空间向量与立体几何知识点归纳总结

1、空间向量与立体几何知识点归纳总结一.知识要点。1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。注：（1）向量一般用有向线段表示.同向等长的有向线段表示同一或相等的向量 （2）向量具有平移不变性2. 空间向量的运算。定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）MBgouOAMBgora运算律：加法交换律：abba加法结合律：（a b） c a （b c）数乘分配律：（a b） a b运算法则：三角形法则、平行四边形法则、平行六面体法则3. 共线向量。（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，a平行于b，记作

2、a / b。（2） 共线向量定理：空间任意两个向量a、b （ b工0 ）, a/b存在实数 入使a = 7b（3）三点共线：A、B、C三点共线<=>AB AC<=> OC xOA yOB（其中 x y 1）a（4）与a共线的单位向量为a4. 共面向量（1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。 说明：空间任意的两向量都是共面的。（2）共面向量定理：如果两个向量a,b不共线，p与向量a,b共面的条件是存在实数rrrx, y 使 r xa yb。（3）四点共面：若A、B、C、P四点共面v=>AP xAB yAC<=> OP xOA yOB5.

3、空间向量基本定理：如果三个向量a 个唯一的有序实数组x, y, z，使p x<azOC （其中x不共面，rzc。r c r b rb,Vy z 1）那么对空间任一向量 p，存在一r r rr r rr r r若三向量a,b,c不共面，我们把a,b,c叫做空间的一个基底，a,b,c叫做基向量， 空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。推论：设o,a,b,c是不共面的四点，则对空间任一点 p，都存在唯一的三个有序实数uuuuuuuuu uuurX, y, Z，使 OP xOA yOB zOC。6.空间向量的直角坐标系：(1)空间直角坐标系中的坐标：在空间直角坐标系O xyz中，对空

4、间任一点a，存在唯一的有序实数组(x, y,z)，使 OA xi yi zk，有序实数组(x, y, z)叫作向量A在空间直角坐标系O xyz中的坐标，记 作A(x, y,z)， x叫横坐标，y叫纵坐标，z叫竖坐标。注：点A(x,y,z)关于x轴的的对称点为(x,-y,-z),关于xoy平面的对称点为(x,y,-z). 即点关于什么轴/平面对称，什么坐标不变，其余的分坐标均相反。在y轴上的点设为(0,y,0),在平面yOz中的点设为(0,y,z)(2)若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1，这个基底叫单位正交基底，r r r用i,j,k表示。空间中任一向量a xi yj zk=(x,y

5、,z)(3)空间向量的直角坐标运算律：rrrr若 a，b(b,b2,b3)，则 ab佝 b1,a2b2,a3b?)，a b r r(印 ga? b2,a3 d)， a ( a1, a?, a3)(R)，a b r ra1b1a2b2a3b3，a/b r ra1"a? b2,a3 bs( R)，a baQ a2b2 a3b30。uuu 若 AdyiH)，BXz)，则 AB (x?捲必zj。一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起 点的坐标。 定比分点公式：若A(xi,yi,zi)， Bgz)，A PB，则点P坐标为为x2 y1y2 z1z2( , , )

6、。推导：设 P( x,y,z)则(x x!,y %,z 勒 区 x$2 g z),显然，当P为AB中点时，P(x1鱼,必'，互互)2 2 2 ABC中，A,三角形重心P坐标为乙 Z2 Z3 )2丿XiX2X3yiy2y3P( 32厶ABC勺五心:Z2Z3内心P：内切圆的圆心,角平分线的交点AP (AB AC)(单位向量)ABAC外心P:外接圆的圆心,中垂线的交点。垂心P：高的交点：PA PB PA PC重心|pa| |pb |pc(移项，内积为0，则垂直)1 - (AB AC)3PB PCP:中线的交点，三等分点(中位线比) AP中心：正三角形的所有心的合一。、 rr(4) 模长公式：

7、若 a 总耳),b (bi,b2,b3),则|a | a a 心2 a a?2 , |b| . b b 、g2 以2r rc“ I bra brqE a2b2 aA(5) 夹角公式：cos a bf r |a| |b| 屆2 2 2 .2 .2 | 2 °a2 S3 Xb1b2 b3 ABC中AB ? AC 0 <=>A为锐角AB? AC 0 <=>A为钝角，钝角 (6)两点间的距离公式：若 A(Xi, yi,Zi) , B(X2,y2,Z2),贝S | AB | AF ,(X2 xi)2 (y2 yi)2 (Z2 Z1)2 ,或 dA,B.(X2 Xi)2

8、(y2 yi)2 (Z2 乙)27.空间向量的数量积。(1 )空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量r Luu ra,_OB b ，贝y aob叫做向量a ，显然有a,b b,aa,b，在空间任取一点 O，作 rr ra与b的夹角，记作 a,b ；且规定a,b，显然有a,b b,a ；若a,b，则称a与b互相垂直，记作：a b2(2) 向量的模：设oa a,则有向线段oa的长度叫做向量a的长度或模，记作：|a|。rr(3) 向量的数量积：已知向量a,b，则| a | | b | cos a,b 叫做a,b的数量积，记rrr作a b，即 a b |a| |b| cos a,b空间向量数量积的性质

9、：r , rr re |a |cos a,e 。空间向量数量积运算律：r r r rra) b(a b) a ( b)。 a b b a (交换律)。uuuOA(4)a(5)(20。|a| a a。r r rr rr r a （b c）a b a c （分配律）。 不满足乘法结合率：（a b）c a（b c）二.空间向量与立体几何1线线平行两线的方向向量平行1- 1线面平行线的方向向量与面的法向量垂直1- 2面面平行两面的法向量平行2线线垂直（共面与异面）两线的方向向量垂直2- 1线面垂直线与面的法向量平行2- 2面面垂直两面的法向量垂直3线线夹角（共面与异面）0°,90°

10、两线的方向向量ni, n2的夹角或夹角的补角，-Pcos cos n1,n23- 1线面夹角0°,90°:求线面夹角的步骤：先求线的方向向量AP与面的法向量n的夹角，若为锐角角即可，若为钝角，贝S取其补角；再求其余角，即是线面的夹角.sin cos AP,n3- 2面面夹角（二面角）0°,180°:若两面的法向量一进一出，则二面角等于两法向量m,n2的夹角；法向量同进同出，则二面角等于法向量的夹角的补角.Pcos cos n, n2uuuPQ?n|4.点面距离h :求点P x°,y°至U平面 的距离：在平面 上去一点Q x,y，得向量

11、PQ .；计算平面的法向量n ;. h:转化为点面距离4- 1线面距离（线面平行）:转化为点面距离4- 2面面距离（面面平行）【典型例题】1. 基本运算与基本知识（）例1.已知平行六面体ABCD ABCD，化简下列向量表达式，标出化简结果的向量UULT uuuumr UULT UULT（1）AB BC ;（2） AB AD AA ;uur uuir 1 uuuu1 uuu uuu uult AB AD -CC ；（AB AD AA）。23例2.对空间任一点0和不共线的三点 uuu uuuuuuuuurOP xOA yOB zOC （其中 x y zA, B,C，问满足向量式：1 ）的四点P,A

12、, B,C是否共面?例 3 已知空间三点 A（0，2, 3），B （-2, 1, 6）, C （1,- 1, 5） 求以向量AB, Ac为一组邻边的平行四边形的面积 S;uiu uuur若向量a分别与向量AB,AC垂直，且 向=、.3，求向量a的坐标。2.基底法（如何找，转化为基底运算）3.坐标法（如何建立空间直角坐标系，找坐标）如图，在空间四边形 OABC中，OA 8, AB 6, AC 4 , BC 5, OAC 45o,4.几何法例4.例 5.长方体 ABCD A1B1C1D1 中，AB 交点，又AF BE，求长方体的高BB1。135o易错写成OOA, Ac 45o，切记!BC 4 ,

13、E为A®与BD的交点，F为BG与B的【模拟试题】1.已知空间四边形ABCD，连结AC,BD ,设M,G分别是BC,CD的中点，化简下列各表达 式，并标出化简结果向量：（1）AB BC C背；u 1 uuu uuu(2) AB (BD BC)；2uuir 1 uuu UULT(3) AG (AB AC)。22. 已知平行四边形ABCD，从平面AC外一点0引向量UUL UULULJU UUU ULUTULUT ULUT UUTOE kOAOF kOB,OG kOC,OH kOD。（1）求证：四点E,F,G,H共面；（2）平面AC /平面EG。 13.如图正方体ABCD ABC©

14、中，述1 %'求BE1与DF1所成角的余弦。D： F5.已知平行六面体ABCD ABCD中，AB 4, AD 3, AA 5, BAD 90°，BAA DAA 60 0，求 AC 的长。参考答案1.解：如图,(1)uuu ABUULT UULT UULT BC CD ACUUlUCDuuur AD(2)uuu1 UJIU (BD2 uuuuUJIUuuu1 UULT BC21 UJTBD2ABBC)ABUUJuuuuUULTABBMMGAG ；(3)uuur1 uuu (ABuuuruuuruuuuuuuuAGAC)AGAMMG。O2.解：UULT / EGUULT k OC

15、 uuu k(OB JUU EF E,F,G, H(2)解： EF /AB, EG/ AC。所以，平面AC/平面EG。3.)证明:UULT UULT(1)OG OE ,uuuk OA k(OC uuuOAUJITEHuurABCD是平行四边形，.uuurACuuuABuuir AD ,uuurODuuu OA)uuuOA) uuu OFuuu uuuruuurkAC k(AB AD) uuuOEuuuu uuurOH OE共面;uuu/ EFUULT OFuuuOEuuu UUUUUUUJIUk(OB OA) k AB，又T EGuultk AC ,解：不妨设正方体棱长为3 巳（1,打）,41

16、UUUT-,1） , DF1 4则 B(1,1,0),uuur二 BE1(0,1,建立空间直角坐标系1F1（0,：,1）,4D(0,0,0),1（。才1），UULUBE1uuuuDF1uuuu uuurBE1 DF1UUUU UJUU cos BE1, DF1.17V，1 1(4 4)4415J6 17 A715。16O八uuu4.分析：Q AB15。17ujur2, 1,3),AC(1,3,2),cos BACuuu uurAB AC-uuuutur|AB|AC| / BAC = 60设a =T uura AC x 3y 2z 0,| a |(X, y,JUU UJTS | AB| AC |sin60° rT UUU z),则 a ABV3X2解得 x = y = z= 1 或 x = y = z= UJUU 2 U