暑假复习专题—三角形及其相关动点—八年级提高班

1、 暑期第三周课程三角形专题(一)2三角形专题（二）9三角形专题（三）15动点专题（一）20动点专题（二）25 三角形专题(一)【等腰三角形】1.等腰三角形的性质（1）定理：等腰三角形有两边相等；（2）定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。 推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，这就是说，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。（“三线合一”）（3）等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形；2.等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写“等角对等边”。）推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形。

2、推论2：有一个角等于60的等腰三角形是等边三角形。推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半。3.等边三角形的性质：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60o.它是轴对称图形，有三条对称轴。4.等边三角形的判定：（1）有一个角等于60o的等腰三角形是等边三角形 （2）三个角都相等的三角形是等边三角形课堂练习：1等腰三角形的对称轴是（ ） A顶角的平分线 B底边上的高 C底边上的中线 D底边上的高所在的直线2等腰三角形有两条边长为4cm和9cm，则该三角形的周长是（ ） A17cm B22cm C17cm或22cm D18cm3等腰三角形的一个外角是80

3、，则其底角是（ ） A100 B100或40 C40 D804正ABC的两条角平分线BD和CE交于点I，则BIC等于（ ） A60 B90 C120 D1505下列三角形：有两个角等于60；有一个角等于60的等腰三角形；三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形其中是等边三角形的有（ ） A B C D6 如图，E是等边ABC中AC边上的点，1=2，BE=CD，则对ADE的形状最准备的判断是（ ）A等腰三角形 B等边三角形 C不等边三角形 D不能确定形状7已知ABC中AB=AC，ADBC于D，若ABC、ABD的周长分别是20cm和16cm，求AD

4、的长8如图，ABC中BA=BC，点D是AB延长线上一点，DFAC于F交BC于E，求证：DBE是等腰三角形 9. 已知：如图，中，于D。求证：。10. 如图，中，BD平分。求证：。11如图，已知AB=AC，E、D分别在AB、AC上，BD与CE交于点F，且ABD=ACE，求证：BF=CF12如图，AF是ABC的角平分线，BDAF交AF的延长线于D，DEAC交AB于E，求证：AE=BE13如图，点E是等边ABC内一点，且EA=EB，ABC外一点D满足BD=AC，且BE平分DBC，求BDE的度数（提示：连接CE）14如图，ABC中，AB=AC，BAC=120，ADAC交BC于点D，求证：BC=3AD.

5、15.如图，已知在等边三角形ABC中，D是AC的中点，E为BC延长线上一点，且CECD，DMBC，垂足为M。求证：M是BE的中点。16如图，已知点B、C、D在同一条直线上，ABC和CDE都是等边三角形BE交AC于F，AD交CE于H，求证：BCEACD；求证：CF=CH；判断CFH的形状并说明理由【直角三角形】 1.勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。2.勾股定理的逆定理：如果三角形两直角边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。3.在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半；4.在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。课堂练习1如

6、图，中，求的长。ABDC2.如图，在RtDBC中，C=900，A=300，BD是ABC的平分线，AD=20。求BC的长。3.已知四边形ABCD中，AB=BC=，ABC=600，BAD=900，且ACD是一个直角三角形，求AD的长。ABCD4.如图,在ABC中,D是BC上的一点,已知AB=13,AD=12,AC=15,BD=5,求CD的长.5.在ABC中，ACB=90，D是AB边的中点，点F在AC边上，DE与CF平行且相等。求证：AE=DF。6.点A、E、F、C在一条直线上，AE=CF，过点E、F分别作DEAC，BFAC，若AB=CD。（1）求证：BD平分EF 如图（2）若将DEC的；边EC沿A

7、C方向平行移动变为如图1-2时，其余条件不变，（1）的结论是否成立？请说明理由。7.如图，在等腰直角三角形ABC中，ADBC，PEAB，PFAC，求证：DEF是等腰直角三角形.8.如图，AD是ABC的高，E为AC上一点，BE交高AD于点F，且BF=AC，FD=CD。ABCDEF求证：BEAC9.已知a、b、C是ABC的三边，并且a2c2-b2c2=a4-b4，判断ABC的形状。10.已知，RtABC中，ACB=90，CDAB，CE为AB边上的中线，且BCD=3DCA。求证：DE=DC。11.如图：AB=AC，ADBC于D，AF=FD，AEBC且交BF的延长线于E，若AD=9，BC=12，求BE

8、的长。ababccABCDE12.如图，RtABCRtCDE，B=D=900，且B、C、D三点共线，试证明ACE=900。ABDC13.如图,在笔直的公路上相距25Km的A,B两点,C、D为两个村庄,且DAAB于点A,CBAB于点B。已知AD=15km，CB=10km，现要在公路AB上建一个土特产收购站E，使得C、D两村到E站距离相等，试确定E站的位置。14、如图所示，BD、CE是三角形ABC的两条高，M、N分别是BC、DE的中点 求证：MNDE15.如图，在RtABC中，AB=AC，BAC=90，D为 BC的中点.（1）写出点D到DABC三个顶点 A、B、C的距离的关系（不要求证明）（2）如

9、果点M、N分别在线段AB、AC上移动，在移动中保持AN=BM，请判断DMN的形状，并证明你的结论课后作业1.等腰三角形一底角为30,底边上的高为9cm，则这个等腰三角形的腰长是_cm,顶角是_.2.等腰直角三角形一条直角边长1cm，那么它斜边上的高是_cm.3.在ABC中，AB=AC，DM是AB的中垂线，BCD的周长为14cm，BC=5cm，则AB=_cm.4.如果等腰三角形的两边分别长为3cm和5cm，那么它的周长为_cm.5.在RtABC中，CD是斜边上的中线，CE是高，AB=10cm,DE=2.5cm.则直角边AC的长为_cm.6.等腰三角形一腰上的高与腰之比为，则顶角的度数为_7.等腰

10、三角形一腰上的中线把周长分为63和36两部分，其腰长为 8.已知ABC的ABC、ACB的平分线相交于F，过F作DEBC，交AB于D，交AC于E，则BD+CE=_9.已知一个直角三角形的面积为12cm2,周长为cm,那么这个直角三角形外接圆的半径是_cm.10.如图，折叠矩形的一边AD，点D落在BC边的点F处，已知AB=8cm，BC=10cm,求EC的长.11.如图,在直角三角形ABC中,CM是斜边AB上的中线,MNAB,ACB的平分线CN交MN于N,求证:CM=MN12.如图,ABC和ADE都是等腰直角三角形,CE与BD相交于点M,BD交AC于点N，证明:（1）BD=CE. （2）BDCE.三

11、角形专题（二）【全等三角形】1定义：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形；两个全等三角形中，互相重合的顶点叫做对应顶点。互相重合的边叫对应边，互相重合的角叫对应角。2.全等三角形的表示方法：若ABC和ABC是全等的三角形，记作 “ABCABC其中，“”读作“全等于”。记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。3.全等三角形的的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等；4.判定三角形全等的方法(5种)（1）边角边公理、角边角公理、边边边公理、斜边直角边公理（2）推论：角角边定理课堂练习1. 如图，AOB中，B=30，将AOB绕点O顺时针旋转52，得到AOB，边AB与边OB交于

12、点C（A不在OB上），则ACO的度数为多少？2. 如图所示，在ABC中，A=90，D、E分别是AC、BC上的点，若ADBEDBEDC，则C的度数是多少？3. 已知，如图所示，AB=AC，ADBC于D，且AB+AC+BC=50cm,而AB+BD+AD=40cm，则AD是多少？4. 如图，RtABC中，BAC=90，AB=AC，分别过点B、C作过点A的垂线BC、CE，垂足分别为D、E，若BD=3，CE=2，则DE= 5. 如图，AD是ABC的角平分线，DEAB，DFAC，垂足分别是E、F，连接EF，交AD于G，AD与EF垂直吗？证明你的结论。6. 如图所示，在ABC中，AD为BAC的角平分线，DE

13、AB于E，DFAC于F，ABC的面积是28cm2,AB=20cm，AC=8cm，求DE的长。7. 已知，如图：AB=AE，B=E，BAC=EAD，CAF=DAF，求证：AFCD8. 如图，AD=BD，ADBC于D，BEAC于E，AD与BE相交于点H，则BH与AC相等吗？为什么？9. 如图所示，已知，AD为ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于F，且有BF=AC，FD=CD，求证：BEAC10. DAC、EBC均是等边三角形，AF、BD分别与CD、CE交于点M、N，求证：（1）AE=BD （2）CM=CN （3）CMN为等边三角形 （4）MNBC11. 已知：如图1，点C为线段AB上一点，AC

14、M、CBN都是等边三角形，AN交MC于点E，BM交CN于点F（1） 求证：AN=BM（2） 求证：CEF为等边三角形（3） 将ACM绕点C按逆时针方向旋转90，其他条件不变，在图2中补出符合要求的图形，并判断第（1）、（2）两小题的结论是否仍然成立（不要求证明）。12. 已知：BD、CE是ABC的高，点F在BD上，BF=AC，点G在CE的延长线上，CG=AB，求证：AGAF13. 如图：在ABC中，BE、CF分别是AC、AB两边上的高，在BE上截取BD=AC，在CF的延长线上截取CG=AB，连结AD、AG求证：（1）AD=AG （2）AD与AG的位置关系如何14如图，已知E是正方形ABCD的边

15、CD的中点，点F在BC上，且DAE=FAE求证：AF=AD+CF15如图所示，已知ABC中，AB=AC，D是CB延长线上一点，ADB=60，E是AD上一点，且DE=DB，求证：AE=BE+BC16如图所示，已知在AEC中，E=90，AD平分EAC，DFAC，垂足为F，DB=DC，求证：BE=CF17已知：如图，BFAC于点F，CEAB于点E，且BD=CD，求证：（1）BDECDF （2） 点D在A的平分线上18如图，已知ABCD，O是ACD与BAC的平分线的交点，OEAC于E，且OE=2，则AB与CD之间的距离是多少？19如图，过线段AB的两个端点作射线AM、BN，使AMBN，按下列要求画图并

16、回答：画MAB、NBA的平分线交于E（1）AEB是什么角？（2）过点E作一直线交AM于D，交BN于C，观察线段DE、CE，你有何发现？（3）无论DC的两端点在AM、BN如何移动，只要DC经过点E，AD+BC=AB；AD+BC=CD谁成立？并说明理由。20正方形ABCD中，AC、BD交于O，EOF=90，已知AE=3，CF=4，则SBEF为多少？21.已知：如图，中，于，平分，且于，与相交于点是边的中点，连结与相交于点（1）求证：；（2）求证：；22在ABC中，ACB=90，AC=BC，直线MN经过点C，且ADMN于D，BEMN于E（1）当直线MN绕点C旋转到图的位置时，求证：DE=AD+BE（

17、2）当直线MN绕点C旋转到图的位置时，求证：DE=AD-BE（3）当直线MN绕点C旋转到图的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系。课后作业1将直角三角形（ACB为直角）沿线段CD折叠使B落在B处，若ACB=60，则ACD度数为_2如图，ABE和ACD是ABC分别沿着AB、AC边翻折180形成的，若BAC=150，则EFC的度数为_3已知ABC中，ABC=45，AC=4，H是高AD和BE的交点，则线段BH的长度为_4.如图所示，ABCADE，BC的延长线过点E，ACB=AED=105，CAD=10，B=50，求DEF的度数。5已知如图：AB=DE，直线AE、BD

18、相交于C，B+D=180，AFDE，交BD于F，求证：CF=CD6如图，在RtABC中，ACB=45，BAC=90，AB=AC，点D是AB的中点，AFCD于H，交BC于F，BEAC交AF的延长线于E，求证：BC垂直且平分DE7如图，ABC的三边AB、BC、CA长分别是20、30、40，其三条角平分线将ABC分为三个三角形，则SABO：SBCO：SCAO等于？8如图所示，已知1=2，EFAD于P，交BC延长线于M，求证：2M=（ACB-B）三角形专题（三）【相似三角形】1.相似三角形的性质相似三角形的三边 ，三角 .相似三角形的 ， 与 都等于相似比.相似三角形周长之比等于 ，相似三角形面积之比

19、等于 .2.相似三角形的条件(1) ，两三角形相似.(2) ，两三角形相似.(3) ，两三角形相似.3.相似模型课堂练习1已知：如图，1=2=3，求证：ABCADE 2.如图，在RtABC中，CD为斜边AB上的高，且AC6厘米，AD4厘米，求AB与BC的长CADB3.如图，ABC中，若BC24厘米，BDAB，且DEBC，求DE的长。ADEBFC4.如图，RtABC中斜边AB上一点M，MNAB交AC于N，若AM3厘米，AB：AC5：4，求MN的长。CBMNA5.已知：如图，ABC中，D在AC上，且AD：DC1：2，E为BD的中点，AE的延长线交BC于F，求证：BF：FC1：3。ABDEFC6.已

20、知，如图，在平行四边形ABCD中，E为AC三分之一处，即AE = AC，DE的延长线交AB于F，求证：AF = FBCABDE7.在平行四边形ABCD中，E是BC上的一点，BD、AE相交于点F，且BE：EC = 3:2，又BD=30，求BF长8如图，已知在ABC中，CD=CE，A=ECB，求证：CD2=ADBE。9已知：如图，在ABC中，C=90，D是BC的中点，DEAB于E10.如图, 等边ABC，点D、E分别在BC、AC上,且BD=CE，AD与BE相交于点F. 求证：(1)ABDBCE. (2)AEFBEA 11.已知：平行四边形ABCD，E是BA延长线上一点，CE与AD、BD交于G、F，

21、求证：。12如图，在ABC中，AD平分BAC，CEAD，BFAD，求证：13已知：DG/BC，AD = CF，求证：14.如图：四边形ABCD中，A=BCD=90，过C作对角线BD的垂线交BD、AD于点E、F，求证：；如图：若过BD上另一点E作BD的垂线交BA、BC延长线于F、G，又有什么结论呢？你会证明吗？补充：相似难题课后作业1如图，DEBC，SDOESCOB=49，求ADBD.ABCDEMF2、已知：EM = MF，EF/AB，求证：3如图，平行四边形ABCD中，E为DC边上一点，连接AE并延长交BC的延长线于F，在这个图形中，有哪几对相似三角形？你是怎么判断的？若，AD的长为6，求BF

22、的长及的值。4、如图，已知ABC中，D为BC中点，AD=AC，DEBC，DE与AB交于E，EC与AD相交于点F，（1）ABC与FCD相似吗？请说明理由；（2）若S =5，BD=10，求DE的长。5、已知:如图，在PAB中,APB=120O,M、N是AB上两点，且PMN是等边三角形。求证: BMPA=PNBP动点专题（一）所谓“动点型问题”是指将动态几何图形置于平面直角坐标系中，使“数”与“形”有机地结合在一起，很好地体现了数形结合的数学思想；而通过对几何图形运动变化，使学生经历由观察、想象、推理等发现、探索的过程，是中考数学试题中，考查同学们的创新意识、创新能力的重要题型；由于新的课程标准降低

23、了对圆有关知识的要求，因此平面直角坐标系中的动态几何题成了中考压轴题的重要题型解决这类问题，首先应理清图形的变化过程，正确分析变量与其他变量之间的内在联系，建立变量与其他变量之间的数学关系；其次要善于探索动点的运动的特点和规律，抓住变化中图形的性质与特征，化动为静，以静制动关键:动中求静.数学思想：分类思想 函数思想 方程思想 数形结合思想 转化思想1、 平面直角坐标系动点问题1、已知点A的坐标是（3，0）、AB=5，（1）当点B在X轴上时、求点B的坐标、（2）当AB/y轴时、求点B的坐标2、如图，将边长为1的正三角形沿轴正方向连续翻转2008次，点依次落在点的位置，则点的横坐标为？P3、如图

24、，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（1，0），（3，0），现同时将点A，B分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到点A，B的对应点C，D，连接AC，BD，CD(1)求点C，D的坐标及四边形ABDC的面积 (2)在y轴上是否存在一点P，连接PA，PB，使，若存在这样一点，求出点P的坐标，若不存在，试说明理由 二、全等三角形中的动点问题1、如图，在等腰ACB中，ACBC5，AB8，D为底边AB上一动点（不与点A，B重合），DEAC，DFBC，垂足分别为E，F，则DEDF 2、在边长为2的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，连接PB、PQ，则PBQ周长的

25、最小值为_（结果不取近似值）.3、如图，将边长为1的等边OAP按图示方式，沿x轴正方向连续翻转2011次，点P依次落在点P1，P2，P3，P4，P2007的位置试写出P1，P3，P50，P2011的坐标4、如图，在等腰RtABC中，ACB=90，AC=CB，F是AB边上的中点，点D、E分别在AC、BC边上运动，且始终保持AD=CE连接DE、DF、EF（1）求证：ADFCEF（2）试证明DFE是等腰直角三角形5、如图，已知与是两个全等的直角三角形，量得它们的斜边长为10cm，较小锐角为30，将这两个三角形摆成如图（1）所示的形状，使点在同一条直线上，且点与点重合，将图（1）中的绕点顺时针方向旋转

26、到图（2）的位置，点在边上，交于点，则线段的长为 cm（保留根号）AEC(F)DB图（1）EAGBC(F)D图（2）6、如图，在平面直角坐标系中，矩形AOBC在第一象限内，E是边OB上的动点（不包括端点），作AEF = 90，使EF交矩形的外角平分线BF于点F，设C（m，n）（1）若m = n时，如图，求证：EF = AE；（2）若mn时，如图，试问边OB上是否还存在点E，使得EF = AE？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由xOEBAyCFxOEBAyCFxOEBAyCF7.在中，点是直线上一点（不与重合），以为一边在的右侧作，使，连接（1）如图1，当点在线段上，如果，则 度；（

27、2）设，如图2，当点在线段上移动，则之间有怎样的数量关系？请说明理由；当点在直线上移动，则之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论AEEACCDDBB图1图2AA备用图BCBC备用图8如图，在等边的顶点A、C处各有一只蜗牛，它们同时出发，分别以每分钟1个单位的速度由A向B和由C向A爬行，其中一只蜗牛爬到终点时，另一只也停止运动，经过t分钟后，它们分别爬行到D,E处，请问（1）在爬行过程中，CD和BE始终相等吗？（2）若蜗牛沿着AB和CA的延长线爬行，EB与CD交于点Q，其他条件不变，如图（2）所示，蜗牛爬行过程中 的大小条件不变，求证：（3）如果将原题中“由C向A爬行”改为“沿着BC的延长线爬

28、行，连接DE交AC于F”，其他条件不变，则爬行过程中，DF始终等于EF是否正确 9、如图1，若ABC和ADE为等边三角形，M，N分别EB，CD的中点，易证：CD=BE，AMN是等边三角形 （1）当把ADE绕A点旋转到图2的位置时，CD=BE是否仍然成立？若成立请证明，若不成立请说明理由； （2）当ADE绕A点旋转到图3的位置时，AMN是否还是等边三角形？若是，请给出证明，并求出当AB=2AD时，ADE与ABC及AMN的面积之比；若不是，请说明理由图1 图2 图3图8课后作业1如图， 直线与轴、轴分别交于点，点点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿方向运动，点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿

29、的方向运动已知点同时出发，当点到达点时，两点同时停止运动， 设运动时间为秒（1）设四边形MNPQ的面积为，求关于的函数关系式，并写出的取值范围 （2）当为何值时，与平行？lQqOMNxyP2、如图，已知中，厘米，厘米，点为的中点（1）如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，与是否全等，请说明理由；若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使与全等？（2）若点Q以中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿三边运动，求经过多长时间点P与点Q

30、第一次在的哪条边上相遇？AQCDBP动点专题（二）相似三角形中的动点问题1、如图正方形ABCD的边长为2，AE=EB，线段MN的两端点分别在CB、CD上滑动，且MN=1，当CM为何值时AED与以M、N、C为顶点的三角形相似？2、如图，矩形ABCD中，E为BC上一点，DFAE于F.(1)ABE与ADF相似吗？请说明理由.(2)若AB=6，AD=12，BE=8，求DF的长。3.如图，已知ABC是边长为6cm的等边三角形,动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC匀速运动，其中点P运动的速度是1cm/s，点Q运动的速度是2cm/s，当点Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t（s），

31、解答下列问题： （1）当t2时，判断BPQ的形状，并说明理由；（2）设BPQ的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式；（3）作QR/BA交AC于点R，连结PR，当t为何值时，APRPRQ？ 4、 如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边从A开始向点B以2cm/s的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动如果P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间（0t6），那么：（1）当t为何值时，QAP为等腰直角三角形？（2）当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与ABC相似？5、如图，已知一次函数的图象与x轴、y轴分别相交于A、B两点，点C在AB上以每秒1个单位的速度从点B向点A运动，同时点D在线段AO上以同样的速度从点A向点O运动，当D点到达O点时，C点随之停止运动运动时间用t（单位：秒）表示（1）求AB的长；（2）当t为何值时，ACD与ABO相似？6、如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=8cm点E、F、G分别从点A、B、C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动点E、G的速度均为2cm/s，点F的速度为4cm/s，当点F