绵阳市2011级第三次诊断性考试数学(理科)含答案

1、本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分。第 I 卷 1 至 2 页，第 II 卷 3至 4 页。满分 150 分。考试时间 120 分钟。注意事项：1. 答题前， 考生务必将自己的姓名、 考号用 0.5 毫米的黑色签字笔填写在答题卡上， 并将条形码粘贴在答题卡的指定位置。2. 选择题使用 2B 铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题用 0.5 毫米的黑色签字笔书写在答题卡的对应框内， 超出答题区域书写的答案无线； 在草稿纸、 试题卷上答题无效。3. 考试结束后，将答题卡收回。2 ，则 M N 1. 已知集合 M x x 1 ， N xx xA. 1 B. 1,1

2、C. 0 ,1 D. 1,0 ,152. 复数的共轭复数是i 2A. 2 iB. 2 iC. 2 iD. 2 i3. 执行如右图所示的程序框图，如输入 x 2，则输出的值为A.9B. log8 9C.5数学（理科）试题第 1页（共 4 页）D. log 584. 已知向量 a (3, 1) ，b ( 1,2)， c ( 2,1) .若a xb yc( x, y R) ，则 x yA.2 B.1 C.0 D.125. 已知命题 p : x R, sin xa ，若 p 是真命题，则实数 a的取值范围为A. a1 B. a 1 C. a 1 D. a 12 ax6. 已知 a 2,2 ，则函数 f

3、 (x) x 2 1有零点的概率为A.12B.13C.14D.152 2x y 21 的焦点 F 恰好是双曲线 2 : 1( a0, b0)7. 若抛物线 C : y 4x C 的右焦点，2a b且 C1 与C2 交点的连线过点 F ，则双曲线 C2 的离心率为6 2A. 2 1 B. 2 2 1 C. 3 2 2 D.28. 已知函数 f (x) sin wx( w0) 的一段图像如图所示， ABC 的顶点 A与坐标原点 O 重合， B 是 f ( x) 的图像上一个最低点， C 在 x轴上，若内角 A, B,C 所对边长为 a,b, c ，且 ABC 的面积 S 满足2 2 212S b

4、c a ，将 f (x) 右移一个单位得到 g( x) ，则 g(x)的表达式为A. g (x) cos( x) 2B. g (x) cos( x) 2x 1C. g (x) sin( )2 2 x 1D. g (x) sin( ) 2 29. 为了了解小学生的作业负担，三名调研员对某校三年级 1 至 5 名进行学情调查，已知这 5个班在同一层楼并按班号排列。若要求每名调研员均参与调查，但不在相邻两个班调查，每个班只安排一名调研员，则不同的调查方案有A.48 种 B.42 种 C.36 种 D.24 种x10. 已知 f (x) x (x R) ，若关于 x的方程 f ( ) ( ) 1 0

5、恰好有 4 个不相等2 x mf x m e数学（理科）试题第 2页（共 4 页）的实数根，则实数 m 的取值范围为1A. ( ,2) (2, e)e1B. ( ,1)e1C.(1, 1)e1D. ( ,e)e11. 某设备零件的三视图如右图所示， 则这个零件的表面积为 _.12. 二项式(210x 展开式中的常数项是 _.2 )x1 213. 已知幂函数 y f (x) 的图像经过点 ( , ) ，则2 2lg f (2) lg f (5) _.14. 已知实数 x, y满足 xy 1 2x y ，且 x1，则 (x 1)( y 2)的最小值为 _.15. 已知有限集 A a1,a2, a3

6、., an ( n2).如果 A 中元素 ai (i 1, 2, 3,., n) 满足a1an.a a1 a2 . a ，就称 A 为“复活集”，给出下列结论：n n 1 5 1 5集合 ( , ) 是“复活集”； 2 2若 a1 ,a2 R，且 a1, a2 是“复活集”，则 a1a24 ；若 a1 ,a2 N ，则 a1, a2 不可能是“复活集”；若 ai N ，则“复合集” A 有且只有一个，且 n= 3 .其中正确的结论是 _.（填上你认为所有正确的结论序号）16. （本小题满分 12 分）已知 Sn 是等比数列 an 的前 n项和， S3, S9 ,S6 成等差数列 .（）求数列

7、an 的公比 q ；（）证明： a , 6,a (k N )ak 成等差数列 .k k 317. （本小题满分 12 分）绵阳市农科所研究出一种新的棉花品种，为监测长势状况 .从甲、乙两块试验田中各抽取数学（理科）试题第 3页（共 4 页）了 10 株棉花苗，量出它们的株高如下（单位：厘米）：甲 37 21 31 20 29 19 32 23 25 33乙 10 30 47 27 46 14 26 10 44 46（） 画出两组数据的茎叶图， 并根据茎叶图对甲、 乙两块试验田中棉花棉的株高进行比较，写出两个统计结论；（） 从甲、 乙两块试验田中棉花株高在 30,40 中抽 4 株， 记在乙试验

8、田中取得的棉花苗株数为 ，求 的分布列和数学期望 E （结果保留分数） .18. （本小题满分 12 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A( x1, y1), B( x2, y2 ) 在单位平面上， xOA= ， AOB = ，且 (，4 62).（）若 cos(+ )3714，求 x1的值；（）过点 A,B 分别做 x 轴的垂线，垂足为 C、D，记 AOC 的面积为 S1，BOD 的面积为 S2.设 f()= S1+S2,求函数 f()的最大值 .19. （本小题满分 12 分）1如图，在多面体 ABCDEF 中，底面 ABCD 是梯形，且满足 AD=DC=CB = AB a2在直

9、1角梯形 ACEF 中， EF / AC, ECA 90 ，已知二面角 E-AC-B2是直二面角 .（）求证： BC AF ；（）当在多面体 ABCDEF 的体积为3 3 82a 时，求锐二面角 D-EF-B 的余弦值 .20. （本小题满分 12 分）已知椭圆的焦点坐标为 1,0F , F 1,0 ,过 F2 垂直于长轴的直线交椭圆于 A 、B 两点，1且 AB 3.（）求椭圆形的方程；（）过 F1点作相互垂直的直线 l1,l2 ，分别交椭圆于 p1, p2 , p3, p4 试探究1p1p21p3p4是否为定值？并求当圆边形p1, p , p , p 的面积 S 最小时，直线2 3 4l1

10、 l 的方程 ., 221. （本小题满分 14 分）已知函数 f x ln x a x有且只有一个零点，其中 a0.数学（理科）试题第 4页（共 4 页）（）求 a 的值；（）若对任意的 x 0, ，有2f x kx 成立，求实数 k 的最大值；（ III ） 设 h x f x x ， 对 任 意 x1,x2 1, x1 x2 ， 证 明 ： 不 等 式hx 恒成立 .x1 x x x x211 2 1 2x h x1 2绵阳市高 2011 级第三次诊断性考试数学（理科）参考答案及评分意见一、选择题：每小题 5 分，共 50 分1D 2A 3B 4C 5D 6C 7A 8B 9B 10C二

11、、填空题：每小题 5 分，共 25 分1122 12180 1312149+ 4 2 15提示： 第 15 题：易判断是正确的；不妨设 a1+a2=a1a2=t，则由韦达定理知 a1，a2 是一元二次方程 x2- tx+ t=0 的两个根，由 >0，可得 t<0，或 t>4，故错；不妨设 A 中 a1<a2<a3<<an，由 a1a2an=a1+a2+an< nan，得a1 a2 an 1 <n，当 n=2时，即有 a1<2，a1=1，于是 1+a2=a2，a2 无解，即不存在满足条件的“复活集” A，故正确当 n=3 时，a1a2&

12、lt;3，故只能 a1=1，a2=2，求得 a3=3，于是“复活集” A 只有一个，为 1 ，2，3 当 n4 时，由a a a 1×2×3×× (n- 1)，即有 n>( n- 1)!，1 2 n 1也 就 是 说 “ 复 活 集 ” A 存 在 的 必 要 条 件 是 n>( n- 1)! ， 事 实 上 ， ( n- 1)! (n- 1)(n- 2)=n2- 3n+2=( n- 2)2- 2+n>2，矛盾，当 n4 时不存在复活集 A，故正确三、解答题：共 75 分16 解： （）由 S3，S9，S6 成等差数列，可得 2 S9=

13、S3+S6当 q=1 时，即得18a 3a 6a ，解得 a1=0，不成立 3 分1 1 1当 q 1时，即得9 3 62a (1 q ) a (1 q ) a (1 q )1 1 11 q 1 q 1 q，整理得：6 32q q 1 0 ，即3 2 32(q ) q 1 0 ，解得： q 1（舍去），或3 4q 7 分2（）证明：由（）知3 1 2 6q q ，k 1 k 2 k 1 3a a 3 a1q a1q a1q (1 q )k kk 1 6 k 5a1q 2q 2a1q ，k 52a 2a q ，k 6 1a a 3 2a 6 ，即 ak，ak+6，ak+3（kN* ）成等差数列

14、12 分k k k甲 乙9 1 0 4 05 3 9 0 1 2 7 6数学（理科）试题第 5页（共 4 页）3 2 1 7 3 0 17 解： （）画出的茎叶图如右所示4 7 6 4 6 根据茎叶图可得统计结论如下：结论一：甲试验田棉花苗的平均珠高度小于乙试验田棉花苗的平均珠高结论二：甲试验田棉花苗比乙试验田棉花苗长得整齐 6分（） 的取值为 0，1P( 0)4CC44515，P( 1)1 3C C1 4 4C545， 的分布列： 0 1P1545 11 分1 4 4E 0 1 12 分5 5 518 解： （）由三角函数的定义有 x1 cos ，x2 cos( ) ， 2 分37cos(

15、) ( )， ， ，3 14 6 23 21sin( )3 14， 4 分x1 cos cos ( ) cos( )cos sin( )sin ，3 3 3 3 3 32 7x 6 分17 1 1（）由 y1 sin ，得 S1 x1 y1 cos sin sin 2 2 4又 ( ) ( 5 )由 ， ，得 ， ，于是6 2 3 2 6y2 sin( ) ，31 1 1 2S x y cos( )sin( ) sin(2 ) ， 8 分2 2 22 2 3 3 4 31 1 2f ( ) S S sin 2 sin(2 )1 24 4 3=1 1 2 2 sin 2 (sin 2 cos c

16、os2 sin )4 4 3 3=3 3sin 2 cos28 8=3 3 1 ( sin 2 cos2 )4 2 2=3sin(2 )4 6，数学（理科）试题第 6页（共 4 页）5由 ， ，可得 ， ，( ) 2 ( )6 2 6 6 6于是当 ，即26 23时，f ( ) 12 分max3 4z19（） 证明 ：取 AB 的中点 G，连结 CGE由底面 ABCD 是梯形，知 DC / AG又 DC =12AB=AG=a ，FC 四边形 ADCG 是平行四边形，得 AD=CG=a ，D1H CG=ABA B2Gx y ACBC又 二面角 E- AC -B 是直二面角，即平面 ACEF 平面

17、 ABCD， BC平面 ACEF BCAF 6 分（） 解： 连结 DG 交 AC 于 H，连结 FH 平面 ACEF 平面 ABCD，由（）知 BC 面 ACEF，DH /BC， DH 面 ACEF 即 BC、DH 分别是四棱锥 B-ACEF、D-ACEF 的高在 RtACB 中，2 2AC 4a a 3a，EF =32aV V VD ACEF B ACEF 31 1 3a a 1 1 3a 3 3a ( 3a) CE ( 3a) CE a 3 2 2 2 3 2 2 8 CE a 如图，以 C 为坐标原点， CA、CB、CE 为 x，y，z 轴建立空间坐标系， (0 0 0) (0 0 )

18、 ( 3 0 ) (0 0) ( 3 0)a a aC ， ， ，E ， ，a ，F ， ，a ，B ，a， ，D ， ， ，2 2 2u uur uur 3aEF ， ， ，EB ，a ， a ，( 0 0) (0 )2设面 BEF 的法向量 n1=( x，y，z)，3a2x0，令 y= z=1，可得 n1 (0 ，1，1)，ay az 0，同理可得面 DEF 法向量 n2 (0 ， 2，1)cosn n1 2n n1 21 10102 5 锐二面角 D -EF -B 的余弦值10101 2 分数学（理科）试题第 7页（共 4 页）2 2x y20 解： （）由题意，设椭圆的标准方程为 1（

19、a>b>0），2 2a b由焦点 F2 的坐标为 (1，0)知 a2- b2=1，再由2 21 y2 2a b1 ，整理得 y=2ba 过 F2 垂直于长轴的弦长 |AB |=3，22ba3联立、可解得 a2=4，b2=3 椭圆的方程为2 2x y4 31 3 分（）若 l1、l2 中一条的斜率不存在，则另一条的斜率则为 0，此时， |P1P2|=4，|P3P4|=|AB|=3，于是1 1PP P P1 2 3 4=1 1 74 3 12 5 分若 l1、l2 的斜率均存在且不为 0，设 l1 的方程： y k( x 1) ，则 l2 的方程：1y ( x 1)k，联立方程 2 2

20、x y 1，4 3 1消去 x 得：y (x 1)，k2 2(3k 4) y 6ky 9 0 ，6k 9y y y y， ，1 2 2 1 2 23k 4 3k 4236k 362 2P P = 1 k y y = 1 k3 4 1 2 2 2 2(3k 4) 3k 4212(k 1)23k 4同理可得：212(k 1)PP1 2 24k 3， 2 21 1 4k 3 3k 4 7 2 2PP P P 12(k 1) 12(k 1) 121 2 3 4 综上知1 1 7PP P P1 2 3 412（定值） 9 分1 1 7 12PP P P 12 PP P P1 2 3 4 1 2 3 4，

21、24 576 2 PP P P ( ) ， 1 2 3 47 491 288 max 1 2 3 4S PP P P 2 49当且仅当 P1P2 P3P4 ，即212(k 1)24k 3212( k 1)23k 4时，S 最小，此时解得 k 1，数学（理科）试题第 8页（共 4 页） 四边形 P1P3P2P4 的面积 S 最小时， l1、l2 的直线方程： y (x 1) 13 分21解： （） f (x) 的定义域为 ( a， ) ， 由 f ( x) 0 ，得 x 1 a a.f1 x a 1(x) 1 x a x a 当 a x 1 a 时， f (x) 0 ；当 x 1 a时， f ( x) 0， f (x) 在区间 ( a，1 a上是增函数，在区间 1 a，+ ) 上是减函数， f (x) 在 x 1 a 处取得最大值由题意知 f (1 a) 1 a 0，解得 a 1 4 分（）由（）知 f (x) =ln( x+1) - x，当 k0 时，取 x=1 得， f (1) ln 2 1 0 ，知 k0 不合题意 .当 k 0时，设2 2g(x) f (x) kx ln( x 1) x kx .则1 x( 2kx 2k 1)g (x) 1 2kx .x 1 x 12k 1 1