数值分析21向量和矩阵的范数

1、一、向量的范数一、向量的范数第第2 2章章 解线性方程组的直接法解线性方程组的直接法 向量和矩阵的范数向量和矩阵的范数 二、矩阵的范数二、矩阵的范数三、小结三、小结 一、向量的范数一、向量的范数1. 1. 向量范数的定义向量范数的定义设对任意向量设对任意向量 xRxRn n，按一定的规则有一实，按一定的规则有一实数与之对应，记为数与之对应，记为xx，若，若xx满足满足)(00; 0) 1正定性；时才有当且仅当xxx)( ;,|)2齐齐次次性性Rxx )(,)3三三角角不不等等式式Syxyxyx 则称则称xx为向量的范数为向量的范数在在R Rn n上的向量上的向量x =(xx =(x1 1, ,

2、x,xn n) )T TRRn n，三种常，三种常用的范数为：用的范数为：inixx 1max称为称为范数范数或或最大范数最大范数称为称为1 1范数范数21122)( niixx称为称为2 2范数范数 niixx11|pnipipxx11)( 称为称为p p范数范数2. 2. 常用的向量范数常用的向量范数举例：举例：计算向量计算向量 x=(1, -2, 3)T的各种范数的各种范数.解：解：6|11 niixx14)(21122 niixx3max1 inixx容易验证容易验证 的的3种范数之间有如下关系：种范数之间有如下关系：nR21221XXn XXXn XXXn X下面验证第下面验证第2式

3、式设设12( ,)TnXx xx，则，则2212222221221max,max,nnniiXxxxxxxxX于是有于是有2XX，又，又2222221221max,niniXxnxxxn X即有即有2Xn X，故有，故有2XXn X3. 3. 向量范数的性质向量范数的性质定义：定义：如果如果Rn中有两个范数中有两个范数 |x|s 与与 |x|t ，存，存 在常数在常数m, M0，使对任意，使对任意n维向量维向量x，有，有stsxMxxm 则称这两个范数等价则称这两个范数等价.性质：性质：对两种等价范数而言，某向量序列在对两种等价范数而言，某向量序列在 其中一种范数意义下收敛时，则在另其中一种范

4、数意义下收敛时，则在另 一种范数意义下也收敛。一种范数意义下也收敛。定理：定理：Rn上的任意两个范数等价上的任意两个范数等价.注：注：今后研究向量序列的收敛性时，可在任今后研究向量序列的收敛性时，可在任 何一种范数意义下研究。何一种范数意义下研究。二、矩阵的范数二、矩阵的范数1. 1. 矩阵范数的定义矩阵范数的定义设对任意矩阵设对任意矩阵 ARnn，按一定的规则有一，按一定的规则有一实数与之对应，记为实数与之对应，记为AA，若，若AA满足满足)(000)1正正定定性性；时时才才有有当当且且仅仅当当 AAA)( ;,|)2齐齐次次性性RcAccA )( ,)3三三角角不不等等式式BABA 则称则

5、称AA为矩阵的范数为矩阵的范数)(,)4相相容容性性BAAB 在在Rnn上的矩阵上的矩阵A A=(=(a aijij),),常用的范数有：常用的范数有： njijniaA11max称为称为范数范数或或行范数行范数称为称为1 1范数范数或或列范数列范数max2()TAA A称为称为2 2范数范数 niijnjaA111|max2. 2. 常用的矩阵范数常用的矩阵范数(其中其中max(ATA)表示表示ATA的最大特征值的最大特征值)122,1()nijFi jAa称为称为FrobenniusFrobennius范数范数举例：举例： 4321A计算计算A的各种范数的各种范数.解：解：743 , 21maxmax11 njijniaA642 ,31max|max111 niijnjaA122,1()129165.477nijFi jAa下面计算下面计算2-范数范数max2()TAA A 20141410432142