第七章解析几何与微分几何SECTION5.

1、5 二次曲线一、圆圆的方程、圆心与半径 方程与图形圆心与半径x2 + y2 = R2xRcost圆心G(0,0)或Rsin ty半径r = R(参数方程， t 为动径 OM与 x 轴正方向的夹角 )(x a)2+(yb)2 = R2xaR cost或bR sinty(参数方程， t 为动径 OM与 x 轴正方向的夹角 )x2 + y2 + 2mx + 2ny + q = 0m2 + n2 q2 + 2 (mcost + nsint) + q= 0 (极坐标方程 )22 cos() +2000= R2 (极坐标方程 )x2 + y2 = 2Rx或 = 2Rcos(极坐标方程 )x2 + y2 =

2、 2Ry或= 2Rsin(极坐标方程 )圆心G(a, b)半径r = R圆心G(-m, n)半径rm2n 2q圆心G( ,0)0半径r = R圆心G(R, 0)半径r = R圆心G(0,R)半径r = R 圆的切线 圆 x2 + y2 = R2 上一点 M(x0, y0)的切线方程为 x0x + y0y = R2圆x2 + y2 + 2mx + 2ny + q = 0上一点 M(x0, y0)的切线方程为x0x + y0y + m(x + x0) + n(y + y0) + q = 0 两个圆的交角、圆束与根轴方 程与图形两个圆的交角C1x22111+ y + 2m x + 2n y + q

3、= 0C2x2 + y2 + 2m2x + 2n2y + q2 = 0两个圆的交角是指它们在交点的两条切线的夹角圆束 两个圆的根轴CC+C =0(为参数 )12或(2212+ 1)( x + y ) + 2( m +m )x+2(n + n )y + (q +q ) = 01212根轴方程为 2(m- m )x +2(n -121n2)y + (q1 - q2) = 0公式与说明cos2m1m22n1n2q1q222q1222 m1n1m2n2 q2式中 表示两个圆 C1 和 C2 的交角，因为公式中不包含交点的坐标，所以在两交点的两交角必相等 .两个圆 C1 和 C2 正交条件为2m1m2

4、+ 2n1n2 - q1 - q2 = 0对 ( - 1)的一个确定值， C 表示一个圆 .当 取一切值 ( - 1)时，C 所表示的圆的全体， 称为圆束 . = - 1 时，为一直线，称为两个圆 C1 和 C2 的根轴 .根轴与 C1 和 C2 的连心线垂直，束中任一圆 C 的圆心在 C1 和 C2 的连心线上，且分连心线的比等于 .(a)如果 C1 和 C2 相交于两点 M1，M2，则束中一切圆都通过两交点 M1， M2，它们的根轴就是它们的公共弦 .这时圆束称为共轴圆系 (图(a).(b)如果 C1 和 C2 切于一点 M，则束中一切圆都在一点 M 相切，根轴就是在点 M 的公切线 (图

5、(b). (c)如果 C1 和 C2 不相交，则束中一切圆都不相交，根轴也与圆束中一切圆都不相交(图 (c).从点 P 作两个圆 C1 和 C2 的切线，具有相等切线长的点 P 的轨迹就是根轴 .两个同心圆的根轴是从公共圆心到无穷远处的直线 .三个圆中每对圆的根轴 (共三个 )交于一点，它称为根心 .若三个圆心共线，则其根心在无穷远处 . 反演 设 C 为一定圆， O 为圆心， r 为半径 (图 7.1)，对平面上任一点M，有一点 M 与它对应.使得满足下列两个条件：（ i ）O, M, M 共线，（ ii ）OM OM = r2 ，这种点 M 称为点 M 关于定圆 C 的反演点， C 称为反

6、演圆， O 称为反演中心， r 称为反演半径 .由于 M 和 M 的关系是对称的，所以M 也是 M 的反演点 .因 r2 0，所以M和M都在O的同侧 .M 和 M 之间的对应称为关于定圆C的反演.取 O 为原点，则一切反演点M(x, y)和 M x ,y )的对应方程为xr 2 x2 , yr 2 y2y2y2xx反演具有性质：1不通过反演中心的一条直线变为通过反演中心的一个圆.2通过反演中心的圆变为不通过反演中心的直线 .3通过反演中心的一条直线变为它自己 .图 7.14不通过反演中心的圆变为不通过反演中心的圆 .5 反演圆变为它自己 .6 与反演圆正交的圆变为它自己，其逆也真 .7 如果两

7、条曲线 C1，C2 交于一点 M，则经过反演后的曲线 C1 , C2 必交于 M 的反演点M .8如果两条曲线C1, C2 在一点 M 相切，则经过反演后的曲线C1 , C2 必在 M 的反演点M 相切 .9两条曲线的交角在反演下是不变的.由此可见，反演是一个保角变换.二、椭圆1椭圆的基本元素主轴 (对称轴 )长轴AB2a短轴CD(a b 0)2b顶点A,B,C,D椭圆中心G焦点F1, F2焦距F1F22c, ca2b2离 心 率ec1a压缩系数b2, 21 e2a焦点参数b2(等于过焦点且垂直于长轴的弦长之半，即 F1 H)pra焦点半径, r (椭圆上一点 (x, y)到焦点的距离 )12

8、r1 = a - ex， r2 = a + ex直径PQ(通过椭圆中心的弦 )图 7.2共轭直径二直径斜率为 k, kb 2，且满足 kk2a准线L1 和 L2(平行于短轴，到短轴的距离为a)e2椭圆的方程、顶点、中心与焦点方程与 图形顶点中心焦点x2y 21(标准a2b 2顶点A, B( a, 0)方程 )或xa costyb sin tC, D(0,b)(参数方程， t 为与 M中心G(0,0)F1, F2(c,0)点对应的同心圆 (半焦点ca 2b 2径为 a, b)的半径与 x轴正方向的夹角 )( x g) 2( y h)2a2b21或xga costy h b sin t (t 同上

9、 )x 2y21b2a 2(ab0)p，e 11ecos(极坐标方程，极点位于椭圆一焦点上，极轴为从焦点指向最近一个顶点的射线，为极角， p, e 如前述 )3椭圆的性质顶点A, B(g a, h)C, D(g, hb)中心G(g, h)焦点F1, F2(gc, h)ca 2b 2顶点A, B(0,a)C, D( b, 0)中心G (0, 0)焦点F1,F (0,c)2ca 2b 2长轴2a2 p1 e2短轴2b2 p1e22 pe焦距2c1e21椭圆是到两定点 (即焦点 )的距离之和为常数 (即长轴 )的动点 M 的轨迹 (r1 + r 2 = 2a).2椭圆也是到一定点 (即焦点之一 )的

10、距离与到一定直线 (即一准线 L)的距离之比为小于1 的常数 (即离心率 )的动点 M 的轨迹 (MF /ME= MF /ME= e).11223椭圆是将半径为 a 的圆沿 y 轴方向按比b (即压缩系数 )压缩而得到 .a4 椭圆上一点 M(x0, y0)的切线 (MT)方程为x0 xy0 y1a 2b2切线把点 M 的两焦点半径间的外角 (即 F1MH)平分 (即 = ,tantanb2),M 点的法cy0线 MN 把内角 (即 F1MF2)平分(图 7.3).如果椭圆的切线 (MT)的斜率为 k,则其方程为ykxk 2 a 2b 2图 7.3式中正负号表示直径两端点的两切线.5 椭圆的任

11、一直径把平行于其共轭直径的弦平分 (图 7.4)如果两共轭直径的长分别为2a1 和 2b1 , 两直径与长轴的夹角(锐角)分别为和,则图 7.4a1b1sin(+) = aba12 + b12 = a2 + b26椭圆上任一点M 的焦点半径之积等于它的对应半共轭直径的平方.7 设 MM , NN 为椭圆的两共轭直径 , 通过 M, M 分别作直线平行于 NN ; 又通过 N, N 分别作直线平行于 MM , 则这四条直线构成的平行四边形的面积为一常数4ab(图 7.5).4.椭圆各量计算公式x2y21a2b 2椭圆各量计算公式 曲率半径 R弧长周长L面积S几何重心 G转动惯量J2233Ra 2

12、b2 xy2(r1 r2 )2pa 4b4absin3式中 r , r2为焦点半径 , p 为焦点参数 ,为点 M(x, y)的焦点半径与切线的夹1角 .特别 , 顶点的曲率半径RARBpb 2 ,RCRDa 2xabarccose2 cos2 t dte2 sin 2 t d t= aa1a2x10arcsina式中 e 为离心率L4a 21e2 sin 2 t dt4aE e,02222式中 ,E e,211e21 3 e41 3 5 e6222432465设ab ,则 L(a b) 124625 8ab46425616384L1.5(ab)ab或 L(ab)64341 ab arccos

13、 x64162扇形 (OAM)面积SOAM2a弓形 (MAN)面积SMANab arccos xxya椭圆面积S =ab椭 圆 形G与O重合半椭圆形GO4b3(a, b 为椭圆的半轴长 )椭圆的转轴通过b 轴J a 2 m 4式中 m 为质量三、双曲线1双曲线的基本元素主轴 (对称轴 )实轴AB2a(a0)虚轴CD2b(b0)顶点A, B中心G焦点F1, F2焦距F1F2 = 2c,ca 2b2离 心 率ec1a2焦点参数bp(等于过焦点且垂直于实轴的弦长之a半,即 F1H)图 7.6焦点半径r1, r2(双曲线上一点 (x, y)到焦点的距离 ,即 MF1, MF2)r 1 =(ex a),

14、 r 2 =(ex + a)直径PQ(通过中心的弦 )共轭直径b2二直径斜率为 k, k ,且满足 kka 2准线L1和 L2(垂直于实轴 , 到中心的距离为 a )e2双曲线的方程、顶点、中心、焦点与渐进线方程 与 图形顶点中心焦点渐近线x 2y21(标准方程 )a 2b2或x a ch t y b sht(参数方程 )或x a sect y b tantx2y 21a 2b 222(与 xy22 1成共轭ab双曲线 )顶点A, B(a,0)中心G(0,0)焦点F , F ( c,0)12ca 2b 2渐 近 线ybxa顶点C, D (0,b)中心G(0,0)焦点1,F2( 0,c)Fca

15、2b 2渐 近 线yb xa( x g )2( y h)2a 2b21方程与图形顶点A, B( ga, h)中心G( g, h)焦点F1 , F2 ( gc, h)渐近线ybh(x g )a顶点中心焦点渐近线p, e1实轴2a2 p1ecose21( 极坐标方程 .极点位于虚轴2b2 p一焦点上，极轴为从焦点背焦距2ce212 pe向顶点的射线， p, e 如前述 .由此方程只能确定一支，另一支可由对称性而得到 )ky(等轴双曲线 )xe21顶点A,B(k ,k )中心G(0,0)焦点F1 , F2 ( 2 k , 2 k )(当 k0 时取同号，k 0时取异号 )轴长AB22 k渐 近 线x

16、0, y0axbycxd(等轴双曲线 )abDcd3.双曲线的性质1 双曲线是到两定点 (焦点 )的距离之差为常数 (等于实轴 2a)的动点 M 的轨迹 (使 r1 r2 2a 的各点属于双曲线的一支，而使 r1 r2 2a 的各点属于其另一支 ).2 双曲线也是到一定点 ( 焦点之一 )的距离与到一定直线 (准线 L1)的距离之比为大于 1 的常数 (即离心率 )的动点 M 的轨迹 ( MF1 / ME1MF 2 / ME 2e).3 双曲线上一点 M (x0 , y0 ) 的切线 (MT)的方程为x0 xy0 y1a 2b2它把 M 点两焦点半径间的内角 (即 F1MF 2 )平分 (即,

17、 tantanb 2)，而 M 点的法线 MN 把外角 (即cy0F1MH )平分 (图 7.7).如果双曲线的切线的斜率为k，则其切线的方程为y kxk 2 a 2b 2式中正负号表示在直径两端点的两切线 .4 两条渐近线 yb x 之间的切线线段 TT1 被切点aM 平分 (TM = MT1)，且OTT 的面积 SOTT1 ab ，1平行四边形 OJMI 的面积 (图 7.8 的阴影部分 )abSOJMI2顶点dDaDA,B(,cc(当 D 0时取同号， D 0 时取异号 )中心 Gd , ac c轴长22 DABc渐 近 线x d , y acc图 7.85双曲线的任一直径把平行于共轭直

18、径的弦平分(图 7.9)如果两共轭直径的长分别为112a ,2b , 两直径与实轴夹角(锐角)分别为 和 ()，则a1b1 sin()aba12b12a 2b 26双曲线上任一点 M 的焦点半径之积等于它的对应半共轭直径的平方 .7设 MM , NN 为双曲线的两共轭直径， 通过 M, M图 7.9分别作直线平行于NN ；又通过 N, N 分别作直线平行于MM ，则这四条直线构成的平行四边形的面积为一常数4ab(图7.10).4双曲线各量计算公式x2y 2图 7.10a2b21双曲线各量计算公式曲率半径 2233R a2 b2xy2(r1r2 )2pRa4b 4absin 3式中 r1, r2

19、 为焦点半径， p 为焦点参数，为点 M(x, y)的焦点半径与切线的夹角，特别，顶点A, B 的曲率半径RARBpb2a双曲线各量计算公式弧长 Ar chxa 1 e2 ch2 t d t= a 0式中 e 为离心率面积弓形 (AMN)的面积：SSAMNxyab lnxyxyxababAr chaOAMI 的面积： SOAMIabab ln 2OI42c这里 OI, OJ 为渐近线， MI / OJ四、抛物线1抛物线的基本元素抛物线的主轴AB顶点A焦点F焦点参数p(等于过焦点且垂直于轴的弦 CD 之长的一半 )焦点半径MF(抛物线上一点到焦点的距离 )直径EMH(平行于抛物线的轴的直线)准线

20、L(与抛物线的轴垂直，到顶点2抛物线的方程、顶点、焦点与准线方程与图形y 22 px (标准方程 ) 或p1cos(极坐标方程，极点位于焦点 F 上，极轴与抛物线的轴重合，背向顶点 )y22 px图 7.11A 的距离等于p ，到焦点 F 的距离等于 p) 2顶点焦点准线顶点A(0, 0)焦点F ( p ,0)2准线L( xp )2顶点A(0, 0)焦点F (p ,0)2准线L(xp )2方程与图形顶点焦点准线x 22 py顶点A(0, 0)焦点F (0, p)2p )准线L( y2x 22 py( yh) 22 p( xg )( xg )22 p( yh)yax2bxcxya ( a0)或x

21、a cos4 tya sin 4 t(a0)顶点A(0, 0)焦点F (0,p )2准线L( yp )2顶点A(g, h)焦点F (gp , h)2p )准线L( xg2顶点A(g, h)焦点 F ( g, hp )2p准线L( yh)2顶点b4ac b 2A,2a4a(当 a 0 时，开口向上，当 a 0 时，开口向下 )焦点参数1p2 a与 x 轴的交点A1, A2bb24ac ,02a顶点A a , a44焦点参数pa23抛物线的性质1 抛物线是到一定点 F(焦点 )的距离与到一定直线 L(准线 )的距离相等的动点 M 的轨迹 (MF =ME)(图 7.12)2 抛物线上一点 M ( x

22、0 , y0 ) 的切线 MT的方程为yp ( x x0 )y0它把 M 点的焦点半径与直径的夹角( FMG)平分 ( FMT= TMG)，并且一切与切线 MT 平行的弦被过 M 点的直径平分 (PI=IQ).图 7.12如果抛物线的切线的斜率为 k，则其切线的方程为pykx2k3抛物线的任两切线的夹角等于两切点的焦点半径的夹角的一半.4从焦点 F 作抛物线在点 M 的切线的垂线，则垂足的轨迹为在顶点的切线.4抛物线各量计算公式y 22 px抛物线各量计算公式 曲率半径 3( p 2x) 2pn 3RRsin 3p 2p式中为点 M(x, y)的切线与主轴的夹角， n 为法线 MN 之长 .特

23、别，顶点的曲率半径 R0 = p弧长 = x xpp Arsh 2x22pp2x2x2x2x21lnp1ppp面积弓形(MOD)的面积 =2S平行四边形 (MBCD)的面积3SMOD2h即MD3这里 MD 弓形弦长 ,CD 平行于主轴 ,BC 与抛物线相切 ,h 为该平行四边形的高 (即弓形拱高 ),特别 , SOMA2xy3 几何重心 弓形 (MOD)的重心2GGQ5 PQ(BC 平行于 MD,P 为切点 ,PQ 平行于 Ox)五、一般二次曲线1二次曲线的一般性质上面所列举的椭圆、双曲线、抛物线等,它们的方程关于x,y 都是二次的 ,关于 x,y 的一般二次方程的形式是ax22bxycy22

24、dx2eyf0它所表示的曲线称为一般二次曲线 .这里列举它们的一些共同性质 .直线与二次曲线的交点 一直线与一个二次曲线交于两点(实的 ,虚的 ,重合的 ).二次曲线的直径与中心 一个二次曲线的平行于已知方向的弦的中点在一直线上,称它为二次曲线的直径 ,它平分某一组弦 .设已知方向的方向数为,则直径的方程为abxbcyde0或改写为axbydbxcye0由此可见 ,二次曲线的直径组成一个直线束.束内任一直径通过下列两直线交点 :axbyd0, bxcye01ab ,即 ac b20 .bc这时二次曲线的一切直径通过同一点,称为中心 ,这种曲线称为有心二次曲线 ,中心的坐标为becdae bdab ,即 ac b2x0acb2 , y0ac b220bc(i)abdbc, 这时曲线无中心 ;e(ii) a b d , 这时曲线有无限个中心 ,即中心在同一直线上 (中心直线 ). b c e这两种曲线称为无心二次曲线 .二次曲线的主轴 ( 或对称轴 ) 如果直径垂直于被它所平分的弦,则称它为二次曲线的主轴 (对称轴 ), 无心二次曲线有一条实的主轴 ;有心二次曲线有两条实的主轴,它们是互相垂直的 ,交点