二项式定理复习课精品教育doc

1、二项式定理复习课樊加虎一.教案描述教学设想：精心设计例题，用二节课的时间对二项式定理进行复习。除理 清基本概念外，着重训练定理运用中的七个层次，使学生的数学知识和数学 思想都得到训练。1、会正用.即套用公式，这一层次的思维量较小，但对理解和巩固定理是完全 必要的，例题安排上由浅入深，复习方法上以提问或学生练习为主，要做 到正确、熟练。例1、求X2 (2 3x)6的展开式中含X5的项.解：x2C；23(3x)3 =4320x5例2、求(1 -2x)5 (13x)4展开式中前三项之和.解：计算时注意每个因式的展开式只须取前三项即可。5422(1-2x) (1 3x) =1 -5 2x 10 (_2

2、x) - 1 4 3x 6 (3x)=(1 -10x 40x2 - )(1 12x 54x2 J =1 2x -26x2仁展开式前三项之和为1，2x-26x2.例3、求(2x2 -3x 1)8展开式中x项.解：若将(2x2 -3x - 1)8化为(2x-1)8(x-1)8来确定展开式中x项，解法不甚合理，注意到2x2与x项无关，可转化为求(-3x T)8展开式中x项，即C；(-3x)=-24x，解法较捷。本题较灵活，有助于提高学生转化能力。2、会反用.逆向思维的训练能加深对定理的理解，培养观察能力，但学生往往 不习惯，例题和习题可逐步加深。例 4、求值(1)4n d4nC；4n2 C：'

3、;4 T ；(2) 1 _2C： +22c：+(_2)ncn .解：原式即为(41)n的展开式，.原式=5n.(2)注意符号问题，原式=(12)n =(一忙例 5、设函数 f (x) =1 5x-10x2 10x5x4 x5.求 f(x)的反函数 f'(x).解：如果f (x)的表达式中第一项1改为-1，则为(1 x)5的展开式.f(X)=(一1 x)52.易得 f J(x) =15 x -2 (x R)3、会变用.不少问题需要将数式变形后，再运用二项式定理。这一层次要求学 生有一定的分析能力，复习中应引导学生观察数式特征，进行合理变形。例6、求(x2 2-2)3展开式中的常数项.x解

4、：一般有两种变形方法，其一变形为(X2，厶)-？3，其二变形为(X-)6.后xx者较简，其常数项即为第四项T4=-c3=-20.例7、设 1-xx2 -x3亠亠 x16-x17=a0a1(x1)a2(x1)亠 a17 (x1)17,求a2.解：为了比较系数，将左式变形为1 -(x 1) -1 (x T) -12 " -(x T)-117.再展开之，展开式中(x 1)2项的系数即为a2，a2C CC1； =C；8 =816.4、会设项.这是二项式定理中常用的待定系数法，学生应熟练掌握。例8、(、一2 3 3)100的展开式中含有多少个有理项？100 -r r解：Tr.1=C：00 2

5、2 33,耍使其为有理数，即 =n，- = m (n, m为非负整23得 r =2(50 - n)，且 r=3m. /. r 是 6 的倍数，可取 r=0 , 6 , 12,，96 共 17 个.1 1例9、设(3x3 - x2)n展开式的各项系数之和为t，其二项式系数之和为h，若 t272，试求展开式中x2项的系数.解：此题应先定 n，令 x =1，得t =4二而 h =2n. 4n 2n = 272.得2n =16，1 1.n =4. .1 二C；(3x3)4(xY 由丄=2得 r=4. x2项系数为32C：3° =15、会取值.二项式定理提供了从一般到特殊的思维方法训练的好教材

6、，应抓住 机遇进行这一基本思维方法的训练.例10、求(x 2y)(2x y)2(x - y)3展开式中各项系数的和.解：设原式=aox6 a1x5y - a?x4 y2 aey6.令 x = 1, y = 1，得 a0 - a1 a2 丁-_a6 = 216 .在熟知基本题的基础上，可适当选择些灵活性的例题例11、求(153x-y)15展开式中所有无理系数之和.解：考虑到展开式中无理系数为多，可以从反面求有理系数着手。有理系数项为：(153x)15 =3x15，(-y)15 二-y15.'.有理系数之和为 3 (-1)=2.令x = y =1，得展开式各项系数之和为(153 -1)15

7、.展开式中所有无理系数之和 为(153 -1)15 -2.例 12、设(1 x x2) a0 aw ，a2nX2n.求a0 a2，a4 a2n 的值.解：令 x -1，得 a0 a1 a2 ，a2n - 3 .令 x = -1，得a。-a1 a? -a?n =1.3n +1两式相加得 a。 a2 a4 a2n二一 一.2在取值过程中，要培养学生观察能力例 13、设(1 2x)100 = ao - ai(x -1)a2(x -1)2 aioo(x.求 a1 a3 a5,£99 的值解：令 x = 2，得 ao a1 a? g7'a1oo 二 5100.令 x = 0，得a a1

8、 a2：；a1oo = 1 .两式相减，得a1a 亠a9910056、会构造.关于组合恒等式的证明，通常需要构造一个恒等式，比较其二项展 开式的系数而得。这一层次要求有较强的观察分析能力，是个难点，例题 和习题不宜太难，讲解中应慢慢引导，启发学生思维。例14、证明下列各式(1) 1 3C： 9C： 飞“七穿 3nC： =4n.(2) (C：)2 (C：)2 (C：)2 (C；)2 二C；n.证：构造二项展开式(a - b)C°an C：anb C：an'b2 C；bn.令a =1, b =3得(13)； -1 C； 3 C；32 ：；川"C： 3；即 1 -3C；

9、9C23nJCrnJ -3；C； =4；.构造恒等式(1 x)； (1 - x)； =(1 x)2n.两边含x；项的系数相等，即Cn C： W - Cn C；- C； clc； CT 二 C；，0 乞 m ； (C°)2 (C；)2 (C；2)- - (C；)；二 C；.7、会综合 在复习中还应注意与其它数学知识的横向联系，尤其与数列、不等 式和三角的综合运用，这一层次的思维更具有广阔性。例15、若实数x，y满足x1，求证：x5 y51> 16证：令X-1比,1y 二一：,则22x5y5 厂（丄亠:°5(丄-)5 =15241> 2216 216例16、已知等差

10、数列an及等比数列bn中，印ab2，且这两个数列都是递增的正项数列，求证：当n 2时，an < bn证：设 a1 = 0 = a，a2b2 =b,则 an =a (n 1)(b a).b n_ia+b a n_ib a n_i1 b a 2 b a 2bn 二a() a( 厂 二a(1)=a1 C. C)aaaaa出川(一)nJ1a1 (n -1) = a (n -1)(b -a)二 anaa利用二项式定理证明不等式，采用“对称法”（例 15）及“减项放缩法”（例 16 ）较为普遍二教案评析通过以上七个层次的复习，学生一般都能掌握二项式定理解题的常用方 法。数学思想和方法也得到一次系统的训练，分析和综合能力有所提高，收到 了复习的实效。二项式定理是高中数学中较为独特的一部分，教材中只简单地讲述定理的 推导、性质及应用。如果没有认真分析教材，复习课往往容易产生简单化倾 向，仅仅要求学生熟记公式、会代公式而言。其实，二项式定理内容虽不多， 但分散于教材及习