数学分析泰勒公式4-1ppt课件

1、第四章第四章 TaylorTaylor公式公式 201911264.1 4.1 函数的微分函数的微分 一、问题的提出一、问题的提出实例实例: :正方形金属薄片受热后面积的改变量正方形金属薄片受热后面积的改变量. .20 xA 0 x0 x,00 xxx 变到变到设边长由设边长由,2xA 正方形面积正方形面积2020)(xxxA .)(220 xxx )1()2(;,的的主主要要部部分分且且为为的的线线性性函函数数Ax .,很很小小时时可可忽忽略略当当的的高高阶阶无无穷穷小小xx :)1(:)2(x x 2)( x xx 0 xx 0再例如再例如,.,03yxxxy 求函数的改变量求函数的改变量

2、时时为为处的改变量处的改变量在点在点设函数设函数3030)(xxxy .)()(3332020 xxxxx )1()2(,很很小小时时当当 x .320 xxy ),()2(xox 的的高高阶阶无无穷穷小小是是既容易计算又是较好的近似值既容易计算又是较好的近似值问题问题: :是否所有函数的改变量都对应有一个线性函是否所有函数的改变量都对应有一个线性函数数( (改变量的主要部分改变量的主要部分)?)?它是什么它是什么? ?如何求如何求? ?二、微分的定义二、微分的定义,)(在在某某区区间间内内有有定定义义设设函函数数xfy ,00在这区间内在这区间内及及xxx 如果如果)()()(00 xoxA

3、xfxxfy ),(无无关关的的常常数数是是与与其其中中成成立立xA 则则称称函函数数)(xfy ,0可可微微在在点点x为为函函数数并并且且称称xA 相应于自变量相应于自变量在点在点0)(xxfy ,的微分的微分增量增量 x 定义：定义：.的的线线性性主主部部叫叫做做函函数数增增量量微微分分ydy ( (微分的实质微分的实质) )记作记作),(00 xdfdyxx或或 .0 xAdyxx 即即由定义知由定义知: :;)1(的线性函数的线性函数是自变量的改变量是自变量的改变量xdy ;)()2(高阶无穷小高阶无穷小是比是比 xxodyy ;,0)3(是是等等价价无无穷穷小小与与时时当当ydyA

4、dyy xAxo )(1).0(1 x;)(,)4(0有关有关和和但与但与无关的常数无关的常数是与是与xxfxA ).(,)5(线性主部线性主部很小时很小时当当dyyx 三、可微的条件三、可微的条件).(,)()(000 xfAxxfxxf 且且处可导处可导在点在点数数可微的充要条件是函可微的充要条件是函在点在点函数函数定理定理证证(1) 必要性必要性,)(0可可微微在在点点xxf),( xoxAy ,)(xxoAxy xxoAxyxx )(limlim00则则.A ).(,)(00 xfAxxf 且且可导可导在点在点即函数即函数(2) 充分性充分性,)(0 xxxfy 从从而而,)(0 xf

5、xy即即,)(0可导可导在点在点函数函数xxf),(lim00 xfxyx ),0(0 x),()(0 xoxxf .)(,)(00Axfxxf 且且可可微微在在点点函函数数).(.0 xfA 可可微微可可导导.)(),(,)(xxfdyxdfdyxxfy 即即或或记记作作微微分分称称为为函函数数的的的的微微分分在在任任意意点点函函数数例例1 1解解.02. 0, 23时的微分时的微分当当求函数求函数 xxxyxxdy )(3.32xx 02. 02202. 023 xxxxxxdy.24. 0 .,xdxdxxx 即即记作记作称为自变量的微分称为自变量的微分的增量的增量通常把自变量通常把自变

6、量.)(dxxfdy ).(xfdxdy .微商微商导数也叫导数也叫该函数的导数该函数的导数之商等于之商等于与自变量的微分与自变量的微分即函数的微分即函数的微分dxdy四、微分的几何意义四、微分的几何意义)(xfy 0 xMNTdyy)( xo ）xyo x 几何意义几何意义:(如图如图).,对应的增量对应的增量就是切线纵坐标就是切线纵坐标坐标增量时坐标增量时是曲线的纵是曲线的纵当当dyy xx0 P .,MNMPMx可可近近似似代代替替曲曲线线段段切切线线段段的的附附近近在在点点很很小小时时当当 五、微分的求法五、微分的求法dxxfdy)( 求法求法: : 计算函数的导数计算函数的导数, ,

7、 乘以自变量的微分乘以自变量的微分. .1.基本初等函数的微分公式基本初等函数的微分公式xdxxxdxdxxxdxdxxdxdxxdxdxxdxdxxddxxxdcdcotcsc)(csctansec)(seccsc)(cotsec)(tansin)(coscos)(sin)(0)(221 dxxxddxxxddxxxddxxxddxxxddxaxxddxeedadxaadaxxxx222211)cot(11)(arctan11)(arccos11)(arcsin1)(lnln1)(log)(ln)( 2. 函数和、差、积、商的微分法则函数和、差、积、商的微分法则2)()()()(vudvvd

8、uvududvvduuvdcducuddvduvud arc例例2 2解解.),ln(2dyexyx求求设设 ,2122xxexxey .2122dxexxedyxx 例例3 3解解.,cos31dyxeyx求求设设 )(cos)(cos3131xdeedxdyxx .sin)(cos,3)(3131xxeexx dxxedxexdyxx)sin()3(cos3131 .)sincos3(31dxxxex 六、微分形式的不变性六、微分形式的不变性;)(,)1(dxxfdyx 是是自自变变量量时时若若则则微函数微函数的可的可即另一变量即另一变量是中间变量时是中间变量时若若),( ,)2(txtx

9、 ),()(xfxfy 有有导导数数设设函函数数dttxfdy)()( ,)(dxdtt .)(dxxfdy 结论：结论：的微分形式总是的微分形式总是函数函数是自变量还是中间变量是自变量还是中间变量无论无论)(,xfyx 微分形式的不变性微分形式的不变性dxxfdy)( 例例5 5解解.,sindybxeyax求求设设 )(sin)(cosaxdebxbxbxdedyaxax dxaebxbdxbxeaxax)(sincos .)sincos(dxbxabxbeax 例例4 4解解.),12sin(dyxy求求设设 . 12,sin xuuyududycos )12()12cos( xdxdx

10、x2)12cos( .)12cos(2dxx 七、高阶微分七、高阶微分 一阶微分：一阶微分：dxxfdf)( 二阶微分：二阶微分：22)( dxxffd （有形式不变性）（有形式不变性） （没有形式不变性）（没有形式不变性）nnndxxffd)()( 必须是自变量必须是自变量222)( )( )( )(dxxfdxxfdxxfddfdfd 阶微分阶微分n例例6,xey ,2txeyx 22dxeydx 2222)42()(222dtetedteydttt ,4)d2()(d22222dttttdxx .dd2d4d2d22222222xexxetteteyxxtt .)( ;)( 22222的

11、的一一阶阶微微分分表表示示的的二二阶阶微微分分；表表示示指指xxdxxddxdx八、近似计算八、近似计算.)(0 xxf 00 xxxxdyy 1、计算函数增量的近似值、计算函数增量的近似值 （以直代曲）（以直代曲）;)(. 10附近的近似值附近的近似值在点在点求求xxxf .)()()(000 xxfxfxxf )(很小时很小时x 2、计算函数的近似值、计算函数的近似值;0)(. 2附附近近的的近近似似值值在在点点求求 xxf.)0()0()(xffxf ., 00 xxx 令令例例7 7?,05. 0,10问问面面积积增增大大了了多多少少厘厘米米半半径径伸伸长长了了厘厘米米的的金金属属圆圆

12、片片加加热热后后半半径径解解,2rA 设设.05. 0,10厘厘米米厘厘米米 rrrrdAA 205. 0102 ).(2厘米厘米 例例8 8.0360coso的近似值的近似值计算计算 解解,cos)(xxf 设设)( ,sin)(为为弧弧度度xxxf ,360,30 xx.23)3(,21)3( ff)3603cos(0360coso 3603sin3cos 3602321 .4924. 0 常用近似公式常用近似公式)(很小时很小时x.)1ln()5(;1)4();(tan)3();(sin)2(;111)1(xxxexxxxxxxnxxn 为为弧弧度度为为弧弧度度证明证明,1)()1(nx

13、xf 设设,)1(1)(11 nxnxf.1)0(, 1)0(nff xffxf)0()0()( .1nx 例例9 9.计计算算下下列列各各数数的的近近似似值值解解.)2(;5 .998)1(03. 03 e335 . 110005 .998)1( 3)10005 . 11(1000 30015. 0110 )0015. 0311(10 .995. 9 03. 01)2(03. 0 e.97. 0 微分学所要解决的两类问题微分学所要解决的两类问题:函数的变化率问题函数的变化率问题函数的增量问题函数的增量问题微分的概念微分的概念导数的概念导数的概念求导数与微分的方法求导数与微分的方法,叫做微分法叫做微分法.研究微分法与导数理论及其应用的科学研究微分法与导数理论及其应用的科学,叫做微分学叫做微分学.导数与微分的联系导数与微分的联系:.可可微微可可导导 九、小结九、小结导数与微分的区别导数与微分的区别:., ,)(),()(. 100000它它是是无无穷穷小小时时当当定定义义域域是是它它的的的的线线性性函函数数是是而而微微分分处处的的导导数数是是一一个个定定数数在在点点函函数数xxRxxxxfdyxfxxf )(limlim0000 xxxfdy