数学解题思维障碍的突破技巧

1、数学解题思维障碍的突破技巧摘要：数学解题能力是衡量学生数学能力高低的一个重要指标，当前高考的能力立意命题也说明高中数学教学要更多的关注学生的数学能力 本次讲座我们研究下面三个问题：高中数学解题的思维策略数学思维障碍的成因与突破高中数学复习的几点建议正文：一 高中数学解题的思维策略数学思维的变通性 根据题设的相关知识，提出灵活设想和解题方案 数学问题千变万化，要想既快又准的解题，总用一套固定的方案是行不通的，必须具有思维的变通性善于根据题设的相关知识，提出灵活的设想和解题方案 （1）善于观察 (2006,重庆，理，12)若且则的最小值为（ ） A B C D【分析】看到给定的条件，感觉应该使用均

2、值不等式求最小值，但变形过程受阻，得不到待求的结构【点拨】由且得： ，则()或者由得又， 当且仅当时取等号 解题的关键是发现已知条件和待证结论的变形的具体方向，发现两者之间的关系【答案】D 心理学告诉我们：感觉和知觉是认识事物的最初级形式，而观察则是知觉的高级状态，是一种有目的、有计划、比较持久的知觉观察是认识事物最基本的途径，它是了解问题、发现问题和解决问题的前提任何一道数学题，都包含一定的数学条件和关系要想解决它，就必须依据题目的具体特征，对题目进行深入的、细致的、透彻的观察，然后认真思考，透过表面现象看其本质，这样才能确定解题思路，找到解题方法（2）善于联想(2002天津理科16) 已知

3、函数，那么。【分析】由于设定的问题较简单，可以直接分别求值，再求和；但问题是，如果待求的和式较复杂怎么办？【点拨】联想数列的求和方法，不难发现该式隐藏的秘密所在：。【答案】。联想是问题转化的桥梁稍具难度的问题和基础知识的联系，都是不明显的、间接的、复杂的因此，解题的方法怎样、速度如何，取决于能否由观察到的特征，灵活运用有关知识，做出相应的联想，将问题打开缺口，不断深入（3）善于将问题进行转化(2004，全国一，12)已知的最小值为（ ）ABCD+【分析】由于受给定条件的暗示，考生多第一感觉选择利用重要不等式求最值 于是联想到，只能得到的最大值，似乎求最小值还需更进一步变形，结果走上不归路，求解

4、失败【点拨】再次研究给定的条件，发现由可以得到a、b、c的值，即待求目标只能取有限个值，从其中挑选最大的得到最大值，挑选最小的得到最小值【答案】B数学家G . 波利亚在怎样解题中说过：数学解题是命题的连续变换可见，解题过程是通过问题的转化才能完成的转化是解数学题的一种十分重要的思维方法那么怎样转化呢？概括地讲，就是把复杂问题转化成简单问题，把抽象问题转化成具体问题，把未知问题转化成已知问题在解题时，观察具体特征，联想有关问题之后，就要寻求转化关系思维变通性的对立面是思维的保守性，即思维定势思维定势是指一个人用同一种思维方法解决若干问题以后，往往会用同样的思维方法解决以后的问题它表现就是记类型、

5、记方法、套公式，使思维受到限制，它是提高思维变通性的极大的障碍，必须加以克服综上所述，善于观察、善于联想、善于进行问题转化，是数学思维变通性的具体体现要想提高思维变通性，必须作相应的思维训练数学思维的反思性提出独特见解，检查思维过程，不盲从、不轻信(2004湖北卷理科6) 已知椭圆的左、右焦点分别为、F2，点P在椭圆上，若P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点，则点P到轴的距离为（A） （B）3 （C） （D）【分析】学生一般会认为P为直角顶点，从而公式求解得到答案C；【点拨】通过选项分析，若直角顶点不确定，则应有多个值可选择，而答案没有提供多值选项，因此，直角顶点是确定的从图形分析可知，必

6、为焦点，因为有的椭圆并不存在张角为直角的点，于是得到正确答案半个通径【答案】D(2004湖南理20)直线：与双曲线C：的右支交于不同的两点A、B求实数的取值范围；【解析】将直线的方程代入双曲线C的方程后，整理得:依题意，直线与双曲线C的右支交于不同两点，注意到，应该利用根的分布求解而我们多利用韦达定理求解,解得的取值范围为数学思维的反思性表现在思维活动中善于提出独立见解，精细地检查思维过程，不盲从、不轻信在解决问题时能不断地验证所拟定的假设，获得独特的解决问题的方法，它和创造性思维存在着高度相关本讲重点加强学生思维的严密性的训练，培养他们的创造性思维受思维定势或别人提示的影响，解题时盲目附和，

7、不能提出自己的看法，这不利于增强思维的反思性因此，在解决问题时，应积极地独立思考，敢于对题目解法发表自己的见解，这样才能增强思维的反思性，从而培养创造性思维数学思维的严密性考察问题严格、准确，运算和推理精确无误(2004，全国一，15)已知数列an，满足a1=1，an=a1+2a2+3a3+(n1)an1(n2)，求an的通项公式【分析】对a1+2a2+3a3+(n1)an1认识不清，看不到本质，没法进行下去； 利用条件an=a1+2a2+3a3+(n1)an1，得到an1=a1+2a2+3a3+(n2)an2，两式相减得到，即 ，再由迭乘法，于是【点拨】数列是一类特殊的函数，研究数列也应有定

8、义域优先意识，利用给定的条件an=a1+2a2+3a3+(n1)an1 ，得到an1=a1+2a2+3a3+(n2)an2 ，它们都是有条件的，并不是对所有的正自然数都成立的对数列而言，一般要考虑小项数从1开始，因此、的成立条件分别是n2、n3、n3忽视对项数的限制，必然得到错误的结果【答案】在中学数学中，思维的严密性表现为思维过程服从于严格的逻辑规则，考察问题时严格、准确，进行运算和推理时精确无误数学是一门具有高度抽象性和精密逻辑性的科学，论证的严密性是数学的根本特点之一但是，由于认知水平和心里特征等因素的影响，中学生的思维过程常常出现不严密现象，主要表现在以下几个方面：概念模糊 概念是数学

9、理论体系中十分重要的组成部分它是构成判断、推理的要素因此必须弄清概念，搞清概念的内涵和外延，为判断和推理奠定基础概念不清就容易陷入思维混乱，产生错误判断错误 判断是对思维对象的性质、关系、状态、存在等情况有所断定的一种思维形式数学中的判断通常称为命题在数学中，如果概念不清，很容易导致判断错误例如，“函数是一个减函数”就是一个错误判断推理错误 推理是运用已知判断推导出新的判断的思维形式它是判断和判断的联合任何一个论证都是由推理来实现的，推理出错，说明思维不严密数学思维的开拓性对一个问题从多方面考虑、对一个对象从多种角度观察、对一个题目运用多种不同的解法 (2006全国卷一理科9)设平面向量、的和

10、如果向量、，满足，且顺时针旋转后与同向，其中，则A B C D【分析】向量、的和向量、顺时针旋转后与、同向，且，得不到、的具体表示 【点拨】其实，考查选项发现：减号的位置放到哪？为什么会出现减号？力的合成问题！【答案】D（2006全国卷一理科11）用长度分别为2、3、4、5、6（单位：）的5根细木棒围成一个三角形（允许连接，但不允许折断），能够得到的三角形的最大面积为A BCD【分析】我们知道，当周长一定时，三边越接近，其面积越大，这是等周问题中的一个基本结论。【点拨】实际上，根据海伦公式，可以证明上述结论。用2、5连接，3、4连接各为一边，第三边长为7组成三角形，此三角形面积最大，面积为，选

11、B.显然，这并不是规定的考试内容，也就是说，并没有确定的知识用于本题的解答。它谁说不是课本中的定理，却是定理的背景，是定理产生的实践基础，在书上的阅读材料“算术几何平均不等式”中，就不难看到上述事实。【答案】B2007考试大纲，在知识要求中，增加了知识相关背景的认识，要求学生学习数学知识的同时，应了解知识的背景。数学思维开拓性指的是对一个问题能从多方面考虑；对一个对象能从多种角度观察；对一个题目能想出多种不同的解法，即一题多解“数学是一个有机的整体，它的各个部分之间存在概念的亲缘关系我们在学习每一分支时，注意了横向联系，把亲缘关系结成一张网，就可覆盖全部内容，使之融会贯通”，这里所说的横向联系

12、，主要是靠一题多解来完成的通过用不同的方法解决同一道数学题，既可以开拓解题思路，巩固所学知识；又可激发学习数学的兴趣和积极性，达到开发潜能，发展智力，提高能力的目的从而培养创新精神和创造能力在一题多解的训练中，我们要密切注意每种解法的特点，善于发现解题规律，从中发现最有意义的简捷解法数学思维的开拓性主要体现在：(1) 一题的多种解法(2) 一题的多种解释二数学思维障碍的成因与突破1由于数学思维的肤浅性所致(2006，上海，理，12)三个同学对问题“关于的不等式25|5|在1，12上恒成立，求实数的取值范围”提出各自的解题思路甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”乙说：“把不等式变形

13、为左边含变量的函数，右边仅含常数，求函数的最值”丙说：“把不等式两边看成关于的函数，作出函数图像”参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即的取值范围是 【分析】本题的出现使人耳目一新，特给出问题的解决过程，就解题的直觉而言，解一道题应有多种思路，其中有效的做法是什么？简洁的做法是什么？这就需要从感性到理性，做出正确的判断。如果学生对给出的问题认识不清，自然就不会得出正确的判断，从而胡乱的按照某人的解法从事。【点拨】认真研究，不难发现甲的解题思路不对，因为甲给出的是充分条件，不是必要条件。如果按照甲的思路，可能会缩小a的范围；丙的解题思路正确，是充要条件，不会改变a的范围。但实施起

14、来非常麻烦，可能需要更长的解题时间；再看乙的解题思路，符合分离变量的解题技巧，得到的是充要条件，因此应该按照乙的解题思路进行解题。由25|5|，。 设，。只需求得函数的最小值即可。【答案】下面考虑常规解法，去绝对值，利用导数求得最小值等等。注意到，等号当且仅当时成立；且，等号当且仅当时成立；所以，等号当且仅当时成立；故； 当取最小值时，也恰好取得最小值，这种解题的方法到底是通法，还是技巧呢？是提倡，还是不提倡呢？2由于数学思维的差异性所致(2006，全国卷二,理20)设函数f(x)(x1)ln(x1)，若对所有的x0，都有f(x)ax成立，求实数a的取值范围【分析】在命制导数问题中，既没有“导

15、数”字样或符号的直接提示，也没有“切线”、“单调性”、“极值、最值”等的间接提示，使得思维的方向一时不能明朗，给解题带来一些障碍。可以看到，近几年考查导数的解答题，对学生的审题能力的要求更高，呈现能力立意的味道更浓。解法一：令g(x)(x1)ln(x1)ax，若对所有的x0，都有f(x)ax成立，只需函数g(x) 在x0上的最小值0即可。对函数g(x)求导数：g(x)ln(x1)1a，令g(x)0，解得xea11，不知如何操作以求得函数g(x) 的最小值，解题受阻。【点拨】(i)当a1时，对所有x0，g(x)0，所以g(x)在0，)上是增函数，又g(0)0，所以对x0，都有g(x)g(0)，即

16、当a1时，对于所有x0，都有f(x)ax (ii)当a1时，对于0xea11，g(x)0，所以g(x)在(0，ea11)是减函数，又g(0)0，所以对0xea11，都有g(x)g(0)，即当a1时，不是对所有的x0，都有f(x)ax成立综上，a的取值范围是(，1 解法二：令g(x)(x1)ln(x1)ax，注意到g(0)0，于是不等式f(x)ax成立即为g(x)g(0)成立对函数g(x)求导数：g(x)ln(x1)1a，不知如何操作，解题受阻。【点拨】令g(x)0，解得xea11，转化为研究函数g(x)的单调性问题。当xea11时，g(x)0，g(x)为增函数，当1xea11，g(x)0，g(

17、x)为减函数， 所以要对所有x0都有g(x)g(0)充要条件为ea110由此得a1，即a的取值范围是(，1 另解：当x0时，f(0)0，对任意的，都有f(x)ax成立； 当x >0时，f(x)ax等价于，构造函数。下面求函数g(x)在x >0上的值域。 ，令g(x)0，不会解方程！ 构造函数， ， 为上的单调增函数，注意到， 对x >0恒成立。因此，对x >0恒成立，即函数g(x)为上的单调增函数。如何求函数g(x)的“最小值”呢，g(x)在x0处没有定义，怎么办？ ， 对x >0恒成立。 a1，对x >0恒成立。综上所述，对所有的x0，都有f(x)ax成立

18、，a的取值范围是(，1(2007全国卷一理科20) 设函数（）证明：的导数；（）若对所有都有，求的取值范围【解析】（）的导数由于，故（当且仅当时，等号成立）（）令，则，（）若，当时，故在上为增函数，所以，时，即（）若，方程的正根为，此时，若，则，故在该区间为减函数所以，时，即，与题设相矛盾综上，满足条件的的取值范围是【解析】解：对任意，都有，即成立. 当时，成立 当时，恒成立，即恒成立令，则当时，为上增函数.，即当时，令，则，即，即为(0,1)增函数.，即.，即为上增函数. 又，所以使恒成立，即由可知.综上所述， (2006，重庆，理，20) 已知函数，其中为常数。若，且，试证：。【分析】由给

19、定的条件和待证的目标，容易想到应该消去c，从而构造出关于b的不等式，利用求解不等式的解，得到待证的目标。解题的障碍就是对于给定的极限式型无从下手，得不到c与b的具体关系。一般地，对于型极限，求解的关键是想办法在分子分母中消去零因子，但本题没有办法如此处理。【点拨】注意到，则有。 又，故得：。 ，即，又，整理得：解得。本题所给的极限式使我们联想到导数的定义，回归定义，回归本源，是数学命题的一个重要的着力点。3由于思维定势的消极性所致(2005广东18) 箱中装有大小相同的黄、白两种颜色的乒乓球，黄、白乒乓球的数量比为现从箱中每次任意取出一个球，若取出的是黄球则结束，若取出的是白球，则将其放回箱中

20、，并继续从箱中任意取出一个球，但取球的次数最多不超过n次以表示取球结束时已取到白球的次数求的分布列；【解析】的所有允许取值依次为0，1，2，n。取出黄球的概率是，取出白球的概率是，则， ， ， ， ，的分布列是012(2005浙江理科19)袋子A中装有若干个均匀的红球和白球，从中摸出一个红球的概率是，若有放回地摸球，每次摸出一个，有3次摸到红球即停止记5次之内(含5次)摸到红球的次数为，求随机变量的分布列。【解析】随机变量的取值为0、1、2、3.由n次独立重复试验概率公式Pn(k)=,得P(=0)=, P(=1)=,P(=2)=,P(=3)=.随机变量的分布列是0123P(2007全国卷理科1

21、9)四棱锥中，底面为平行四边形，侧面底面已知，（）证明；（）求直线与平面所成角的大小【解析】解法一：（）作，垂足为，连结，由侧面底面，得底面DBCAS因为，所以，又，故为等腰直角三角形，由三垂线定理，得（）由（）知，依题设，故，由，得，的面积连结，得的面积设到平面的距离为，由于，得，解得设与平面所成角为，则所以，直线与平面所成的角为三高中数学复习的几点建议1. 加强审题指导，是提高解题能力的必要条件(1)弄清已知条件和解题目标这包括： 有几个已知条件，能否把各个已知条件分开； 解题的目标是什么？要求是什么？ 是否需要画图，如果能画图，最后画图，并在图中标出必要的条件和数据，画图的过程是一个熟悉

22、问题的过程，是一个对已知条件和解题目标再认识的过程.（2004重庆文14）已知曲线，则过点的切线方程是_.本题可以判断点在曲线上，所以，大部分同学的解法是，由得切线方程为，即.但是,这个结果并不完整,这是因为题目并没有告诉点是否为切点,而上面的解法是把点当作切点求解的.其实, 点也可能不是切点.正确的解法是:设切点为,则,切线方程为.因为在切线上,则,从而有,解得,于是, 过点的切线方程为和. (2)注意题目的隐含条件（2006辽宁理科12）设,点是线段上的一个动点,若,则实数的取值范围是(A) (B) (C) (D) 【解析】 解得: ,因点是线段上的一个动点,所以,即满足条件的实数的取值范

23、围是,故选择答案B. 【点评】本题考查向量的表示方法,向量的基本运算,定比分点中定比的范围等等.可见，审题的第一步就是弄清问题的已知条件和未知条件，在弄清条件时，对题目一定要字斟句酌，解错这道题，就是因为没有看“求什么”的时候就仓促下笔所以，熟悉问题是审题的重要步骤，在熟悉问的过程中，要弄清已知条件和未知条件，仔细的重复这些已知条件，如果问题与图形有关，还应该画图，在图上标示已知条件和未知条件及符号. (3)弄清已知条件之间以及已知条件与所求目标之间的相互联系（2005浙江卷理科10）已知向量，|1，对任意tR，恒有|t|，则(A) (B) () (C) () (D) ()()【解析】常规处理

24、是从|t|变形得：ABCDAAAA得,即,选(C)。反思向量，|1，对任意tR，恒有|t|，可以从向量本身的意义来考虑,如图：，则，设，由题意，仅当时才能实现，即()。 (4)思考所求解的题目与以前做过的哪道题目相类似（2004湖南理科12）设分别是定义在上奇函数和偶函数，当时，且，则不等式的解集是（ ）（A）（B）（C）（D）这是一个比较生疏的题目，遇到比较生疏的题目就要思考:“平时是否作过类似的问题？”仔细审题，就会得到一为上奇函数，一为上偶函数，则为奇函数，而，则在时为增函数，经过这一分析，再想，是否见过类似的题目呢？回答是，见过这就是：“函数为奇函数，且时，为增函数，求的解集”，于是生

25、题变成了熟题，画出图像，不难求出的解集为（D） 总之，审题是解题的一个重要步骤，通过审题，收集信息，加工信息，熟悉题目并深入到题目内部去思考，就会找到解题的入口，也会在解题的全部过程中，不忽视任何一个细节 审题决定成败审题是通向成功的起点，也是成功的归宿2关注解题细节，是提高数学学习能力的必由之路。（1）研究解题细节，培养学生良好的思维品质（2004年，天津卷，理21）已知定义在上的函数和数列满足下列条件：，其中为常数，为非零常数.（）令，证明数列是等比数列；（）求数列的通项公式；本题主要考查函数，数列，等比数列和极限等概念，考查灵活应用数学知识分析问题和解决问题的能力。 对于第（）问，许多同

26、学都是这样证明的：由已知，即所以是一个公比为的等比数列.这样求解有没有破绽?许多同学找不出毛病，其实，按照等比数列的定义，应该证明与的比是一个常数，而要求“比”，就要证明数列的各项均不为0，这可以由题设条件，得出，再由递推公式及数学归纳法证明，对所有，这是证明等比数列的前提，而上面的证明恰恰忽略了这一点。 第（）问是求数列的通项公式. 由（）可以得出的通项公式 由的定义，。 这就涉及到求等比数列的前项之和。而对等比数列求和，又要对公比及分类讨论，这样一个细节，在平时教学中，老师肯定多次提醒，但是，换了一个解题环境，是求数列的通项公式，就有不少考生忽略了分类。 第三个细节就是得出的结果之后：这里

27、的题目并没有给出，因此，要用表示，许多考生也忽略了。正确的答案是细节总容易为人所忽略，所以往往最能反映一个人的真实状态，因而也最能表现一个人的习惯.数学学习中，让学生重视学习中的每一个细节，有利于学生良好学习品质的形成.作为教师，纠正学生的错误是重要，但更重要的是通过教学中的一些细节，使学生遇事能认真分析，能认真思考每一个环节的习惯，培养学生良好的学习品质. (2005年，江西卷，文19)A、B两位同学各有五张卡片,现以投掷均匀硬币的形式进行游戏,当出现正面朝上时A赢得B一张卡片,否则B赢得A一张卡片.如果某人已赢得所有卡片,则游戏终止.求掷硬币的次数不大于7次时游戏终止的概率.【解析】本题的

28、关键是掷硬币的次数不大于7次时,正面和反面各出现多少次,才能赢得所有卡片.为此,设表示游戏终止时掷硬币的次数,又设正面出现的次数为,反面出现的次数为.由题意,可得方程组解得： （2）关注细节，提高学生的思维深度细节决定成败(2000年,上海卷) 已知()对任意恒成立,试求实数的取值范围;()当的值域是,试求实数的值.【解析】本题的第（）问是一个恒成立问题, 对任意恒成立。等价于对任意恒成立,又等价于时,的最小值成立.由于在上为增函数,则,所以 .第()问是一个恰成立问题,这相当于的解集是.当时,由于时, ,与其值域是矛盾,当时, 是上的增函数.所以,的最小值为,令,即不等式的恒成立,能成立,恰成立等问题1.恒成立问题若不等式在区间上恒成立,则等价于函数在区间上的最小值大于,若不等式在区间上恒成立,则等价于函数在区间上的最大值小于.2. 能成立问题若在区间上存在实数使不等式成立,即在区间上能成立, ,则等价于函数在区间上的最大值大于,若在区间上存在实数使不等式成立,即在区间上能成立, ,则等价于函数在区间上的最小值小于.3. 恰成立问题若不等式在区