数学建模第二章作业答案章绍辉.

1、习题 2 作业讲评1. 继续考虑 2.2 节的“汽车刹车距离”案例，请问“两秒准则”和“一车长度准则”一样吗？“两秒准则”是否足够安全？对于安全车距， 你有没有更好的建议？ （“两秒准则”，即后车司机从前车经过某一标志开始， 默数 2 秒之后到达同一标志， 而不管车速如何. 刹车距离与车速的经验公式d 0.75v 0.082678v2 ，速度单位为 m/s，距离单位为 m）解答（ 1）“两秒准则”表明前后车距与车速成正比例关系 . 引入以下符号：D 前后车距（ m）；v 车速（ m/s）；于是“两秒准则”的数学模型为DK 2 v2v . 与“一车长度准则”相比是否一样，依赖于一车长度的选取.比

2、较 d 0.75v0.082678v2 与 D2v ，得：dD 0.082678v1.25 v所以当 v15.12 m/s （约合 54.43 km/h）时，有 d<D，即前后车距大于刹车距离的理论值，可认为足够安全； 当 v15.12 m/s 时，有 d>D，即前后车距小于刹车距离的理论值，不够安全 . 也就是说，“两秒准则”适用于车速不算很快的情况 .另外，还可以通过绘图直观的解释 “两秒准则” 够不够安全 .用以下 MATLAB 程序把刹车距离实测数据和“两秒准则”都画在同一幅图中（图1）.v=(20:5:80).*0.44704;d2=18,25,36,47,64,82,1

3、05,132,162,196,237,283,33422,31,45,58,80,103,131,165,202,245,295,353,41820,28,40.5,52.5,72,92.5,118,148.5,182,220.5,266,318,376; d2=0.3048.*d2;k1=0.75; k2=0.082678; K2=2;d1=v;v;v.*k1;d=d1+d2;plot(0,40,0,K2*40,'k')hold onplot(0:40,polyval(k2,k1,0,0:40),':k')plot(v;v;v,d,'ok',&

4、#39;MarkerSize',2)title(' 比较刹车距离实测数据、理论值和两秒准则')legend('两秒准则 ',' 刹车距离理论值 ',.'刹车距离的最小值、平均值和最大值',2)xlabel('车速 v（ m/s） ')ylabel('距离（ m）')hold off比较刹车距离实测数据、理论值和两秒准则180两秒准则160刹车距离理论值刹车距离的最小值、平均值和最大值140120）m100（离 80距60402000510152025303540车 速 v（ m/s ）图 1

5、（2）用最大刹车距离除以车速，得到最大刹车距离所需要的尾随时间（表 1），并以尾随时间为依据，提出更安全的“ t 秒准则”（表 2）后车司机根据车速快慢的范围，从前车经过某一标志开始，默数 t 秒钟之后到达同一标志 .表 1尾随时间车速 (mph)车速 (m/s)最大刹车距离 (m)尾随时间 (s)208.940813.4111.52511.17617.8311.59553013.41123.7741.77273515.64629.4131.87994017.88237.7952.11364520.11746.4822.31065022.35256.6932.53645524.58768.73

6、22.79556026.82281.6863.04556529.05896.4693.31997031.293113.393.62347533.528132.743.95918035.763154.234.3125表 2 t 秒准则车速 (mph)0 10103535606075t (s)1234绘制图 2 的 MATLAB程序：v=(20:5:80).*0.44704;d2=18,25,36,47,64,82,105,132,162,196,237,283,33422,31,45,58,80,103,131,165,202,245,295,353,41820,28,40.5,52.5,72,

7、92.5,118,148.5,182,220.5,266,318,376;d2=0.3048.*d2;k1=0.75; k2=0.082678;d=d2+v;v;v.*k1;vi=0:40;plot(0,10*0.44704,0,10*0.44704,'k',.vi,k1.*vi+k2.*vi.*vi,'k:',.v;v;v,d,'ok','MarkerSize',2)legend('t 秒准则 ',' 刹车距离理论值 ',.'刹车距离的最小值、平均值和最大值',2)hold onp

8、lot(10,35*0.44704,2*10,35*0.44704,'k',.35,60*0.44704,3*35,60*0.44704,'k',.60,75*0.44704,4*60,75*0.44704,'k')title('t 秒准则，刹车距离的模型和数据')xlabel('车速 v（ m/s） ')ylabel('距离（ m）')hold offt 秒 准 则 ， 刹 车 距 离 的 模 型 和 数 据180t 秒 准 则160刹车距离理论值刹车距离的最小值、平均值和最大值140120）m1

9、00（离 80距60402000510152025303540车 速 v（ m/s ）图 24. 继续考虑 2.3 节“生猪出售时机”案例，假设在第t 天的生猪出售的市场价格（元/公斤）为p(t) p(0) gt ht 2(1)其中 h 为价格的平稳率， 取 h=0.0002. 其它模型假设和参数取值保持不变 .（1） 试比较 (1)式与 (2.3.1)式，解释新的假设和原来的假设的区别与联系；（2）在新的假设下求解最佳出售时机和多赚的纯利润；（3）作灵敏度分析，分别考虑h 对最佳出售时机和多赚的纯利润的影响；（4）讨论模型关于价格假设的强健性.解答一（用MATLAB数值计算）（1）比较 (1

10、)式与 (2.3.1)式，(1)式表明价格先降后升，(2.3.1)式假设价格匀速下降，(1)式更接近实际（图3）. 两个假设都满足 p (0)g ，在最佳出售时机附近误差微小（图4） .绘图的程序p=(t)12-0.08*t+0.0002*t.2;figure(1)n=400;plot(0,n,12,12-0.08*n,'k:',.0:.1:n,p(0:.1:n),'k')axis(0,400,0,20)title(' 模型假设 (1)式与 (2.3.1)式的比较 ')legend('p(0) - g t'p(0) - g t +

11、 h t2xlabel('t（天） ')ylabel('p（元 /公斤）')(2.3.1)式')(1)式',.figure(2)n=20;plot(0,n,12,12-0.08*n,'k:',.0:.1:n,p(0:.1:n),'k')title(' 模型假设 (1)式与 (2.3.1)式的比较 ')legend('p(0) - g t'p(0) - g t + h t2(2.3.1) 式')(1)式',.xlabel('t（天） '), ylabel

12、('p （元 /公斤）')20181614） 12斤公 10/元（ 8p642001211.811.611.4）斤公 11.2/元（p1110.810.610.40模型假设(1)式与(2.3.1)式的比较p(0)- g t(1)式p(0)- g t + h t 2(2.3.1)式50100150200250300350400t（ 天 ）图 3模型假设(1)式与(2.3.1)式的比较p(0)- g t(1)式p(0)- g t + h t 2(2.3.1)式2468101214161820t（ 天 ）图 4（2）在 (1)式和 (2.3.1)式组成的假设下，多赚的纯利润为Q(t)

13、rp (0)gw(0)c thw(0)gr t 2hrt 3保留 h，代入其他具体数值，得Q(t) ht390h 0.08 t 2 1.6t令Q (t) 3ht2180h 0.16 t 1.6 0解得生猪出售时机为0.16180h219.2h0.16t16h30 （舍去负根）多赚的纯利润为Q1ht1390h0.08 t12 1.6t1 .代入 h=0.0002，得 t113.829天， Q1 10.798 元 .或者用 MATLAB函数 fminbnd 计算，脚本如下：C=(t)3.2*t;w=(t)90+t;p=(t,h)12-0.08*t+h*t.2;Q=(t,h)p(t,h).*w(t)

14、-C(t)-90*12;Qh=(t)-Q(t,0.0002);t1=fminbnd(Qh,0,30)Q1=Q(t1,0.0002)为帮助理解，可用以下脚本绘制图5：figure(2)tp=0:250;plot(tp,Q(tp,0.0002),'k')title(' 纯利润 Q')xlabel('t（天） ')ylabel('Q （元）')纯利润Q1000-100-200）元（Q-300-400-500-600501001502002500t（ 天 ）图 5（3）用以下MATLABS(t, h)t t脚本计算灵敏度h h 和Q QS

15、(Q, h)，将结果列表 .h h结论： h 的微小变化对t 和 Q 的影响都很小Qh=(t)-Q(t,0.0002*1.01);tn,Qn=fminbnd(Qh,0,30);(tn-t1)/t1/0.01(-Qn-Q1)/Q1/0.01Qh=(t)-Q(t,0.0002*1.05);tn,Qn=fminbnd(Qh,0,30);(tn-t1)/t1/0.05(-Qn-Q1)/Q1/0.05Qh=(t)-Q(t,0.0002*1.1);tn,Qn=fminbnd(Qh,0,30);(tn-t1)/t1/0.1(-Qn-Q1)/Q1/0.1表 3数值计算最佳出售时机t 对 h 的灵敏度hhh h

16、 (%)ttt t (%)t tS(t, h)h h0.000202113.8860.414590.414590.00021514.1212.11760.423520.000221014.4314.35360.43536表 4数值计算多赚的纯利润Q对 h 的灵敏度hhh h (%)Q QQ Q(%)S(Q, h)Q Qh h0.000202110.8380.369360.369360.00021511.0011.88020.376040.000221011.2143.84790.38479（4）市场价格是经常波动的，如果价格下跌，往往会止跌回稳，模型假设(1)式以二次函数来刻画价格止跌回升的变

17、化趋势，如果考虑的时间段长达数月，(1)式比 (2.3.1)式更接近实际（见图 3），但是本问题的最佳出售时机不超过20 天， (1)式与 (2.3.1)式在最佳出售时机附近非常近似（见图4），(1)式导致的模型解答可以由 (2.3.1)式导致的解答加上灵敏度分析所代替. 所以采用更为简单的 (2.3.1)式作为假设更好 .具体分析如下：由12( gg)tp(t, h) ，得g12p(t ,h)ggt1，代入 h=0.0002，t=13.82852279， g=0.08，得g0.034571.gtS(t, g)g2.3节，代入 S(t, g)5.5 ，由于，根据课本tgt=10算得 tt 11

18、.901，与 t=13.829 只相差两天 .用于以上分析计算的MATLAB 脚本：dg_g=(12-p(ts,0.0002)/ts/0.08-110+dg_g*10*(-5.5)解答二（用MATLAB的 Symbolic Math Toolbox的 MuPAD软件符号计算）（1）运行以下 MuPAD 语句，绘得图6 和图 7：plot(plot:Function2d(12-0.08*t+0.0002*t2,t=0.400),plot:Function2d(12-0.08*t,t=0.150,LineStyle=Dashed);plot(plot:Function2d(12-0.08*t+0.

19、0002*t2,t=0.20),plot:Function2d(12-0.08*t,t=0.20,LineStyle=Dashed),#O);(1)式表明价格先降后升， 在实际当中有一定道理. 而 (2.3.1)式假设价格匀速下降. 两个假设都满足p (0)g ，在最佳出售时机附近误差微小 .图 6 假设 (2.3.1)式与 (1)式的比较图 7 假设 (2.3.1)式与 (1)式的比较(2) 在(1)式和 (2.3.1)式组成的假设下，保留h，代入其他具体数值，计算多赚的纯利润. 运行以下 MuPAD 语句：C:=t->32/10*t:w:=t->90+t:p:=(t,h)-&g

20、t;12-8/100*t+h*t2:Q:=(t,h)->expand(w(t)*p(t,h)-C(t)-90*12);plot(plot:Function2d(Q(t,0.0002), t=0.290);算得 Q(t, h) ht390ht22t2825t ，绘得图 8.5图 8 Q(t , 0 . 0 0 的0图2像运行以下 MuPAD 语句：S:=solve(diff(Q(t,h),t),t) assuming h>0;t1:=S1;subs(t1,h=0.0002);t2:=S2;ts:=subs(t2,h=0.0002);Q2:=Q(t2,h);Qs:=subs(Q2,h=

21、0.0002);Q由方程0 ，解得两根：tt125 32400h2 3845 h150h164500h46254500h 2523841632400h5 h6254t2150h代入 h=0.0002，得 t1 192.8381439, t213.82852279（天）. t2 符合题意， t1 应该舍去（对应的Q 是负数） . t2对应的多赚的纯利润为 10.79837809 元.（3）接着上一小题，运行以下 MuPAD 语句：subs(diff(t2,h)*h/t2, h=0.0002); /t对 h 的灵敏度利用导数算得 t 对 h 的灵敏度：dthS(t, h)0.4124276803.

22、dht运行以下 MuPAD 语句：subs(diff(Q2,h)*h/Q2,h=0.0002); /Q对 h 的灵敏度，方法一subs(diff(Q(t,h),h)*h/Q(t,h),t=ts,h=0.0002);/Q对 h 的灵敏度，方法二，更简单用两种方法利用导数算得Q 对 h 的灵敏度：S(Q, h)dQhdh0.367739025.Q结论： h 的微小变化对t2 和 Q2 的影响都很小 .（4）同解答一5.继续考虑第 2.3 节“生猪出售时机”案例，假设在第t 天的生猪体重（公斤）为w(t)w0wm(2)www e t0m0其中 w0w(0) 90 （公斤）， wm270 （公斤），其

23、它模型假设和参数取值保持不变 .（ 1）试比较 (2)式与 (2.3.2)式，解释新的假设和原来的假设的区别与联系（提示：说明当 (>0)取何值时，在 t=0 时可以保持 w (0)r1；说明当 t 增大时，猪的体重会如何变化）.（2）在新的假设下求解最佳出售时机和多赚的纯利润.（3）参数 wm 代表猪长成时的最终重量，对 wm 做灵敏度分析，分别考虑 wm 对最佳出售时机和多赚的纯利润的影响 .（4）讨论模型关于生猪体重假设的强健性 .解答一（用 MATLAB数值计算）（1）在 (2)式中，为使 w (0) r ，必须 w0 (wm w0 )wm . 当wm =270， w0 =90

24、时，有1 60 .新假设 (2)式是阻滞增长模型，假设生猪体重的增长率是体重的线性递减函数， 于是体重增加的速率先快后慢，时间充分长后，体重趋于 wm . 而 (2.3.2)式 w(t)w0rt 只假设体重匀速增加.长时间来看，新假设比原假设更符合实际（图9）. 两个假设都满足 w (0)r ，在最佳出售时机附近误差微小（图10）.模型假设(2.3.2)式与 (2)式的比较300250200）斤公/元 150（p格价 10050p(0)- g t(2.3.2)式p(0)- g t + h 2(2)式0501001502002503003504000t（ 天 ）图 9115p(0)- g t(2

25、.3.2)式p(0)- g t + h 2(2)式110）斤 105公/元（p格价100959002468101214161820t（ 天 ）图 10(2) 在 (2.3.1) 式和 (2)式组成的假设下，用MATLAB函数fminbnd 计算，可以求得生猪出售时机为t=14.434 天，多赚的纯利润为 Q=12.151 元.(3) 编程计算 S(t, wm )t t和 S(Q, wm )Q Q，将wm wmwm wm结果列表 .表 5数值计算最佳出售时机t 对 wm 的灵敏性wmwmwm wm (%)ttt t (%)S(t , wm )ttwmwm272.7114.9773.7673.76

26、7283.5517.05718.1733.63452971019.4634.8253.4825表 6数值计算多赚的纯利润Q对 wm 的灵敏性wmwmwmwm (%)Q QQ Q(%)S(Q, wm )Q Qwm wm272.7113.1087.8727.872283.5517.12140.897847584.9638.4963结论： wm 的微小变化对t 和 Q 的影响都较小 .（ 4）模型假设 (2)式导致的模型解答可以由 (2.3.2)式导致的解答加上灵敏度分析所代替，所以实践中采用更为简单的(2.3.2)式作为假设即可 . 具体分析过程见解答二之（4）.MATL

27、AB 脚本：% (1) 绘图的程序w=(t)90*270./(90+180*exp(-t/60);figure(1)n=400;plot(0,n,90,90+n,'k:',.0:.1:n,w(0:.1:n),'k')axis(0,400,0,300)legend('p(0) - g t(2.3.2)式 ',.'p(0) - g t + h2(2)式 ',4)title('模型假设 (2.3.2) 式与 (2)式的比较 ')xlabel('t（天） ')ylabel('价格 p （元 / 公斤

28、） ')figure(2)n=20;plot(0,n,90,90+n,'k:',.0:.1:n,w(0:.1:n),'k')legend('p(0) - g t(2.3.2)式 ',.'p(0) - g t + h2(2)式 ',2)xlabel('t （天） ')ylabel('价格 p （元 / 公斤） ')% (2) 最佳出售时机和多赚的纯利润C=(t)3.2*t;w=(t,m)90*m./(90+(m-90)*exp(-t/60);p=(t)12-0.08*t;Q=(t,m)p(t)

29、.*w(t,m)-C(t)-90*12;Qh=(t)-Q(t,270);ts=fminbnd(Qh,0,30)Qs=Q(ts,270)% (3) 灵敏度分析Qh=(t)-Q(t,270*1.01);tn,Qn=fminbnd(Qh,0,30);(tn-ts)/ts/0.01(-Qn-Qs)/Qs/0.01Qh=(t)-Q(t,270*1.05);tn,Qn=fminbnd(Qh,0,30);(tn-ts)/ts/0.05(-Qn-Qs)/Qs/0.05Qh=(t)-Q(t,270*1.1);tn,Qn=fminbnd(Qh,0,30);(tn-ts)/ts/0.1(-Qn-Qs)/Qs/0.1

30、% (4) 强健性分析dr_r=(w(ts,270)-90)/ts-110+dr_r*10*6.5解答二（用MATLAB的 Symbolic Math Toolbox的 MuPAD软件符号计算）（1）运行以下 MuPAD 语句，算得1 60：solve(subs(diff(90*270/(90+(270-90)*E(-a*t),t),t=0)=1, a);运行以下 MuPAD 语句，绘得图11：plot(plot:Function2d(90*270/(90+180*E(-1/60*t),t=0.400),plot:Function2d(90+t, t=0.180, LineStyle=Dash

31、ed),plot:Line2d(0,270,400,270,LineStyle=Dotted),#O);运行以下 MuPAD 语句，绘得图12 ：plot(plot:Function2d(90*270/(90+180*E(-1/60*t),t=0.20),plot:Function2d(90+t,t=0.20,LineStyle=Dashed),#O);(2)式 w(t )w0wm是阻滞增长模型， 假设生猪体www e t 600m0重的增长率是体重的线性递减函数. 于是，体重 w 是时间 t 的增函数，体重增加的速率先快后慢，时间充分长后，体重趋于wm .而(2.3.2)式 w(t) w0

32、rt 只假设体重匀速增加 . 长时间来看，新假设比原假设更符合实际 . 两假设都满足 w (0) r ，在最佳出售时机附近误差微小 .图 11 假设 (2.3.2)式与 (2)式的比较图 12 假设 (2.3.2)式与 (2)式的比较（2）在由 (2)式和 (2.3.1)式组成的假设下，保留wm ，代入其他具体数值，计算多赚的纯利润. 运行以下 MuPAD 语句：C:=t->3.2*t:w:=(t,wm)->90*wm/(90+(wm-90)*E(-t/60):p:=t->12-0.08*t:Q:=(t,wm)->w(t,wm)*p(t)-C(t)-90*12;plot

33、(plot:Function2d(Q(t,270),t=0.30);90wm 120.08t，绘得图 13.算得 Q(t, wm )90 et 60 3.2t 108090 wm图 13Q(t , 2 7 0 )的图像运行以下 MuPAD 语句：T:=solve(diff(Q(t,270),t),t);ts:=T1;Qs:=Q(ts,270);可解出 Q 的驻点的数值解ts14.43357158（天），根据函数图像和问题的实际意义， 可知这是所求的最佳出售时机，对应的多赚的纯利润为 Qs12.15129217 元.（3）接着上一小题，运行以下MuPAD 语句，但是求不出当 Q(t, wm )

34、达到最大值时t 关于 wm 的函数解析式：solve(diff(Q(t,wm),t),t);运行以下 MuPAD 语句：solve(diff(Q(t,wm),t),wm);可见当 Q(t, wm ) 达到最大值时 wm 关于 t 的反函数解析式却有可能求得出， 只是 MuPAD 给出的表达式很复杂 . 其实可以按如下步骤推出 wm 关于 t 的反函数解析式：g1:=diff(Q(t,wm),t)=0;Q0 即：算得t7.2w3wm0.08t12wm 90m3.20wm9090t 60 wm9022e90et 60et 60观察上式，发现分母大于零，而且去分母之后，合并wm 的同类项，可以表示为wm 的二次方程：g2:=g1*(wm-90)/E(t/60)+90)2*25*E(t/60); /去分母g2:=collect(g2,wm); /合并 wm的同类项， t 当作参数803t w 214400 16200et 3038700 w270270tet60met 60et 60m1296