常微分方程课件_第15讲(29)

1、1Lecture 15Review (复习复习)2第一章第一章 绪论绪论一、基本概念一、基本概念: :熟练掌握下列基本概念熟练掌握下列基本概念微分方程微分方程 常微分方程常微分方程( (组组) )与偏微分方程偏微分方程( (组组)C/P16)C/P16微分方程的阶微分方程的阶C/P16C/P16正规型微分方程正规型微分方程( (组组) )与隐微分方程隐微分方程( (组组) C/P17) C/P17线性微分方程线性微分方程( (组组)齐次齐次/ /非齐次非齐次 与非线性微分方程非线性微分方程( (组组)C/P17)C/P17线性微分方程线性微分方程( (组组) )的解的解 通解通解( (隐式通解

2、隐式通解) )与特解特解( (隐式特解隐式特解) ) C/PP17-18C/PP17-18定解条件定解条件 初值条件初值条件 与定解问题定解问题 初值问题初值问题C/P18C/P18二、会建立一些简单的微分方程模型二、会建立一些简单的微分方程模型C/PP2-7/C/PP2-7/例例1,1,例例2,2,例例3;C/P74/3,4;C/P165/5;C/P183/4;C/P189/3;C/P74/3,4;C/P165/5;C/P183/4;C/P189/例例11驻定驻定 自治自治 与非驻定非驻定 非自治非自治 微分方程微分方程C/P21C/P21相空间相空间 相平面相平面 、积分曲线、积分曲线与轨

3、线、平衡解轨线、平衡解 驻定解、驻定解、常数解、奇点、平衡点常数解、奇点、平衡点C/P22+P253C/P22+P2533第二章第二章 一阶微分方程的初等解法一阶微分方程的初等解法1.什么叫一阶微分方程初等解法什么叫一阶微分方程初等解法?C/P302.是否任何一阶微分方程都可用初等方法求解是否任何一阶微分方程都可用初等方法求解?C/P723.哪些类型的一阶微分方程可用初等方法求解哪些类型的一阶微分方程可用初等方法求解?C/PP70-71基本要求基本要求: :熟练掌握下列知识熟练掌握下列知识4.什么是变量可分离方程及变量已分离方程什么是变量可分离方程及变量已分离方程?如何求解如何求解?C/P30

4、对于不是变量可分离方程对于不是变量可分离方程,如何寻找合适的变量变换化为如何寻找合适的变量变换化为变量可分离的方程变量可分离的方程. 这一般而言是困难的这一般而言是困难的!4第二章第二章 一阶微分方程的初等解法一阶微分方程的初等解法1.什么叫一阶微分方程初等解法什么叫一阶微分方程初等解法?C/P302.是否任何一阶微分方程都可用初等方法求解是否任何一阶微分方程都可用初等方法求解?C/P723.哪些类型的一阶微分方程可用初等方法求解哪些类型的一阶微分方程可用初等方法求解?C/PP70-714.什么是变量可分离方程及变量已分离方程什么是变量可分离方程及变量已分离方程?如何求解如何求解?C/P303

5、6-)PP34?( ) 1 (如何求解什么是齐次方程齐次方程? , 37,-PP36 )2(222111222111如何求解的方程或更一般地形式为cybxacybxafdxdycybxacybxadxdy74-PP72P43/2,3P38 )3(其其它它形形式式基本要求基本要求: :熟练掌握下列知识熟练掌握下列知识5第二章第二章 一阶微分方程的初等解法一阶微分方程的初等解法1.什么叫一阶微分方程初等解法什么叫一阶微分方程初等解法?C/P302.是否任何一阶微分方程都可用初等方法求解是否任何一阶微分方程都可用初等方法求解?C/P723.哪些类型的一阶微分方程可用初等方法求解哪些类型的一阶微分方程

6、可用初等方法求解?C/PP70-714.什么是变量可分离方程及变量已分离方程什么是变量可分离方程及变量已分离方程?如何求解如何求解?C/P305.什么是一阶线性微分方程与常数变易法什么是一阶线性微分方程与常数变易法?如何求解如何求解?C/PP44-456.什么是伯努利什么是伯努利(Bernoulli)微分方程微分方程?如何求解如何求解?C/P477.什么是恰当微分方程什么是恰当微分方程?如何判别一个给定的微分方程是否为如何判别一个给定的微分方程是否为恰当方程恰当方程判别准则判别准则?如何求解如何求解?C/PP51-538.什么是积分因子什么是积分因子?如何寻找积分因子如何寻找积分因子?找积分因

7、子的一找积分因子的一些常用准则些常用准则.困难困难!PP56-579.一阶隐式微分方程与参数表示及其解法一阶隐式微分方程与参数表示及其解法C/PP62-69及例子及例子.基本要求基本要求: :熟练掌握下列知识熟练掌握下列知识6C/PP70-72对于一阶微分方程对于一阶微分方程0) ,(yyxF的若干类型的初等解法，归纳起来就是：的若干类型的初等解法，归纳起来就是：),(yxfy 或或0),(),(dyyxNdxyxM 主要介绍了五种类型的方程（变量分离方程、齐次方主要介绍了五种类型的方程（变量分离方程、齐次方程、线性方程、程、线性方程、BernoulliBernoulli方程及恰当方程）的初等

8、解法方程及恰当方程）的初等解法. .要求熟练掌握这五种类型一阶微分方程的初等解法要求熟练掌握这五种类型一阶微分方程的初等解法. .但实际但实际上作为基础的只有变量分离方程与恰当方程，其他类型的上作为基础的只有变量分离方程与恰当方程，其他类型的方程可借助变量变换或积分因子化为这两种类型，这可简方程可借助变量变换或积分因子化为这两种类型，这可简略地用下图表示：略地用下图表示：解出，即方程取形式解出，即方程取形式就就若方程若方程 0) ,( 1yyyxF、7) 2 , 1( iyibxiauxyu/dxxPexcy)()()(1yyNxM 1dxxPneny)() 1(1dxxPe)(nyz1221

9、1baba0坐坐标标变变换换0),(yxfy 或或0),(),(dyyxNdxyxM8dydppyfpyfppy),(),(1或或dxdppxfpxfppx),(),(它们是导数已解出的微分方程它们是导数已解出的微分方程. . 如果用分离变量法或恰当方程法如果用分离变量法或恰当方程法求得通解为求得通解为0) ,(yyxF 0) ,( 2解解出出，即即方方程程可可化化为为或或就就若若方方程程xyyyxF、 , ) ,(yyfxyxfy或或 , 之间的一阶微分方程之间的一阶微分方程或或与与把问题化为求解关于把问题化为求解关于后后则令则令yxppy 0),(cpx0),(cpy或或则它的参数形式的通

10、解为：则它的参数形式的通解为：),(0),(pxfycpx),(0),(pyfxcpx或9引入参数引入参数t t, , 将方程表示为参数形式：将方程表示为参数形式：)()(tytx或或)()(tytycdttty)( )(或或cdtttx)()( 0) ,(yyxF , , 0) ,( 3但但方方程程的的形形式式为为 解解出出或或不不能能就就若若方方程程yxyyyxF、0) ,(yxF或或0) ,(yyF求求得得利利用用恒恒等等式式 , dxydy 于是，原方程的参数形式的通解为：于是，原方程的参数形式的通解为：cdtttytx)( )()(或或)()()( tycdtttx10几点补充说明几

11、点补充说明要要视视具具体体问问题题而而定定到到底底哪哪个个是是未未知知函函数数与与, . 2yx1.对于一个给定的一阶微分方程对于一个给定的一阶微分方程,首先会判断它是哪种类型首先会判断它是哪种类型?P72, ,P P4 46 6/ /例例2 24 42 2- -见见P PP P4 41 111命题命题C/P78/C/P78/证明见证明见程的初值问题程的初值问题积分方程对应于微分方积分方程对应于微分方 . 3 C/ ;P P4 49 9/ /1 1( (1 16 6) )见见C C/ /P P4 43 3/ /4 4. )( ,)(2)()( )( 00 xfdttfxdttftxxfxx试试

12、求求且且满满足足可可微微，设设例例如如. 2)0( ,yydxdy11几点补充说明几点补充说明要要视视具具体体问问题题而而定定到到底底哪哪个个是是未未知知函函数数与与, . 2yx1.对于一个给定的一阶微分方程对于一个给定的一阶微分方程,首先会判断它是哪种类型首先会判断它是哪种类型?P72, ,P P4 46 6/ /例例2 24 42 2- -见见P PP P4 41 1! 分方程的初值问题分方程的初值问题有时甚至是一个高阶微有时甚至是一个高阶微. )( )()( )( 00 xfdtxttfdttfxxfxx试试求求，且且满满足足可可微微，设设例例如如. 1)0( , 1)0( , 0yy

13、yy11命题命题C/P78/C/P78/证明见证明见程的初值问题程的初值问题积分方程对应于微分方积分方程对应于微分方 . 3 C/ ;P P4 49 9/ /1 1( (1 16 6) )见见C C/ /P P4 43 3/ /4 412几点补充说明几点补充说明要要视视具具体体问问题题而而定定到到底底哪哪个个是是未未知知函函数数与与, . 2yx1.对于一个给定的一阶微分方程对于一个给定的一阶微分方程,首先会判断它是哪种类型首先会判断它是哪种类型?P72:. 4其它难点其它难点型型换化为可求解的方程类换化为可求解的方程类会作一些简单的变量变会作一些简单的变量变) 1 (化化为为恰恰当当方方程程

14、会会求求一一些些特特殊殊积积分分因因子子)2(, ,P P4 46 6/ /例例2 24 42 2- -见见P PP P4 41 111命题命题C/P78/C/P78/证明见证明见程的初值问题程的初值问题积分方程对应于微分方积分方程对应于微分方 . 3 C/ ;P P4 49 9/ /1 1( (1 16 6) )见见C C/ /P P4 43 3/ /4 4! 分方程的初值问题分方程的初值问题有时甚至是一个高阶微有时甚至是一个高阶微13第三章第三章 一阶微分方程的解的存在定理一阶微分方程的解的存在定理1.掌握掌握Lipschitz条件的概念及其一个充分条件条件的概念及其一个充分条件2.会叙述

15、解的存在唯一性定理,了解其证明思路3.会求定理中解的存在区间4.理解微分方程初值问题与积分方程等价的含义理解微分方程初值问题与积分方程等价的含义5.会求逐次逼近解及逐次逼近解与精确解之间的误差估计见P87/例16.了解解的延拓性定理 、解对初值的连续性和可微性定理14第四章第四章 高阶微分方程高阶微分方程1. .掌握齐次线性微分方程与非齐次线性微分方程的解的叠加原理掌握齐次线性微分方程与非齐次线性微分方程的解的叠加原理2.掌握函数的线性相关性与线性无关性及其判别法掌握函数的线性相关性与线性无关性及其判别法:朗斯基行列式朗斯基行列式3.掌握齐次线性微分方程与非齐次线性微分方程的解的结构定理掌握齐

16、次线性微分方程与非齐次线性微分方程的解的结构定理;齐齐次线性微分方程的基本解组与标准基本解组次线性微分方程的基本解组与标准基本解组基本要求基本要求: :4.了解利用常数变易法求非齐次线性微分方程的一个特解5.熟练掌握求常系数齐次线性微分方程及欧拉方程的一个基本解组熟练掌握求常系数齐次线性微分方程及欧拉方程的一个基本解组及通解表达式的特征值方法及通解表达式的特征值方法6.熟练掌握求常系数非齐次线性微分方程熟练掌握求常系数非齐次线性微分方程(包括欧拉方程包括欧拉方程)当非齐次当非齐次项是两类特殊类型函数时的一个特解的比较系数法项是两类特殊类型函数时的一个特解的比较系数法(待定系数法待定系数法)及及

17、其它其它P165/2(15,18,19,20);37. 掌握利用降阶法求三类非线性高阶方程的解掌握利用降阶法求三类非线性高阶方程的解PP167-1738. 了解高阶方程的幂级数解法9. 会做一些简单的证明题会做一些简单的证明题C/P131/1;C/P132/5-7;C/P165/6-715第五章第五章 线性微分方程组线性微分方程组1. .掌握线性微分方程组的矩阵表示掌握线性微分方程组的矩阵表示( (包括矩阵函数的分析性质包括矩阵函数的分析性质););掌掌握高阶线性微分方程与一阶线性方程组等价的含义握高阶线性微分方程与一阶线性方程组等价的含义C/P194C/P194基本要求基本要求: :2.了解

18、矩阵函数的范数,矩阵函数列及矩阵函数项级数一致收敛性等概念,线性微分方程组初值问题的存在唯一性定理见见PP340-341 /本章学习要点本章学习要点;及其本章中定理的证明及其本章中定理的证明3.掌握齐次线性微分方程组与非齐次线性微分方程组解的叠加原理掌握齐次线性微分方程组与非齐次线性微分方程组解的叠加原理5.掌握齐次线性微分方程组与非齐次线性微分方程组的解的结构定掌握齐次线性微分方程组与非齐次线性微分方程组的解的结构定理理;齐次线性微分方程组的解矩阵齐次线性微分方程组的解矩阵,基解矩阵与标准基解矩阵的概念基解矩阵与标准基解矩阵的概念4.掌握向量函数组的线性相关性与线性无关性及其判别法掌握向量函数组的线性相关性与线性无关性及其判别法:朗斯基行朗斯基行列式列式6.了解利用常数变易法求非齐次线性微分方程组的一个特解(向量)7.熟练掌握求常系数齐线性方程组一个基解矩阵的特征值方法熟练掌握求常系数齐线性方程组一个基解矩阵的特征值方法8. 会求常系数非齐线性方程组一个特解及通解表达式会求常系数非齐线性方程组一个特解及通解表达式1616第六章第六章 非线性微分方程非线性微分方程( (组组) )1. .了解非线性方程(组)的存在唯一