力学_舒幼生_第二章牛顿定律、动量定理

1、1 例 直角三角板的边长如图示，开始时，斜边靠在y轴上，使A点单调地朝O点运动。（1）AC平行x轴时，A点速度为vA，求C点的速度和加速度。（2）A运动到原点时，求C点通过的路程。OxyAabBCOxyAabBCOxyAabBC2OxyAabBC（1）C点的速度和加速度C点的速度 = C相对A的速度 + A的速度C点速度的x分量C点速度的y分量C点的加速度 = C相对A的加速度 + A的加速度C点的加速度 = C相对B的加速度 + B的加速度0Cxv0CyvABvbav bvaACx222ACyvbaa3OxyAabBCAvCvO、A、B、C四点共圆，OC的方向不变。A、C两点的速度沿CA边的

2、分量相等sin)(cosCAvvsin)cos(CAvv2/2 if , 02/ if , 02/ if , 0sin)cos(ACvvC点先远离O点、静止、再靠近O点)(222babas4例 三根细杆在一平面内相连，并可绕连接处转动。A、D是两个转轴。当AB杆以角速度转到竖直位置时，求此时C点加速度的大小和方向。ABCDll450450解法一已知B点的速度和加速度C点作圆周运动，有法向和切向加速度。由约束关系：B、C两点沿杆的速度分量相等，得到C点速度。C点相对B点加速度沿BC杆的分量：C相对B作圆周运动。5解法二建立直角坐标系ABCDll450450 xy用三个角度和杆长表示C点坐标C点坐

3、标对时间的二阶导数即C点的加速度三个角度满足约束关系，由此可得它们的一阶、二阶导数的关系答案：法向加速度laCn282切向加速度laCt2423与CD夹角6arctan第二章第二章 牛顿定律牛顿定律 动量定理动量定理Isaac Newton (1642-1727)7在自然界中，最古老的问题莫过于运动了。 伽利略凡运动着的事物必然都有推动者在推着它运动 亚里士多德物理学伽利略领悟到，将人们引入歧途的，是摩擦力，或空气、水等介质的阻力，这是人们在日常观察物体运动时难以完全避免的。为了得到正确的线索，除了实验和观察外，还需要抽象的思维。伽利略的斜面实验和落体实验。82.1 2.1 牛顿定律牛顿定律牛

4、顿第一定律牛顿第一定律( (惯性定律）惯性定律）任何物体都保持静止或匀速直线运动状态，除非有作用于它上的力改变这种状态。惯性定律成立的参考系，称为惯性参考系，简称惯性系。非惯性系：相对惯性系做变速平动或转动的参考系存在一惯性参考系，可建立一系列相对它匀速平动的其它惯性系。惯性定律提出了惯性和力两个概念惯性是物体保持静止或匀速直线运动状态的内禀属性；力是改变物体运动状态的外加因素。9牛顿第二定律牛顿第二定律运动的变化与所加的力成正比，并且沿着此力的方向amF牛顿第二定律只在惯性系中成立牛顿第二定律既是动力学的基本规律；同时又可作为质量和力的定义，据此可对质量和力进行测量。10物体质量的度量值与物

5、体的运动状态无关，在不同的参考系中质量m的度量值相同 质量的标量性。两个物体组合成大物体的质量等于两个物体质量的和 质量是广延量amF质量是标量，加速度是矢量，力因而是矢量例 实验验证 同时作用在物体上的两个力产生的加速度 等于两个力的矢量和产生的加速度。mFFa2111牛顿第三定律：牛顿第三定律：物体之间的相互作用力，大小相等，方向相反第三定律是关于力的最一般性质的定律，而不是动力学本身的定律物体间的相互作用力是真实力，它的度量是在惯性系中通过第二定律来实现，第三定律只在惯性系中成立。若物体之间通过接触才有相互作用力，这种力称为接触力。第三定律对于接触力总是成立的对于两个物体有一定距离时的相

6、互作用力，第三定律有时成立， 有时不成立。12单位和量纲力学量分为基本量和导出量时间、长度和质量是基本量，分别用 T，L，M 代表其它量都是导出量，如速度、密度、力等所有力学量Q的单位都可以用基本量的单位表示这就是力学量的量纲，称为力学量的量纲指数。TMLQ 量纲分析例如 2321 , , ,LMTFMLLTaLTv132.2 2.2 相互作用力相互作用力2.2.1 常见力 重力重力RhRmGMhRmGMmgh2122地地 弹性力弹性力kxF 摩擦力摩擦力Nf 阻力阻力vf14基本相互作用基本相互作用强相互作用 30弱相互作用 0.006电磁相互作用 1引力相互作用 10-36短程力短程力长程

7、力长程力正负电荷正负电荷质量质量15例1 水桶匀速旋转，证明水面的形状是旋转抛物面。zdmgNd水面具有旋转对称性，分析任一竖直剖面水面上取一小质量元 dmOx建立坐标系曲线斜率与重力的关系gdmdmxdxdz2tan重力向心力xdxgdz2积分Cxgz222代入液面最低点的值（0，h），得到旋转液面方程hxgz22216例2 滑轮不转动且不光滑，问物体滑动的条件与法向支持力情况？m1m21T2Taa21mm 可能的运动必是m1下降amgmTamTgm222111 17dRdN)(TdTT 建立坐标系，分析一段线元建立坐标系，分析一段线元dNdfdTddTT2cos2cos)(化简为dNTdd

8、NdT ,得微分关系式dTdT积分eTTeTTTT2122,)(, 0单位长度法向支持力RTRdTddldNndNdTddTT2sin2sin)(沿滑轮的切向分量沿滑轮的法向分量18弹簧的串并联k串联并联192.3 2.3 力学相对性原理力学相对性原理伽利略变换伽利略变换tutrtrtt)()(zyOrPxyzOrxS系S系两个相互作匀速平动的参考系20zyOrPxyzOrxS系S系tutrtrtt)()(两个参考系相互作匀速运动aauvv伽利略变换速度是相对的即同一质点对于不同参考系有不同的位置和速度。加速度是绝对的，即同一质点对于不同参考系有相同的加速度。21伽利略相对性原理伽利略在163

9、2年出版的著作关于托勒密和哥白尼两大世界体系的对话 “ 把你和几个朋友关在一条大船甲板下的主舱里，再让你们带几只苍蝇、蝴蝶和其它小飞虫。舱内放一只大水碗，里面放几条鱼。然后挂上一个水瓶，让水一滴一滴地滴到下面的一个宽口罐儿里。船停着不动时，你留神观察，小虫都以等速向舱内各方向飞行，鱼向各个方向随便游动，水滴滴进下面的罐子中。你把任何东西扔给你的朋友时，只要距离相等，向这一方向不必比另一方向用更多的力，你双脚齐跳，无论向哪个方向跳过的距离都相等。当你仔细地观察这些事情后，再使船以任何速度前进。只要运动是匀速的，也不互左忽右地摆动，你将发现，所有上述现象丝毫没有变化，你也无法从其中任何一个现象来确

10、定，船是在运动还是停着不动。”22牛顿力学的相对性原理牛顿定律在所有惯性系中成立从一个惯性参考系变换到另一个惯性参考系，物理定律如何变化？狭义关于相互作用力的结构性定律，如胡克定律、万有引力定律等如何变化广义在所有惯性系中，物理定律不变惯性系与非惯性系所有惯性系是等价的232.4 2.4 惯性力惯性力在非惯性系中牛顿定律不再成立第一定律不再成立第二定律不再成立第三定律不再成立242.4.1 平移惯性力yOrPxyrxS系S系0rrr位置矢量速度0vvv加速度0aaa惯性系S 非惯性系S惯性系S中Fam非惯性系S中)(0amFam25引入惯性力0amFi非惯性系S中，形式上牛顿方程仍然成立Fam

11、非惯性系S中，可以认为物体同时受到真实力和惯性力的作用。iFFF引入惯性力后，第一、第二定律成立，但第三定律仍然不成立失重与超重26例 两个小球在落地前相遇的条件ABlh0v小球落地的时间ght/20选随小球A运动的非惯性系0t小球A静止，小球B相对小球A的速度仍然为v0小球A始终静止小球B受重力和惯性力的作用，二者抵消，作匀速直线运动。两球相遇的时间022/vhlt落地前相遇要求ghhlvtt2220027二体问题：两个物体只有相互作用，不受其它外力mAmBABBFAF任取惯性系 SB相对S的加速度BBBmFa建立随B平动的参考系，考虑A相对B的运动A受惯性力ABABAiFmmamF牛顿方程

12、AAiAamFFBABAAAmmmmaF ,称为二体问题的约化质量，二体问题化为单体问题282.4.2 惯性离心力yOrPxyOrxS系S系S系相对S系匀速转动，转动角速度沿z轴rvdtjyddtixdrrv )()(加速度可类似推导jjiirrrvarvrvaa22)(角速度不变这一项略去转动参考系S29rvaa22FamrmvmFam22引入惯性离心力引入科里奥利力rmFc2vmF2Cor匀速转动参考系的牛顿方程CorFFFamc30匀速转动参考系中惯性力的方向惯性离心力科里奥利力rmFc2vmF2Cor匀速转动参考系的牛顿方程CorFFFamcyrOxS系vcFCorF过山车31rmrm

13、Fc2)(一般情况下的惯性离心力rS系cF rgmw地面上物体的表观重力cos)360024/(22RmFsc%35. 0cos22gRgRmgFc6,45max北极南极偏向角最大32离心机VORTEX21K高速冷冻离心机 最高转速：21000r/min 最大相对离心力：52356g 湘仪离心机仪器有限公司 dVrdVgdVrdVr0022向心力 离心力 重力0在转动参考系中，周围液体对被分离的物质提供一个向心力；同时，被分离物体受到一个惯性离心力的作用。物质的运动取决于两个力的合力的影响。33科里奥利力科里奥利力vmvmF22CorS系CorFv34物体运动方向科里奥利力导致的偏转35地面参

14、考系与地心参考系36小结非惯性系SFam惯性力FFF惯性离心力科里奥利力rrmrmFc if 2vmF2Cor惯性系SFamvmrmrmamFam2)(0平移惯性力0amFi横向惯性力rm（力学课程不考虑）37力学的理论体系力学的理论体系非惯性系SFam惯性力FFF惯性系SFam动量定理动能定理角动量定理动量守恒定律机械能守恒定律角动量守恒定律能量守恒定律dtFrdFFr382.5 2.5 动量定理动量定理2.5.1 动量定理dtvdmFamF )( vmddtF力的冲量质点的动量dtFIdvmp质点动量定理的微分形式pdId质点动量定理：力对质点的冲量等于质点动量的增量力对质点作用一段时间产

15、生的效果39质点所受合力的冲量等于分力的冲量之和 iittiiittiIdtFdtFI2121内外质点系质点系内力与外力系统内力的冲量和必为零质点系的动量iipp质点动量定理的积分形式12pppI0内Id40质点系动量定理外力对质点系的冲量和等于质点系的动量增量pddI外非惯性系非惯性系质点系动量定理的微分形式pdIdId惯外412.5.2 动量守恒定律动量守恒定律若系统所受合外力始终为零，则系统的动量守恒。为守恒量合外pF 0 在某一方向上动量守恒为守恒量合外xxpF 0,42例 下落的绳子对地面的压力LM解法一绳子下落长度 l 时，地面所受压力分两部分静止绳子的压力MgLlN 1下落绳子的压力下落速度glv2LlMgNvMLvdtdmvdpdtN2 22总压力LlMgNNN32143解法二将绳子作为一个整体，考虑它的受力与动量的增量绳子受重力和支持力LlMgMgdtdvMvLgvLdvdMvLlLdtddtdpNMg322总压力LlMgN3442.5.3 变质量物体的运动vFmdmvdmmvdvF增质型)()(dmvvmvdvdmmdtF动量定理略去高阶小量dtdmvvFdtvdm)(初动量末动量冲量45vFmdmvdmmvdvF减质型vmdmvvdvdmmdtF)()(动量定理略去高阶小量dtdmvvFdtvdm)(初动量末动量冲量46变质量物体的运动方程dt