力矩迭代法的基本概念

1、力矩迭代法的基本概念力矩迭代法常简称为迭代法。如同力矩分配法一样，它也是以位移法为基础的一种渐近解法，也是以杆端弯矩作为运算对象，杆端弯矩也采用相同的正负号规定。两者的区别是：在每次渐近运算中， 力矩分配法计算的是杆端弯矩新添的增量， 力矩迭代法计算的是杆端弯矩全量的新一轮近似解。止匕外，力矩分配法一般只用于解无侧移刚架，力矩迭代法科用于解无侧移和有侧移的刚架。本节先以无侧移刚架为例说明力矩迭代法的基本概念。1,转角弯矩图1a所示为无结点线位移的刚架中任一等截面杆件AB,杆端弯矩公式为这里i=,是杆的线刚度，m是周端弯矩（图1b）定义杆端转角弯矩如下（图1c和d）：MAB=4电一一一.MBA=

2、41%I图1MAB和MBA称为AB杆在A端和B端的转角弯矩。注意，某端转角弯矩是指由该端转角在该端引起的弯矩。例如，由近端转角引起的近端弯矩称为近端转角弯矩，由远端转角引起的远端弯矩称为远端转角弯矩。至于有某端转角在他端引起的弯矩则可利用传递系数由该端转角弯矩导出，其值为该端转角弯矩乘以由该端到他端的传递系数。当他端为刚结时，则为该端转角弯矩的一半。例如，由近端转角在远端引起的弯矩等于近端转角弯矩之半，由远端转角在近端引起的弯矩等于远端转角弯矩之半。ABBA=4i1A21%mAB=2A4HBmBA(a)(b)将式（b）代入式（a）,就得到以两端转角弯矩表示的杆端弯矩的公式如下:,1,IMAB=

3、MABMBAmAB2一一，I一MBA=MBA+二MAB+mBA2,即杆件某端弯矩=该端转角弯矩2.转角弯矩的迭代公式根据结点力矩平衡条件，再引入分配系数的概念，可导出关于转角弯矩的迭代公式。首先，在无结点线位移刚架中取结点A作隔离体，可写出力矩平衡方程（图1e）MABMACMADMAE=0可简写为、MAj=0（c）A这里Aj表示与结点A相连的任一杆，Z表示对交于A点的所有各杆求和。将式（1）的第一式代入式（c）,得,._1,._一一.二.MAj,二.MjAmAj=0A2AA引用符号mA=：,mAj（2）AmA表示交于结点A的各杆在A端的周端弯矩之和。于是，结点A的力矩平衡方程可表示为-1，.）

4、.乙MAj=.乙MjAmA（d）A21A）其次，考虑到在刚结点A处相连各杆的杆端转角”彼此相等，由式（b）可知MAj4iAjAAj=（e）-MAj-4-lAjA!-iAjAAA令=-VAjx.(1)+1（他端转角弯矩）+该端周端弯矩2也称为Aj杆的转角弯矩分配系数（结点分配系数）。式（e）可写成MAj=jMAj（f）A相交于A点的各杆的A端转角弯矩MAj等于结点A的总转角弯矩ZMAj按分配A系数,分配给各杆，而分配系数也等于杆Aj的线刚度与交于A点的各杆线刚度之和的比值。同一结点各杆转角弯矩分配系数之和应等于1,即ji（g）A最后，将式（d）代入式（f）,得，11，/、MAj-Aj学MjAmA

5、（4）2A式（4）即为无结点线位移刚架的转角弯矩的迭代公式，此式对刚架中的任一结点A都适用。对于结点A来说，式（4）的左边是杆的近端转角弯矩，右边则与远端转角弯矩和结点不平衡力矩有关。应用迭代公式（4）时，先将前一轮已经求出的远端转角弯矩代入公式右边，于是就求出新一轮的近端转角弯矩。3.计算步骤用力矩迭代法计算无结点线位移刚架的步骤可归纳如下：（1）计算由载荷产生的各杆的周端弯矩，由式（2）求出各结点的不平衡弯矩mAo（2）用式（3）计算刚结点处各杆的转角弯矩分配系数。（3）用迭代公式（4）求各杆的（近端）转角弯矩MAj0在第一轮，可设远端转角弯矩为零，由式（4）求得转角弯矩的第一轮近似解。在

6、以后各轮，远端转角弯矩采用前一轮的近似值，由式（4）求得转角弯矩的新的近似值。经过多次迭代计算，直至各杆转角弯矩的值趋于稳定为止。（4）最后一步是用式（1）计算各杆端的最后弯矩。最后说明一下力矩迭代法和力矩分配法的关系。现以力矩分配法的观点重新解释一下力矩迭代法的主要迭代公式（4）。式（4）右边括号内的第二项mA为结点A由载荷作用产生的不平衡弯矩，第一项为j点传来的传递弯矩（j端转角弯矩的一半），所以括号内为结点A的总不平衡力矩。为使A点平衡，需在A点施加负值的不平衡力矩，然后按各杆的弯矩分配系数隈分配给各杆，得各杆的分配弯矩MAj（即转角弯矩）。从以上的解释可以看出，力矩迭代法与力矩分配法在

7、原理上是一样的，都是以位移法作为理论基础、以杆端弯矩表示的渐近解法。但在具体计算时，两者又有区别，在力矩迭代法的迭代公式（4）中，计算的是转角弯矩的全值；而在力矩分配法中，每一次计算的是分配弯矩（和传递弯矩）的增量。当渐近过程结束时，在力矩迭代法中杆端转角弯矩应趋于稳定；而在力矩分配法中分配弯矩的增量应趋于零。二力矩迭代法计算有侧移的刚架本节进一步将力矩迭代法用于计算有侧移刚架，基本思路与上节相同，但需补充考虑结点线位移的影响及其计算方法。1、转角弯矩和位移弯矩在有结点线位移的刚架中，任一等截面杆件AB（图2a、b）的杆端弯矩公式为1MAB=MAB2MBAMABmAB2（5）1MBA-MBA_

8、MABMBAmBA2与式（1）相比，上式右边增加了一项MAB和MBA,它们是由于杆件两端有相对位移AAB而产生的杆端弯矩，称为位移弯矩：式（5）可用文字表述如下：1杆件某端弯矩=该端转解弯矩+-（他端转角弯矩）+该端位移弯矩+该端周2端弯矩其中转角弯矩表示结点角位移的影响，位移弯矩表示结点线位移的影响，周端弯矩表示结点完全被约束时荷载作用的影响。MAB=MBA=6i；：ABlAB图2在有侧位移刚架中，由于存在结点角位移和线位移两类基本未各量，存在转角弯矩和位移弯矩两类未知杆端弯矩， 因此需应用结点力矩平衡和楼层截面水平力平衡两类平衡方程导出关于转角弯矩和位移弯矩的两类迭代公式。2、转角弯矩的迭

9、代公式上节根据结点力矩平衡方程和转角弯矩分配系数的概念导出了无侧移情况的转角弯矩迭代公式（4）现在按照同一思路导出有侧移情况的转角弯矩迭代公式。首先，取结点A为隔离体（图2c）,写出力矩平衡方程、MAj=0A1MAj-、2A其次，根据式（3）,引入转角弯矩分配系数，可由结点A的总转角弯矩ZMAjA求出Aj杆的A端转角弯矩MAj,即MAjxmAjA由此得-MAjA1一一-(一MjAMAimA)ojAAjA，(c)(d)因为第丫层内各柱的高度相同，（即：同层同高）均为hy,即hAB=hy；由式MAj-MAjA1（6）-Aj（六MjA八MAjmA）2AA式（6）是有侧移刚架的第一类迭代公式，此式用于

10、求新一轮的杆端转角弯矩。3、位移弯矩的迭代公式根据楼层截面水平力平衡条件和位移弯矩分配系数的概念可导出关于位移弯矩的迭代公式。图2d表示沿第丫层各柱柱顶作一截面所得的隔离体。考虑作用于些隔离体上各水平力的平衡X=0,可得、PJQAB=0V(a)式中工P为第丫层柱顶截面以上所有水平荷载的总和，称为楼层剪力，水平荷载以向右为正；QQAB为第丫层力各柱柱顶截面剪力之和。作用于柱AB的杆端剪力为0MABMBAQAB=QAB一hAB式中QAB表示该柱在两端简支情况下由荷载产生的剪力。将杆端弯矩公式（5）代入上式，得0(mABmBA)QAB_QAB；hAB13.3.(-MAB-MBA2MAB)hAB22则

11、有令QAB表示柱AB的固端剪力，即QAB=QAB1,、(mAB-mBA)hAB13.3.QAB=QAB一-(二MAB二MBA2MAB)hAB22将QAB代入式（a）,则截面水平平衡方程可写为AB33.(”AB/BA2MAB)=0(b)(b),有工MAB=-312h-aP-ZQAB）十MAB+ZMBA1（c）443yyy为了表达简明，再引入以下符号2.,一一一 h、/小m=-h（vPQAB）（8）3这里m?称为第丫层的楼层力矩。式（c）变为3MMAB=二|m?+MAB+EMBA44一尸y_由上式可以求出第Y层内所有各柱的位移弯矩之和。因为MAB=-6i&AB/hy,而在一楼层内AAB/h丁为一常

12、数， 故分配到该层各柱内的位移弯矩与其相对正比。 因此有一一-3-一一MAB=VABZMAB=-TVABmy+Z(MAB+MBA)44手式中一iABAB二,二.iAB为AB杆的位移弯矩分配系数。在同一层内各柱位移弯矩分配系数之和应为下面为了迭代运算的方便，将上两式改写为i值成1.MAB-VAB|my+Z(MAB+MBAJ、1(9)3iABAB-4iABY(10)VAB称为AB杆修正后的位移弯矩分配系数（侧移分配系数），以后就称为位移弯矩分配系数。这样，在同一层内各柱修正的位移弯矩分配系数之和变为3/4。式（6）和式（9）即为有结点线位移刚架的转角弯矩和位移弯矩的迭代公式。注意：若第丫层内各柱的

13、高度不相同（即：同层不同高），此时可选择多数相等的柱高为标准柱（层）高，并引入层高影响系数：、=庄，则（9）,（10）两式lij式中变为：MAB=-、AB.|mjij(MABMBA),r3，ijABAB二T4:AB按照上面的公式，用力矩迭代法计算有结点线位移刚架的步骤可表述如下(1)计算由荷载产生的各杆的周端弯矩， 由式(2)求出各结点的不平衡弯矩mA；由式(7)计算由荷载产生的各柱的固端剪力，由式(8)求出各层的缕层力矩。(2)用式(3)计算结点处各杆的转角弯矩分配系数；用式(10)计算各层各柱的位移弯矩分配系数。(3)用式(6)计算各杆的转角弯矩，用式(9)计算各柱的位移弯矩。这里是交替地

14、运用这两个式子进行演算，即逐次迭代；直至达到所需精度时为止。迭代的的顺序可以任意。但通常仍按一定的顺序，如无水平荷载作用时，常先从计算转角弯矩开始；当有水平荷载作用时，则常先从计算位移弯矩开始；并均按照一定的结点和楼层顺序进行。(4)最后，用式(5)计算各杆的杆端弯矩。迭代法计算公式汇总：mA=ZmAj(2)结点不平衡弯矩；A豆ij=W层高影响系数，h,为标准柱(层)高；lij也=匚(3)结点分配系数iAjA3%iAB，一VAB=J2(10)侧移分配系数4：-ijiABr232my=hy(ZP-ZQAB)(8)楼层号矩3其中P为外水平力之和；QAB为楼层各柱顶剪力之和(即周端剪力)；MAj=-

15、j(1ZMjA+MA；+mA)(6)转角迭代公式；-2AAMAB=fABm“：U(MABMBA),r(9)侧移迭代公式;例1 1用力矩迭代计算图3所示刚架各杆的杆端弯矩解：（1）各结点的不平衡弯矩和各层的楼层力矩各杆的周端弯矩为0.562mDA=-mAD=1.5kN.m12然后，算出各结点的不平衡弯矩mG=1.5kN.m%mD-1.5-1.5-0将各结点的不平衡弯矩写在各结点的内框中各柱的固端剪力为-1八八/.4.QGD=-0.56=-1.5kN-1QDA=0.56=1.5kN2各楼层剪力为第2层顶P=0第1层顶PP=0.%6=k3N由式（8）,各层的楼层力矩为.一2.1m2=-h2rPQ=-

16、60-(-1.5).1-6kNm3m1=2h1rP-Q)=26l3-(-1.5).1-18kNm33将这些固端弯矩写在图入的转角弯矩有所区别。4中各杆端部,并在其下边画一虚线，以便和以后写mGD=_mDG0.56212=1.5kN.m图 3将这些楼层力矩写在图4中各承受荷载的左方的方格内0.534-0.0801.8302.309EH1.50-0.3342.4090.045-0.3872.436-0.006-0.4002.438-0.028-0.032-0.0331.500.3420.3290.3480.3560.357-2.250-2.493-2.467-2.463-2.4630.1530.1

17、930.2010.2030.203-2.250-2.493-2.467-2.463-2.4630.1070.0630.0470.0430.0420.056口0.1111.500.6770.6530.6900.7050.7095.0834.8995.1795.2945.320-3.852-4.221-4.228-4.234-4.2371.6200.9610.7120.6590.6470.0300.06055405540554055401.6200.9610.7120.2140.6590.1270.6470.0940.0870.085-3.852-4.221-4.228-4.234-4.237(2

18、)转角弯矩分配系数和位移弯矩分配系数以结点D为例，各杆端的转角弯矩分配系数为DEiDe1.51.50.10.2DG0.1DA“.iD1.80.21.84.1534.8905.0035.0335.04233RO33RO920092001.5二0.8331.80.0560.111将各结点杆端的转角弯矩分配系数写在结点处内、0.8330.9801.0031.0081.011-5.796-6.351-6.362-6.371-6.376外方框之间的杆端相应位置。以底层(第1层)柱为例，各柱位移弯矩分配系数为将各层各柱的位移弯矩分配系数写在图4中各柱中间的左旁。(3)迭代计算位移弯矩和转角弯矩本例题中因位

19、移弯矩的数值大于转角弯矩数值，故从位移弯矩的计算开始。起算时先假设各转角弯矩为零，从式(9)可得各层各柱的位移弯矩的第一次近似值如下：第2层各柱，MDG=MEH=0.3756+0=2.25kNmMAD-MBE=0.214180-3.852kNmMCFu-0.322180.1-5.796kNm结果写在各柱的右侧边。然后，进行转角弯夕!的计算。用式(6)计算各结点转角弯矩的第一次近似值，开始时仍假设各杆远端转角弯矩为零，当有了远端转角弯矩值后，即按其值计入。计算结点顺序为D，E，F，G，H。如结点D,MDA=-0.1110+(-2.25-3.852)+0=0.677kNmMDE-0.83310(-

20、6.102)-5.083kNmMDG-0.05610(-6.102)I-0.342kNm结点E,MEB=0.0611M5.083+(2.253.852)+01=0.214kNm_2MED=MEF-0.4551-3.561)-1.620kNmMEH-0.031-3.561.1-0.107kNm结点F,MFC=-0.167-1.620(-5.796)0=0.833kNm_2MFE=-0.8331-4.9861-4.153kNm将各结点的转角弯矩第一次近似值写在图4中各杆端的相应位置。第一轮迭代计算结束后，可以按照同样的顺序，进行第二、三、轮迭代计算。本倒是图4中进行了五轮迭代。第四、五轮数值已稳定

21、，迭代停止。用式(5)计算各杆杆端弯矩。图4中已有各杆的固端弯矩mAB和求出的近端转角弯矩M；B,位移弯矩MAB，只需把远端的转角弯矩MBA传过一半(即3iDADA=.EB=；4i130.24(0.20.2.03)30.240.7=0.2143iFc4i30.340.7=0.3221-M；B),叠加在一起即得最后杆端弯矩MABO结果小于图5a中,杆端弯矩。弯矩图如图5b所示。(a)1.5-070330.179-2.463-0.4001.2192.438-0.2000.2030.021-2.4630.8192.2382.239-0.8171.50.042035r-0.0170.102-2.463

22、-2.463D-3.623E-2.319F1.505.3200.6470.0850.6475.0421.0110.7090.3242.660-4.2372.5210.324-6.376-4.2375.6443.307-4.1523.1685.366-5.365-2.028-1.5007355-4.237-5.3820.043-4.237-4.1940.505-6.376ABC-5.877GH横线下为最后(b)三多层多跨刚架的近似计算用精确法计算多跨多层刚架，常有大量的计算工作，如不藉助于计算机，往往无法进行计算。近似法可以在一定条件下，以较小的工作量，取得较为粗略的解答，具有一定的实际意义。下

23、面介绍几种常用的近似方法。1、分层计算法分层计算法适用于多层多跨刚架承受竖向荷载作用下的情况，其中两个近似假设：第一，忽略侧移的影响，用力矩分配法计算。第二，忽略每层梁的竖向荷载对其他各层的影响，把多层刚架分解成一层一层地单独计算。例如，图6a所示为一个四层刚架，可按层分为图64b所示的四个刚架分别计算。除底层外，每个柱同属于相邻两层刚架，因此柱的弯矩应由两部分叠加得为了说明第二个假设，我们来分析某层的竖向荷载对其他各层的影响问题。首先，荷载在本层结点产生不平衡力矩，分配和传递，才影响到本层柱的远端。然后，在柱的远端再经过分配，才影响到相邻的楼层。这里经历了“分配一传递一分配”三道运算，余下的

24、影响已经较小，因而可以忽略。在各个分层刚架中，柱的远端都假设为固定端。除底层柱底外，其余各柱的远端不是固定端，而是弹性约束端。为了反映这个特点，在各个分层刚架中，可将上层各柱的线刚度乘以折减系数0.9,传递系数由1改为。23分层计算的结果，在刚结点上弯矩是不平衡的，但一般误差不会很大。如有需要，可对结点的不平衡弯矩，再进行一次分配。2、反弯点法上面介绍的分层计算双只能应用于多层多跨刚架承受竖向荷载作用下的情况，面不能应用于承受水平荷载作用下的情况。因为这时既不能忽略侧移的影响，而且荷载的影响也不局限在本层。(b)N1II田反弯点法是多层多跨刚架在水平结点荷载作用下最常用的近似方法，对于强梁弱柱

25、的情况最为适用。反弯点法的基本假设是把刚架中的横梁简化为刚性梁。例如，图7a所示简单刚架，横梁与立柱线刚度之比为卜=3,属于强梁弱柱ic7b所示。如果采用反弯点法，则假设第=电，按图8a的的情况。其弯矩图如图理想刚架计算。这时,立柱中点的弯矩为零（刚架变形的特点是结点有侧移而无转角；弯矩图的特点是8b）,利用这个特点,出。第一步，由于对称性，得知各柱剪力为反弯点）在立柱中点，可知各柱两端弯矩为整个弯矩图即可按下列程序直接画P.,”一，一Q=-;第二步，由于弯矩零点（即hPhM=Q=一，由此可回出立柱的22弯矩图；第三步，根据结点的平衡条件，可求出梁端弯矩,由此看出,简化。在反弯点法中，由于近似

26、地规定了反弯点位置,并画出横梁的弯矩图。从而使计算工作大为(b)ibic(c)(d)-0-0icib-ic/ib二：ic0.947PhPh1.0534Ph4.ifllllPh0.9471Q=PPh4图8另一方面，从图7b和8b看出，弯矩的相对误差只有5%。1.053匕4Ph4PQ=-2Ph4由此看出，如果梁柱线刚度比值k3,则可采用反弯点法计算，并能得到较好的精度。ic反弯点法也可应用于各柱刚度不相等的刚架。在图9a中，横梁为刚性梁；左柱线刚度为ii,高度为hi；右柱线刚度为i2,高度为h2。由于两柱侧移A相等,因此，两柱的剪力应为（图9b）:-12i1,Qi=2=kih2、Q23fh2这里，

27、k=123是柱的侧移刚度系数，即柱顶有单位侧移时所引起的剪力h2由平衡条件，两柱剪力的和应等于等于P,即Q1Q2=P由式(a)和(b)可求出kQi=PZki=1/、一(c)Q2=-kPkiim*由此看出，各柱剪力与该柱的侧移刚度系数k成正比，4 称为剪力分配系数。、k因此，荷载P按剪力分配系数分配给各柱。由于弯矩零点在柱中点，故可作出刚架弯矩图如图9c所示。图9综上所述，反弯点法的要点可归纳如下：(1)刚架在结点水平荷载作用下，当梁柱刚度比值 3 至3时，可采用反弯点ic法计算。(2)反弯点法假设横梁相对线刚度为无限大，因而刚架结点不发生转角，只有侧移。(3)刚架同层各柱有同样侧移时，同层各柱

28、剪力与柱的侧移刚度系数成正比。每层柱共同承受该层以上的水平荷载作用。各层的总剪力按各柱侧移刚度所占的比例分配到各柱。所以，反弯点法又可称为剪力分配法。(4)柱端弯矩是由侧移引起的，所以，柱的反弯点在柱中点处。在多层刚2架中，底层柱的反弯点常设在柱的2局度处。3(a)(b)1 12:2:1 12 2，PIPI- - -7 7- - -0.廿whQ(5)柱端弯矩根据柱的剪力和反弯点的位置确定。梁端弯矩由结点力矩平衡条件确定，中间结点的两侧梁端弯矩，按梁的转动刚度分配不平衡力矩求得。例用反弯点法计算图10所示刚架，并画出弯矩图。括号内数字为杆件线刚度的相对值。解：设柱的反弯点在高度中点。本例中，因为

29、底层梁与柱的线刚度比较大，所以底层柱的反弯点没有设在柱的2/3高度上， 仍设在高度中点。 在反弯点处将柱切开， 隔离体如图10所示。(1)求各柱剪力分配系数巳=、ki3/EH=0.4282238kN图10-GD2%=0.286223顶层17kN3.6m4.5mmm以结点E为例说明杆端弯矩的计算。杆端弯矩M=_Qh2MEHQHE-23.3=-3.42一=-5.64kNm2%3.6MEB二一QBE上=T0=-18kN22计算梁端弯矩时，先求出结点柱端弯矩之和为m=MEHMEB-5.64-18-23.64kNm按梁刚度分配:底层8kNQGDQHEQIF17kN，AD，EBQBEBE计算各柱剪力计算杆

30、端弯矩QCDQFEQADQBE11-LI一 FC=0.34=0.4324=QIF=0.2868=2.29kN=0.4288=3.42kN=QCF=0.325=7.5kN=0.425=10kNMED23.64=10.51kNm2715MEF=23.64=13.13kNm27图12是刚架弯矩图。括号内数值是精确法计算的杆端弯矩。图12最后指出，对于横梁与柱线刚度比小于1的刚架，有一种广义反弯点法一一D值法可以计算。3.复式刚架的剪力分配法复式刚架是指一层或数层横梁不全部贯通的刚架（图13）。这种刚架可假设其横梁i=二，采用剪力分配法进行近似计算。前已指出，在没有杆端转角的条彳下，单个柱的侧移刚度为

31、k=11。现在h2进一步讨论几个柱并联或串联的情况。图13图14a、b所示为一组平行柱，各柱的一端为固定，另一端由刚性横梁连接在一起，这种连接方式称为并联。显然，并联各柱的总侧移刚度为各柱侧移刚度12之和。用水平力P,则各柱剪力都等于P,串联各柱的总侧移为各柱侧移之和:12i112i2PP=一十一+|k1k2112+2 十川k1k2P:.ki故串联各柱的总侧移刚度为一利用并联柱和申联柱的概念，可以极简便地计算复式刚架。下面通过例题来说明。例用剪力分配法计算图16a所示复式刚架。hzi2hiii图15h31ah2i2h1i1组柱彼此串联的情况，各柱两端转角均设为零。设在顶点作Ph：Ph；中12-III(b)图14图15