第六章解析几何.

1、第一章直线一、 有向线段、定比分点名称定义及内容有向直线规定了正方向的直线叫做有向直线有向线段规定了起点和终点的线段叫做有向线段,如 : 以 A 为起点 ,以 B 为终点的有向线段；记为: AB,长度 线段 AB 的长度就叫做有向线段AB 的长度；记为： | AB |,有向线段的长度与数量有向线段的长度与数量计算公式平面上两点间的距离公式在有向线段 AB 长度 | AB |的前面加上表示方向的符号 “ +、- ”，这个数就叫做有向线段 AB 的数量（或数值） ；记为： AB ,数量注： “ +” 号表示有向线段AB 与所规定的直线方向相同 ,“ - ” 号表示有向线段 AB 与所规定的直线方向

2、相反 , 在数轴 ox 上 , 点的坐标 x 就是有向线段 OP 的数量 ,即 : OP x ,设 : 在数轴 ox 上 , 点 A 的坐标是 x1 , 点 B 的坐标是 x2 , 则有 :数量AB = x2 - x1长度| AB |=| x2 - x1 |设 : 在直角坐标平面内xoy 中 ,点 P1 ( x1 , y1 ) 、点 P2 ( x2 , y2 ) ,则 :| P1P2 |( x2 x1 ) 2( y2y1 ) 2有向直线 l 上的一点 P ,把有向直线 l 上的有向线段 P1P2分成两条有向线段 P1 P 、PP2 ,把有向线段 P1 P 、PP2的数量之比叫做点P 分 P1P

3、2所成的比 , 记为 :P1P则 :PP2其中：点P 叫做 P1 P2 的定比分点 ,注：由于点 P1与点 P2 不重合 , 故:- 1;定比分点当点 P与点 P1重合时 , 故:=0;当点 P与点 P2重合时 , 故:不存在 ;当点 P 在 P1P2 上时 , 则称点 P 是 P1P2 的内分点 , 且 >0; 当点P 不在 P1P2 上时 ,则称点 P 是 P1P2 的外分点 , 且 <0;( )当点 P 在 P1P2的延长线上时 , 则 <- 1;( )当点 P 在 P2 P1 的延长线 (或 P1 P2 的反向延长线 ) 上时 ,则- 1< <0,设 :

4、点 P 分 P1P2 所成的比为(- 1),定比分点的且点 P1 (x1 , y1 ) 、点 P2 ( x2 , y2 ) 、点 P( x, y) ，计算公式则有：yy1xx1y2yx2x第1页共12页x1x2x1(- 1),y1y2y1设 : 点 Po ( x0 , y0 ) 是线段 P1 P2 的中点 ,且 P1 (x1, y1 ) 、 P2 ( x2 , y2 ) ,x1x2中点的坐标公式x02则有 :y1y2y02设 : 在ABC 中 ,顶点 A(x1, y1 ) 、 B( x2 , y2 ) 、 C (x3 , y3 ) ，重心为 G( x, y) ，三角形重心的x1x2x3坐标公式

5、x3则有：y1y3y2y3二、直线与方程名称直线与方程直线的倾斜角直线的斜率斜率的计算公式直线方程的五种形式定义及内容以一个方程的解为坐标的点都在某一条直线上 ,且这条直线上的点的坐标都是这个方程的解时 ,这个方程就叫做这条直线的方程、这条直线就叫做这个方程的直线在直角坐标系xoy 中 ,直线 l 向上的方向与x 轴的正方向所形成的最小正角就叫做这条直线的倾斜角,记为 :当直线 l 平行于 x 轴时 ,规定它的倾斜角是 0o ,故 : 倾斜角的取值范围是0o ,180o ,直线的倾斜角不是 90 o 时 ,规定倾斜角的正切叫做这条直线的斜率 ,记为 :k故 :ktg,当直线的倾斜角 是 90

6、o 时 , 这条直线的斜率 k 不存在 (即 :这条直线没有斜率 k ) ,设 :P1 ( x1 , y1 ) 、 P2 (x2 , y2 ) 是直线 l上的两个点 ,则这条直线的斜率y2y1(其中 : P1、 P2是不重合的两点 ,且 x1 x2 )kx1x2 点斜式：设点 Po ( x0 , y0 ) 在直线 l 上 ,且直线 l 的斜率是 k ,则直线 l 的方程为 :y y0 k (x x0 ) 斜截式 :设直线 l 的斜率是 k ,它在 y 轴上的截距是b ,则直线 l 的方程为 :y k x b 两点式 :设 P1 (x1 , y1 ) 、 P2 ( x2 , y2 ) 是直线 l

7、 上的两个点 , 则直线 l 的方程为 :第2页共12页yy1xx1y2y1x2x1(其中 : P1 、 P2 是不重合的两点 ,且 x1x2 、 y1 y2 ) 截距式：设直线 l 在 x 轴上的截距是 a ，在 y 轴上的截距是 b ,且 a 、 b 均不为 0，则直线 l 的方程为 :xy1a b 一般式：任何一条直线 l 均可写成关于 x 、 y 的一次方程AxByC = 0 （其中： A 、 B 不全为 0， A 、 B 、 C 是常数）的形式 ,注 : 直线 l 在 x 轴、 y 轴上的截距 a 、 b ，是指直线 l 与 x 轴、 y 轴相交时 , 交点中的横坐标是 a 、纵坐标

8、是 b ,三、两条直线的位置关系名称定义及内容设 : 直线 l1 的方程为 :y = k1 xb1 (或 :A1xB1yC1 =0),直线 l2 的方程为 :y = k2xb2 (或:A2xB2yC 2 =0),注 : ( )k1 、 k2 均存在（或：A1 、 A2 、 B1 、 B2 全不是 0） ,( )对于 k1 、 k2 不一定存在（或：A1 与 B1 、 A2 与 B2 中有 0）的情况，单独研究,关系平行位置关系垂直特殊情况有关相交问题角充分必要条件l1 l 2k1 = k2且 b1b2 （即： A1=B1C1 ）,A2B2C 2l1 l 2k1 k2 =1（即： A1 A2B1

9、B2=0 ）当 k1、 k2 都不存在（即：B1 = B2 =0）时，若 b1b2 （即： A1C1 ），则 l 1 l 2；A2C 2若 b1= b2 （即： A1= C1 ），则 l1与 l2 重合 ,A2C 2当 k1不存在、 k2 =0（或： B1 =0 、 A2 =0 ）时，则 l1 l2 , 直线 l1 到直线 l 2 的角把直线 l1 依逆时针方向旋转到直线l 2 的位置时所旋转的角度就叫做 l1 到 l 2的角 ,记为 :(0o 180o )设 : 直线 l1 的方程为 :y = k1xb1 ,直线 l2 的方程为 :y = k2xb2 , ( k1 、 k2 均存在 )则 :

10、 tg =k2k11k1 k2第3页共12页有关距离问题有关对称问题直线 l1 与直线 l 2的夹角两条直线 l1 与 l2相交所构成的四个角中, 小于或等于 90 o 的锐角就叫做直线l1 与直线 l2的夹角 ,记为 :(0o 90 o )设 : 直线 l1 的方程为 :y = k1xb1 ,直线 l2 的方程为 :y = k2xb2 , ( k1 、 k2 均存在 )则 : tg=|k2k1 |1k1k 2设 :直线 l1 : A1 x B1 y C1 =0直线 l 2 : A2 x B2 y C 2 =0(其中 : A1、 A2、 B1、 B2不全是 0)公 A1B2A2 B10l1 与

11、 l2只有唯一的公共点共(即 l1 与 l 2相交 )点 A1B2A2 B1 =0, 且 B1C 2B2C10l1 与 l 2 没有公共点(即 l1 l 2 ) ; A1B2A2 B1 =0, 且 B1C 2B2C1 =0l1 与 l 2 有无数公共点(即 l1 与 l 2重合 ),设 :点 P( xo , yo ) 在直线 l : AxBy C =0 ( A 、 B 不全为 0)点外 ,到则点 P 到直线 l 的距离是直线d = | AxoByo C |A2B 2设 :直线 l1 : A1 x B1 y C1 =0直线 l 2 : A2 x B2 y C 2 =0直线(其中 : A1、 A2

12、、 B1、 B2不全是 0)到则直线 l1 到直线 l 2 直的距离是直线| C2C1 |d =A2B2设 : P1 ( x1, y1 ) 、 P2 ( x2 , y2 ) 是两个对称的点类型坐标之间的关系 关于 x 轴对称x1x2y1y2 关于 y 轴对称x1x2y1y2 关于直线 xx12ax2a 对称y2y1 关于直线 yx1x2b 对称2by2y1第4页共12页x1x2 关于原点 O(0,0) 中心对称y2y1x12ax2 关于点 ( a, b )中心对称2by2y1 关于直线 yx1y2x 对称x2y1 关于直线 yx1y2x 对称x2y1 关于直线 yxx1y2bb 对称x2by1

13、 关于直线 yxx1y2bb 对称x2by1第5页共12页第二章圆锥曲线一、 曲线和方程名称曲线的方程和方程的曲线曲线方程的求法定义和内容在平面直角坐标系xoy 中 ,如果某条曲线C ( 看作适合某种条件的点的集合或轨迹) 上的点与方程 f ( x, y) 0的实数解之间建立了如下关系 曲线 C 上的点的横、纵坐标 x 、 y 都是这个方程f ( x, y) 0的解，f ( x, y)0 的解 x 、 y 为坐标的点 ( x , y ) 都在曲线 C 以这个方程上 ,那么就称“曲线C 是方程 f ( x, y) 0 的曲线”；“方程 f ( x, y)0 是曲线 C 的方程” ,记为: 曲线C

14、:f (x, y)0 曲线 C 上的点的横、纵坐标 x 、 y 都是这个方程f (x, y)0 的解，环节f ( x, y) 0 的解 x 、 y 为坐标的点 ( x , y )都在 以这个方程曲线 C上, 建立平面直角坐标系 xoy ,并在所求曲线 C 上任取一点M ( x , y ), 写出该点 M ( x ,y )所在的集合 ,步骤 根据集合列出该点M ( x , y )的横、纵坐标x 、 y 所满足的方程 f ( x, y)0, 整理并化简该方程f (x, y)0 , 证明以该方程f ( x, y) 0的解 x 、 y 为坐标的点 ( x , y )都在曲线 C上,设 :曲线 C1 :

15、 f 1 ( x, y)0, 曲线 C 2 : f 2 (x, y) 0 ,则: 曲线 C1与曲线 C2f1 (x, y)0有公共点方程组有解 ;曲线的交点f 2 (x, y)0 曲线 C1 与曲线 C2无公共点f1 ( x, y)0方程组无解 ,f 2 ( x, y)0二、圆名称内容标准方程图形在平面内到一个定点设 : 圆心在 ( a,b ), 半径是的距离等于定长的点的r ( r 0), 则该圆的标准轨迹 ( 或点的集合) 叫做方程是定义圆 ,( x a)2( y b) 2r 2其中 : 这个定点叫做圆心 ,注 : 圆心在原点(0,0), 半这个定长叫做半径是 r的圆的标准方程是径 ,x

16、2y2r 2( r 0)第6页共12页有关图形点与圆直线与圆圆与圆公共点问题相交弦问题圆的切线圆的普通方程位置关系判定方法设: 点 M ( m, n) ,圆 C : ( xa) 2( y b) 2r 2 ( r 0) 点在圆内| MC | r 点在圆上|MC |r 点在圆外| MC | r设 : 直线 l : Ax By C0 ,圆 C : (xa) 2( yb) 2r 2( r 0),圆心 C (a, b) 到直线 l : AxByC0 的距离是 d. 直线与圆相离d r(没有公共点 ) 直线与圆相切d r( 只有一个公共点 ) 直线与圆相交d r(有两个公共点 )设 : 圆 M : ( x

17、 a) 2( y b) 2R 2 ,圆 N : ( x c) 2( y d ) 2r 2(R r 0),圆心距是 | MN | 圆与圆相离外离|MN |Rr内含|MN |Rr(没有公共点 )|MN |Rr外切 圆与圆相切|MN |Rr内切( 只有一个公共点 ) 圆与圆相交R r|MN |Rr(有两个公共点 )有关直线与圆、圆与圆的公共点个数(或位置关系 )问题 ,可根据直线与方程、曲线与方程的概念,转化为方程组的公共解的问题,然后消去一个未知数得到一个一元二次方程,再根据判别式的取值确定解的个数(或位置关系 ),有关两个圆的相交弦问题,可根据曲线与方程的概念,转化为方程组的公共解问题 ,同时消

18、去两个方程中的未知数x 、 y 的二次项所得到的二元一次或一元一次方程就是相交弦所在的直线方程,经过圆 x 2y 2r 2 上一点 ( x0 , y0 ) 的切线方程是x x0yy0r 2 ；经过圆 ( x a) 2( y b) 2r 2 （即： x2y2DxEy F0 ）上一点 ( x0 , y0 ) 的切线方程是x x0y y0 D ( x x0 ) E( y y0 ) F 022（其中： D2a ， E2b ， Fa2b 2r 2 ）x2y2DxEyF0第7页共12页三、椭圆定义图形标准方程范围对称性顶点焦点长轴、短轴、焦距及之间关系离心率准线第一定义第二定义在平面内到两个定点F1、 F

19、2 的距在平面内 , 一个动点到一个定点 F离的和是一个常数 2a(2a| F1F2 |)的距离和它到一条定直线l 的距离的的点的轨迹 （或点的集合） 叫做椭圆 ,比是一个小于 1 的常数 e 时 , 这个动点的轨迹叫做椭圆 ,其中 : 这两个定点叫做焦点,其中 : 这个定点 F 叫做焦点；记为 : F1、 F2这条定直线 l 叫做准线 ;这个常数 e 叫做离心率 ,且 : 0 e 1 ,焦点在 x 轴上焦点在 y 轴上x2y2b0)y 2x 2(其中： a b 0)a21 (其中： aa 21b 2b2a x a ,b y b ,a y a ,b x b ,对称轴是 x 轴、 y 轴；对称中

20、心是坐标原点(0,0) ,A1 ( a,0) ,A2 (a,0);A1 (0,a) ,A2 (0, a);B1 (0, b) ,B2 ( 0, b) ,B1 ( b,0) , B2 (b,0) ,F1 ( c,0) ,F2 ( c,0)F1 (0,c) ,F2 (0,c)长轴：| A1 A2 | 2a,短轴：| B1 B2 |2b. 焦距： | F1F2 | 2c其中：a为半长轴， b为半短轴， c为半焦距 , a 2b2c 2c(0 e1) ,ea 2aa2准线 l ： x准线 l ： ycc四、双曲线第一定义第二定义在平面内到两个定点F1、 F2 的距在平面内 , 一个动点到一个定点 F离

21、之差的绝对值是一个常数的距离和它到一条定直线l 的距离的2a (0 2a | F1F2 |) 的 点 的 轨 迹比是一个大于 1 的常数 e 时 , 这个动定义点的轨迹叫做双曲线 ,（或点的集合）叫做双曲线,其中 : 这个定点 F 叫做焦点；其中 : 这两个定点叫做焦点,记为:F1、 F2这条定直线 l 叫做准线 ;这个常数 e 叫做离心率 ,且 : e 1第8页共12页焦点在 x 轴上焦点在 y 轴上yxo图形标准方程范围对称性顶点焦点实轴、虚轴、焦距及之间关系离心率准线渐近线x2y 21 ( 其中 : a0,by 2x20, b 0 )a 2b20 )1 ( 其中 : aa2b2xa或 x

22、 a ,ya或 y a ,对称轴是 x 轴、 y 轴；对称中心是坐标原点(0,0),A1 (a,0) ,A2 (a,0);A1 (0,a) ,A2 (0, a);F1 (c,0) , F2 ( c,0)F1 (0,c) ,F2 (0,c)实轴：| A1 A2|2a,虚轴：| B1 B2|2b. 焦距： | F1F2|2c其中：a为半实轴， b为半虚轴， c半焦距 , c 2a2b 2ec1) ,(ea准线 l ： xa 2准线 l ： ya2ccbayxyxab五、抛物线平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹(或点的集合 )定义叫做抛物线 ,其中 :这个定点 F 叫做焦点 ,

23、这条定直线 l 叫做准线 ,图象焦点在 x 轴上焦点在 y 轴上第9页共12页标准方程y 22 px( x 0)x 22 py( y 0)y22 px ( x 0)x22 py ( y 0)范围yRxR对称性关于 x 轴对称关于 y 轴对称顶点 O(0,0) ,焦点 F ( p ,0)顶点 O(0,0) ,焦点 F (0, p )顶点和焦点22p ,0)p )顶点 O(0,0) , 焦点 F (顶点 O(0,0) , 焦点 F (0,p2p2xy22准线ppxy22p ,焦参数抛物线的焦点F 到准线 l 的距离叫做焦参数,记为 :离心率e 1六、中心或顶点在 (x0 , y0 ) 的椭圆、双曲

24、线和抛物线( x x0 ) 2( y y0 ) 21( y y0 ) 2( x x0 ) 21标准方程a 2b2a2b 2(ab 0)(ab 0)图象椭圆对称性顶点焦点准线对称轴是 xx0 ， yA1 (x0a, y0 ) ， A2 (x0a, y0 )B1 ( x0 , y0b) ， B2 (x0 , y0 b)F1 ( x0c, y0 ) ， F2 (x0c, y0 )xa 2x0cy0 ；对称中心是 (x0 , y0 ) ,A1 (x0 , y0a) ， A2 (x0 , y0a)B1 ( x0 b, y0 ) ， B2 ( x0 b, y0 )F1 ( x0 , y0c) ， F2 (x0 , y0c)ya2y0c第10页共12页双曲线抛物线标准方程图象对称性顶点焦点准线渐近线标准方程图象对称性顶点焦点准线( x x0 )2( yy0 ) 21( y y0 ) 2(x x0 ) 21a 2