基于数学形态学的图像处理

1、基于数学形态学的图像处理刘 勍1，张久文2，温志贤1，张步达1（1. 天水师范学院数理与信息科学学院，甘肃 741001天水；2. 730000兰州大学信息科学与工程学院，甘肃兰州）摘 要：以形态为基础对图像处理的数学工具数学形态学，是一种非线性滤波方法。从19世纪创立发展至今，已在不同领域得到广泛应用。数学形态学具有膨胀、腐蚀、开启和闭合四种基本运算，在图像处理中通过选择一定的结构元素，利用其基本性质对图像进行分割、噪声滤除、边缘检测等处理。但是，目前数学形态学在图像处理应用方面还面临一些问题，有待于进一步解决。今后，该门学科将会朝不同种类数学形态学快速算法的实现、优化结构元素的选取、形态运

2、算的通用性及适应性等方向发展。关键词：数学形态学；图像处理；边缘检测；图像分割；噪声滤除中图分类号：TP391 A 1371-1351(2004)02-0029-05文献标识码：文章编号：引言1数学形态学（Mathematical Morphology）是研究数字影像形态结构特征与快速并行处理方法的理论，其历史可追溯到19世纪的Euler，Steiner，crofton Minlowski 1964以及本世纪初的论述中。到年法国Matheron和Serra在积分几何的研究成果上，将数学形态学引入图像处理领域，并研制了基于数学形态学的图像处理系统。1982年，J.Sem 的专著图像分析与数学形态

3、学是数学形态学发展的重要里程碑。目前，数学形态学已在计算机视觉、信号处理与图像分析、模式识别、计算方法与数据处 理等方面得到了极为广泛的应用，这些应用反过来又促进数学形态学的进一步发展。1-3理论虽然复杂，但基本思想却简单而完美。数学形态学算子的性能主要以几何方式进行刻画，而几何描述的特点更适合视觉信息的处理和分析1-3，其基本思想如图1所示。图1 数学形态学的基本方法数学形态学的基本运算有4个：膨胀（扩张Dilation或结构和）、腐蚀（侵蚀Erosion或结构差）、开启（Opening或结构开）和闭合（Closing结构闭）。它们在二值图像和灰度（多值）图像中各有特点。基于这些基本运算还可

4、以推导和组合成各种数学形态学实用算法。2.1 二值形态学3-52.1.1 膨胀运算二值形态学中的运算对象是集合。设 X 和为 n X 维欧氏空间中的点集，一般为图像集合（或数据集），B为结构元素，Bx为B的核，膨胀运算符为“”，则用结构元素B对图像集合X进行膨胀运算表示为：XB = xXBx ?= xBxXx，其中包含的是Bx X 与之交不为空集的数据集。或者 x B是x X 击中（用符号表示）而形成的数2 数学形态学基础理论数学形态学（也称图像代数）是以形态为基础对图像进行分析的数学工具。其基本思想是用具有一定形态的结构元素（structure element）为工具去度量和提取图像中的对应

5、形状特征，以达到对图像分析和识别的目的；主要内容是设计一整套概念、变换和算法，用来描述图像的基本特征和基本结构，也就是描述图像中元素与元素、部分与部分间的关系。它的应用可以简化图像数据，保持其基本形状特征，并除去不相干的结构。数学形态学作为一种用于数字图像处理和识别的新理论、新方法，它表示 X B 用来进行膨胀时，其结果为集合据集，一般以 B 中位于（0，0）处的元素作为B的核 Bx。2.1.2 腐蚀运算腐蚀运算符用“”表示，腐蚀运算为：XB = x | Bx X数据集X用结构元素B来进行腐蚀时，其结果为集合x，它能被X包含的结构元素核Bx所形成。2.1.3 开运算开运算（或称开操作）能从一个

6、图像 X 集合中选取一个与结构元素 B 相匹配的子集合，运算符是“”，该子集合的性质是：XB = xX，for tX - B，xBt and Bt X还可表示为：XB = （XB）B上式是 X B 相对于进行的开运算，Bt 表示结t 。该运算精确地选择那些集构元素平移一个距离合 X 中的点x，当x被结构元素B或其平移Bt 覆盖的同时，结构元素必须整个保持在集合 X 内部。2.1.4 闭运算 闭运算（或称闭操作）是开运算的对偶运算，运算符是“”。因此闭运算可以写成：XB = x | xBtBtX?又可表示为：XB = （XB）B即对图像 X B 用结构元素做闭运算可得到一个集合，该集合中包含所有

7、这样的点x，x 被一个平移的镜象结构元素 Bt 覆盖的同时，Bt 与X必有一些公共点。以上运算符都具有位移不变性、单调增长性、等幂性，而这些特性是以上各种运算在图像处理中得以应用的基础。另外各个不同运算还具有其各种不完全一致的特性，如组合性、互换性，而不具有同义性、同前性等。2.2 灰度形态学5-7灰度形态学是二值数学形态学对灰度图像的自然扩展，灰度形态学的运算对象不是集合，而是图像函数。在灰度形态学中，二值形态学中用到的交、并运算将分别用最大、最小极值运算代替。灰度图像的腐蚀和膨胀过程可直接从图像和结构元素的灰度级函数计算出来。2.2.1 膨胀运算设f（x，y）是输入图像中的某一点，b（i，

8、j）是结构元素，则膨胀运算为：（fb）（x，y）= maxg（x - i，y - j）+ b（i，j）b（i，j）B，g（x - i，y - j）f（x，y）30膨胀运算的计算是一个点一个点的进行，计算时涉及到它周围点的灰度值及结构元素值，实际上是局部范围内点与结构元素中对应点灰度值之和，选取其中最大值。所以膨胀运算之后，边缘得到了延伸。2.2.2 腐蚀运算腐蚀运算的表示为：（fb）（x，y）= ming（x + i，y + j）- b（i，j）b（i，j）B，g（x + i，y + j）f（x，y）同样，腐蚀运算也是一个点一个点的进行，某点的运算结果是它在一个局部范围内点与结构元素中的对应点

9、灰度值之差，选取其中最小值。可见经腐蚀运算后，边缘部位相对大点的灰度值会降低，从而边缘会向灰度值高的区域内收缩。2.2.3 开启与闭合运算灰度形态学的开运算与闭运算的表示和二值形态学的类似，可分别表示为：fb = （fb）b ，fb = （fb）b3 结构元素的选取方法各种数学形态学算法的应用可分解为形态学运算和结构元素选择两个基本问题，形态学运算的规则已由定义确定，于是形态学算法的性能就取决于结构元素的选择。因此如何自适应地优化确定结构元素，就成为形态学领域中人们长期关注的研究热点和技术难点。目前多采用多个结构元素对图像进行处理的方法。3, 63.1 结构元素结构元素实际上是一个小窗口内的灰

10、度“形态”，也就是当窗口大小一定时，只需要确定窗内各点的数值大小。一般来讲，结构元素的核作为非边缘处（即区域内）灰度差的允许值，而核周围的元素主要由它们相互之间及与核相对大小决定，图像上增强边缘运算时，当前点与它周围的点之间“是否有边缘存在”有决定作用。数值的确定一般根据特定的目的结合试验效果来进行。3.2 多结构元素运算在许多形态学应用中，往往只采用一个结构元素，这通常不能产生满意的结果。在模式识别中，要提取某个特定的模式，若只采用一个结构元素 ，则只有与结构元素形状、大小完全相同的模式才能被提取，而与此结构元素表示的模式即使有微小差别的其他模式的信息都不能获取。解决此问题的一个有效方法之一

11、就是将形态学运算与集合运算结合起来，同时采用多个结构元素，分别对图像进行运算，然后将运算后的图像合并起来，即多结构元素形态学运算。3.3 用遗传算法选取结构元素遗传算法的思想来源于自然界物竞天择、优胜劣败、适者生存的演化规律和生物进化原理，并引用随机统计理论而形成，具有高效并行全局优化搜索能力，能有效地解决机器学习中参数的复杂优化和组合优化等难题。近年来不少国外学者进行了这方面的探索与研究，Ehrgardt 设计了形态滤波的遗传算法，用于二值图像的去噪和根据二值纹理特征消除预定目标；Huttunen 利用遗传算法构造了软式形态滤波器及其参数优化的设计方法以实现灰度图像的降噪功能。边缘的方向可以

12、由结构元素的形状确定。但如果采用对称的结构元素，又会减弱对图像边缘的方向敏感性。所以在边缘检测中，可以考虑用多方位的形态结构元素，运用不同结构元素的逻辑组合检测出不同方向的边缘16；还可以结合小尺度形态学、多尺度形态学及顺序形态学的图像边缘检测方法等。17-19基于边缘轮廓结构的形态学，开、闭变换的第一运算起了提取噪声区域的作用，而第二个使用B的运算则将该区域内的噪声全部滤掉。传统的方法是点滤波操作方式，一个噪声必须满足给定的判决条件才能被滤掉，但要求每一个噪声点都要满足要求是不现实的，所以噪声块不能完全被滤掉。同传统的方法相比，该方法只要求噪声块中有一个点满足判定条件，则整个噪声块都可全部滤

13、掉。4.2 图像分割考虑边缘特征受噪声影响较大，而区域特征受噪声影响要小得多，而使用灰度门限法进行区域分割较简单。经典的图像分割方法是基于度量空间的空间域聚类的，常用诸如简单统计法、类间方差法、最小误差法等图像分割方法，实际上它利用了直方图作为图像中不同区域的统计特征。这种方法的最大问题在于分割出区域的边界或空间是不连续的。图像的边缘提取和分割是图像处理的难题，它的解决对我们进行高层次的处理如特征描述、识别和分析有着重大影响。对开运算是在膨胀的基础上再进行一次腐蚀，对于闭运算就是在腐蚀的基础上再进行一次膨胀。取一大小可调的正方形灰度平面，则膨胀运算的实质就是通过模板，寻找图像在结构元大小范围内

14、所有点的灰度极大值，以该极大值代替该结构元大小范围内所有点的灰度值，在图像灰度曲面上移动结构元模板，重复同样操作，直到图像上所有点都参与运算为止。因此，膨胀的结果滤去了小于二倍结构元的波峰，同时原图像灰度曲面在原有基础上有一定程度的膨胀。而腐蚀运算相当于削去小于二倍结构元的波谷。用原图减去开运算的结果，可以提取出原图像小于结构元的波峰；用原图减去闭运算可以提取出小于结构元的波谷，改变结构元的大小可提取不同的目标。目前，已研究出了基于数学形态学抗噪声的流域算法、计算图像形态梯度多尺度算法及深度图像分割等方法。20-224.3 噪声滤除对图像中的噪声进行滤除是图像预处理中不可缺少的操作。将开启和闭

15、合运算结合起来可构成形314 数学形态学在图像处理中的主要应用数学形态学已经成为图像处理理论的一个重要方面，它已由二值和灰度形态学发展成软数学形态学，其基本思想是利用“顺序统计”理论并将结构元素分为核心和软边界两大部分；将模糊集合理论用于数学形态学形成了模糊数学形态学，进而发展成模糊软数学形态学。这些方法已广泛地应用到医学成像、生物学、机器人视觉、自动字符读取、金相学、地质学、地理学、气象学、遥感技术等图像处理的不同领域。8-15在这些领域中，利用二值或灰度数学形态学基本运算，可通过组合得到一系列灰度数学形态学实用算法，它们在图像增强、分割、边缘检测、噪声滤除、形状结构的增强及形状的数量化、骨

16、架化、组分分析、曲线填充、图像压缩等方面得到了广泛应用。1-34.1 图像边缘检测边缘是图像最基本的特征，理想的边缘检测应当正确解决边缘的有无、真假和定向定位。为了有效抑制噪声，一般首先对原图像进行平滑，再进行边缘检测就能成功地检测到真正的边缘。边缘检测技术中较为成熟的方法是线性滤波器，其中尤其以拉普拉斯 LOG LOG 算子最为有名，算子较好地解决了频域最优化和空域最优化之间的矛盾，计算方法也比较简单方便。另外，该算子在过零点检测中具有各向同性特点，保证了边缘的封闭性，符合人眼对自然数学形态学运算用于边缘检测的规律。数学形态学运算用于边缘检测，存在着结构元素单一的问题。它对与结构元素同方向的

17、边缘敏感而与其不同方向的边缘（或噪声）会被平滑掉，即态学噪声滤除器。对于二值图像，噪声表现为目标周围的噪声块和目标内部的噪声孔。用结构元素B 对集合X进行开启操作，就可以将目标周围的噪声块消除掉；用 X 对进行闭合操作，则可以将目标内部的噪声孔消除掉。该方法中，对结构元素的选取相当重要，它应当比所有的噪声孔和噪声块都要大；对于灰度图像，滤除噪声就是进行形态学平滑。实际中常用开启运算消除与结构元素相比尺寸较小的亮细节，而保持图像整体灰度值和大的亮区域基本不变；用闭合运算消除与结构元素相比尺寸较小的暗细节，而保持图像整体灰度值和大的暗区域基本不变。将这两种操作综合起来可达到滤除亮区和暗区中各类噪声

18、的效果，而将多结构元素和开、闭滤波等结合起来，在目标图像细节保护方面有更大的优越性。234.4 存在的一些问题近年来，数学形态学在图像处理、计算机视觉与模式识别等领域中得到了广泛的应用，已形成了一种新的图像分析方法和理论，引起了国内外相关领域研究人员的广泛关注。虽然数学形态学在理论上已趋于完备，但在实际应用中仍存在很多不完善的地方。目前，数学形态学存在的主要问题是2：（1）形态运算实质上是一种二维卷积运算，当图像维数较大时，特别是用灰度形态学、软数学形态学，模糊形态学等方法时，不适于实时处理。（2）由于结构元素对形态运算的结果有决定性的作用，所以，需结合实际应用背景和期望合理选择结构元素的大小

19、与形状。（3）为达到最佳的滤波效果，需结合图像的拓扑特性选择形态开、闭运算的复合方式。（4）有待进一步将数学形态学与神经网络，模糊数学结合，研究灰度与彩色图像的处理和分析方法。（5）有待进一步研究开发形态运算的光学实现及其他硬件实现方法。（6）有待将形态学与小波、分形等方法结合起来对现有图像处理方法进行改进，进一步推广。如何实现灰度形态学、软数学形态学、模糊软数学形态学等的快速算法，优化结构元素的选取，如何改善形态运算的通用性，增强形态运算的适应性，并结合数学形态学的最新应用进展，将其应用到图像处理领域，丰富和发展利用数学形态学的图像处理与分析方法，成为数学形态学今后的发展方向。参考文献：1

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26、，能定量描述和分析图像的几何结构。因此，非常适合图像处理各方面的应用。它在图像处理应用中的许多实用算法，一般可进行并行处理，大大加快了图像处理的速度，为实时识别和处理图像奠定了基础。但32PLA Institute of Surveying and Mapping , 1998,15(1):36-39(in china) .14 Song Ping , Liu zhengguang . Application of mathematicalmorphology in satellite image cloud processJ . Microcomputer Development , 199

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