平面向量强化训练经典题型含详细答案

1、.一选择题（共30小题）1（2011）已知向量=（1，k），=（2，2），且+与共线，那么的值为（）A1B2C3D42（2011）若为单位向量，且=0，则的最大值为（）A1B1CD23（2011）若向量=（1，2），=（1，1），则2+与的夹角等于（）ABCD4（2011）已知向量=（x+z，3），=（2，yz），且，若x，y满足不等式|x|+|y|1，则z的取值范围为（）A2，2B2，3C3，2D3，35（2011）已知向量a=（1，2），b=（1，0），c=（3，4）若为实数，（a+b）c），则=（）ABC1D26（2011番禺区）如图，已知=，=，=3，用，表示，则等于（）A+B+C+D

2、+7（2011番禺区）已知A（3，6）、B（5，2）、C（6，9），则A分的比等于（）ABCD8（2010）已知向量a，b满足ab=0，|a|=1，|b|=2，则|2ab|=（）A0BC4D89（2010天津）如图，在ABC中，ADAB，BCsinB=，则=（）ABCD10（2010）若向量=（1，1），=（2，5），=（3，x）满足条件（8）=30，则x=（）A6B5C4D311（2010）若向量=（x，3）（xR），则“x=4”是“|a|=5”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件12（2010）若非零向量a，b满足|a|=|b|，（2a+b）b=0，则

3、a与b的夹角为（）A30°B60C120°D150°13（2010）在RtABC中，C=90°，AC=4，则等于（）A16B8C8D1614（2010）（安徽卷理3文3）设向量，则下列结论中正确的是（）ABC与垂直D15（2009）已知向量=（1，2），=（2，3）若向量满足（+），（+），则=（）A（，）B（，）C（，）D（，）16（2009）已知双曲线的左、右焦点分别是F1、F2，其一条渐近线方程为y=x，点在双曲线上、则=（）A12B2C0D417（2009）在ABC中，M是BC的中点，AM=1，点P在AM上且满足学，则等于（）ABCD18（200

4、9）设p是ABC所在平面内的一点，则（）ABCD19（2008）已知a，b，c为ABC的三个内角A，B，C的对边，向量m=（，1），n=（cosA，sinA）若mn，且cosB+bcosA=csinC，则角A，B的大小分别为（）A，B，C，D，20（2008）已知四边形ABCD的三个顶点A（0，2），B（1，2），C（3，1），且，则顶点D的坐标为（）ABC（3，2）D（1，3）21（2008）在ABC中，AB=3，AC=2，BC=，则=（）ABCD22（2008）已知平面向量=（1，3），=（4，2），与垂直，则是（）A1B1C2D223（2008）已知平面向量=（1，2），=（2，m），且

5、，则=（）A（5，10）B（4，8）C（3，6）D（2，4）24（2007）若向量a与b不共线，ab0，且，则向量a与c的夹角为（）A0BCD25（2007）连掷两次骰子得到的点数分别为m和n，记向量与向量的夹角为，则的概率是（）ABCD26（2007）已知O是ABC所在平面内一点，D为BC边中点，且，那么（）ABCD27（2006）已知非零向量与满足（+）=0，且=，则ABC为（）A等腰非等边三角形B等边三角形C三边均不相等的三角形D直角三角形28（2006）ABC的三内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c设向量，若，则角C的大小为（）ABCD29（2006）已知，且关于x的方程有实根，则

6、与的夹角的取值范围是（）ABCD30（2006）如图所示，D是ABC的边AB的中点，则向量=（）ABCD答案与评分标准一选择题（共30小题）1（2011）已知向量=（1，k），=（2，2），且+与共线，那么的值为（）A1B2C3D4考点：平面向量数量积的运算。专题：计算题。分析：利用向量的运算法则求出两个向量的和；利用向量共线的充要条件列出方程求出k；利用向量的数量积公式求出值解答：解：=（3，k+2）共线k+2=3k解得k=1=（1，1）=1×2+1×2=4故选D点评：本题考查向量的运算法则、考查向量共线的充要条件、考查向量的数量积公式2（2011）若为单位向量，且=0，

7、则的最大值为（）A1B1CD2考点：平面向量数量积的运算；向量的模。专题：计算题；整体思想。分析：根据及为单位向量，可以得到，要求的最大值，只需求的最大值即可，然后根据数量积的运算法则展开即可求得解答：解：，即+0，又为单位向量，且=0，而=3232=1的最大值为1故选B点评：此题是个中档题考查平面向量数量积的运算和模的计算问题，特别注意有关模的问题一般采取平方进行解决，考查学生灵活应用知识分析、解决问题的能力3（2011）若向量=（1，2），=（1，1），则2+与的夹角等于（）ABCD考点：数量积表示两个向量的夹角。分析：由已知中向量=（1，2），=（1，1），我们可以计算出2+与的坐标，代

8、入向量夹角公式即可得到答案解答：解：=（1，2），=（1，1），2+=（3，3）=（0，3）则（2+）（）=9|2|=，|=3cos=故选C点评：本题考查的知识点是数量积表示两个向量的夹角，其中利用公式，是利用向量求夹角的最常用的方法，一定要熟练掌握4（2011）已知向量=（x+z，3），=（2，yz），且，若x，y满足不等式|x|+|y|1，则z的取值范围为（）A2，2B2，3C3，2D3，3考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系；简单线性规划的应用。专题：数形结合。分析：根据平面向量的垂直的坐标运算法则，我们易根据已知中的=（x+z，3），=（2，yz），构造出一个关于x，y，z的方程，即

9、关于Z的目标函数，画了约束条件|x|+|y|1对应的平面区域，并求出各个角点的坐标，代入即可求出目标函数的最值，进而给出z的取值范围解答：解：=（x+z，3），=（2，yz），又（x+z）×2+3×（yz）=2x+3yz=0，即z=2x+3y满足不等式|x|+|y|1的平面区域如下图所示：由图可知当x=0，y=1时，z取最大值3，当x=0，y=1时，z取最小值3，故z的取值范围为3，3故选D点评：本题考查的知识点是数量积判断两个平面向量的垂直关系，简单线性规划的应用，其中利用平面向量的垂直的坐标运算法则，求出目标函数的解析式是解答本题的关键5（2011）已知向量a=（1，2

10、），b=（1，0），c=（3，4）若为实数，（a+b）c），则=（）ABC1D2考点：平面向量共线（平行）的坐标表示。专题：计算题。分析：根据所给的两个向量的坐标，写出要用的+向量的坐标，根据两个向量平行，写出两个向量平行的坐标表示形式，得到关于的方程，解方程即可解答：解：向量=（1，2），=（1，0），=（3，4）=（1+，2）（+），4（1+）6=0，故选B点评：本题考查两个向量平行的坐标表示，考查两个向量坐标形式的加减数乘运算，考查方程思想的应用，是一个基础题6（2011番禺区）如图，已知=，=，=3，用，表示，则等于（）A+B+C+D+考点：向量加减混合运算及其几何意义。专题：计算题。

11、分析：根据向量加法的三角形法则可得要求只需求出即可而根据题中条件=3可得故只需利用向量的减法求出即可得解解答：解析：=，=根据向量减法的定义可得=3=根据向量加法的三角形法则可得=+=故选B点评：本题主要考察向量的加法，减法的三角形法则，属基础题，较易解题的关键是利用条件=3得出这一结论！7（2011番禺区）已知A（3，6）、B（5，2）、C（6，9），则A分的比等于（）ABCD考点：线段的定比分点。专题：计算题。分析：可先求=（8，8），=（3，3）根据与与共线同向，可求=解答：解：A（3，6）、B（5，2）、C（6，9），=（8，8），=（3，3）与与共线同向，=故选C点评：本题主要考查了

12、向量点分线段所成比的求解，解题的关键是根据向量的 共线定理，属于基础试题8（2010）已知向量a，b满足ab=0，|a|=1，|b|=2，则|2ab|=（）A0BC4D8考点：向量的模。专题：计算题。分析：利用题中条件，把所求|2|平方再开方即可解答：解：=0，|=1，|=2，|2|=2故选B点评：本题考查向量模的求法，考查计算能力，是基础题9（2010天津）如图，在ABC中，ADAB，BCsinB=，则=（）ABCD考点：平面向量数量积的运算。分析：本题主要考查平面向量的基本运算与解三角形的基础知识，属于难题从要求的结论入手，用公式写出数量积，根据正弦定理变未知为已知，代入数值，得到结果，本

13、题的难点在于正弦定理的应用解答：解：=故选D点评：把向量同解三角形结合的问题，均属于中等题或难题，应加强平面向量的基本运算的训练，尤其是与三角形综合的问题10（2010）若向量=（1，1），=（2，5），=（3，x）满足条件（8）=30，则x=（）A6B5C4D3考点：平面向量数量积的运算。专题：计算题。分析：根据所给的向量的坐标，写出要用的8的坐标，根据它与的数量积是30，利用坐标形式写出两个向量的数量积，得到关于x的方程，解方程即可解答：解：向量=（1，1），=（2，5），x=4故选C点评：向量的坐标运算帮助认识向量的代数特性向量的坐标表示，实现了“形”与“数”的互相转化以向量为工具，几何

14、问题可以代数化，向量是数形结合的最完美体现11（2010）若向量=（x，3）（xR），则“x=4”是“|a|=5”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件考点：向量的模。分析：当x=4时能够推出|a|=5成立，反之不成立，所以是充分不必要条件解答：解：由x=4得=（4，3），所以|=5成立反之，由|=5可得x=±4 所以x=4不一定成立故选A点评：本题考查平面向量和常用逻辑用语等基础知识12（2010）若非零向量a，b满足|a|=|b|，（2a+b）b=0，则a与b的夹角为（）A30°B60C120°D150°考点：数量

15、积表示两个向量的夹角。专题：计算题。分析：由+3与75垂直，4与72垂直，我们不难得到（+3）（75）=0（4）（72）=0，构造方程组，我们易得到2=2=2，再结合cos=，我们求出与的夹角解答：解：2+与垂直（2+）=2+2=0即|2=2又|=|=2又由cos=易得：cos=则=120°故选C点评：若为与的夹角，则cos=，这是利用向量求角的唯一方法，要求大家熟练掌握13（2010）在RtABC中，C=90°，AC=4，则等于（）A16B8C8D16考点：平面向量数量积的运算；向量的加法及其几何意义。专题：计算题。分析：本题是一个求向量的数量积的问题，解题的主要依据是直

16、角三角形中的垂直关系和一条边的长度，解题过程中有一个技巧性很强的地方，就是把变化为两个向量的和，再进行数量积的运算解答：解：C=90°，=0，=（）=42=16故选D点评：启发学生在理解数量积的运算特点的基础上，逐步把握数量积的运算律，引导学生注意数量积性质的相关问题的特点，以熟练地应用数量积的性质14（2010）（安徽卷理3文3）设向量，则下列结论中正确的是（）ABC与垂直D考点：向量的模；数量积判断两个平面向量的垂直关系。专题：计算题。分析：本题考查的知识点是向量的模，及用数量积判断两个平面向量的垂直关系，由，我们易求出向量的模，结合平面向量的数量坐标运算，对四个答案逐一进行判断

17、，即可得到答案解答：解：，=1，=，故不正确，即A错误=，故B错误；=（，），（）=0，与垂直，故C正确；，易得不成立，故D错误故选C点评：判断两个向量的关系（平行或垂直）或是已知两个向量的关系求未知参数的值，要熟练掌握向量平行（共线）及垂直的坐标运算法则，即“两个向量若平行，交叉相乘差为0，两个向量若垂直，对应相乘和为0”15（2009）已知向量=（1，2），=（2，3）若向量满足（+），（+），则=（）A（，）B（，）C（，）D（，）考点：平行向量与共线向量；数量积判断两个平面向量的垂直关系。专题：计算题。分析：设出要求的向量的坐标，根据向量之间的平行和垂直关系，写出两个关于x，y的方程，

18、组成方程组，解方程组得到变量的值，即求出了向量的坐标解答：解：设=（x，y），则+=（x+1，y+2），+=（3，1）（+），（+），2（y+2）=3（x+1），3xy=0x=，y=，故选D点评：本题考查向量平行和垂直的充要条件，认识向量的代数特性向量的坐标表示，实现了形与数的互相转化以向量为工具，几何问题可以代数化，代数问题可以几何化16（2009）已知双曲线的左、右焦点分别是F1、F2，其一条渐近线方程为y=x，点在双曲线上、则=（）A12B2C0D4考点：平面向量数量积的运算；双曲线的简单性质。专题：计算题。分析：由双曲线的渐近线方程，不难给出a，b的关系，代入即可求出双曲线的标准方程，

19、进而可以求出F1、F2，及P点坐标，求出向量坐标后代入向量内积公式即可求解解答：解：由渐近线方程为y=x知双曲线是等轴双曲线，双曲线方程是x2y2=2，于是两焦点坐标分别是F1（2，0）和F2（2，0），且或、不妨令，则，=故选C点评：本题考查的知识点是双曲线的简单性质和平面向量的数量积运算，处理的关键是熟练掌握双曲线的性质（顶点、焦点、渐近线、实轴、虚轴等与 a，b，c的关系），求出满足条件的向量的坐标后，再转化为平面向量的数量积运算17（2009）在ABC中，M是BC的中点，AM=1，点P在AM上且满足学，则等于（）ABCD考点：向量的共线定理；平面向量数量积的运算。专题：计算题。分析：由

20、M是BC的中点，知AM是BC边上的中线，又由点P在AM上且满足可得：P是三角形ABC的重心，根据重心的性质，即可求解解答：解：M是BC的中点，知AM是BC边上的中线，又由点P在AM上且满足P是三角形ABC的重心=又AM=1=故选A点评：判断P点是否是三角形的重心有如下几种办法：定义：三条中线的交点性质：或取得最小值坐标法：P点坐标是三个顶点坐标的平均数18（2009）设p是ABC所在平面内的一点，则（）ABCD考点：向量的加法及其几何意义；向量的三角形法则。专题：计算题。分析：根据所给的关于向量的等式，把等式右边二倍的向量拆开，一个移项一个和左边移来的向量进行向量的加减运算，变形整理，得到与选

21、项中一致的形式，得到结果解答：解：，故选B点评：本题考查了向量的加法运算和平行四边形法则，可以借助图形解答向量是数形结合的典型例子，向量的加减运算是用向量解决问题的基础，要学好向量的加减运算19（2008）已知a，b，c为ABC的三个内角A，B，C的对边，向量m=（，1），n=（cosA，sinA）若mn，且cosB+bcosA=csinC，则角A，B的大小分别为（）A，B，C，D，考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系；三角函数的积化和差公式。专题：计算题。分析：根据向量数量积判断向量的垂直的方法，可得cosAsinA=0，分析可得A，再根据正弦定理可得，sinAcosB+sinBcosA=

22、sin2C，有和差公式化简可得，sinC=sin2C，可得C，再根据三角形内角和定理可得B，进而可得答案解答：解：根据题意，可得=0，即cosAsinA=0，A=，又由正弦定理可得，sinAcosB+sinBcosA=sin2C，sinAcosB+sinBcosA=sin（A+B）=sinC=sin2C，C=，B=故选C点评：本题考查向量数量积的应用，判断向量的垂直，解题时，注意向量的正确表示方法20（2008）已知四边形ABCD的三个顶点A（0，2），B（1，2），C（3，1），且，则顶点D的坐标为（）ABC（3，2）D（1，3）考点：平面向量坐标表示的应用。分析：本小题主要考查平面向量的基

23、本知识，先设出点的坐标，根据所给的点的坐标，写出向量的坐标，根据向量的数乘关系，得到向量坐标之间的关系，由横标和纵标分别相等，得到结果解答：解：设顶点D的坐标为（x，y），且，故选A点评：向量首尾相连，构成封闭图形，则四个向量的和是零向量，用题目给出的三个点的坐标，再设出要求的坐标，写出首尾相连的四个向量的坐标，让四个向量相加结果是零向量，解出设的坐标21（2008）在ABC中，AB=3，AC=2，BC=，则=（）ABCD考点：平面向量数量积的含义与物理意义。分析：在三角形中以两边为向量，求两向量的数量积，夹角不知，所以要先用余弦定理求三角形一个内角的余弦，再用数量积的定义来求出结果解答：解：

24、由余弦定理得cosA=，故选D点评：由已知条件产生数量积的关键是构造数量积，因为数量积的定义式中含有边、角两种关系，所以本题能考虑到需要先求向量夹角的余弦值，有时数量积用坐标形式来表达22（2008）已知平面向量=（1，3），=（4，2），与垂直，则是（）A1B1C2D2考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系。专题：计算题。分析：由于，所以，即（+4）3（32）=0，整理得=1解答：解：，即（+4）332）=0，整理得10+10=0，=1，故选A点评：高考考点：简单的向量运算及向量垂直；易错点：运算出错；全品备考提示：高考中每年均有相当一部分基础题，要想得到高分，这些习题均不能大意，要争取多得

25、分，最好得满分23（2008）已知平面向量=（1，2），=（2，m），且，则=（）A（5，10）B（4，8）C（3，6）D（2，4）考点：平面向量坐标表示的应用。分析：向量平行的充要条件的应用一种做法是根据平行求出向量的坐标，然后用向量线性运算得到结果；另一种做法是针对选择题的特殊做法，即排除法解答：解：排除法：横坐标为2+（6）=4，故选B点评：认识向量的代数特性向量的坐标表示，实现了“形”与“数”的互相转化以向量为工具，几何问题可以代数化，代数问题可以几何化24（2007）若向量a与b不共线，ab0，且，则向量a与c的夹角为（）A0BCD考点：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角。分析：求两

26、个向量的夹角有它本身的公式，条件中表现形式有点繁琐，我们可以试着先求一下要求夹角的向量的数量积，求数量积的过程有点出乎意料，一下就求出结果，数量积为零，两向量垂直，不用再做就得到结果，有些题目同学们看着不敢动手做，实际上，我们试一下，它表现得很有规律解答：解：=0向量a与c垂直，故选D点评：用一组向量来表示一个向量，是以后解题过程中常见到的，向量的加减运算是用向量解决问题的基础，本题使用两个不共线的向量来表示第三个向量，这样解题时运算有点麻烦，但是我们应该会的25（2007）连掷两次骰子得到的点数分别为m和n，记向量与向量的夹角为，则的概率是（）ABCD考点：数量积表示两个向量的夹角；等可能事

27、件的概率。专题：计算题。分析：由题意知本题是一个古典概型，根据分步计数原理可以得到试验发生包含的所有事件数，满足条件的事件数要通过列举得到，题目大部分内容考查的是向量的问题，这是一个综合题解答：解：由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的所有事件数6×6，m0，n0，=（m，n）与=（1，1）不可能同向夹角0（0，】0，mn0，即mn当m=6时，n=6，5，4，3，2，1；当m=5时，n=5，4，3，2，1；当m=4时，n=4，3，2，1；当m=3时，n=3，2，1；当m=2时，n=2，1；当m=1时，n=1满足条件的事件数6+5+4+3+2+1概率P=故选C点评：向量知识，向量观点在数学物理等学科的很多分支有着广泛的应用，而它具有代数形式和几何形式的“双重身份”能融数形于一体，能与中学数学教学内容的许多主干知识综合，形成知识交汇点26（2007）已知O是ABC所在平面内一点，D为BC边中点，且，那么（）ABCD考点：零向量；三角形五心。专题：计算题。分析：先根据所给的式子进行移项，再由