常微分方程第三版答案2.1

1、常微分方程习题2.11.2xy ,并求满足初始条件：dxx=0,y=1的特解.解：对原式进展变量别离得1dy 2xdx ,两边同时积分得： yIn y2 dy 1 y dx xy x y 原式可化为：x c,即y c ex把x 0, y 1代入得2c1,故它的特解为yex。22. y dx (x 1)dy 0,并求满足初始条件：x=0,y=1的特解.解：对原式进展变量别离得：1 1勺C，即y厂lnx11 1dx dy,当y 0时，两边同时积分得；In x 1x ln|1 x y当y 0时显然也是原方程的解。当x0,y1时，代入式子得c 1,故特解是解:2鱼显然dx y两边积分得xy1 yx x

2、21 y1 Inx -In21 xIn c(c 0),即(1y2)(1x2)cx2(1 2 y )(1 x)2cx0,故别离变量得x故原方程的解为1|n2Jdx14：(1 x)ydx (1 y)xdy 0解：由y 0或x 0是方程的解，当xy 0时，变量别离1一 dx -一 dy 0x y 两边积分In x x In y y c,即 In xy x y c, 故原方程的解为 In xy x y c; y 0;x0.5:(y x)dy (y x)dx 0解:dy I x dx y 那么u x竺 dxdydu:,u xdxdx得:u21duu12u) lnxc1dxx1arctgu ln(1y,令

3、 u,y u x x变量别离,u 12 2x ydydx6: x 巴 ydx令y令 u, y ux, x解:悄那么原方程化为:dudxx1 U,别离变量得：V1 u1 du2sgn x?1 dxx两边积分得：arcsi nu代回原来变量，得2另外，ysgnx ?ln xarcsin' sgnx?lnxxx2也是方程的解。7: tgydx ctgxdy 0解：变量别离，得：ctgydy tgxdx 两边积分得：ln siny In cosx c.2.y 3x&dyeydxy解：变量别离，得y2dy ey1 3x_e c39 : x(ln x ln y)dyydx 0解：方程可变为

4、：ln y?dy?dx 0xx令u 乂，那么有:1 dxln ud l n uxx1 lnu代回原变量得：cy1 20x100 exydx d解：变量别离e'dyxr e dx两边积分ey $c两边积分得:dydx解：变量别离，dy Qdx两边积分得：e ex c-dx (x y)2解：令x y t,那么dy 0 1dx dx原方程可变为：史2 1dx t2、i变量别离得： 一 dt dx,两边积分arctgt x c t 1代回变量得：arctg (x y) x c令x y变量别离t,那么dydxt2t21dt史1,原方程可变为生丄1dxdx t2dx，两边积分t arctgt x

5、c,代回变量x y arctg (x y) x cdy 2x y 113.-dx x 2y 13y解：方程组2x y 10,x 2y 10;的解为x令x X ly Y丄那么有空I'33 dX X 2Y2令-U，那么方程可化为：XdU江XdX1 2U变量别离14 dyx y 5'dxx y 2解：令x y 5 t,那么也1更，dx dx原方程化为：1竺丄,变量别离(t 7)dt 7dxdx t 712两边积分t7t 7x c2t、 1 2代回变量(x y 5)7(x y 5) 7x c.15.dydx(x 1)22(4y1) 8xy 1解：方程化为dyx2 2x 116y2 8y

6、 1 8xy1 (x4y1)22令 1 x 4yu,那么关于x求导得1 4dy理，所以1 du2 u9dx dx4 dx41别离变量292 dudx，两边积分得arctg (-2x8y)6xc，是4u333原方程的解。16.dy dx6 y 2xy52x22 2x y解：dydx(y3)2 2x2232y (2xy xdx3(y3)22xy32x22 :x，令y3u,那么原方程化为du3u26x23u2 62 6 x这是:齐次方程，令dx2xu2 x2u 1xudu3z26dzdz z2 z6乙那么z x ，所以zx -,x(1)xdxdx2z1dxdx2z 1当z2z60,得 z 3或 z2

7、是1方程的解。即 y3 3x或y32x是方程的解。当z2z60时，变量别离-2z21dz丄dx,两边积分的z3)7(z 2)3x5c,zzdx即(y33x)7(y 2x) x c,又因为3y3x或y32x包含在通解中当c 0时。故原方程的解为y37/333x) (y 2x)x15c17 dy 2x3 3xy x dx 3x2y 2y3 y解：原方程化为dyx(2x2y(3x23y 1)dy22y21) dx22x2 3y2 12 23x2 2y2 1令y22U,；xduv贝ydv2v 3u 13v 2u 12v 3u 1方程组3v 2u 1y,，那么有业t z生，所以tzdzdzdt z -d

8、z23tdt22t232tzdz32t2 2t20时，即 t1,是方程 的解。得y2x2 2或y2x2是原方程的解0的解为(1, 1);令 Z v 1, Y u 1,0那么有2z 3y3z 2y00，,，从而方程1化为鱼dz2 3-z3 2-z令当3 2t12 2t2 0时，别离变量得 dt dz两边积分的y2 x2 y2 x2 25c2 2tz另外y2x22,或y2x2,包含在其通解中，故 原方程的解为y2x2y2x225c18.证明方程x dyf(xy)经变换xy u可化为变量别离方程，并由此求解以下方程y dx22(1).y(1 x y )dx xdy.c22兰 dy 2 x y().

9、ydx 2 x2y2证明：因为xy u,关于X求导导得y xdxdu1 duduu .得：1f(u), - (f(u)y dxdx y(f(u) 1) x坐所以xX y dxdx dx11) (uf(u) u)x解(1):当x0或y0是原方程的解，当xy令xyu,那么方程化为dx1 (2ux3u),变量别离得:0s时，方程化为x dyy dx1dxx2uduu2两边同时积分得：uu 22故原方程的解为原"22 ox y 2CX：即 一2x2cx，x解令xyu，那么原方程化为dudx2别离变量得24u2u du2y2y 22,y0也包含在此通解中。0.-(u|x 22 u2 uu)1

10、4ux 2-dx，两边积分得In x2c，这也就是方程的解。故此方程为此方程为变程。解：设 f(x)=y,x19. f(x) f (x)dt 1,x 0,试求函数f (x)的一般表达式.0x-两边求导得y那么原方程化为f(x)dty3业dxdx1y3dy;两边积分得所以y12x c- 2x c代入f (x)dt00x-dtc.2x c; (.2x c .c) v 2x c得 c 0,所以 y12x20.求具有性质x(t+s)= 凹 x(s)的函数x(t),x ' (0)存在。1 x(t)x(s)解：令 t=s=0 x(0)= 型 瞠二2x(0)假设 x(0)0 得 x2=-1 矛1x(0)1x(0)x(0)盾。所以x(0)=0.2x' (t)= limx(t t) x(t) lim x( t)(1 x (t)x'(0)(1 x2(t)tt1 x(t)x(