第一部分题型专项练压轴题提分练(一)

1、压轴题提分练（一）1. （2018威海模拟）已知椭圆C:2 2x y孑+ b2= i> b> 0)的离心率为且过点，,动直线I: y= kx+ m交椭圆C于不同的两点A, B,且OA OB= 0（O为坐标原点）.（1）求椭圆C的方程.（2）讨论3m2 2k2是否为定值？若为定值，求出该定值，若不是请说明理由. 解析：（1）由题意可知C = ¥，所以a2= 2c2= 2（a2 b2），即a2 = 2b2,a 2又点p（¥，中）在椭圆上，所以有4+4b2=1，2 2由联立，解得b = 1， a = 2,2故所求的椭圆方程为2+y2= 1.(2)设 A(x1, y1)

2、，B(X2, y2)，由 OA OB= 0,可知 X1X2 + yy2 = 0.y= kx+ m,联立方程组x22G+y =1,2 2 2消去y化简整理得(1 + 2k )x + 4kmx+ 2m 2 = 0,.2 222/口22 十、4km由= 16k m 8(m 1)(1 + 2k )>0,得 1+ 2k >m ,所以 X1 + x2 = 2, X1x21+ 2k22m2 221 + 2k2又由题知X1X2 + y1y2= 0,即 X1X2 + (kx1 + m)(kx2 + m) = 0,22整理为(1+ k )x1x2 + km(x1 + X2)+ m = 0.22 2m

3、24km 2将代入上式，得(1 + k )2 km + m = 0.1 + 2k21+ 2k22 23m 2 2k2221+ 2k2化简整理得=0,从而得到3m2 2k2 = 2.222. (2018 南宁二中模拟)设函数 f(x)= a lnx+x ax(a R).(1)试讨论函数f(x)的单调性;设(Kx) = 2x+ (a2 a)ln R)有两个不相等的实根xi , X2,证明 h'解析：(1)由 f(x) = a2lnx+ x2 ax,可知2 2 2 a2x 一 ax一 af' (x)= + 2x a=x2x+ a x ax .因为函数f(x)的定义域为(0,+x)，所

4、以,若a>0,当x0, a)时，f' (x)v0函数f(x)单调递减，当xG(a, +)时,>0,函数f(x)单调递增;若a = 0时，f' (x) = 2x>0在xq0,+8)内恒成立，函数f(x)单调递增;若av0,当xq0,a,f' (x)v0,函数f(x)单调递减，当x(2时，f' (x)>0,函数f(x)单调递增.2(2)证明：由题可知 h(x) = f(x) + K(x) = x + (2 a)x aln x(x> 0),2a 2x + 2 ax a 2x a x+ 1 所以 h (x) = 2x+ (2 a) x=入所

5、以当 x0, |)时，h' (x)v0；当 xq|,+8)时，h' (x)>0x="2时，h' ©x1 + x2欲证h' (一 )>0,只需证h'(x1 + x2aa) >h'，又 h(x)二 2+ 子>0,即 h' (x)x,记 h(x)= f(x) + K(x),当 a>0 时，若方程 h(x) = m(mXi + X2 a单调递增，故只需证明>|.设xi, X2是方程h(x) = m的两个不相等的实根，不妨设为0<xi<X2,+ ,21 2Xf njjyn则aln

6、xi= m,aln X2= m,22两式相减并整理得 a(xi X2+ In xi In X2)= xi X2 + 2xi 2x2,2 2 Xi X2+ 2xi 2x2 从而a =xi x2+ In xi In x22 2故只需证明2 xi x2 + In xi In X2xi + x2xi X2+ 2xi 2x222X1 X2+ 2xi 2X2即 Xi + X2>.(*)xi X2 + In xi In X2因为 xi X2+ In xi In X2V0,2xi 2x2所以(*)式可化为In xi In X2VXi + X2即 InXi<xiLi因为 0<Xi<X2,所以 0<：< i,不妨令t=予，所以得到In t<22, t qo,i).X2t+ i记 R(t) = In t 2t, tqo,i)，所以 R' (t) = f 匕=上 i 2>0,当且仅当 tt+ it (t+ i)2 t(t + if=i时，等号成立