第8章 位移法

1、第8章 位移法 一、一、 位移法是计算超静定结构的另一种基本方法。位移法是计算超静定结构的另一种基本方法。分析超静定结构时，有两种基本方法：分析超静定结构时，有两种基本方法：第一种：第一种： 以多余未知力为基本未知量；先求其反力或内力，然后计以多余未知力为基本未知量；先求其反力或内力，然后计算位移算位移力法。力法。第二种：第二种： 以结点未知位移为基本未知量；先求其位移，然后再计算以结点未知位移为基本未知量；先求其位移，然后再计算内力内力位移法。位移法。结构结构在外因作用下产生产生内力变形内力与变形间存在关系内力与变形间存在关系8.1 概述概述力法力法：由变形协调条件建立由变形协调条件建立位移

2、方程位移方程；位移法位移法：由平衡条件建立的由平衡条件建立的平衡方程平衡方程。二、位移法与力法的区别二、位移法与力法的区别1.1.主要区别是主要区别是基本未知量基本未知量选取不同选取不同力法：多余未知力作为基本未知量；力法：多余未知力作为基本未知量；位移法：结点位移位移法：结点位移( (线位移和角位移线位移和角位移) )作为基本未知量。作为基本未知量。2.2.建立的基本方程不同建立的基本方程不同注意：注意：力法的基本未知量的数目等于超静定次数，而力法的基本未知量的数目等于超静定次数，而 位移法的基本未知量与超静定次数无关。位移法的基本未知量与超静定次数无关。1.1.刚结点刚结点所连接的各杆端截

3、面变形后有所连接的各杆端截面变形后有相同的角位移相同的角位移；三、位移法的基本假定三、位移法的基本假定2.2.各杆端之间的连线长度变形前后保持不变，即各杆端之间的连线长度变形前后保持不变，即忽忽略杆件的轴向变形略杆件的轴向变形；3.3.结点线位移的弧线运动用垂直于杆轴的切线代替，结点线位移的弧线运动用垂直于杆轴的切线代替，即即结点线位移垂直于杆轴发生结点线位移垂直于杆轴发生。四、用位移法计算超静定结构的思路四、用位移法计算超静定结构的思路例如：用位移法求解如图所示的刚架。例如：用位移法求解如图所示的刚架。由此可知，结点由此可知，结点1只有转角只有转角Z1，而无线位移。因节点，而无线位移。因节点

4、1为为刚节点，汇交于结点刚节点，汇交于结点1的两杆杆端也应有同样的转角的两杆杆端也应有同样的转角Z1。1.为了使问题简化，作如下计算假定：为了使问题简化，作如下计算假定：1）在受弯杆件中，略去杆件的轴向）在受弯杆件中，略去杆件的轴向 变形和剪切变形的影响。变形和剪切变形的影响。2）假定受弯杆两端之间的距离）假定受弯杆两端之间的距离 保持不变。保持不变。ABCP荷载效应包括：荷载效应包括：内力效应内力效应：M、Q、N；位移效应位移效应：AABCP附加附加刚臂刚臂附加刚臂限附加刚臂限制结点位移，荷载制结点位移，荷载作用下附加刚臂上作用下附加刚臂上产生产生附加力矩。附加力矩。对结点施加产生对结点施加

5、产生相应的角位移，以相应的角位移，以实现结实现结点位移状态的一致性。产点位移状态的一致性。产生相应的附加约束反力。生相应的附加约束反力。ABC实现位移状态可分两步完成实现位移状态可分两步完成叠加两步作用效应，约束结构与原结构的荷载特征及位叠加两步作用效应，约束结构与原结构的荷载特征及位移特征完全一致，则其内力状态也完全相等；移特征完全一致，则其内力状态也完全相等； 由于原结构没有附加刚臂：因此附加约束上的由于原结构没有附加刚臂：因此附加约束上的附加内力应附加内力应等于等于0，按此可按此可列出求解结点位移的基本方程。列出求解结点位移的基本方程。ABCPStep1：附加刚臂：附加刚臂限制结点位移，

6、荷限制结点位移，荷载作用下附加刚臂载作用下附加刚臂上产生上产生附加力矩。附加力矩。Step2：对结点施加产生：对结点施加产生相应的角位移，以实现结相应的角位移，以实现结点位移状态的一致性点位移状态的一致性，产产生相应的生相应的附加约束反力。附加约束反力。ABC使结点使结点1正好转动一个转角正好转动一个转角Z1时，使时，使所加的附加约束不再起作所加的附加约束不再起作用，其数学表达式为用，其数学表达式为：R1=0 上式意义：上式意义：外荷载和实际应有的转角外荷载和实际应有的转角Z1共同作用于基本结构时，共同作用于基本结构时，附加约束反力矩为零（刚臂不起作用）。附加约束反力矩为零（刚臂不起作用）。R

7、11=r11Z1Z1=1根据叠加原理，共同作用等于单独作用的叠加：根据叠加原理，共同作用等于单独作用的叠加： R1R11R1P=0 （a) R11为强制使结点发生转角为强制使结点发生转角Z1时时 所产生的约束反力矩。所产生的约束反力矩。R1P为荷载作用下所产生的为荷载作用下所产生的 约束反力矩。约束反力矩。 为单位位移（转角为单位位移（转角Z11）产生的约束反力矩。）产生的约束反力矩。上式的物理意义是，上式的物理意义是，基本结构由于转角基本结构由于转角Z1和外荷载和外荷载FP共同作共同作用，在附加刚臂用，在附加刚臂1处所产生的约束反力矩总和等于零（使处所产生的约束反力矩总和等于零（使a,b两图

8、叠加后附加刚臂不起作用）。两图叠加后附加刚臂不起作用）。由此方程可得：由此方程可得：01111PRZr1111rRZP可见，只要有了系数可见，只要有了系数 r11及自由项及自由项R1P，Z1值很容易求得。值很容易求得。为了将式为了将式(a)写成未知量写成未知量Z1的显式，将的显式，将R11写为：写为：式（式（a）变为：）变为：11111ZrR11r为了确定上式中的为了确定上式中的 R1P 和和 r11 ，可先，可先用力法分别求出各单跨用力法分别求出各单跨超静定梁超静定梁在梁端、柱顶在梁端、柱顶1处转动处转动 Z1=1时产生的弯矩图及外荷时产生的弯矩图及外荷载作用下产生的弯矩图。载作用下产生的弯

9、矩图。pl81求系数和自由项求系数和自由项1Mr11Z1=1lEIr7111）求）求r11和和M1P1AR1PP8Pl8PlMP图2）求求R1P 和和MP 现取现取 图、图、MP图中的结点图中的结点1为隔离体，由力为隔离体，由力矩平衡方程矩平衡方程 ，求出，求出 ：1M 01MlEIr711PlRP811将这些结果代入位移法基本方程中解方程，即得将这些结果代入位移法基本方程中解方程，即得 EIPlZ5621最后，根据叠加原理最后，根据叠加原理 ，即可求出最后弯矩图即可求出最后弯矩图 。11ZMMMP解方程，画内力图解方程，画内力图 1. 在原结构产生位移的结点上设置附加约束，使结点固定，在原结

10、构产生位移的结点上设置附加约束，使结点固定， 从而得到基本结构，然后加上原有的外荷载；从而得到基本结构，然后加上原有的外荷载；. 人为地迫使原先被人为地迫使原先被“固定固定”的结点恢复到结构原有的位移。的结点恢复到结构原有的位移。通过上述两个步骤，使基本结构与原结构的受力和变形完全相通过上述两个步骤，使基本结构与原结构的受力和变形完全相同，从而可以通过基本结构来计算原结构的内力和变形。同，从而可以通过基本结构来计算原结构的内力和变形。综上所述，位移法的基本思路是：综上所述，位移法的基本思路是：PM=R1PR11=r11Z1=-R1P固定节点固定节点使之不动使之不动（a）（b）释放节点，使节释放

11、节点，使节点发生实际位移点发生实际位移应用位移法需要解决的首要问题就是，要确定应用位移法需要解决的首要问题就是，要确定杆件的杆端内力杆件的杆端内力与杆端位移及荷载之间的函数关系与杆端位移及荷载之间的函数关系(杆件的转角位移方程杆件的转角位移方程)。利用力法的计算结果，由叠加原理导出三种常用等截面直杆的利用力法的计算结果，由叠加原理导出三种常用等截面直杆的转角位移方程。转角位移方程。8.2.1 杆端内力及杆端位移的正负号规定杆端内力及杆端位移的正负号规定1、杆端内力的正负号规定、杆端内力的正负号规定杆端弯矩：杆端弯矩：对杆端而言，以对杆端而言，以顺时针方向为正，反之为负顺时针方向为正，反之为负。

12、对结点或支座而言，则以逆时针方向为正，反之为负。对结点或支座而言，则以逆时针方向为正，反之为负。杆端剪力和杆端轴力的正负号规定，仍与前面规定相同。杆端剪力和杆端轴力的正负号规定，仍与前面规定相同。ABABMMBAABEI, l弦转角BAB8.2 等截面直杆的转角位移方程等截面直杆的转角位移方程2、杆端位移的正负号规定、杆端位移的正负号规定ABABMMBAABEI, l弦转角BAB1）杆端转角杆端转角（角位移）（角位移）:以顺时针为正，反之为负。以顺时针为正，反之为负。 2）线位移线位移以杆的一端相对于另一端产生顺时针方向转动以杆的一端相对于另一端产生顺时针方向转动 的线位移为正，反之为负。例如

13、，图中的线位移为正，反之为负。例如，图中AB为正。为正。 8.2.2 单跨超静定梁的形常数和载常数单跨超静定梁的形常数和载常数位移法中，常用到图示位移法中，常用到图示三种基本的等截面单跨超静定梁三种基本的等截面单跨超静定梁，它们，它们在荷载、支座移动或温度变化作用下的内力可通过力法求得。在荷载、支座移动或温度变化作用下的内力可通过力法求得。a) 两端固定两端固定b)一端固定一端固定 一端铰支一端铰支c) 一端固定一端固定 一端定向支承一端定向支承由荷载或温度变化引起的杆端内力称为由荷载或温度变化引起的杆端内力称为载常数载常数。其中的。其中的杆端弯杆端弯矩矩也常称为也常称为固端弯矩固端弯矩，用，

14、用 和和 表示；杆端剪力也常称为表示；杆端剪力也常称为固端剪力固端剪力，用，用 和和 表示。表示。常见荷载和温度作用下的载常数列入常见荷载和温度作用下的载常数列入表表中。中。 FABMFBAMFABFQFBAFQ由杆端由杆端单位位移单位位移引起的杆端内力称为引起的杆端内力称为形常数形常数。表中引入记号。表中引入记号i=EI/l，称为杆件的，称为杆件的线刚度线刚度。 a) 两端固定两端固定b)一端固定一端固定 一端铰支一端铰支c) 一端固定一端固定 一端定向支承一端定向支承8.2.3 转角位移方程转角位移方程 1、两端固定梁、两端固定梁 由叠加原理可得：由叠加原理可得：FBABABAFABBAA

15、BMliiiMMliiiM642624BAQFABQFABMMBABABqABPFEI= /lAlMB1A B AB P+t1t2Ai 4Bi 2liAB/6 Ai 2Bi 4liAB/6 FABMFBAM固端弯矩固端弯矩2、一端固定另一端铰支梁、一端固定另一端铰支梁 AMAqFPBAMABFQABlFQBAEIB(非独立角位移)1B033BAFABAABMMliiM3、一端固定另一端定向支承梁、一端固定另一端定向支承梁ABMlAAMqPFAEIABQFB(非独立线位移)BB1FBABABAFABBAABMiiMMiiM1）两端固定梁）两端固定梁2）一端固定另一端铰支梁）一端固定另一端铰支梁3

16、）一端固定另一端定向支承梁）一端固定另一端定向支承梁应用以上三组转角位移方程，即可求出三种基本的单跨超应用以上三组转角位移方程，即可求出三种基本的单跨超静定梁的静定梁的杆端弯矩表达式杆端弯矩表达式，汇总如下：，汇总如下：FBABABAFABBAABMliiiMMliiiM642624033BAFABAABMMliiMFBABABAFABBAABMiiMMiiM结点角位移数：结点角位移数：刚结点的数目刚结点的数目独立结点线位移数：独立结点线位移数：铰结体系的自由度铰结体系的自由度 8.3 位移法的基本概念位移法的基本概念结点：指杆件与杆件的交结处，不包括支座结点。结点：指杆件与杆件的交结处，不包

17、括支座结点。 杆件：等截面的直杆，不能是折杆或曲杆。杆件：等截面的直杆，不能是折杆或曲杆。 为了减少未知量，忽略轴向变形，即认为杆件的为了减少未知量，忽略轴向变形，即认为杆件的EA=EA=。 123121只有一个刚结点只有一个刚结点B B，由于忽，由于忽略轴向变形，略轴向变形，B B结点只有结点只有B 只有一个刚结点只有一个刚结点B B，由于忽略轴向变形及由于忽略轴向变形及C C结点的约束形式，结点的约束形式，B B结结点有一个转角和水平位点有一个转角和水平位移移BBHABCABC 有两个刚结点有两个刚结点B B、C C，由于，由于忽略轴向变形及忽略轴向变形及B B、C C点的约点的约束，束，

18、B B、C C点的竖向、水平位点的竖向、水平位移均为零，因此该结构的未移均为零，因此该结构的未知量为：知量为：BC ABCDABCD 排架结构，有两个铰结点排架结构，有两个铰结点A A、B B，由于忽略轴向变形，由于忽略轴向变形，A A、B B两点的竖两点的竖向位移为零，向位移为零，A A、B B两点的水平位移两点的水平位移相等，因此该结构的未知量为：相等，因此该结构的未知量为： ABEA=ABCD 两跨排架结构，有四个结点两跨排架结构，有四个结点A A、B B、C C、D D，同理，同理A A与与B B点、点、D D与与C C点的水平位移相同，各结点的点的水平位移相同，各结点的竖向位移为零，

19、但竖向位移为零，但D D结点有一转结点有一转角，因此该结构的未知量为：角，因此该结构的未知量为： ABDCD EA=ABDCEFG CDECHDV该题的未知量为该题的未知量为 对图示有斜杆的刚架，未知量分析的方法是：对于转角对图示有斜杆的刚架，未知量分析的方法是：对于转角位移，只需数刚结点，一个刚结点一个转角位移。对于线位位移，只需数刚结点，一个刚结点一个转角位移。对于线位移，首先把所有的刚结点变成铰结点，然后再加链杆，使其移，首先把所有的刚结点变成铰结点，然后再加链杆，使其变成无多余约束的几何不变体系，加了几根链杆，就是有几变成无多余约束的几何不变体系，加了几根链杆，就是有几个线位移。个线位

20、移。ABCDEABCDE结点转角的数目：结点转角的数目：7 7个个独立结点线位移的数目：独立结点线位移的数目：3 3个个123 刚架结构，有两个刚结点刚架结构，有两个刚结点D D、E E，故有两个角位移，结点线位移由铰故有两个角位移，结点线位移由铰结体系来判断，结体系来判断，W=3426=0，铰结体系几何不变，无结点线位移。铰结体系几何不变，无结点线位移。 ABCDEABCD 刚架结构，有两个刚结点刚架结构，有两个刚结点C C、D D，故有两个角位移，结点线位移由铰故有两个角位移，结点线位移由铰结体系来判断，结体系来判断，W=3324=1，铰结体系几何可变，有一个线位移。铰结体系几何可变，有一

21、个线位移。 两点说明两点说明说明说明1：当刚架中有需要考虑轴向变形（当刚架中有需要考虑轴向变形（ ）的）的 二力杆时则考虑二力杆的轴向变形。二力杆时则考虑二力杆的轴向变形。EA例如：下图结构要求考虑水平直杆的轴向变形例如：下图结构要求考虑水平直杆的轴向变形，EA EAEA 2.2.建立基本体系建立基本体系（1 1）在每个刚结点处添加一个附加刚臂，）在每个刚结点处添加一个附加刚臂， 阻止刚结点转动阻止刚结点转动（不能阻止线位移）（不能阻止线位移）；（2 2）在可能发生线位移的结点，加上附加链杆，）在可能发生线位移的结点，加上附加链杆， 阻止结点线位移阻止结点线位移（移动）（移动）。8.3.2 位

22、移法的基本结构位移法的基本结构1.1.基本体系基本体系单跨超静定梁的组合体单跨超静定梁的组合体 用位移法计算超静定结构时，把每一根杆件都作为用位移法计算超静定结构时，把每一根杆件都作为单跨超静定梁单跨超静定梁看待。看待。 经过以上处理，原结构就成为一个由经过以上处理，原结构就成为一个由n n个独立单跨超静个独立单跨超静定梁组成的组合体定梁组成的组合体即为位移法的基本体系。即为位移法的基本体系。例例. .建立图示结构位移法的基本体系。建立图示结构位移法的基本体系。 未知量未知量2 2个：个：B基本体系基本体系 在有转角位移的结点处先加在有转角位移的结点处先加一刚臂，阻止转动，然后再让一刚臂，阻止

23、转动，然后再让其发生转角。其发生转角。 在有线位移的在有线位移的结点处先加一链杆，结点处先加一链杆，阻止线位移，然后阻止线位移，然后再让其发生再让其发生线位移。线位移。EIEIABCLqLq原结构原结构 锁住锁住将原结构转换成基本体系。把原结构将原结构转换成基本体系。把原结构“拆拆 成成”孤立的单个超静定杆件；孤立的单个超静定杆件； 放松放松将基本结构还原成原结构。即强行使将基本结构还原成原结构。即强行使“锁锁 住住”的结点发生与原结构相同的转角或线的结点发生与原结构相同的转角或线 位移。位移。2.2.位移法典型方程的建立与求解位移法典型方程的建立与求解1.1.基本原理基本原理先锁、后松。先锁

24、、后松。8.4 位移位移法的典型方程法的典型方程EIEIABCqLL 原结构原结构 EIEIABCq 基本体系基本体系3 i4 i2 i M1图图Z1 M2图图Z2qL28Z1=1Z1Z2Z2=1 MP图图=+6EIL26EIL2 在在M1 1、M2 2、MP P三个三个图中的附加刚臂和链杆图中的附加刚臂和链杆中一定有约束反力产生，中一定有约束反力产生，而三个图中的反力加起而三个图中的反力加起来应等于零。来应等于零。qL28+=k11k21F1PF2Pk12EIEIABCq 基本体系基本体系Z1Z2k22 M2图图Z2Z2=16EIL26EIL2qL28 MP图图qL28 M1图图Z1Z1=1

25、3 i4 i2 i 位移法典型方程位移法典型方程1111221211222200PPk ZkZFkZkZF由反力互等定理可知：由反力互等定理可知：ijjikk 在在M1 1、M2 2、MP P三个图中附加刚臂和链杆中产生的附三个图中附加刚臂和链杆中产生的附加力加起来应等于零，则有：加力加起来应等于零，则有： 方程中的系数和自由项就是方程中的系数和自由项就是M1 1、M2 2、MP P三个图中三个图中刚臂和链杆中产生的附加反力。刚臂和链杆中产生的附加反力。求系数和自由项：取各个弯矩图中的结点或截面利用求系数和自由项：取各个弯矩图中的结点或截面利用 平衡原理求得。平衡原理求得。由由M1 1图：图：

26、3i4ik111107BMkik11k21FQBA21660QBAiFLiXkL 由由M2 2图：图：6i/Lk121206BMikL k12k22FQBA212QBAiFL 0X 22212ikL由由MP P图：图：2108BPMqLF 200PXF把系数和自由项代入典型方程，有：把系数和自由项代入典型方程，有：21212267086120iqLiZZLiiZZLL位移法方程位移法方程F1PqL28F1PF2PFQBA=0以图以图(a)所示刚架为例，阐述在位移法所示刚架为例，阐述在位移法中如何建立求解基本未知量的典型方程。中如何建立求解基本未知量的典型方程。1、确定位移法基本未知量、确定位移

27、法基本未知量： 基本未知量为基本未知量为: Z1、Z2 。2、选取位移法基本体系、选取位移法基本体系：如图：如图(b)所示所示3、将原结构的变形根据变形协调进行、将原结构的变形根据变形协调进行 分解，为以下三种变形的叠加：分解，为以下三种变形的叠加： R2=0PL2l2l1234EI=常数常数Z1Z2(a)位位移移法的典型方程法的典型方程(b)基本体系基本体系1234=Z1Z2R1=0P 2134PR2PR1P=Z1R211342R111234R22R12Z21）将可能发生位移的节点全锁住将可能发生位移的节点全锁住，求荷载，求荷载P引起的局部变形。引起的局部变形。 锁住锁住 Z1和和Z2，使使

28、1节点不转动且横梁也不水平移动。节点不转动且横梁也不水平移动。2）释放释放1节点此时仍然锁住节点此时仍然锁住Z2。使。使1节点产生实际位移节点产生实际位移Z1（基本（基本 未知量），此时在未知量），此时在1节点处需施加力节点处需施加力R11，对应的变形为实际，对应的变形为实际 位移位移Z1单独引起的变形。单独引起的变形。3）再释放再释放Z2，此时要锁住，此时要锁住Z1，使使2节点或水平梁产生实际位移节点或水平梁产生实际位移Z2 （基本未知量），此时需在（基本未知量），此时需在2节点处需施加力节点处需施加力R22，对应的变形，对应的变形 为实际位移为实际位移Z2单独引起的变形。单独引起的变形。

29、4 4：用力的平衡条件建立用力的平衡条件建立位移法典型方程位移法典型方程。原结构原结构分解前分解前与与分解后再叠加分解后再叠加应使结构节点处所受的力相同应使结构节点处所受的力相同 ：在在1节点处没有刚臂约束，无外力矩，则应满足：节点处没有刚臂约束，无外力矩，则应满足：R1=0；在在2节点处无水平链杆，无水平外力，则应满足：节点处无水平链杆，无水平外力，则应满足：R2=0。即：即： R1=R11+R12+R1P=0R2=R21+R22+R2P=0R1附加刚臂上的反力矩R2附加链杆上的反力PPR1=R11+R12+R1P=0R2=R21+R22+R2P=0式中第一个下标表示该反力的位置，式中第一个

30、下标表示该反力的位置，第二个下标表示引起该反力的原因第二个下标表示引起该反力的原因。设以 r11、r12分别表示由单位位移：分别表示由单位位移：Z Z1 1=1=1、Z Z2 2=1=1所引起所引起的刚臂上的反力矩；的刚臂上的反力矩；以以r21、r22分别表示由单位位移分别表示由单位位移Z1=1、Z2=1所引起的所引所引起的所引起的链杆上的水平反力，则上式可写成起的链杆上的水平反力，则上式可写成: r11Z1+ r12Z2+R1P=0r21Z1+ r22Z2+R2P=0这就是求解这就是求解Z Z1 1、Z Z2 2的方程即的方程即位移法基本方程位移法基本方程( (典型方程典型方程) )。它的它

31、的物理意义物理意义是：基本结构在荷载等外因和结点位移（基本是：基本结构在荷载等外因和结点位移（基本未知量）的共同作用下，未知量）的共同作用下，每一个每一个人为增设的人为增设的附加约束附加约束中中的附的附加反力或反力矩都应等于零加反力或反力矩都应等于零( (即附加约束实际上不起作用，为即附加约束实际上不起作用，为静力平衡条件静力平衡条件) )。借助于型常数和载常数绘出基本结构在借助于型常数和载常数绘出基本结构在 以及荷以及荷载作用下的弯矩图载作用下的弯矩图 和和MP图图：1 121ZZ、21MM 、对上例：计算典型方程中的系数和自由项计算典型方程中的系数和自由项，1341342134211Z图1

32、M4i2i3i图图2Mli 6li 6li 312ZPMP图8Pl系数和自由项可分为两类系数和自由项可分为两类： 1）附加刚臂上的反力矩）附加刚臂上的反力矩 r11、r12和和R 1P； 2）附加链杆上的反力）附加链杆上的反力 r21、r22和和R2P。 r21r22R2P(a)(b)(c) r21R 1Pr12 r11134211Z图1M4i2i3i r21(a) r21 r11基本结构在基本结构在 作用下附加刚臂作用下附加刚臂及附加链杆的反力。及附加链杆的反力。11Z134Mi123Mi由由1 1结点平衡条件得：结点平衡条件得：1113127rmmi4i3i1117ri13246 ; 0Q

33、QFiFl 由由1212部分平衡条件得：部分平衡条件得：2113246()QQirFFl 12 6il0 216irl 单位位移单位位移ZiZi=1=1作用下附加反力（刚度系数）的计算作用下附加反力（刚度系数）的计算对于附加刚臂上的反力矩对于附加刚臂上的反力矩 r11、r12和和R 1P：可分别在图可分别在图(a)、(b)、(c)中取结点中取结点1为隔离体，由力矩平衡方程为隔离体，由力矩平衡方程M1=0求得：求得：r11=7i ， r12= - 6i/l ， R1P=PL/8111 3i4i0R1P08Pl1341342134211Z图1M4i2i3i图2Mli 6li 6li 312ZPMP

34、图8Pl r21r22R2P(a)(b)(c) r11r12R 1Pr12 r11li 6 对于附加链杆上的反力对于附加链杆上的反力r21、 r22 和和R2P ：可分别在图：可分别在图(a)、(b)、(c）中用截面法割断两柱顶端，取柱顶端以上横梁部）中用截面法割断两柱顶端，取柱顶端以上横梁部分为隔离体，由表分为隔离体，由表7-1查出杆端剪力，由方程查出杆端剪力，由方程X=0求得：求得：13421342134211Z图1M4i2i3i图2Mli 6li 6li 312ZPMP图8Pl r21r22R2P(a)(b)(c)121212 li 60 212li23li 2P0 r21r22R2PR

35、 1Pr12 r11 r21r22R2Pr21=Li 6222Li15rR2P=P/2将系数和自由项代入典型方程：08PLZLi 6iZ72102PZLi15ZLi 6221解此方程得：，iPL5529Z1iPL55222Z22所得均为正值，说明Z 1、Z2与所设方向相同。解方程，求基本未知量r11Z1+ r12Z2+R1P=0r21Z1+ r22Z2+R2P=0得：7、最后弯矩图由叠加法绘制：P2211MZMZMM例如：杆端弯矩M31为8PLiPL55222Li 6iPL5529i 2M231PL552183M图图1234Pl552183PPl55260Pl55227Pl55227Pl552

36、66M图绘出后，Q 、N图即可由平衡条件绘出(略）。8、对内力图进行校核，包括平衡条件和位移条件的校核。包括平衡条件和位移条件的校核。其方法与力法中所述一样，这里从略。其方法与力法中所述一样，这里从略。 计算图示刚架计算图示刚架,作弯矩图作弯矩图,各杆各杆EI=常数常数1Z11Z 解解：11110Pr ZR4i2i3i31010117ri17PR 11/Zi11PMM ZM4 1/106ABMii 2 1/1012BAMii612（15）（4）计算图示刚架计算图示刚架,作弯矩图作弯矩图解解：11110Pr ZR2116 /ri l15/16PPRF 11PMM ZM1Z11Z 3 / i l3

37、 / i l3/16PF l215/96PZF li11/32PF l5/32PF l(/4)PF l11Z 21Z 11112210Pr Zr ZR21122220Pr Zr ZR解解：1Z2Z32324i2i3i6 / i l6 / i l3 / i l117ri132PR12216 /rri l 22215 /ri l278PR 180.7/ZEI2461.9/ZEI1122PMM ZM ZM1212nnPMM ZM ZM ZM用基本体系求内力的计算步骤用基本体系求内力的计算步骤: :1 1、确定未知量，画出位移法的基本体系，、确定未知量，画出位移法的基本体系，2 2、建立位移法的典型方

38、程，、建立位移法的典型方程，3 3、画出、画出M1 1、MP P图，图，4 4、求出系数和自由项，、求出系数和自由项，5 5、代入解方程，得到结点位移，、代入解方程，得到结点位移，6 6、按下式画弯矩图：、按下式画弯矩图：小小 结结 （1 1）确定基本未知量，取基本体系。）确定基本未知量，取基本体系。位移法的解题步骤与方法同力法相比较位移法的解题步骤与方法同力法相比较：力法力法：多余未知力；多余未知力；位移法位移法：未知角位移、线位移。未知角位移、线位移。未知量未知量力法力法静定结构；静定结构；位移法位移法单跨超静定梁的组合体。单跨超静定梁的组合体。基本体系基本体系（3 3）作）作MP P、M

39、i 图，求系数和自由项图，求系数和自由项力法：力法：先作出静定结构分别在载荷先作出静定结构分别在载荷F FP P、多余未知力多余未知力 作用作用下的弯矩图下的弯矩图MP P 、Mi ；然后应用图乘法求出系数和自由项：；然后应用图乘法求出系数和自由项：iP、ij、ii；1iX （2 2）建立典型方程）建立典型方程建立方程条件建立方程条件力法力法：去掉多余约束处的位移条件去掉多余约束处的位移条件；位移法位移法：附加约束上约束反力的平衡条件。附加约束上约束反力的平衡条件。方程的性质方程的性质 力法力法：变形协调方程；变形协调方程；位移法位移法：平衡方程。平衡方程。 位移法：位移法：先作出基本体系分别

40、在载荷先作出基本体系分别在载荷FP P、单位位移（单位位移（Z Zi=1)=1)作用下作用下所引起的弯矩图（借助于转角位移方程或图表）；然所引起的弯矩图（借助于转角位移方程或图表）；然后利用结点或截面的平衡，求出附加刚臂中的反力矩和附加后利用结点或截面的平衡，求出附加刚臂中的反力矩和附加链杆中的反力，即位移法的系数和自由项链杆中的反力，即位移法的系数和自由项：F i p、k i j、k ii。（4 4）解典型方程，求基本未知量。）解典型方程，求基本未知量。（5 5）绘制最后内力图）绘制最后内力图采用叠加法。采用叠加法。iipMM XMiiPMM ZM力法：力法：位移法：位移法： 8.5.1 无

41、侧移结构的计算无侧移结构的计算例例1:1:用位移法计算图示刚架用位移法计算图示刚架, ,并作弯矩图并作弯矩图.E.E = =常数常数. .02lnnyiPijRk 、无侧移结构只有节点角位移无线位移。无侧移结构只有节点角位移无线位移。8.5 用用位移法计算超静定结构在荷载作用下的内力位移法计算超静定结构在荷载作用下的内力1）基本未知量基本未知量为为1 1，2 2节点处的两个角位移，无节点线位移；节点处的两个角位移，无节点线位移； 属于无侧移结构。属于无侧移结构。2 2）在节点处附加刚臂，在节点处附加刚臂，基本体系基本体系如图。如图。3) 建立建立位移法的基本方程位移法的基本方程：4) 绘绘单位

42、弯矩图单位弯矩图和和MP图，求系数和自由项（利用节点平衡）图，求系数和自由项（利用节点平衡）0RZkZk0RZkZk2P222121P22111112M图图12 Z8i8i4i4i4i2i122qlPM图图1M图图4i4i8i2i11 Z1M图图4i4i8i2i11 Z2M图图12 Z8i8i4i4i4i2i122qlPM图图11k4i8i21k4i12k4i22k4i8i8iP1RP2R122qlik1211 ik421 ik412 ik2022 0P1 R122P2qlR 11k21k12k22kP2RP1R5) 代入方程求解基本未知量代入方程求解基本未知量0122040041222121

43、qliiiiZZZZiqliql2246722221ZZPZZMMMM2211最终内力：最终内力：6 6) ) 按叠加法按叠加法绘制最后弯矩图绘制最后弯矩图。请自行作出最终请自行作出最终M图图7) 校核：主要对力的平衡关系进行校核。校核：主要对力的平衡关系进行校核。用位移法求解图示结构。用位移法求解图示结构。解解：5/5BCiEIi11112210Pr Zr ZR11112210Pr Zr ZR4/4ABiEIEIi4/4CDiEIi3/40.75BEiEIi3/60.5CFiEIi1Z2Z令：4041.741.721Z 11Z 3i3i1.5i4i2i4i2i2i3ii1122PMM ZM

44、ZM11.7PR 241.7PR1110ri12212rri229ri11.15/Zi24.89/Zi 例例1:用位移法计算图示刚架用位移法计算图示刚架,并作弯矩图并作弯矩图.E=常数常数.8.5.2 有侧移刚架的计算有侧移刚架的计算有侧移结构有节点线位移，可能有节点角位移。有侧移结构有节点线位移，可能有节点角位移。1) 1) 基本未知量基本未知量为中节点处的角位移，边节点的线位移；为中节点处的角位移，边节点的线位移； 两个两个基本未知量基本未知量, ,属于有侧移结构。属于有侧移结构。2 2）在中节点处加刚臂，在边节点处附加支杆在中节点处加刚臂，在边节点处附加支杆基本体系基本体系如图。如图。3

45、 3) ) 建立位移法的基本方程建立位移法的基本方程：4 4) ) 绘单位弯矩图绘单位弯矩图M M和和MPMP图，求系数和自由项图，求系数和自由项0RZkZk0RZkZk2P222121P2211111R1=0基本体系基本体系Z1Z2R2=08Pl单位弯矩图和荷载弯矩图示意图如下单位弯矩图和荷载弯矩图示意图如下: :M1图图M2图图Z2=13i/l6i/l6i/l3i/lMP图图ql2/8ql2/164i6i6ik11=16i6i/lk12 = k21=-6i/lk21 = k12 =-6i/l6i/lk223i/l23i/l212i/l2R2P3ql/8R1P=0k11=16ik12 = k

46、21= - 6i/lk22=18i/l2R1P=0R2P= -3ql/85) 代入方程求解基本未知量代入方程求解基本未知量iqliqlqllililii211283186616224Z , Z 0ZZ00ZZ32121216) 按叠加法按叠加法绘制最后弯矩图绘制最后弯矩图。ql2/16ql2/8ql2/83ql2/283ql2/563ql2/56ql2/147) 校核。校核。PZZMMMM2211回顾力法中对称性的利用：回顾力法中对称性的利用：目的：目的：1)1)简化系数或自由项的计算使之尽量多的为零，简化系数或自由项的计算使之尽量多的为零， 2)2)减少基本未知量或方程数目从而简化计算。减少基本未知量或方程数目从而简化计算。1 1、利用对称性质，直接判定结构在对称轴处某些内力为零，、利用对称性质，