台体的表面积与体积

1、1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积和体积一、填空一、填空n(1)矩形面积公式： _。n(2)三角形面积公式：_。 n 正三角形面积公式：_。n(3)圆面积面积公式：_。n(4)圆周长公式： _。n(5)扇形面积公式： _。n(6)梯形面积公式： _abS ahS21243aS2rS2CrrlS21hbaS)(21 在初中已经学过正方体和长方体的表面积，你知道正在初中已经学过正方体和长方体的表面积，你知道正方体和长方体的展开图的面积与其表面积的关系吗？方体和长方体的展开图的面积与其表面积的关系吗？几何体表面积几何体表面积展开图展开图平面图形面积平面图形面积多面体的平面展开图多面体的平面展开图多

2、面体是由一些平面多边形围成的几何体，沿多面体是由一些平面多边形围成的几何体，沿着多面体的某些棱将它剪开，各个面就可展开着多面体的某些棱将它剪开，各个面就可展开在一个平面内，得到一个平面图形在一个平面内，得到一个平面图形,这个平面图这个平面图形叫做该多面体的平面展开图形叫做该多面体的平面展开图. 棱柱、棱锥、棱台棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何体，都是由多个平面图形围成的几何体，它们的展开图是什么？它们的展开图是什么？如何计算它们的表面积？如何计算它们的表面积？正六棱柱的侧面展开图是什么？如何计算它的表正六棱柱的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？面积？正棱柱的侧面展开图正棱柱的侧

3、面展开图ha正五棱锥的侧面展开图是什么？如何计算它的表正五棱锥的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？面积？侧面展开正棱锥的侧面展开图正棱锥的侧面展开图正四棱台的侧面展开图是什么？如何计算它的表正四棱台的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？面积？侧面展开hh正棱台的侧面展开图正棱台的侧面展开图 棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何体，它们的侧面展开图还是平面图形，计算它们的体，它们的侧面展开图还是平面图形，计算它们的表面表面积就是计算它的各个侧面面积和底面面积之和积就是计算它的各个侧面面积和底面面积之和h 例例1 已知棱长为已知棱长为a，各

4、面均为等边三，各面均为等边三角形的四面体角形的四面体S-ABC，求它的表面积，求它的表面积 D 分析：四面体的展开图是由四个全等的正三角形分析：四面体的展开图是由四个全等的正三角形组成组成,因此只要求因此只要求.因为因为SB=a，aSBSD2360sin所以：所以： 243232121aaaSDBCSABC因此，四面体因此，四面体S-ABC 的表面积的表面积交交BC于点于点D解：先求解：先求 的面积，过点的面积，过点S作作SBCBCSD BCASa223434aa 【练习】1(北京)某四棱锥的三视图如图 所 示，该四棱锥的表面积是( )BOOr)(2222lrrrlrS圆柱表面积lr2圆柱的侧

5、面展开图是矩形圆柱的侧面展开图是矩形圆锥的侧面展开图是扇形圆锥的侧面展开图是扇形)(2lrrrlrS圆锥表面积r2lOr 参照圆柱和圆锥的侧面展开图，试想象圆台的侧参照圆柱和圆锥的侧面展开图，试想象圆台的侧面展开图是什么面展开图是什么 )(22rllrrrS圆台表面积r2lOrO r2 r圆台的侧面展开图是扇环圆台的侧面展开图是扇环lOrO rlOrlOOr)(2lrrS柱)(lrrS锥)(22rllrrrS台 圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间有什么圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间有什么关系？这种关系是巧合还是存在必然联系？关系？这种关系是巧合还是存在必然联系？rrr0问题：圆柱、圆锥

6、、圆台的侧面积分别和矩形、三角形、梯形的面积有什问题：圆柱、圆锥、圆台的侧面积分别和矩形、三角形、梯形的面积有什么相似的地方？么相似的地方？空间体侧面展开图空间体侧面展开图空间体的侧面积面积平面图形面积平面图形面积矩 形三角形梯形rllrS22侧rllrS221侧1(2 2)2( )Srr lrrl侧hbaS)(21abS ahS21四、圆柱、圆锥、圆台表面积四、圆柱、圆锥、圆台表面积侧面展开图侧面展开图侧面积侧面积表面积表面积rllrS22侧rllrS221侧)(2lrrS)(lrrS1(2 2)2( )Srrlrrl侧)(22rllrrrS 例例2 2 如图，一个圆台形花盆盆口直径如图，一

7、个圆台形花盆盆口直径20 cm20 cm，盆，盆底直径为底直径为15cm15cm，底部渗水圆孔直径为，底部渗水圆孔直径为1.5 cm1.5 cm，盆壁长，盆壁长15cm15cm那么花盆的表面积约是多少平方厘米（那么花盆的表面积约是多少平方厘米（ 取取3.143.14，结果精确到，结果精确到1 1 ）？）？2cmcm15cm20cm15 解：由圆台的表面积公式得解：由圆台的表面积公式得 花盆的表面积：花盆的表面积：2225 . 11522015215215S)(9992cm答：花盆的表面积约是答：花盆的表面积约是999 999 2cm柱体、锥体、台体的表面积柱体、锥体、台体的表面积各面面积之和各

8、面面积之和rr0 r展开图展开图)(22rllrrrS 圆台圆台圆柱圆柱)(2lrrS)(lrrS圆锥圆锥柱体、锥体、台体的柱体、锥体、台体的体积体积 以前学过特殊的棱柱以前学过特殊的棱柱正方体、长方体以及圆柱正方体、长方体以及圆柱的体积公式的体积公式, ,它们的体积公式可以统一为：它们的体积公式可以统一为：ShV （S为底面面积，为底面面积，h为高）为高）一般棱柱体积也是：一般棱柱体积也是：ShV 其中其中S为底面面积，为底面面积，h为棱柱的高为棱柱的高圆锥的体积公式：圆锥的体积公式：ShV31（其中（其中S为底面面积，为底面面积，h为高）为高）圆锥体积等于同底等高的圆柱的体积的圆锥体积等于

9、同底等高的圆柱的体积的 31探究棱锥与同底等高的棱柱体积之间的关系探究棱锥与同底等高的棱柱体积之间的关系三棱锥与同底等高的三棱柱的关系三棱锥与同底等高的三棱柱的关系ShV31（其中（其中S为底面面积，为底面面积，h为高）为高） 经过探究得知，棱锥也是同底等高的棱柱体积经过探究得知，棱锥也是同底等高的棱柱体积的的 即棱锥的体积：即棱锥的体积：31 由于圆台由于圆台( (棱台棱台) )是由圆锥是由圆锥( (棱棱锥锥) )截成的，因此可以利用两个锥截成的，因此可以利用两个锥体的体积差得到圆台体的体积差得到圆台( (棱台棱台) )的的体积公式体积公式( (过程略过程略) )根据台体的特征，如何求台体的

10、体积？根据台体的特征，如何求台体的体积？ABABCDCDPSShDCBAPABCDPVVVhSSSS)(31棱台（圆台）的体积公式棱台（圆台）的体积公式hSSSSV)(31 其中其中 ， 分别为上、下底面面积，分别为上、下底面面积，h为圆台为圆台（棱台）的高（棱台）的高SS柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么关系？柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么关系？hSSSSV)(31S为底面面积，为底面面积，h为柱体高为柱体高ShV 0SS分别为上、下分别为上、下底面底面面积，面积，h 为台体高为台体高ShV31SS S为底面面积，为底面面积，h为锥体高为锥体高上底扩大上底扩大上底缩小上底缩小6156 例例3 有一堆规格相同的铁制（铁的密度是有一堆规格相同的铁制（铁的密度是 ）六角螺帽共重）六角螺帽共重5.8kg，已知底面是正六边，已知底面是正六边形，边长为形，边长为12mm，内孔直径为，内孔直径为10mm，高为，高为10mm，问这堆螺帽大约有多少个（问这堆螺帽大约有多少个（ 取取3.14）？）？3/8 . 7cmg 解：六角螺帽的体积是六棱解：六角螺帽的体积是六棱柱的体积与圆柱体积之差，即柱的体积与圆柱体积之差，即: :10)210(14. 3106124322V)(29563mm)(956. 23cm所以螺帽的个数为所以螺帽的个数为252)956. 28 . 7(10008 . 5（