流体力学第02章流体静力学

1、流体静力学的任务：流体静力学的任务：是研究液体平衡的规律及其实 际应用。 液体的平衡状态有两种液体的平衡状态有两种：一种是静止状态； 另一种是相对平衡状态（见第四节）。 注意：液体在平衡状态下没有质点间的相对运动，不存在内摩擦力，此时理想液体和实际液体一样。第二章第二章 流体静力学流体静力学第一节第一节 静止流体中的应力特性静止流体中的应力特性 静压力：静压力：静止（或处于相对平衡状态）液体 作用在与之接触的表面上的压力称为静压 力，常以字母P表示。 静压强：静压强： 取微小面积 ，令作用于 的静压力为 ，则 面上单位面积所受的平均静压力为 静压强定义为 静压力P的单位：牛顿（N）； 静压强p

2、的单位：牛顿米2（Nm2）， 又称为“帕斯卡”（Pa）。 0limAPpA AAPAPpA二、静压强的特性二、静压强的特性 1静压强的方向与受压面垂直并指向受压面。(a)(b)xPyPzPnPzzyyxxzfyxFzfyxFzfyxF6161611cos( , )061cos( , )061cos( , )06xnxynxznzPPn xx y zfPPn xx y zfPPn zx y zf 16x y z 1cos( , )2xnAAn xy z 1cos( , )2ynAAn yz x 1cos( , )2znAAn zx y 0110lim()033pxnxxxxnVxnxnPPPPx

3、fxfppAAAA 103ynyynynPPyfppAA103nzzznznPPzfppAAnzyxpppp第二节第二节 流体的平衡微分方程流体的平衡微分方程一、微分方程一、微分方程 1表面力表面力 X方向：静水压力各为 及 。 2质量力质量力 X方向： 。 则X方向： 0 以 除上式各项并化简后为： dydzdxxpp)2(dydzdxxpp)2(dxdydzfxdydzdxxpp)2(dydzdxxpp)2(dxdydzfxdxdydzxfxp 同理，对于Y、Z方向可推出类似结果，从而得到欧拉平衡微分方程组： （欧拉方程） 该式的物理意义为：该式的物理意义为：平衡液体中，静水压强沿某一方向

4、的变化率与该方向单位体积上的质量力相等。 zyxfzpfypfxp 将欧拉平衡微分方程式各式分别乘以将欧拉平衡微分方程式各式分别乘以dx，dy，dz 然后相加得。 上式是不可压缩均质液体平衡微分方程式的另一种表达形式。 将欧拉方程前两式分别对y和x取偏导数 )(dzfdyfdxfdpdzxpdyypdxxpzyxxfyfxfyfxypyxyx)()(2zyxfzpfypfxp同理可得 zfxfyfzfxfyfxzzyyx由曲线积分定理定理知，满足上式必然必然存在力势函数 使：),zyxU（zUfyUfxUfzyx 定理：定理：力势函数的全微分应等于单位质量力在空间移动距离所作的功： 故有 dU

5、dzdzUdyyUdxxUdp)(dzfdyfdxfdzzUdyyUdxxUdUzyx 二、积分方程二、积分方程 对 进行积分可得 如果已知平衡液体边界上（或液体内）某点的压强为 、力势函数为U0，则 积分常数 C 得 结论：结论：平衡液体中，边界上的压强将等值地传递到液体内的一切点上；即当 增大或减小时，液体内任意点的压强也相应地增大或减小同样数值。 这就是物理学中著名的巴斯加原理巴斯加原理。 CUp00Up)(00UUpp0p0pdUdp三三 等压面等压面 等压面：等压面：静水压强值相等的点连接成的面（可 能是平面也可能是曲面）。 等压面性质：等压面性质： 1在平衡液体中等压面即是等势面。

6、 2等压面与质量力正交。 等压面性质：等压面性质： 1在平衡液体中等压面即是等势面。 等压面上 P=Const，故 dp=0，亦即dU=0。 对不可压缩均质液体，为常数，由此dU=0，即 U=Const 等压面性质：等压面性质： 2等压面与质量力正交。 证明：在平衡液体中证明：在平衡液体中任取一等压面，质点任取一等压面，质点M质量为质量为dm，在质量力，在质量力F作用下沿等压面移动。作用下沿等压面移动。 )()(kdjdiddsdmkfjfifFzyxzyx力力 F 沿沿 ds 移动所做的功可写作矢量移动所做的功可写作矢量F与与ds的数性的数性积：积： 另外力势函数定义有另外力势函数定义有因等

7、压面上因等压面上 dU=0 ，所以，所以W=F*ds=0。也即质量力。也即质量力必须与等压面正交。必须与等压面正交。注意注意: (1) 静止液体质量力仅为重力时，等压面必定是水平静止液体质量力仅为重力时，等压面必定是水平面，也即等压面应是处处和地心引力成正交的曲面面，也即等压面应是处处和地心引力成正交的曲面; (2) 平衡液体与大气相接触的自由表面为等压面；平衡液体与大气相接触的自由表面为等压面； (3) 不同流体的交界面也是等压面。不同流体的交界面也是等压面。 ()xyzWF dsf dxf dyf dzWdUdm第三节第三节 重力作用下静压强的基本公式重力作用下静压强的基本公式实际工程中，

8、实际工程中，作用于平衡液作用于平衡液体上的质量力体上的质量力常常只有重力常常只有重力，即所谓静止，即所谓静止液体。液体。 重力作用下 fx0，fy0，fzg ，代入平衡微分方程式 积分得 而自由面上 得出静止液体中任意点的静水压强计算公式： 式中 ：表示该点在自由面以下的淹没 深度。 ：自由面上的气体压强。 ghpp0zzh00pdzdzfdyfdxfdpzyx)(Cgpzgpgpzz00,一、液体静力学基本方程(a)(b)(c)气体压强的分布（不讲）气体压强的分布（不讲）（不讲就不考）（不讲就不考）三三 压强的度量压强的度量-绝对压强与相对压强绝对压强与相对压强 1、 绝对压强绝对压强 设想

9、没有大气存在的绝对真空状态作为零点计量的压强，称为绝对压强绝对压强。总是正的。正的。 2、 相对压强相对压强 把当地大气压作为零点计量的压强，称为相对压强相对压强。可正可负。可正可负。 以 表示绝对压强，p表示相对压强， 则表示当地的大气压强。则有 apghpppaabsabsp地球表面大气所产生的压强为大气压强。海拔高程不同，大气压强也有差异。我国法定计量单位中，把98223.4 Pa或98kPa称为一个标准大气压。工程中，自由面上的气体压强等于当地大气压强，故静止液体内任意点的相对压强为ghpghppaa)( 3、真空及真空度、真空及真空度 绝对压强总是正值，相对压强可能为正也可能为负。

10、相对压强为负值时，则称该点存在真空真空。 真空度真空度是指该点绝对压强小于当地大气压强的数值。 absavppp例：例：一封闭水箱（见图），自由面上气体压强 为85kN/m2，求液面下淹没深度h为1m处点C的绝对静水压强、相对静水压强和真空度。 解：C点绝对静水压强为 C点的相对静水压强为 相对压强为负值，说明C点存在真空。真空度为 kPaghppabs8 .9418 . 9850kPapppaabs2 .3988 .94kPapppabsav2 . 38 .9498例：例： 情况同上例，试问当C点相对压强p为9.8kN/m2时，C点在自由面下的淹没深度h为多少？ 解：相对静水压强： 代入已知

11、值后可算得 aaabspghpppp00()(9.88598) / 9.82.33appphmg例：例： 如图，一封闭水箱，其自由面上气体压强为25kN/m2，试问水箱中 A、B两点的静水压强何处为大？已知h1为5m，h2为2m。 解：A、B两点的绝对静水 压强分别为 故A点静水压强比B点大。实际上本题不必计算也可得出此结论（因淹没深度大的点，其压强必大）。 kPaghppabsA7458 . 92510kPaghppabsB6 .4428 . 92520 例：例：如图，一开口水箱，自由表面上的当地大气压强为98kN/m2，在水箱右下侧连接一根封闭的测压管，今用抽气机将管中气体抽净（即为绝对真

12、空），求测压管水面比水箱水面高出的h值为多少？ 解：因水箱和测压管内是互相连通 的同种液体，故和水箱自由表面同高 程的测压管内N点，应与自由表面位于 同一等压面上，其压强应等于自由表 面上的大气压强，即 。 从测压管来考虑 因（ ） 故 aNppghghppN000pghpamgpha108 . 998四四 压强的测量压强的测量ghpAgphA 当当A点压强较小时：点压强较小时： 1.增大测压管标尺读数， 提高测量精度。 2.在测压管中放入轻质 液体（如油）。 3.把测压管倾斜放置（见图）。 A点的相对压强为 当被测点压强很大时：当被测点压强很大时：所需测压管很长，这时可以改用U形水银测压计。

13、singLpA(a)(b) 2、U形水银测压计形水银测压计 在U形管内，水银面N-N为等压面，因而1点和2点压强相等。 对测压计右支 对1点 A点的绝对压强 A点的相对压强 式中， 与 分别为水和水银的密度。 gbghpmAmghppmaabs2ghppmaabs1gbghppmaabsA 压强的液柱表示法压强的液柱表示法-水头水头 压强的液柱表示法压强的液柱表示法 1. 以单位面积上的压力即千帕 （KPa）来 表示。 2. 用液柱高表示。P=gh 98kPa =1个工程大气压 10m水柱 736mm水银柱 例例1-8 若已知抽水机吸水管中某点绝对压强为若已知抽水机吸水管中某点绝对压强为80k

14、N/m2，试将该点绝对压强、相对压强和真空度用水柱，试将该点绝对压强、相对压强和真空度用水柱及 水 银 柱 表 示 出 来 （ 已 知 当 地 大 气 压 强及 水 银 柱 表 示 出 来 （ 已 知 当 地 大 气 压 强为为 ）。）。 解：绝对压强绝对压强 或为 水柱 或为 水银柱 相对压强相对压强 或为 水柱， 或为 水银柱 真空度真空度 或为1.84mm水柱 ， 或为135mm水银柱kPapa98kPapabs80m16. 8109880mm6017369880kPapppaabs189880m84. 1109818mm1356 .131840kPapppabsav188098第四节第

15、四节 几种质量力同时作用下的液体平衡几种质量力同时作用下的液体平衡 如果液体相对于地球运如果液体相对于地球运动，但相对于容器仍保动，但相对于容器仍保持静止的状态为相对平持静止的状态为相对平衡。衡。 如绕中心轴作等角速度如绕中心轴作等角速度旋转的圆柱形容器中的旋转的圆柱形容器中的液体。液体。第五节第五节 液体作用于平面上的总压力液体作用于平面上的总压力 一、压力图法：作用在一、压力图法：作用在矩形平面矩形平面上的静总压力上的静总压力 1静水压强分布图的绘制：静水压强分布图的绘制： (1)按一定比例，用线段长度 代表该点静水压强的 大小。 (2)用箭头表示静水压强的方 向，并与作用面垂直。 ghp

16、p0 (a)(b)(c) 2静水总压力的计算：静水总压力的计算： 平面上静水总压力的大小应等于分布在平面上各点静大小应等于分布在平面上各点静水压强的总和水压强的总和： 压强分布图为梯形 则静水总压力 作用点：作用点：P作用点应通过压强分布图的形心点作用点应通过压强分布图的形心点Q。证明：证明：参考解析法参考解析法PbS121()2Sghgh L12()2gPhh bL压强分布图为三角形？ 12PghbL作用点：作用点：1、当压强为三角形分布时，压力中心D离底部 距离为 ； Le312、当压强为梯形分布时，压力中心离底的距离 。)(3)2(2121hhhhLe二、解析法：作用于任意平面上的静水总

17、压力二、解析法：作用于任意平面上的静水总压力 受压面为任意形状， 静水总压力的计算较为复杂。取一任意形状平面EF，倾斜置放于水中，与水平面的夹角a，平面面积为A，平面形心点在C。xysinhL 1总压力的大小总压力的大小 作用在围绕点M的微分面积dA的静水压力 整个平面EF上的静水总压力为： 而一阶惯性矩定理 为平面EF形心点C在液面下的淹没深度， 为形心点C的静水压强 。 ApAghALgFCcCPsinChcpghdApdAdFpAAAppLdAagghdAdFFsinALLdACA 2总压力的作用点总压力的作用点 设总压力作用点为D，其坐标值为（ ）。 令 则有（二阶惯性矩定理） 于是有

18、 DDbL ,dALagLpdALFAADp2sinALIdALIccAb22)(sinsin2ALIagaIgLFccbDbAagLALIagFALIagLcccpccDsin)(sin)(sin22 由此看出 ，即总压力作用点D在平面形心C之下。Ic平面EF对平行ob轴的形心轴的惯性矩 （见表2-1）同理Ic平面EF对平行oL轴的形心轴的惯性矩 （见表2-1） cDLL ALILLCCCDCDCCIbbb A 例例 某泄洪隧洞，在进口倾斜设置一矩形平板闸门（见图），倾角为600，门宽b为4m，门长L为6m，门顶在水面下淹没深度h1为10m，若不计闸门自重时，问沿斜面拖动闸门所需的拉力T为多

19、少（已知闸门与门槽之间摩擦系数f为0.25）？门上静水总压力的作用点在哪里？ 解：当不计门重时，拖动门的拉力至少需克服闸门与门槽间的摩擦力，故FT 。为此须首先求出作用于门上静水总压力FP。 （1）用压力图法求FP及作用点位置 首先画出闸门AB上静水压强分布图。 门顶处静水压强为 门底处静水压强为 压强分布图为梯形，其面积 静水总压力fF PkPagh98108 . 91kPaLhggh14922.158 .9)23610(8 .9)60sin(0121211()(98149)6741/22SghghLkNm4 7412964pFb SkN （2）用解析法计算FP及 以便比较 静水总压力作用点

20、距闸门底部的斜距 总压力P距水面的斜距 mhhhhLe79. 2)2361010(3)23610102(6)(3)2(2121mehLLD71.1479. 2)87. 0106()60sin(01DLbLghApFCP0mLhhC61.1287. 0261060sin201kNFP29646461.128 . 9 求P的作用点距水面的斜距 对矩形平面，绕形心轴的面积惯矩为 可见，采用上述两种方法计算其结果完全相同。ALILLCCCDmhLC5 .145 .11387. 010360sin2101437264121mICmLD71.1421. 05 .14645 .14725 .14 （3）沿斜

21、面拖动闸门的拉力 kNfFFPT74125. 02964例例 一垂直放置的圆形平板闸门（见图），已知闸门半径R为1m，形心在水下的淹没深度hC为8m，求作用于闸门上静水总压力的大小及作用点位置。 解：计算总压力 作用点D应位于纵向对称轴上，故仅需求出D点在纵向对称轴上的位置。 在本题情况下， ， 。 故 圆形平面绕圆心轴线的面积惯矩 。则 kNRghAPFCCP246114. 388 . 922CChL DDhLAhIhhCCCD441RICmRRhD03. 832188418224第六节第六节 作用于曲面上的总压力作用于曲面上的总压力 受压面为曲面的情况，如拱坝坝面、弧形闸墩或边墩、弧形闸门

22、等等。 作用于曲面上任意点的相对的静水压强，其大小仍等于该点的淹没深度乘以液体的单位体积的重量，其方向也是垂直指向作用面的 对二向曲面的静水总压力计算。如图： 一、静总压力的水平分力一、静总压力的水平分力 取微元面积取微元面积dA，作用于面上的静水压力为，作用于面上的静水压力为dFp，在水在水平方向上的分力为平方向上的分力为 则有则有 上式表明作用在曲面上静水总压力 FP 的水平分分力 ，等于曲面在 平面上的投影面 上的静水总压力。很明显，水平分力 的作用线应通过 平面的压力中心。 pxFyozxApxFxAadFdFppxcosadFdFFppxpxcosxcAxpxAghdAhgaghdA

23、Fx)(cos 二、静总压力的垂直分力二、静总压力的垂直分力 静总压力dP沿铅垂方向的分力为 则合力 而 所以 V：称为压力体压力体。作用于曲面上静总压力 的垂直分力 ，等于压力体内的液体体重。 作用线作用线：垂直分力 的作用线作用线，应通过压力体的体积形心。gVFpzpzFpzFpFadFdFppzsinAAzppzpzzdAhgaghdAadFdFF)(sinsinzAzdAhV)( 压力体压力体V：作用于曲面上静总压力 的垂直分力 等于压力体内的液体体重。 垂直分力 的作用线作用线，应通过压力体的体积形心。pzFpF 压力体应由下列周界面所围成压力体应由下列周界面所围成： 1受压曲面本身

24、； 2液面或液面的延长面； 3通过曲面的四个边缘向液面或液面的延长面所作的铅垂平面。 的方向：当液体和压力体位于曲面的同侧时， 向下； 当液体及压力体各在曲面之一侧时， 向上。 当曲面为凹凸相间的复杂柱面时，可在曲面与铅垂面相切处将曲面分开，分别绘出各部分的压力体。pzFpzFpzF总压力Fp的作用线应通过Fpx与Fpz的交点K，过K点沿Fp的方向延长交曲面于D，D点即为总压力Fp在AB上的作用点。 三、静总压力三、静总压力 由二力合成定理，曲面所受静总压力的大小为 22pzpxpFFFpxpzFFtanpxpzFFarctg 例例 韶山灌区引水枢纽泄洪闸共装5孔弧形闸门，每孔门宽b为10m，弧门半径R为12m，其余尺寸见图。试求当上游为正常引水位66.50m、闸门关闭情况下，作用于一孔弧形门上静水总力大小及方向。 解：（1）首先求水平分力 （2）求垂直分力 （2）求垂直分力）求垂直分力 如图所示，压力体的底面积为 弓形面积EGF三角形面积EFL pxFkNAghFxCpx39699105 . 48 . 9pz