的)，则可以在这个基础上，把微扰则可以在这个基础上，把微扰 的影响逐级考的影响逐级考虑进去，以得出方程虑进去，以得出方程(I)的尽可能接近于精确解的尽可能接近于精确解的近似解。的近似解。 微扰论的具体形式是多种多样的，但基本微扰论的具体形式是多种多样的，但基本精神相同，即精神相同，即逐级近似逐级近似。0H|1H0HH10.1 10.1 非简并微扰论非简并微扰论 10.1.1 10.1.1 一般公式一般公式 设设 (1)(1)已解出，它的能级有一些是已解出，它的能级有一些是非简并非简并的，也的，也可能可能有一些是有一些是简并简并的的( (例如，中心力场中粒

4、子的基例如，中心力场中粒子的基态是非简并的，而激发态则大多是简并的态是非简并的，而激发态则大多是简并的) )。在本节中，我们将讨论在本节中，我们将讨论非简并的能级非简并的能级怎样受到怎样受到微扰的影响，所以在式微扰的影响，所以在式(1)(1)中，简并量子数并中，简并量子数并没有明显的表达出来。没有明显的表达出来。 我们按逐步近似的精神来求解我们按逐步近似的精神来求解SchrSchrdingerdinger方程方程(A)(A)。为此，将受微扰的能级和波。为此，将受微扰的能级和波函数视函数视为为 的的函数，并展为函数，并展为 的幂级数如下：的幂级数如下：(0)(0)(0)0nnnHE 式中式中 ，

5、 是零级近似解。把是零级近似解。把(2),(3)式代入式代入 (A)式中，得到式中，得到 等式两边同次幂的等式两边同次幂的 系数值应相等系数值应相等, ,故有故有(0)(1)2(2) (0)(0)E(0)(1)2(2)0(0)(1)2(2)(0)(1)2(2)()()() ()nHWEEE (3)(0)(1)2(2)EEEE(2) 以下逐级求解。以下逐级求解。 0 ：(0)(0)(0)0HE1 ：(1)(0)(0)(1)(1)(0)(00)(1)(1)(0)0)()HWEHEEWE( 或2 ：(2)(1)(0)(2)(1)(1)(2)(0(0)(2)0)(1)(1)(2)(0)0()()HEE

6、WEHWEEE或(4 )a(4 )b(4 )c 首先不考虑微扰的时候首先不考虑微扰的时候,体系处于体系处于 非简并非简并 能级能级 ,即即 (5) (k选定，它可以是任一非简并态选定，它可以是任一非简并态),相应的波函相应的波函 数为：数为： (6) 一级近似解一级近似解 令令 (7)(7)(0)(0)kEE(0)(0)k(1)(1)(0)nnna0H(0)kE 把式把式(5),(6),(7)代入代入(4b)，得，得 两边左乘两边左乘 并积分，利用并积分，利用 的本征函数的正的本征函数的正 交归一性，可得交归一性，可得 (8) 其中：其中： 式式(8)中，当中，当m=k时，得时，得(1)(0)

7、(0)(0)(0)(1)(0)(1)(0)nnnkknnknna EWEaE(0)m0H(1)(0)(0)(1)(1)mmmkkmmka EWEaE(0)(0)(,)mkmkWW (9) 即即能量的一级修正能量的一级修正，它是，它是微扰微扰在在零级波零级波函数下的平均值。函数下的平均值。 式式(8)(8)中中, ,当当mkmk时，得：时，得： (mk) (10)(mk) (10) 至于至于 , ,可以证明可以证明, ,可以取值为零。因此在一可以取值为零。因此在一 级近似下：级近似下：(1)(0)(0)(,)kkkkEWW(1)(0)(0)mkmkmWaEE(1)ka(1)E (11a) (11

8、b) 应当注意，这里是讨论非简并能级应当注意，这里是讨论非简并能级 及相及相 应波函数应波函数 如何受到微扰的影响。如何受到微扰的影响。 是指对是指对 一切一切n(n k)的相应能级和量子态求和，的相应能级和量子态求和， 既可既可 以是非简并的，也可以是有简并的，在后一种以是非简并的，也可以是有简并的，在后一种 情况下，情况下， 表示要对属于表示要对属于 的所有简并态求和的所有简并态求和, 这在这在(11b)式中未明显标记出来。式中未明显标记出来。 (0)(0)kkkkkkkEEWEH(0)(0)(0)(0)nkkknnknHEE(0)kE(0)knnEnnE 二级近似解二级近似解 令：令：

9、(12) 代入式代入式(4c)中，并利用式中，并利用式(5),(6)及一级近似解，及一级近似解， 可得可得 等式两边左乘等式两边左乘 ，并积分，得，并积分，得(2)(2)(0)nnna(2)(0)(0)(1)(0)(0)(2)(0)(1)(0)(2)(0)nnnnnnnknnkknnknnaEWaEaWaE(0)m 当当 m=k m=k 时，上式给出（考虑到时，上式给出（考虑到 ） 因此，在准确到二级近似下，能量本征值为：因此，在准确到二级近似下，能量本征值为： (14)(14)(2)(0)(1)(0)(2)(1)(2)mmnmnkmkkmmknaEa WEaW aE2(2)(1)(0)(0)

10、(0)(0)|nkknnknknnnnknknW WWEa WEEEE 2(0)2(0)(0)2(0)(0)(0)|nkkkkknknnkkkkknknWEEWEEHEEHEE(1)0ka 公式公式(11b)及及(14)是非简并微扰论中最常用到的是非简并微扰论中最常用到的 基本公式，微扰对波函数的修正基本公式，微扰对波函数的修正,通常计算到一通常计算到一级，而对能量的修正，则计算到二级。从公式级，而对能量的修正，则计算到二级。从公式(11b)及及(14)可以看出，若在可以看出，若在 能级邻近，有另能级邻近，有另外一条或几条能级存在外一条或几条能级存在(近简并情况近简并情况)，则，则上列公上列公

11、式不大合用式不大合用, ,需要用另外方法来处理需要用另外方法来处理(见下节见下节)。在二级近似下，波函数可以表示为在二级近似下，波函数可以表示为 (0)kE(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)22(0)(0)(0)2()()()()12()nkkknnknmnnkmkkkmmnkmknkmnkknknHEEHHHHEEEEEEHEE 其中最后一项可利用归一化条件（准确到二级近似）得出，它可与零级近似波函数合并，剩下的二级修正波函数部分与(0)k正交。讨论讨论(a) 用微扰论处理具体问题的同时，要恰当的选用微扰论处理具体问题的同时，要恰当的选 取取 。在有的问题中，

12、。在有的问题中， 和和 的划分是很的划分是很 显然的，例如在显然的，例如在StarkStark效应和效应和ZeemanZeeman效应中效应中 分别把外电场和外磁场的作用看成微扰。分别把外电场和外磁场的作用看成微扰。 但但 在有些问题中，特别是在某些模型理论计算在有些问题中，特别是在某些模型理论计算 中中, 往往根据如何使计算简化来决定往往根据如何使计算简化来决定 和和 的划分，同时兼顾计算结果的精确度的划分，同时兼顾计算结果的精确度。0HH0H0HH 即一方面要求即一方面要求 的本征值的计算比较容易的本征值的计算比较容易, 或或 的的 本征解已知本征解已知(不管它是怎样求出的不管它是怎样求出

13、的)， 还要求还要求 的矩阵元的计算也较容易。另一方的矩阵元的计算也较容易。另一方 面，又要求面，又要求 的主要部分尽可能包含在的主要部分尽可能包含在 中，使中，使 的矩阵元比较小，以保证的矩阵元比较小，以保证 使微扰论计算收敛较快，因为高级微扰修正使微扰论计算收敛较快，因为高级微扰修正 的计算是很麻烦的。的计算是很麻烦的。0H0H0HHHH(0)(0)1nkknHEE (b) 计算中，要充分利用计算中，要充分利用 的对称性以及相的对称性以及相 应的选择定则，以省掉一些不必要的计算。应的选择定则，以省掉一些不必要的计算。(c) 从从(11b),(14),(16)各式可以看出，如在各式可以看出，

14、如在 的近的近 邻有一条或几条其他能级邻有一条或几条其他能级(即近简并情况即近简并情况)，则，则 上述微扰论也不大适用。需用其他办法来处上述微扰论也不大适用。需用其他办法来处 理理(见见10.2.3的讨论的讨论)。 H(0)kE 10.1.2 10.1.2 电介质的极化率电介质的极化率 考虑各相同性电介质在外电场作用下的极考虑各相同性电介质在外电场作用下的极 化现象。当没有外电场作用时，介质中的粒子化现象。当没有外电场作用时，介质中的粒子 在其平衡位置附近作小振动，可视为简谐运动。在其平衡位置附近作小振动，可视为简谐运动。 设沿设沿x x方向加上以均匀外电场方向加上以均匀外电场 ，对带电，对带

15、电 q q 的离子，的离子，HamiltonHamilton量为量为 (19)(19)222202122dHmxqxm dx EE 因为外电厂沿因为外电厂沿 x 方向，对方向，对y，z方向的振动不发方向的振动不发 生影响，故略去不加讨论，取生影响，故略去不加讨论，取 (20) (21) 即谐振子即谐振子Hamilton量量,其本征函数为其本征函数为(见见3.4节节) (22) 为归一化常数。相应的能量本征值为为归一化常数。相应的能量本征值为2222002122dHmxm dxHqx E0H(0)220( )exp(1 2)()/nnnxNa xHaxam nN （23）利用公式利用公式 (24

16、)可求出可求出(0)0,1,11,0,1,2,21122nnkn kn kEnnkkxa2(0)(0)(0)22200222201,1,0|()|12()1| 2nkkkkkkknknnknkkkkHEEHHEExqkknqkxx注意：=0 EE (25) 即所有能级都下降了即所有能级都下降了 ，这对于能谱，这对于能谱 形状形状(均匀分布均匀分布)并无影响，但波函数将发生变并无影响，但波函数将发生变 化，一级微扰近似波函数为化，一级微扰近似波函数为 (26)22020122qkm E202qmE(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)110( )( )11 ( )( )( )22nkkknn

17、knkkkHxxEEqkkxxx E 既原来零级波函数既原来零级波函数 中，混进了与它邻近的两中，混进了与它邻近的两 条能级的波函数条能级的波函数 。 在不加外场时，在具有确定宇称的在不加外场时，在具有确定宇称的 态下态下, 粒子位置的平均值：粒子位置的平均值： 这是很自然的这是很自然的 , 因为本来我们的坐标原点就取在因为本来我们的坐标原点就取在 谐振子的平衡位置。当加上外电场时谐振子的平衡位置。当加上外电场时 , 粒子平衡粒子平衡 位置将发生偏离位置将发生偏离,用式用式(26)既既(24)不难求出：不难求出：(0)k(0)1k(0)k(0)(0)(,)0kkxx(,)kkxx (27) 即

18、平衡位置偏离了即平衡位置偏离了 。正离子沿电场方向。正离子沿电场方向 挪了挪了 ，而负离子则沿电场反方向挪，而负离子则沿电场反方向挪 动了动了 。因此，由于外点场而产生的。因此，由于外点场而产生的 电偶极矩为电偶极矩为 (28),1,12 22 k kk kqkkxxqm 0201+1 EEqm20E|qm20E|qm20E2202022qDqqmmEE 极化率定义为极化率定义为 ，则极化率为，则极化率为 (29) 讨论：讨论： 本题可严格求解，并可以与微扰论计算结本题可严格求解，并可以与微扰论计算结 果比较。在果比较。在SchrdingerSchrdinger方程方程 (30) (30) 中

19、，令中，令 (31)(31)DE2202q20m222202122dmxqxEm dxE0axam ， 则则 (32)(32) 再令再令 (33)(33) (34) (34) (35) (35) 则则 (36)(36)22200022dqEdm E000qmE02002E2220dd 式式(36)与谐振子的能量本征方程完全相同与谐振子的能量本征方程完全相同见见 3.3 3.3 式式(6)(6)。只当。只当 时时,才才 能得到在全空间有界的解，即能量可能取为能得到在全空间有界的解，即能量可能取为 (37)(37) 与微扰论计算结果式与微扰论计算结果式(22)(22)完全相同。相应的本完全相同。相应的本 征函数为征函数为 21(0,1,2,)nn2000220201122122nEnq Enm (38)(38) 其中其中 是有外电场是有外电场 的情况下，谐振子的新的平衡点的情况下，谐振子的新的平衡点 的位置。与式的位置。与式(27)的结果式完全相同的。当然，的结果式完全