第194综合与实践：多边形的镶嵌

1、 多边形的镶嵌多边形的镶嵌第19章第四节：综合与实践导入：导入：生活中利用镶嵌组成的美丽图案生活中利用镶嵌组成的美丽图案 观察以下图案，说明它们都是由哪些几观察以下图案，说明它们都是由哪些几何图形组成？拼接有什么特点？何图形组成？拼接有什么特点？ 用形状相同或不同的平面封闭图形，覆盖用形状相同或不同的平面封闭图形，覆盖平面区域，使图形间既平面区域，使图形间既无缝隙又不重叠无缝隙又不重叠地全地全部覆盖部覆盖,在几何里叫做在几何里叫做平面镶嵌平面镶嵌。定义定义例如例如: : 观察以下图形并思考在镶嵌时观察以下图形并思考在镶嵌时如何做到既如何做到既无缝隙又不重叠无缝隙又不重叠?多边形镶嵌的条件：多边

2、形镶嵌的条件：每个顶点处几个角的和为每个顶点处几个角的和为3601 1、 正三角形的平面镶嵌正三角形的平面镶嵌60606060606012 2、 正方形的平面镶嵌正方形的平面镶嵌903 3、 正六边形的平面镶嵌正六边形的平面镶嵌120 120 120 BEFCAD 你能只用一种正五边形拼成一个地面吗？为什么？你能只用一种正五边形拼成一个地面吗？为什么？因为正五边形的每个因为正五边形的每个内角是内角是108 108 不能组不能组成成360360的角。的角。 仅用正多边形进行仅用正多边形进行镶嵌，要嵌成一个平面，镶嵌，要嵌成一个平面，必须要求在公共顶点上必须要求在公共顶点上所有内角和为所有内角和为

3、360360 思考： 只用一种正多边形只用一种正多边形进行平面镶嵌，有三种进行平面镶嵌，有三种方法：方法：3 3个六边形；个六边形；4 4个个四边形；四边形；6 6个三角形。个三角形。 1探究（二）：请你用探究（二）：请你用两两种种或或两种以上两种以上的多边形的多边形设计镶嵌图案设计镶嵌图案设在一个顶点周围有设在一个顶点周围有m个正三角形，个正三角形，n个正方形的角个正方形的角.360903602mmnn 注意：同一个组合会有注意：同一个组合会有不同的镶嵌效果不同的镶嵌效果（1） 正三角形与正方形的平面镶嵌正三角形与正方形的平面镶嵌1201206060图案图案（）设在一个顶点周围有设在一个顶点

4、周围有m个正三角形，个正三角形，n个正六边形的角个正六边形的角.4260120360,12mmmnnn （2）正三角形正三角形与与正六边形正六边形的平面镶嵌的平面镶嵌图案图案（）60601206060（2）正三角形正三角形与与正六边形正六边形的平面镶嵌的平面镶嵌每个顶点处正三角形每个顶点处正三角形4 4个，正六边形个，正六边形1 1个。个。2m+5n=12m=1n=2 m60 +n150 =360。设在一个顶点周围有设在一个顶点周围有m个正三角形的角、个正三角形的角、n个正十二边形的角，则有个正十二边形的角，则有m、n为正整数为正整数解为解为（3）正三角形正三角形和和正十二边形正十二边形平面镶

5、嵌图案平面镶嵌图案2m+3n=8m=1n=2m90 +n135 =360。设在一个顶点周围有个设在一个顶点周围有个m正四边形的角、正四边形的角、n个个正八边形的角，则有正八边形的角，则有m、n为正整数为正整数解得解得（4）正方形）正方形与与正八边形正八边形的平面镶嵌的平面镶嵌 用正多边形进行平面镶嵌只有以下这17组解。有书记载说明这17组解是1924年一个叫波尔亚的人给出的。实际上早在此之前，西班牙阿尔汉布拉宫的装饰已经一个不少地制出了这些图样，真是令人叹为观止。归纳总结：归纳总结：1、一般的三角形可以作平、一般的三角形可以作平面镶嵌吗面镶嵌吗?如果能三角形如如果能三角形如何镶嵌呢何镶嵌呢?1

6、如图如图,四边形四边形ABCD中中,因为因为A+B+C+ D = 360,所以所以用四边形也可以作平面镶嵌用四边形也可以作平面镶嵌ABDC2、四边形呢、四边形呢?那么四边形如何那么四边形如何镶嵌呢镶嵌呢? 请看请看!(2013(2013年中考题）商店出售下列形状的地砖：年中考题）商店出售下列形状的地砖：正方形；正方形；长方形；长方形； 正五边形；正五边形；正六边形。若只选择其中正六边形。若只选择其中某一种地砖镶嵌地面，可供选择的地砖共有（某一种地砖镶嵌地面，可供选择的地砖共有（ ）A.1A.1种种 B.2B.2种种 C.3C.3种种 D.4D.4种种边长为边长为a a的正方形与下列边长为的正方

7、形与下列边长为a a的正多边形组合起来，的正多边形组合起来，不能镶嵌成平面的是（不能镶嵌成平面的是（ ）正三角形；正三角形；正五边形；正五边形；正六边形；正六边形；正八边形正八边形A. A. B. B. C. C. D. D. CB练习一：练习一：练习二练习二1、形状、形状、大小完全相同的任意三角形大小完全相同的任意三角形、四边形四边形 能否单独作镶嵌能否单独作镶嵌 （ ）2. 用任意三角形镶嵌平面时用任意三角形镶嵌平面时,同一顶点处应摆同一顶点处应摆放放 ( )个三角形个三角形;用任意四边形镶嵌平面时用任意四边形镶嵌平面时,同一顶点处应摆放同一顶点处应摆放( )个四边形个四边形.3、下面四种正多边形中、下面四种正多边形中,用同一种图形不能平用同一种图形不能平面镶嵌的是面镶嵌的是( ). ABCD能能64C练习三练习三如图用两种颜色的正六边形的砖按图所示的如图用两种颜色的正六边形的砖按图所示的规律规律,镶嵌成若干个图案：镶嵌成若干个图案：(1).第第4个图案中有个图案中有白色白色地砖地砖( )块块.(2).第