高等数学12数列的极限ppt课件

1、目录 上页 下页 返回 结束 第一章 二二 、收敛数列的性质、收敛数列的性质 三三 、极限存在准则、极限存在准则 一、数列极限的定义一、数列极限的定义 数列的极限数列的极限目录 上页 下页 返回 结束 r数学语言描述:引例引例. 设有半径为 r 的圆,nA逼近圆面积 S .n如下图 , 可知nAnnnrcossin2),5,4, 3(n当 n 无限增大时, nA无限逼近 S . ,0,N正整数当 n N 时, SAn用其内接正 n 边形的面积总有刘徽 目录 上页 下页 返回 结束 自变量取正整数的函数称为数列,记作)(nfxn或.nxnx称为通项(一般项) .若数列nx及常数 a 有下列关系

2、:,0,N正数当 n N 时, 总有记作此时也称数列收敛 , 否则称数列发散 .几何解释 :aaa)(axan)(Nn 即),(aUxn)(Nn axnnlim或)(naxn1Nx2Nxaxn则称该数列nx的极限为 a ,目录 上页 下页 返回 结束 ,1,43,32,21nn1nnxn)(1n,) 1(,43,34,21,21nnnnnxnn1) 1()(1n,2,8,4,2nnnx2)(n,) 1( ,1,1,11n1) 1(nnx趋势不定收 敛发 散目录 上页 下页 返回 结束 ,) 1(nnxnn证明数列nx的极限为1. 证证: 1nx1) 1(nnnn1,0欲使,1nx即,1n只要1

3、n因而 , 取, 1N则当Nn 时, 就有1) 1(nnn故1) 1(limlimnnxnnnn目录 上页 下页 返回 结束 ,) 1() 1(2nxnn证明.0limnnx证证:0nx0) 1() 1(2nn2) 1(1n11n, ) 1 ,0(欲使,0nx只要,11n即n取, 11N则当Nn 时, 就有,0nx故0) 1() 1(limlim2nxnnnn,0111nnnx故也可取1N也可由2) 1(10nnx. 11N 与 有关, 但不唯一.不一定取最小的 N .说明说明: 取11N目录 上页 下页 返回 结束 ,1q证明等比数列,112nqqq证证:0nx01nq, ) 1 ,0(欲使

4、,0nx只要,1nq即,lnln) 1(qn亦即因而 , 取qNlnln1, 则当 n N 时, 就有01nq故0lim1nnq.lnln1qn的极限为0 .1nq目录 上页 下页 返回 结束 23baab22abnabax证证: 用反证法用反证法.axnnlim及,limbxnn且. ba 取2,b a因,limaxnn故存在 N1 , ,2abnax从而2banx同理, 因,limbxnn故存在 N2 , 使当 n N2 时, 有2banx1. 收敛数列的极限唯一收敛数列的极限唯一.使当 n N1 时, 2ba2ab2ab假设22abnabbxnbax223ab,2abnbx从而2banx

5、矛盾,因此收敛数列的极限必唯一.则当 n N 时, ,max21NNN 取故假设不真 !nx满足的不等式目录 上页 下页 返回 结束 ),2, 1() 1(1nxnn是发散的. 证证: 用反证法用反证法.假设数列收敛 , 则有唯一极限 a 存在 .取,21则存在 N ,2121axan但因nx交替取值 1 与1 , ),(2121aa内,而此二数不可能同时落在21a21aa长度为 1 的开区间 使当 n N 时, 有因此该数列发散 .nx目录 上页 下页 返回 结束 证证: 设设,limaxnn取,1,N那么当Nn 时, 从而有nxaaxna1取 ,max21NxxxMa1则有. ),2,1(

6、nMxn由此证明收敛数列必有界.说明说明: 此性质反过来不一定成立此性质反过来不一定成立.例如,1)1(n虽有界但不收敛 .aaxn)(, 1axn有数列目录 上页 下页 返回 结束 假设,limaxnn且, 0a,NN则,时当Nn 有0nx)0()0(证证: 对 a 0 , 取,2a,NN则,时当Nn axn2anx02aaax2a2a推论推论: 若数列从某项起, 0nx,limaxnn且0a则)0(. )0(用反证法证明)O目录 上页 下页 返回 结束 *,axkn证证: 设数列设数列knx是数列nx的任一子数列 .假设,limaxnn那么,0,N当 Nn 时, 有axn现取正整数 K ,

7、 使,NnK于是当Kk 时, 有knKnN从而有由此证明 .limaxknk*NKnNxKnx目录 上页 下页 返回 结束 由此性质可知 , 若数列有两个子数列收敛于不同的极限 ,例如， ),2, 1() 1(1nxnn; 1lim12kkx1lim2kkx发散 !夹逼准则; 单调有界准则; *柯西审敛准则 .则原数列一定发散 .说明说明: 目录 上页 下页 返回 结束 azynnnnlimlim)2(),2, 1() 1 (nzxynnnaxnnlim证证: 由条件 (2) ,0,1N当1Nn 时,ayn当2Nn 时,azn令,max21NNN 则当Nn 时, 有,ayan,azan由条件

8、(1)nnnzxya a即,axn故 .limaxnn,2N目录 上页 下页 返回 结束 11211lim222nnnnnn证证: 利用夹逼准则利用夹逼准则 .1211222nnnnn22nnn22nn且lim22nnnnnn11lim1lim22nnn211limnn1nnlim1211222nnnn1由目录 上页 下页 返回 结束 Mxxxxnn121mxxxxnn121)(limMaxnn)(limmbxnnnx1nxM1x2xxmnx1nx1x2xx( 证明略 )ab目录 上页 下页 返回 结束 , ),2, 1()1 (1nxnnn证明数列nx极限存在 . (P53P54)证证: 利

9、用二项式公式利用二项式公式 , 有有nnnx)1 (11nn 1! 121!2) 1(nnn31!3)2)(1(nnnnnnnnnnn1!) 1() 1(11) 1(1!1nn) 1(2n) 1(1nn)1(1!21n)1(1!31n)1(2n目录 上页 下页 返回 结束 11nx) 1(1!1nn) 1(2n) 1(1nn)1(1!21n)1(1!31n)1(2n111nx)1(11!21n)1)(1(1211!31nn)1()1)(1(11211! ) 1(1nnnnn大大 大大 正正),2, 1(1nxxnn11)1 (1nnnx!21!31!1n又比较可知目录 上页 下页 返回 结束

10、nx记此极限为 e ,e)1 (lim1nnn e 为无理数 , 其值为590457182818284. 2e 即有极限 .11)1 (1nnnx!21!31!1n1121221121n又32121111n1213n内容小结 目录 上页 下页 返回 结束 数列nx极限存在的充要条件是:,0存在正整数 N ,使当NnNm,时,mnxx证证: “必要性必要性”.设,limaxnn那么,0NnNm,时, 有 使当,2axn2axm因而mnxx)()(axaxmnaxnaxm“充分性” 证明从略 .,N有柯西 目录 上页 下页 返回 结束 1. 数列极限的 “ N ” 定义及应用2. 收敛数列的性质:

11、唯一性 ; 有界性 ; 保号性;任一子数列收敛于同一极限3. 极限存在准则:夹逼准则 ; 单调有界准则 ; *柯西准则目录 上页 下页 返回 结束 1. 如何判断极限不存在?方法1. 找一个趋于的子数列;方法2. 找两个收敛于不同极限的子数列.2. 知),2, 1(21,111nxxxnn, 求nnxlim时, 下述作法是否正确? 说明理由.设,limaxnn由递推式两边取极限得aa211a不对不对!此处nnxlim目录 上页 下页 返回 结束 P30 1, *3 (2) , *4 P56 4 (1) , (3)4 (3) 提示:222nx12nx可用数学归纳法证 2nx第三节 目录 上页 下页 返回 结束 故极限存在，1.1.设设 )(211nnnxaxx),2,1(n,0a,01x, 且求.limnnx解：解：设Axnnlim则由递推公式有)(21AaAAaA)(211nnnxaxxnxnxaannxx1)1(212nxa)1(21aa1数列单调递减有下界，,01x故axnnlim利用极限存在准则,0nx目录 上页 下页 返回 结束 , ),2