概率论练习册.

1、第一章概率论的基本概念§ 1.1 -1.2一、选择题1以A表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件 A为()A、甲种产品滞销，乙种产品畅销B、甲乙两种产品均畅销C、甲种产品滞销D、甲种产品滞销或乙种产品畅销2设必然事件“34,y 呛其中r(i =123,4,5,6)是基本事件，事件A二 1，2 3厂5, B 2/4, C =，1，2厂3，则下列选项正确的是()A、A 二 B B、B =AC、A-C 与 B-C 互斥D、A-C 与 B 逆二、填空题1 同时掷两颗骰子，记录两颗骰子的电数之和， 则样本空间工2上题中，设事件 A表示“点数之和为偶数”，事件B表示“点数之和大于

2、7”事 件C表示“点数之和为小于 5的偶数”，则A 一 B =A - B =,AB =, A B、.C =。三、设事件A、B、C分别表示某运动员参加的三个项目，用A、B、C的运算关系表示下列事件：(1 )该运动员只参加 A项目，不参加B、C项目；(2)该运动员参加 A、B两项目，不参加 C项目；(3 )该运动员参加全部三个项目；(4 )该运动员三个项目都不参加；(5 )该运动员仅参加一项；(6) 该运动员至少参加一项；(7) 该运动员至多参加一项；该运动员至少参加两项.1§ 1.3、从5双不同的鞋中任取 4只，求其中恰有一双配对以及其中至少有两只配对的概、将n只球随机地放入 N(N

3、_n)个盒子中去，试求每个盒子最多有一只球的概率.1二、随机的向由Ocy<1,x V-所围成的正方形内掷一点，点落在该正方形内任何23区域的概率与区域面积成正比，求原点与该点的连线与x轴的夹角小于 一二的概率.4四、将三个球随机地放入 4个杯子中去，求杯子中球的最多个数分别为 1,2,3的概率.2§ 1.4一、填空题1 .已知 P(A) =0.2,P(B) =0.5,P(AB) =0.08,则 P(A B)二, P(B A) =2 .一批产品有100个，次品率为10%，连续两次从中任取一个(不放回)，则第二次才取得正品的概率为 。10个签中有4个难签，3人抽签考试，甲先乙次丙最

4、后，求(1) 甲、乙、丙各抽到难签的概率；2) 甲、乙都抽到难签的概率；3) 甲没抽到难签而乙抽到难签的概率；4) 甲、乙、丙同时抽到难签的概率.三、设甲袋中装有编号为 1,2,3，15的15个红球，乙袋中装的编号为1,2,3，10的10个白球，现任意从一个袋中任取一个球，(1) 求取到的球的号码是奇数的概率；已知取到的球的号码是奇数，求它是红球的概率3五、某通信系统的发射端以 0.6 和 0.4 的概率发出 0 和 1 两种信号。由于信道有干扰，当 发出信号 0时，接收端以 0.8和 0.2的概率收到信号 0和1；当发出信号 1，接收端以 0.9 和 0.1 的概率收到信号 1 和 0 ，求

5、（1）收到信号 1 的概率；（2）当收到信号 1时，发射端确是发出 1 的概率六、两台车床加工同一种零件，第一台车床加工后的废品率为0.03，第二台车床加工后的废品率为 0.02，若两台车床加工的零件放在一起，且已知第一台车床加工的零件比第 二台车床加工的零件多一倍，求从这批零件中任取一只零件是合格品的概率4§ 1.5一、填空题1 .若 A,B 相互独立，P(A) =0.2,P(B) =0.45 ,则 P(B A)二, P(A 一 B)二P(AB) =, P(AB) =。2. 若 A,B 相互独立，且 P(A) =0.4,P(A 一 B) =0.7，贝U P(B)二。803 一射手对

6、同一目标进行四次独立，若至少命中一次的概率为80，则该射手的命中率81为.二、为了防止意外，在矿内设有两种报警系统A与B，每种系统单独使用时，其有效的概率分别是系统 A为0.92，系统B为0.93，在系统A失灵的条件下，系统 B有效的概率为0.85，求:(1) 发生意外时，这两个报警系统至少有一个有效的概率；(2) 在系统B失灵的条件下，系统A有效的概率.三、加工某一零件共需经过四道工序，设第一、二、三、四道工序的次品率分别为0.02,0.03, 0.05, 0.03，假设各道工序是互不影响的，求加工出来的零件的次品率.5四、设 P(A) J ,P(B) J ,32(1) 若 A,B 互不相容

7、，求 P(Ab), P(AB), P(A B)；(2) 若 A,B 独立，求 P(A 一 B), P(AB);(3) 若 A B，求 P(AB),P(AB).六、A、B、C三人在同一办公室工作，房间里有三部电话，据统计知，打给A B、C的电话的概率分别是 2 - 1 他们三人常因工作外出，A、B C三人外出的概率分别是5 5 51 1 1 .设三人的行动相互独立，求244(1) 无人接电话的概率；(2) 被呼叫人在办公室的概率.若某一时间段打进三个电话，求(3) 这三个电话打给同一个人的概率；(4) 这三个电话打给不同的人的概率；这3个电话打给B，而B不在的概率.6第二章随机变量及其分布

8、67; 2.1-2.2一、填空题k151、设随机变量 X的分布律是PX =k (k =1,2,3,4)，贝y P X =。102 2k2设随机变量X的分布律是PX=k二(k =0,1,2,)， .0，为常数，则a二。K !13523已知随机变量 X只能取-1,0,1,2这四个值，其相应的概率依次为丄，丄，2,上，则2C 4C 8C 16CC 二。4设5个产品中有3个正品2个次品，如果每次从中任取1个进行测试，测试后不放回，直到把2个次品都取出来为止。用X表示需要进行的测试次数，则PX 2：PX =5 =。5. 若 PX _x2 =1 - -,PX _为 =1 -:，其中为：x2，则 P% _X

9、 _x2 = 。6. 颗均匀骰子重复掷 10次，用X表示3出现的次数，则X服从参数为的分布，X的分布律为。7 一电话交换台每分钟接到呼叫次数XP(4)，则每分钟恰好有8次呼叫的概率为 ,每分钟呼唤次数大于 8的概率为 。&一实习生用一台机器接连独立的制造了3个相同的零件，第i(i =1,2,3)个零件是不合格品的概率为P二丄(i =1,2,3)，以X表示3个零件中合格品的个数，则PX =2=。i +1二、 车从某校到火车站途中，要经过3个设有红绿灯的十字路口，假设在各路口遇到红灯是相互独立的，并且概率都是 1 ,3(1) 若以X表示途中遇到红灯的次数，求X的分布律(2) 若以Y表示汽车

10、从学校出发首次遇到红灯前已通过的路口数，求Y的分布律求从学校出发到火车站途中至少遇到一次红灯的概率7三、一台设备由三大部件构成，在设备运转中各部件需要调整的概率分别为 0.10,0.20 和0.30, 设各部件的状态相互独立 , 以 X 表示同时需要调整的部件数 , 求 X 的分布律 .四、某种产品的次品率为 0.1, 检验员每天独立检验 6 次, 每次有放回的取 10件产品进行检 验若发现这10件产品中有次品，就去调整设备，设 X为一天中调整设备的次数，求X的概 率分布 .五、某车间有 20 台同型号的机床， 每台机床开动的概率为 0.8，若机床是否开动相互独立， 每台机床开动时需要耗电 1

11、5个单位，求该车间消耗电能不少于 270个单位的概率。8§ 2.3一、填空题1随机变量X的分布函数F(x)是事件的概率。2. 用随机变量X的分布函数F(x)表示下述概率, PX =a 口Pk >a=，cX Wx2 L。3. 设F(x)是离散型随机变量 X的分布函数，若PX b二，则Pa ： X :：: b二F(b) -F(a)成立。二、设袋中有标号分为-1, 1, 1, 1 , 2, 2的六个球，先从中任取一球，求得球的标号 X的 分布律和分布函数，并作出分布函数的图形。三、已知离散型随机变量 X的概率分布为 PX =1 =0.2,PX =2 =0.3,PX =3 =0.5，试

12、 写出X的分布函数F(x)，并给出其图形。9§ 2.42.5-、选择题1 设f(x)二sinx ,要使f(x)为某随机变量X的概率密度函数，则X的可能取值的区间为()A 33江A 二,一二B.二,2 二C.0,二D.0,2 2 22.设连续型随机变量的概率密度函数，分布函数分别为f (x)和F(x)，则下列选项中正确的是()A. 0 岂 f(x) 口B.PX=xF(x)C. PX =x =F(x) D. PX=x = f(x)3 .某电子元件的寿命 X (单位：小时)的概率密度函数为i 0f(x)二 1000则装有5个这种电子元件的系统在使用的前率是()XE1000x 1000150

13、0小时内正好有2个元件需要更换的概10#A. 1B.40C.80D3243243.填空题1 .设随机变量 KU1,6，贝U K的概率密度函数是 2. 设随机变量 XN1,4，且P収 a =0.5，则a =3. 如果函数f(x)二Ae (-： ：:x：:；)是某随机变量的概率密度函数，则A=4. 设XU0,1，则Y =X2在(0,1)内的概率密度函数为 5. 设 X N(£,2)，则 丫 =X _3 。V26. 已知 X N(2,22)，且 Y =aX b N(0,1)，则 a 二, b =三、设连续型随机变量X的概率密度函数为x 0 兰X £1Xz-fkfXO#求(1) X

14、的分布函数F(x);P_1 CX兰丄211四、设电池寿命（单位：h） X是一个随机变量，且XN（300,352）（1）求电池寿命在 250h以上的概率； 求数a，使得电池寿命在区间（300 _a,300 - a）内的概率不小于 0.9.五、设某公共汽车站从早上5： 00起，每5分钟一辆汽车通过，乘客在 6： 00到6: 05到达车站是等可能的，求乘客候车时间不超2分钟的概率。六、设随机变量X的分布密度为X2-1/2 024P 1/81/4 1/8 1/6 1/3求（1）Y =X +2 ；（2）Y=X+1;（3）Y=X2 的分布密度。12第三章多维随机变量及其分布§ 3.1、设随机变量

15、(X,Y)的概率密度为f(x, y)x _0,y _0,其他.(1) 求常数k ；(2) 求分布函数；求 P(0 : X <1,0 :丫乞2).、设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f (x, y)二c(1 x2)(1 y2)求(1)常数C; P0 : X -1,0 : Y -1; 分布函数F(x,y).三、已知随机变量(X,Y)的联合分布函数为1F (x, y)2(arctanx：愿)(arctany爲庶)，-：:x, y ：兀求联合概率密度f (x,y).§ 3.2、设(X,Y)的分布律为012345000.010.030.050.070.0910.010.020.040.

16、050.060.0820.010.030.050.050.050.0630.010.020.040.060.060.05求X,Y的边缘分布律;(2) X =3条件下,Y的条件分布律；(3) Y =1条件下，X的条件分布 律。15、设随机变量 X和Y有联合概率密度f(x,y)=6,x2 _y _x,其他.16#求边缘概率密度。二、已知X的概率函数为PX二k =（0.3）k（0.7）1丄（k =0,1）,且在X = 0及X =1的条 件下关于Y的条件分布如下表所示，求：（1）二元随机变量（X,Y）的联合分布律；（2）关于Y的边缘分布律（3）在Y - 3的条件下 X的条件分布律。Y123PYX =C

17、124777PYX =111236#§ 3.4其中二 1 2(x2 y2 x2y21)、设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)二-:x ：,-： ： y ：,试确定 X ,Y 是否独立。、已知(X,Y)的分布律为( x，y)(U)(1,2)(1,3)(21)(22)(2318、设X,Y是相互独立的随机变量，各在(0,1)上服从均匀分布，求X Y的概率密度。二、设X,Y是相互独立的随机变量，分别服从二项分布B(n),p), B(n2,p)(注意p公共)，求Z =X Y的概率密度。三、设随机变量 X,Y分别服从 r和，2为参数的泊松分布，且X,Y是相互独立的，求Z二X Y的分布

18、。18第四章 随机变量的数字特征§ 4.1、设随机变量试求之。X的分布律为PX =(_=(i =1,2，),E(X)是否存在。若存在, i2二、一批零件中有九件合格品与三件废品，从这批零件中任取一件，如果取出的废品不再 放回，求在取得合格品之前已取出的废品数X的数学期望。三、对球的直径在近似测量，其值XUa,b，求球体积的数学期望。19§ 4.2、设有4个盒子，第一个盒中装有 5个红球1个黑球，第二个盒子中装有 4个红球2个 黑球，第三个盒子中装有 2个红球3个黑球，第四个盒子中装有1个红球4个黑球.现 任取一盒，从中任取 3个球，以X表示取得红球个数，求 E(X ), D

19、(X).二、若X和Y独立，证明D(XY)二D(X)D(Y) E(X)2D(Y) E(Y)2D(X)20§ 4.2一、判断题设(X,Y)是二元随机变量，则 cov(X,Y)=0是1. X,Y相互对立的充分非必要条件。()2. X,Y相互对立的必要非充分条件。()3. D(X YD(X) D(Y)成立的充分非必要条件()4. D(X YD(X) D(Y)成立的充分必要条件()、假设随机变量 Y服从参数，=1的指数分布，随机变量若Y Ek 若Y k(k =1,2)求(1) (XX2)的联合分布;(2) Cov(Xi,X2);(3) ?Xi,X2 .设二维随机变量(X,Y)的分布律为Y .R

20、jX0100.10.310.20.4求 E(X), E(Y),D(X),D(Y),cov( X,Y),廟。21第五章 大数定律和中心极限定理§ 5.1-5.2一、填空题1. 随 机变量 X 的E(X)-,D(X) -；2,用契 比雪夫 不等式 估计：P X -：k； 。2. 随机变量 X 的E(X) =100,D(X) =10,用契比雪夫不等式估计：P80 : X ：120 。_3. 伯努利大数定律表明事件发生的频率依概率收敛于事件的 。4. 切比雪夫大数定律表明随机变量 X的算术平均值依概率收敛于 。505. 设Xj(i =1,2，,50)是相互独立的随机变量， 且都服从泊松分布

21、二(0.03)，令Z二' Xi ,i A 则用中心极限定理计算PZ .3 (保留两位小数).二、 一台设备由10个独立工作的元件组成，每一个元件在时间T发生故障的概率为0.05，设在时间T发生故障的元件数为随机变量X，试估计X和它的数学期望的偏差小于2的概率.、设P X -E(X)| .； _0.9，且D(X) =0.009试用契比雪夫不等式估计；的最小值是多少？23四、某保险公司多年的统计资料表明，在索赔户中被盗索赔户占20%，以X表示在随意抽查的100个索赔户中因被盗向保险公司索赔的户数，求被索赔户不少于14户，且不多于30户的概率近似值.五、某餐厅每天接待 400名顾客，设每位顾

22、客的消费额(元)服从 20,100上的均匀分布, 顾客的消费额是相互独立，门(1.65) =0.95，试求：(1) 该餐厅的日平均营业额；(2) 日营业额与平均营业额的差距不超过760元的概率.第六章数理统计的基本概念§ 6.1-6.2一、选择题1. 设总体X : N(2,42),X1，X2，,Xn为X的样本，则下面结果正确的是()X -2X 2X 2X 2A.N(0,1) B.N(0,1) C.N(0,1) D.=N(0,1)4 1624 .n2 .设总体X服从正态分布N(,；2)，其中已知，二2未知，(X1,X2,X3)是从总体抽 取的一个简单随机样本，则下列表达式中不是统计量的

23、是()3 X2A. X1 X2 X3 B. min XX2,X3 C.2 d . X121 n3. X服从正态分布且 E(X) - -1,D(X) =4,则X二丄 Xi服从的分布为()n y.3411 3A. N(-1-)B . N(-1-)C . N(-,4)D . N(-,)nnnn n二、填空题1 设随机变量 X和Y相互独立且都服从N(0,42)，而XjX?,，和Yf,Y2,，丫16分别是16来自总体X和丫的样本，则统计量服从分布，参数为26X -44 102 2 设X : N(4,4 ),X为10个样本的均值，则3 在总体服从N(J4)分布，Xi,X2,，Xn是来自该总体的样本，若要求

24、D(X)乞0.1,则样本容量n至少为三、从一批机器零件毛坯中随机抽取8件，测得其重量(单位：kg)为:230, 243 , 185, 240, 228, 196, 246, 200(1 )写出总体，样本，样本值，样本容量(2)求样本的均值，方差及二阶原点矩(到小数第二位)四、在总体N(52,6.32)中随机抽取一容量为36的样本，求样本均值 X落在50.8 : 53.8之间的概率.#五、设Xi,X2, ,X5,X6； X 是来自正态总体 N(0,二2)，且容量为11的样本，求下列统 计量的抽样分布：(1)1 11 f Xi2 ；1,?VTT5 Ji2(3)115、Xi2 i=6第七章参数估计&

25、#167; 7.1一、选择题1. 为总体X的未知参数，二的估计量是彳，则有()(A)彳是一个数，近似等于二；(B)彳是一个随机变量；A(C) ?是一个统计量且 E(R-v；(D)当n越大，彳的值可任意靠近 2. 设总体X服从参数为'的指数分布，则'的矩估计和极大似然估计分别为().(A)矩估计 ？=X,极大似然估计 ？=X; (B)矩估计？=1,极大似然估计 ？=X;x(C)矩估计？=4,极大似然估计？=4；(D)矩估计？=x,极大似然估计？=4.xxx二、填空题1设总体X服从均匀分布UO,d,取容量为6的样本值：1.3,1.7,0.6,2.2, 0.3,1.1则日的矩估计为

26、;极大似然估计为 。2.设X1,X2，Xn是来自总体 X的样本，E(X)=亠，D(X) =72,总体均值的无 偏估计为 ，总体方差CT 2的无偏估计为 。二、对某一距离进行五次独立测量，得到下面的结果(单位:米) 2781 ,2836 ,2807 ,2763 ,2858 .已知测量仪器没有系统误差，试用矩法估计这一距离的真值和方差三、设总体XE( ),概率密度函数为f(x) = ,x 一0,x ： 0(1)求的矩估计(2)求'的极大似然估计四、设总体 X服从均匀分布U0 ,刃，取容量为6的样本值：1.3 ,1.7 ,0.6 ,2.2 ,0.3 ,1.1求门的矩估计§ 7.2一

27、、设弓及出是二的两个独立的无偏估计量，假定D(t) =2。(去).求常数G及C2,使- Ci 1 - 02为二的无偏估计，并使D()达到最小。2二、设Xi , X2，Xn是来自总体X的样本值,又设E(X) = I, D(X)Y，求总体均 值J，总体方差二2的无偏估计.29§ 7.47.5、填空题1设正态总体 N(，0.92)的一个容量为9的样本均值x=5,则参数的置信度为0.95 的置信区间为 。2 22.设正态总体N(A,<! ), 未知，则卩的置信度1的置信区间的长度 L=.二、已知某地幼儿的身高服从正态分布，现从该地一幼儿园的大班抽查了9名幼儿，测得身高(单位：cm)分别

28、为115, 120, 131, 115, 109, 115, 115, 105, 110. 设大班幼儿身高总体的 标准差=7cm.在二=0.05下，求总体均值的置信区间.三、为了估计产品使用寿命的均值和标准差二,测试了 10件产品，求得X=1500,S=20 若已知产品使用寿命服从正态分布N(),匚2),求出和二2的置信度为0.95的置信区间.四、从大批电子管中随机抽取100只,抽取的电子管的平均寿命为1000小时,可以认为电子管寿命服从正态分布.已知均方差卞-40小时，以置信度0.95求出整批电子管平均寿命 的置信区间。五、两位化验员 A、B独立对某种聚合物含氯量用相同的方法各作10次测定其

29、测定值的样本方差分别为 S； = 0.5419, S； = 0.6065.设二：，二B分别为A、B所测定值总_ 2体的方差，并设总体服从正态分布.求方差比弓的置信度为0.95的置信区间。%六、设从两个正态总体N（丄！，二2） , N （亠2，二2）中分别取容量为10和12的样本，两样本相互独立，经计算得乂 =20 , y =24 ,又两样本的标准差 $ =5, S2 =6 ,求亠-* 2置信 度0.95的置信区间。31第八章假设检验§ 8.1-8.2一、填空题1 本章主要介绍了两类假设检验，一类是 假设检验；另一类是 假设检。2 P拒绝Ho Ho为真=； P接受Ho Ho为真=。3

30、.某商店用自动包装机包装食糖，规定标准重量每袋净重500克，现抽取9袋，测得每袋净重(克)为：502, 498, 495, 493, 490, 492, 510, 485, 490设重量指标平日服从N(52)，则在显著性水平,0.05下，' -500 .二、选择题1.在对总体参数的假设检验中，若给定显著性水平：,0 ： : ：1)，则犯第一类错误的概率是( )(A) 1 -：(B) -(C) :-(D)不能确定2 对正态总体的数学期望进行假设检验，如果在显著性水平0.05下接受零假设H。：=%，那么在显著性水平 0.01下，下列结论中正确的是()(A)必接受H0(B)可能接受，也可能拒

31、绝H0(C)必拒绝H°(D)不接受，也不拒绝 H。3 设样本X1,X2,，Xn来自正态总体N(；2)，在进行假设检验时，当()时，一般采用统计量t =x 一 /G(A)未知，检验 二2 =盘(B)已知，检验 二2 =；：球(C)二2未知，检验二(D)二2已知，检验二J04某炼铁厂的铁水含碳量 X : N(»；2)，现从中抽出为5炉铁水，测得含碳量为 4.42 , 4.05 , 4.36 , 4.28 , 4.68，在显著水平0.05下，()认为平均含碳量为 4.4 ,()认为标准差为0.1 (A)可以，不可以(B)不可以，可以(C)可以，可以(A)不可以，不可以三、设某次考试考生成绩服从正态分布，从中随机抽出36位考生的成绩，算得平均成绩为66.5分，标准差为15分.问是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分?(:=0.05)四、某电器零件的平均电阻值一直保持在2.64 1，改变加工工艺后测得100个零件的平均电阻为2.62门，如果改变工艺前后电阻的均方差保持在0.06门，问新工