曲边梯形的面积与定积分ppt课件

1、一、求曲边梯形面积的一般步骤一、求曲边梯形面积的一般步骤二、定积分二、定积分1.函数函数f(x)在区间在区间a, b上的定积分的概念上的定积分的概念;1002.( )?3.( )lim( )?banbiiaif x dxf x dxfx的几何意义是什么如何理解4.定积分是变量还是常量定积分是变量还是常量?5.定积分的作用是什么定积分的作用是什么?教材研读教材研读 1.曲边梯形：在直角坐标系中，由连续曲线y=f(x)，直线x=a、x=b及x轴所围成的图形叫做曲边梯形。Ox y a b y=f (x)一一. . 求曲边梯形的面积求曲边梯形的面积x=ax=b曲边梯形的特点 、只有一边是曲线 、其他三

2、边是特殊直线如何求曲线下方如何求曲线下方“曲边梯形的面积。曲边梯形的面积。xy0 xy0 xyo直线直线几条线段连成的折线几条线段连成的折线曲线？曲线？ y = f(x)bax yO A1A A1.用一个矩形的面积用一个矩形的面积A1A1近似代替曲边梯形的面积近似代替曲边梯形的面积A A，得得A A1+ A2用两个矩形的面积用两个矩形的面积 近似代替曲边梯形的面积近似代替曲边梯形的面积A， 得得 y = f(x)bax yOA1A2A A1+ A2+ A3+ A4用四个矩形的面积用四个矩形的面积 近似代替曲边梯形的面积近似代替曲边梯形的面积A， 得得 y = f(x)bax yOA1A2A3A

3、4 y = f(x)bax yOA A1+ A2 + + An 将曲边梯形分成将曲边梯形分成 n n个小曲边梯形，并用小矩阵形的个小曲边梯形，并用小矩阵形的面积代替小曲边梯形的面积，面积代替小曲边梯形的面积， 于是曲边梯形的面积于是曲边梯形的面积A A近近似为似为A1AiAn 以直代曲以直代曲, ,无限逼近无限逼近 问题探究问题探究 （1分割：将曲边梯形分成分割：将曲边梯形分成 n个小曲边梯形个小曲边梯形例例1.求抛物线求抛物线y=x2、直线、直线x=1和和y0所围成的所围成的曲边梯形的面积。曲边梯形的面积。 n1n2nknnxOy2xy （2近似代替近似代替 ：用小矩形的面积代替小曲边：用小

4、矩形的面积代替小曲边梯形的面积，梯形的面积， 于是曲边梯形的面积于是曲边梯形的面积S近似为：近似为：S S1+ S2 + + Sn（1分割分割把区间把区间0，1等分成等分成n个小区间：个小区间：,nn,n1n ,ni,n1i ,n2,n1,n1, 0 n1n1inix 每个区间的长度为过各区间端点作过各区间端点作x轴的垂线，从而得到轴的垂线，从而得到n个小个小曲边梯形，他们的面积分别记作曲边梯形，他们的面积分别记作.S,S,S,Sni21 （2近似代替近似代替 n1)n1i(x)n1i(fS2i（3求和求和11)()() n12nii 1nn2ii22223SSSSSi-1 1i-11 f(n

5、nnn1 012n1n（4求极限求极限。面积为，即所求曲边三角形的所以时，亦即当分割无限变细，即3131S31)n12)(n11 (61) 12n(n) 1n(61n1) 1n(210n1)n(0 x322223 分割分割近似代替近似代替 求和求和求极限求极限我行我行 我能我能 我要成功我要成功 我能成功我能成功例例1.求抛物线求抛物线y=x2、直线、直线x=1和和y0所围成的曲边梯形的面所围成的曲边梯形的面积。积。 n1n2nknn21112222223311 1()()11121110 1(12(1) )1 (1) (21)611112.6nnnniiiiiiSSfxnnnnnnnnnnn

6、nnnn nnnn xOy解把底边解把底边0,10,1分成分成n n等份等份, ,然后在每个分点作底边的垂线然后在每个分点作底边的垂线, , 这样这样曲边三角形被分成曲边三角形被分成n n个窄条个窄条, , 用矩形来近似代替用矩形来近似代替, ,然后把这些小然后把这些小矩形的面积加起来矩形的面积加起来, , 得到一个近似值得到一个近似值: :2xy 因此因此, , 我们有理由相我们有理由相信信, , 这个曲边三角形这个曲边三角形的面积为的面积为: :lim111lim1261.3nnnSSnn n1n2nknnxy2xy O n1n2nknnxOy2xy 方案方案1方案方案2小结小结: :求由

7、连续曲线求由连续曲线y=f(x)y=f(x)对应的曲边对应的曲边梯形面积的方法梯形面积的方法 有理由相信，分有理由相信，分点越来越密时，即分点越来越密时，即分割越来越细时，矩形割越来越细时，矩形面积和的极限即为曲面积和的极限即为曲边形的面积。边形的面积。（1 1分割分割 （2 2近似代替近似代替 把这些矩形面积相加把这些矩形面积相加 作为整个曲边形面积作为整个曲边形面积S S的近似值。的近似值。 （4 4取极限取极限 0()xn或oxy（3 3求和求和 100limniixiSf xx 当分点非常多当分点非常多n非常大时，可以认为非常大时，可以认为f(x)在小区间上几乎没有变化或变化非常小），

8、从在小区间上几乎没有变化或变化非常小），从而可以取小区间内任意一点而可以取小区间内任意一点xi对应的函数值对应的函数值f(xi)作为小矩形一边的长，于是作为小矩形一边的长，于是f(xi) x来近似表示来近似表示小曲边梯形的面积小曲边梯形的面积1122nnf(x ) xf(x ) xf(x ) x表示了曲边梯形面积的近似值表示了曲边梯形面积的近似值)(n1in1inlimf上任意一点为区间i,1iinn端点右一般用左为了便于计算)(,黄色部分曲边梯形SSnlim10( )niiifx 011110,max,0,1,2,1,1,2,0,iiniiiIniiif xa baxxxxxba bnxin

9、xxinIfx如果函数在区间上连续 用分点将区间等分成 个小区间在每个小区间上任取一点作和式当时 上述和式无 1100,( )li,m()lim.baninnbiaiiifxa bff x dxfxx dxbafn限接近某个常数 这个常数叫做函数在区间上的记作即定定积积分分函数函数f(x)在区间在区间a, b上的定积分的概念上的定积分的概念; ,.积分下限积分上限积分区间被积函数这里与 分别叫做与区间叫做函数叫做叫做叫积分被积式做变量aba bf xxf x dx函数函数f(x)在区间在区间a, b上的定积分上的定积分,记作记作:011()li( )( )m( )niinbianiif x d

10、xfxbafn badxxf)(1.定积分的概念定积分的概念:知识归纳知识归纳2.定积分的几何意义定积分的几何意义:在区间在区间a, b上函数上函数f(x)连续且恒有连续且恒有f(x)0. 表示由直线表示由直线x=a, x=b(ab), y=0和曲线和曲线y=f(x)所围成的曲边梯形的面积所围成的曲边梯形的面积(因而定积因而定积分是一个确定的常数分是一个确定的常数)abxy)(bf)(xfy 0)(af2.定积分的几何意义定积分的几何意义:在区间在区间a, b上函数上函数f(x)连续且恒有连续且恒有 f(x)0. 表示由直线表示由直线x=a, x=b(ab), y=0和曲线和曲线y=f(x)所

11、围成的曲边梯形的面积所围成的曲边梯形的面积(因而定积因而定积分是一个确定的常数分是一个确定的常数)3.定积分的作用定积分的作用 求曲边梯形的面积求曲边梯形的面积abxy)(bf)(xfy 0)(af 应用应用1: 用定积分的概念用定积分的概念, 写出写出 抛物线抛物线y=x2与直线与直线x=1, y=0所围成所围成的阴影部分的面积的阴影部分的面积知识应用知识应用 11200,1.3根据定积分的概念曲边梯形的面积Sf x dxx dx120(1)(,)(2)1badxbaa babx dx证明其中均为常数 且 求的大小应用应用2: 应用应用3: 请利用定积分的几何意义，请利用定积分的几何意义，表示出阴影部分的面积表示出阴影部分的面积S.abxy0ACBD)(1xfy )(2xfy .dxxfdxxfS,ba2ba1容易发现 20202102102_4)2(_)1(dxdxxdxxxdx应用应用4: 比较下列各式的大小比较下列各式的大小:请利用定积分概念请利用定积分概念, 解释定积分的下列性质解释定积分的下列性质:)( )()()()3()()()()()2()()()()1(2121bc