初中数学证明题常见辅助线作法规律

1、初中数学证明题常见辅助线作法记忆歌诀与几何规律汇编人们从来就是用自己的聪明才智创造条件解决问题的，当问题的条件不够时，添加辅助线构成新图形，形成新关系，使分散的条件集中，建立与未 知的桥梁，把问题转化为自己能解决的问题，这是解决问题常用的策略。初中几何常见辅助线作法歌诀人说几何很困难，难点就在辅助线。 辅助线，如何添？把握定理和概念。 还要刻苦加钻研，找出规律凭经历。三角形图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。线段垂直平分线，常向两端把线连。要证线段倍与半，延长缩短可试验。三角形中两中点，连接那么成中位线

2、。三角形中有中线，延长中线等中线。四边形平行四边形出现，对称中心等分点。梯形里面作高线，平移一腰试试看。平行移动对角线，补成三角形常见。 证相似，比线段，添线平行成习惯。 等积式子比例换，寻找线段很关键。 直接证明有困难，等量代换少麻烦。 斜边上面作高线，比例中项一大片。圆半径与弦长计算，弦心距来中间站。圆上假设有一切线，切点圆心半径连。切线长度的计算，勾股定理最方便。要想证明是切线，半径垂线仔细辨。 是直径，成半圆，想成直角径连弦。 弧有中点圆心连，垂径定理要记全。 圆周角边两条弦，直径和弦端点连。 弦切角边切线弦，同弧对角等找完。 要想作个外接圆，各边作出中垂线。还要作个接圆，角平分线梦圆

3、。如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。外相切的两圆，经过切点公切线。假设是添上连心线，切点肯定在上面。要作等角添个圆，证明题目少困难。辅助线，是虚线，画图注意勿改变。假设图形较分散，对称旋转去实验。根本作图很关键，平时掌握要熟练。解题还要多心眼，经常总结方法显。切勿盲目乱添线，方法灵活应多变。分析综合方法选，困难再多也会减。虚心勤学加苦练，成绩上升成直线。线、角、.相交线、平行线.规律1.如果平面上有n(n > 2)个点，其中任何三点都不在同一直线上，那么每两点画一 1一条直线，一共可以画出n(n 1)条.21规律2.平面上的n条直线最多可把平面分成 n(n +1)+1个局部.21规律3.如

4、果一条直线上有 n个点，那么在这个图形中共有线段的条数为丄n(n - 1)条.2规律4.线段或延长线上任一点分线段为两段，这两条线段的中点的距离等于线段 长的一半.例：如图，B在线段AC上，M是AB的中点，N是BC的中点.1求证：MN = AC2证明： M是AB的中点，N是BC的中点 AM = BM = 1 AB ,BN = CN = 1 BC2 2 MN = MB+BN =1AB + 丄 BC = 1 (AB + BC)2 2 21 MN = AC2练习：1.如图，点C是线段AB上的一点，M是线段BC的中点.1求证：AM = (AB + BC)22.如图，点 B在线段AC上，M是AB的中点，

5、N是AC的中点.1求证：MN = BC23.如图，点B在线段AC上，N是AC的中点，M是BC的中点.1求证：MN = AB21规律5.有公共端点的n条射线所构成的交点的个数一共有丄n(n 1)个.2规律6.如果平面有n条直线都经过同一点，那么可构成小于平角的角共有2nn 1个.规律7.如果平面有n条直线都经过同一点，那么可构成nn1对对顶角.规律8.平面上假设有nn>3个点，任意三个点不在同一直线上，过任意三点作三1角形一共可作出n(n 1)(n 2个.6规律9.互为邻补角的两个角平分线所成的角的度数为90°.1规律10.平面上有n条直线相交，最多交点的个数为n(n 1)个.2

6、规律11.互为补角中较小角的余角等于这两个互为补角的角的差的一半规律12.当两直线平行时，同位角的角平分线互相平行，错角的角平分线互相平行, 同旁角的角平分线互相垂直 例：如图，以下三种情况请同学们自己证明规律13.AB / DE,如图，规律如下:ABC+ BCD+CDE=360ABBCD=EBCD=BCD=CDE=ABC= BCD+ CDEABC+CDE-ABC-BCD+CDEABCCDEABC14.成“ 8字形的两个三角形的 一对角平分线相交所成的角等于另两个角和的一半例：，BE DE分别平分/ ABC和/ ADC假设/ A = 45 °, / C = 55 °,求/

7、E的度数.解：/ A+z/ C+zABE =Z E+Z ADE CDE =Z E+Z CBE +得/ A+Z ABEZ C+Z CDE =Z E+Z ADEhZ E+Z CBE/ BE平分Z ABC DE平分Z ADCZ ABE =Z CBE Z CDE =Z ADE 2Z E = Z A+Z C1 Z E =( Z A+Z C)2Z A =45 , Z C =55 , Z E =50o三角形局部规律15.在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，如果直接证不出来，可连结两 点或延长某边构造三角形，使结论中出现的线段在一个或几个三角形中，再 利用三边关系定理与不等式性质证题例：如图，D、EABC

8、两点，求证： AB+ AC> BD+ DE+ CE.证法一：将DE向两边延长，分别交 AB AC于M N在厶 AMN中, AM+ AN > MD DE+ NE 在厶BDM中, M聊MD> BD在ACEN 中，Ch+ NE> CE +得AM+ AN+ MB M+ CN+ NE> MDF DE+ NE+ BD+ CE AB+ AC> BD+ DE+ CE证法二延长 BD交AC于F,延长CE交BF于G,在厶ABF和厶GFCDA GDE中有， AB+ AF> BD+ D申 GF GF+ FC> GE+ CE DG GE> DE+有AB+ AF+ G

9、F+ FC+ D申 GE> BD+ D申 GF+ GE+ CE+ DE AB+ AC> BD+ DE+ CE注意：利用三角形三边关系定理与推论证题时，常通过引辅助线，把求证的量或与求证有关的量移到同一个或几个三角形中去然后再证题.练习:如图PABC任一点，1求证：一(AB+ BC+ AC)V PA+ PB+ PC< AB+ BC+ AC2规律16.三角形的一个角平分线与一个外角平分线相交所成的锐角，等于第三个角的一半例：如图，ABC的角平分线，ABC的外角/ ACE的平分线，它与 BD的延 长线交于D.求证：/ A = 2 / D证明： BD CD分别是/ ABC / ACE

10、的平分线/ ACE =2/ 1, / ABC =2/ 2/ A = / ACE -Z ABC/A = 2 Z 1- 2Z 2又tZ D = Z 1-Z 2 Z A =2 Z D90°加上第三个角的一半1BDC = 90°+ Z A2规律17.三角形的两个角平分线相交所成的钝角等于例：如图，BD CD分别平分Z ABG Z ACB 求证: 证明： BD CD分别平分Z ABC Z ACB Z A+ 2Z 1 + 2 Z 2 = 180 ° 2( Z 1 + Z 2)= 180 °-Z AtZ BDC = 180 ° ( Z 1+Z 2)( Z 1

11、 + Z 2) = 180 °-Z BDC把式代入式得2(180°-Z BDC)= 180°-Z A即: 360° 2Z BDC =18C°-Z A 2 Z BDC = 180° + Z A1 Z BDC = 90°+ Z A2规律18.三角形的两个外角平分线相交所成的锐角等于90°减去第三个角的一半1例：如图，BD CD分别平分Z EBC Z FCB 求证：Z BDC = 90°- Z A2证明：t BD CD分别平分Z EBC Z FCB Z EBC = 2 Z 1、Z FCB = 2 Z 2 2 Z

12、 1 = Z A+Z ACB 2 Z 2 = Z A+Z ABC +得2Z 1+Z 2= Z A+Z AB(+Z AC+Z A2Z 1+Z 2= 180 °+Z A1Z 1 + Z 2= 90°+ ZA2tZ BDC = 180°-( Z 1 + Z 2)1/ BDC = 180o-(90° +/ A)21/ BDC = 90°-/ A2规律19.从三角形的一个顶点作高线和角平分线，它们所夹的角等于三角形另外两个角差的绝对值的一半.例：，如图，在 ABC中，/ C>Z B, AD丄 BC于 D, AE 平分/ BAC.1求证：/ EAD

13、=( / C-Z B)2证明： AE平分Z BAC1 Z BAE =Z CAE = Z BAC2vZ BAC =180°-( Z B+Z C)1 Z EAC = 180°- ( Z B+Z C)2vADI BC Z DAC = 90°-Z CvZ EAD = Z EAC-Z DAC1 Z EAD = 180°- ( Z B+Z C)丨一(90°-Z C)21=90( Z B+Z C) 90 +2Z C丄(Z C-Z B)2如果把AD平移可以得到如下两图，FD丄BC其它条件不变，结论为Z EFD=丄Z2C-Z B).汪意：同学们在学习几何时，可以

14、把自己证完的题进展适当变换，从而使自己通过解一道题掌握一类题，提高自己举一反三、灵活应变的能力规律20.在利用三角形的外角大于任何和它不相邻的角证明角的不等关系时，如果直 接证不出来，可连结两点或延长某边，构造三角形，使求证的大角在某个三 角形外角的位置上，小角处在角的位置上，再利用外角定理证题.例：DABC任一点，求证：/ BDOZ BAC证法一：延长BD交AC于E,/ BDC> EDC 的外角，/ BDOZ DEC同理：/ DEOZ BAC/ BDOZ BAC证法二：连结AD,并延长交BC于F/ BDF是厶ABD的外角，/ BDF>Z BAD同理/ CDF>Z CAD/

15、BDFZ CDF>Z BADZ CAD即：/ BDOZ BAC规律21.有角平分线时常在角两边截取相等的线段，构造全等三角形例：，如图，ABC的中线且Z 1 = Z 2,Z 3 = Z 4,求证：BE+ CF> EF证明：在 DA上截取DN = DB,连结NE、NF,那么DN =DC在厶 BDE和 NDE中,DN = DBZ 1 = Z 2ED = ED BDEA NDE BE = NE同理可证：CF = NF在厶 EFN中，EN+ FN> EF BE+ CF> EF规律22.有以线段中点为端点的线段时，常加倍延长此线段构造全等三角形例：，如图，ABC的中线，且Z 1

16、= Z 2,Z 3 = Z 4，求证：BE+ CF> EF 证明：延长 ED到M 使DM = DE,连结 CM FM BDEDA CDM中,BD = CD/ 1 = / 5ED = MD BDEA CDM CM = BE又/ 1 = / 2,/ 3 = / 4/ 1 + / 2 + / 3 +/ 4 = 180 0/ 3 +/ 2 = 90 0即/ EDF = 90 0/ FDM = / EDF = 90 0 EDFA MDF中ED = MD/ FDM = / EDFDF = DF EDFA MDF EF = MF在 CMF中，CF+ CM > MFBE+ CF> EF此题也

17、可加倍 FD,证法同上规律23.在三角形中有中线时，常加倍延长中线构造全等三角形例：，如图，ABC的中线，求证： AB+ AC> 2AD证明：延长 AD至 E, 使 DE = AD,连结BE/ ADABC的中线 BD = CD在厶ACDn EBD中BD = CDAD = ED ACDA EBD/ ABE中有 AB+ BE> AE AB+ AC> 2AD规律24.截长补短作辅助线的方法截长法：在较长的线段上截取一条线段等于较短线段；补短法：延长较短线段和较长线段相等这两种方法统称截长补短法 当或求证中涉与到线段 a、b、c、d有以下情况之一时用此种方法: a> b a&#

18、177; b = ca±b = c ±d例：，如图，在 ABC中，AB> AC,/ 1 = / 2, P为AD上任一点，求证：AB- AC> PB- PC证明：截长法：在AB上截取AN = AC,连结PN 在厶 APND APC中，AN = AC/ 1 = / 2AP = AP APNA APC PC = PN/ BPN中有 PB- PC< BN PB- PC< AB- AC补短法：延长AC至M,使AM = AB,连结PM在厶 ABP和 AMP中AB = AM/ 1 = / 2AP = AP ABPA AMP PB = PM又在 PCM中有 CM &

19、gt; PM- PC AB- AC> PB- PC练习：1，在 ABC中，/ B = 60 °,AD、CE是厶ABC的角平分线，并且它们交于点 O求证：AC = AE + CD2，如图，AB/ CD/ 1 = / 2 , / 3 = /4.求证：BC = AB + CD规律25.证明两条线段相等的步骤： 观察要证线段在哪两个可能全等的三角形中，然后证这两个三角形全等。 假设图中没有全等三角形，可以把求证线段用和它相等的线段代换，再证 它们所在的三角形全等 如果没有相等的线段代换，可设法作辅助线构造全等三角形例：如图，BE、CD相交于 F,/ B = / C,/ 1 = / 2,

20、求证：DF = EF证明：T/ ADF =/ B+/ 3/ AEF = / C+/ 4又/ 3 = /4/ B = / C:丄 ADF = / AEF 在厶ADF和厶AEF中 / ADF = / AEF/ 1 = / 2AF = AF ADFA AEF DF = EF规律26.在一个图形中，有多个垂直关系时，常用同角等角的余角相等来证明两 个角相等例：，如图Rt ABC中，AB= AC, / BAC= 90°,过A作任一条直线 AN作BDLAN于D, CE!AN于 E,求证：DE = BD-CE证明：/ BAC = 90 °, BD 丄 AN/ 1 + Z 2 = 90 &

21、#176;Z 1 + Z 3 = 90 °/ 2 = / 3/ BD! AN CE 丄 AN/ BDA =Z AEC = 90°在厶 ABDDA CAE中，/ BDA =Z AEC/ 2 = / 3AB = AC ABDA CAE BD = AE 且 AD = CE AE AD = BD- CE DE = BD-CE规律27.三角形一边的两端点到这边的中线所在的直线的距离相等例：ABC的中线，且 CF丄AD于F, BE! AD的延长线于 E求证：BE = CF证明：略规律28.条件缺乏时延长边构造三角形例: AC = BD, ADLAC于 A, BCBD于 B 求证：AD

22、= BC证明：分别延长 DA CB交于点ETAD丄 AC BC 丄 BD / CAE = / DBE = 90 在厶DBED CAE中/ DBE =Z CAEBD = AC/ E = / E DBEA CAE ED = EC, EB = EA ED- EA = EC EB AD = BC规律29.连接四边形的对角线，把四边形问题转化成三角形来解决问题 例：，女口图，AB/ CD AD/ BC求证：AB = CD证明：连结AC或BDTAB/ CD, AD/ BC / 1 = /2 在厶 ABC CDA中,/ 1 = / 2AC = CA/ 3 = / 4 ABCA CDA AB = CD练习：，

23、如图，AB = DC, AD = BC, DE = BF , 求证：BE = DF规律30.有和角平分线垂直的线段时，通常把这条线段延长。可归结为“角分垂等腰 归".例：，如图，在 Rt ABC 中，AB = AC,/ BAC = 90°,/ 1 = / 2 , CE! BD 的延长线于 E 求证：BD = 2CE证明：分别延长 BA CE交于Ft BE丄 CF / BEF =/ BEC = 90°在厶BEF和厶BEC中/ 1 = / 2BE = BE/ BEF =Z BEC CE = FE = - CF2/ BAC = 900 , BE 丄 CF / BAC =

24、 / CAF = 900/ 1 + Z BDA = 900/ 1 + Z BFC = 90 0/ BDA =/ BFC 在厶ABDDA ACF中/ BAC = / CAF/ BDA = / BFCAB = AC ABDA ACF BD = CF BD = 2CE练习：，如图，/ ACB = 3 / B,Z 1 = / 2,CD丄AD于 D, 求证：AB- AC = 2CD规律31.当证题有困难时，可结合条件，把图形中的某两点连接起来构造全等三角形例：，如图，AC BD相交于 0,且AB = DC，AC = BD,求证：/ A = / D证明：连结BC,过程略规律32.当证题缺少线段相等的条件时

25、，可取某条线段中点，为证题提供条件例：，如图，AB = DC, / A = / D求证：/ ABC = / DCB证明：分别取AD BC中点N、M连结NB NM NC过程略规律33.有角平分线时，常过角平分线上的点向角两边做垂线，利用角平分线上的点 到角两边距离相等证题/ BAN / BCP = 180° 过P作PE丄BA于E/ PD丄 BC,/ 1 = / 2例：，如图，/ 1 = / 2 , P 为 BN上一点，且 PD丄 BC于 D, AB+ BC = 2BD,求证：证明： PE = PD在 Rt BPE和 Rt BPD中BP = BPPE = PD Rt BPE Rt BPD

26、 BE = BD AB+ BC = 2BD, BC = CD+ BD, AB = BE AE AE = CD/ PE丄 BE, PD丄 BC / PEB =/ PDC = 90°在厶 PEA和 PDC中PE = PD/ PEB =Z PDCAE =CD练习：1.,/ BAPZ EAP = 180 °/ BAPZ BCP = 180° 如图，PA、PD丄 BM于 M,PC分别是 ABC外角/ MAC与/ NCA的平分线，它们交于 P,PF丄BN于F,求证：BP为/ MBN勺平分线2.，如图，在 ABC中，Z ABC =100°, / ACB = 20

27、76;, CE是/ ACB的平分线，D 是AC上一点，假设Z CBD = 20°,求Z CED的度数。规律34.有等腰三角形时常用的辅助线 作顶角的平分线，底边中线，底边高线 例：，女口图，AB = AC, BD丄AC于 D,求证：/ BAC = 2 / DBC证明:1方法一作/ BAC的平分线 AE,交BC于E,那么/ 1 = / 2 =/ BAC2又 AB = AC AE丄 BC/ 2+Z ACB = 900 BD丄 AC/ DBOZ ACB = 900/ 2 = / DBC / BAC = 2 / DBC方法二过 A作AE丄BC于 E过程略方法三取 BC中点E,连结AE过程略有

28、底边中点时，常作底边中线例：，如图， ABC中，AB = AC, D为BC中点，DE丄AB于E, DF丄AC于F, 求证：DE = DF 证明：连结AD./ D为BC中点， BD = CD又 AB =AC AD平分/ BAC/ DEI AB, DF丄 AC将腰延长一倍， 例:,如图， 求证： 证明：延长/ DE = DF构造直角三角形解题 ABC中，AB =AC,在BA延长线和 AC上各取一点 E、F,使AE = AF, EF± BCBE至U N,使 AN = AB,连结 CN那 AB = AN = ACB = Z ACB, / ACN = / ANCB+Z ACBZ ACNZ AN

29、C = 180° 2 / BCA 2/ ACN = 180° / BCAZ ACN = 90°即/ BCN = 90° NCL BC/ AE = AF/ AEF = / AFE又/ BAC = /AEF +Z AFE/ BAC = / ACN + Z ANC/ BAC =2/ AEF = 2 / ANC/ AEF = / ANC EF/ NC EF± BC常过一腰上的某一点做另一腰的平行线例：,女口图，在 ABC中，AB = AC, D在AB上，E在AC延长线上，且 BD = CE,连结DE交BC于F求证：DF = EF证明：证法一过 D作 D

30、N/ AE 交 BC于 N,那么/ DNB = / ACB / NDE =/ E,/ AB = AC,/ B = / ACB/ B = / DNB BD = DN又 BD = CE DN = EC在厶DNFD ECF中/ 1 = / 2/ NDF =/EDN = EC DNFA ECF DF = EF证法二过 E作EM/ AB交BC延长线于 M,那么/ EMB =Z B过程略常过一腰上的某一点做底的平行线例：，如图， ABC中，AB =AC E在AC上, D在BA延长线上，且 AD= AE连结 DE 求证：DEI BC证明：证法一过点E作EF/ BC交AB于F,那么/ AFE = / B/ A

31、EF= / C/ AB = AC/ B = / C/ AFE = / AEF-17- / 46BC = BC/ PCB = / BCE PBCA EBC BP = BE/ AB = BE AB = BP / BAP =/ BPA/ ABP =/ ABC- / PBC = 50° 10° = 40PAB = 1(180°-/ ABP)= 702解法二：以AC为一边作等边三角形，证法同一。解法三：以BC为一边作等边三角形 BCE连结AE,那么EB = EC = BC，/ BEC =/ EBC = 60 °/ EB = EC E在BC的中垂线上同理A在BC的中

32、垂线上 EA所在的直线是BC的中垂线 EA1BC/ AEB =1/ BEC = 30° = / PCB2由解法一知：/ ABC = 50 / ABE = / EBC-/ ABC = 10° = / PBC / ABE =/ PBC,BE = BC, / AEB =/ PCB ABEA PBC AB = BP / BAP =/ BPA./ ABP =/ ABC / PBC = 50 ° 10° = 401(180° 40°)= 7021 / PAB =(180° / ABP)=2规律35.有二倍角时常用的辅助线构造等腰三角形使

33、二倍角是等腰三角形的顶角的外角例：，如图，在 ABC中，/ 1 = / 2,/ ABC = 2 / C,求证：AB+ BD = AC证明：延长 AB至U E, 使 BE = BD，连结DE那么/ BED = / BDE/ ABD =Z E+Z BDE/ ABC =2Z EvZ ABC = 2 Z C Z E = Z C在厶 AED ACD中Z E = Z CZ 1 = Z 2AD = AD AEDA ACD AC = AE / AE = AB + BE AC = AB + BE即 AB+ BD = AC平分二倍角例：，如图，在 ABC中，BD丄 AC于 D,Z BAC = 2 Z DBC 求证

34、：Z ABC = Z ACBZ DBC证明：作Z BAC的平分线 AE交BC于E,那么Z BAE = Z CAE-BD丄 AC Z CBD + Z C = 90 Z CA冉 Z C= 90°-Z AEC= 180°Z CAE-Z C= 90 AE丄 BC Z ABC+Z BAE = 90-Z CA冉 Z C= 90°Z BAE = Z CAE Z ABC = Z ACB加倍小角例：，如图，在 ABC中，BD丄 AC于 D,Z BAC = 2 Z DBC 求证：Z ABC = Z ACB证明：作Z FBD =Z DBC,BF交AC于 F过程略规律36.有垂直平分线时

35、常把垂直平分线上的点与线段两端点连结起来例：，如图， ABC中，AB= AC, / BAC= 120°, EF为AB的垂直平分线， EF交BC于F, 交AB于E求证:BF = -FC2证明：连结 AF,那么AF = BF/ B = / FAB / AB = AC/ B = / C/ BAC = 1201/ B = / CZ BAC =(180°/ BAC) = 302FAB = 30FAC =/ BAC-Z FAB = 120° 30° =90 AF = -FC BF = FC练习：，如图，在 ABC中，Z CAB的平分线AD与BC的垂直平分线 DE交于

36、点D, DMLAB于M, DNL AC延长线于 N求证：BM = CN规律37.有垂直时常构造垂直平分线 .例：，如图，在 ABC中，Z B =2 Z C, AD丄 BC于 D求证：CD = AB+ BD证明：一在 CD上截取DE = DB,连结AE,那么AB = AE/ B = / AEB/ B = 2 / C/ AEB = 2 / C又/ AEB = / C+Z EAC/ C = Z EAC AE = CE又 CD = DE+ CE. CD = BD+ AB二延长CB到F,使DF= DC连结AF那么AF =AC过程略规律38.有中点时常构造垂直平分线例：，如图，在 ABC中，BC = 2A

37、B, Z ABC = 2 Z C,BD = CD 求证： ABC为直角三角形证明：过 D作DEI BC 交AC于E,连结BE,那么BE = CE, Z C = Z EBC Z ABC = 2 Z CZ ABE =Z EBC BC = 2AB , BD = CD BD = AB在厶ABE和 DBE中AB = BDZ ABE =Z EBCBE = BE ABEA DBE Z BAE =Z BDEvZ BDE = 90 Z BAE = 90即厶ABC为直角三角形规律39.当涉与到线段平方的关系式时常构造直角三角形，利用勾股定理证题 例：，如图，在 ABC中，Z A = 90 o, DE为BC的垂直平

38、分线求证：Bh AE = AC2证明：连结 CE,那么BE = CEvZ A = 90 AE+ AC = EC aW+ac= be2bW aE" = AC练习：，如图，在 ABC中，/ BAC = 90°, AB = AC, P为BC上一点 求证：PB"+ PC= 2PA2规律40.条件中出现特殊角时常作高把特殊角放在直角三角形中例：，如图，在 ABC 中，/ B = 45 °,Z C = 30 °, AB = ,2，求 AC 的长.解：过A作AD丄BC于D/ B+Z BAD = 90°,/ B = 45 °,Z B = Z

39、 BAD = 45°, AD = BD/ AB" = AD 2+ BD, AB =、, 2 AD = 1vZ C = 30 °, AD丄BC AC = 2AD = 2四边形局部规律41.平行四边形的两邻边之和等于平行四边形周长的一半例：，DABCD的周长为60cm对角线 AC BD相交于点 O, AOB的周长比厶BOC的周长 多8cm,求这个四边形各边长.解：四边形ABCD为平行四边形 AB = CD, AD = CB, AO = CO/ AB+ CD+ DA+ CB = 60AC+ AB+ OB- (OB+ BC+ OC) = 8 AB+ BC = 30 , A

40、B BC =8 AB = CD = 19 , BC = AD = 11答：这个四边形各边长分别为19cm 11cm、19cm 11cm.规律42.平行四边形被对角线分成四个小三角形，相邻两个三角形周长之差等于邻边之差.例题如上规律43.有平行线时常作平行线构造平行四边形例：，如图，Rt ABC Z ACB= 90o, CDL AB于 D, AE平分Z CAB交 CD于 F,过 F 作 FH / AB 交 BC于 H 求证：CE = BH证明：过F作FP/ BC交AB于P,那么四边形 FPBH为平行四边形/ B = / FPA, BH = FP/ ACB = 90°, CD±

41、 AB/ 5+Z CAB = 45°,Z B+Z CAB = 90°/ 5 = Z B Z 5 = Z FPA又tZ 1 = Z 2, AF = AF CAFA PAF CF = FPtZ 4 = Z 1 + Z 5, Z 3 = Z 2+Z B Z 3 = Z 4 CF = CE CE = BH练习：，如图，AB/ EF/ GH BE = GC求证：AB = EF + GH规律44.有以平行四边形一边中点为端点的线段时常延长此线段例：，如图，在 ABCD中, AB = 2BC, M为AB中点求证：CML DM证明：延长DM CB交于Nt四边形ABCD为平行四边形 AD =

42、 BC, AD/ BC Z A = Z NBAZ ADN =Z N又t AM = BM AMD2A BMN AD = BN BN =t AB =BC:2BC , AM = BM BM =:BC = BN Z 1=Z 2, Z 3 = Z NtZ 1 + Z 2 + Z 3 +Z N = 180 °, Z 1 + Z 3 = 90 o CML DM规律45.平行四边形对角线的交点到一组对边距离相等如图：0E = OF规律46.平行四边形一边或这边所在的直线上的任意一点与对边的两个端点的连 线所构成的三角形的面积等于平行四边形面积的一半如图:Sa bec =Sm abcd2规律47.平行

43、四边形任意一点与四个顶点的连线所构成的四个三角形中，不相邻的两个三角形的面积之和等于平行四边形面积的一半如图：Sa AOB + S a doc=Sa boc+ Sa aod= 1 S口 abcd2不相邻的两条线段的平方和相等规律48.任意一点与同一平面的矩形各点的连线中,如图：aO+ oC = bo2 + dO规律49.平行四边形四个角平分线所围成的四边形为 矩形.如图：四边形 GHM是矩形规律45规律49请同学们自己证明 规律50.有垂直时可作垂线构造矩形或平行线例：，如图，E为矩形ABCD勺边AD上一点，且 BE = ED , P为对角线 BD上一点，PF丄BE于 F, PG丄 AD于 G

44、求证：PF+ PG = AB证明：证法一：过 P作PH丄AB于H,那么四边形 AHPG为矩形 AH = GP PH / AD/ ADB =/ HPB/ BE = DE/ EBD = / ADB/ HPB =Z EBD 又/ PFB = / BHP = 90° PFBA BHP HB = FP AH+ HB = PG+ PF即 AB = PG+ PF证法二：延长 GP交BC于 N,那么四边形 ABNG为矩形，证明略 规律51.直角三角形常用辅助线方法： 作斜边上的高例：，如图，假设从矩形ABCD的顶点C作对角线BD的垂线与/ BAD的平分线交于点 E 求证：AC = CE证明：过A作A

45、F丄BD垂足为F,那么AF/ EGC/ FAE = / AEG四边形ABCE为矩形/ BAD = 90° OA = OD/ BDA =Z CAD AF 丄 BD/ ABDZ ADB = / ABDZ BAF = 90 °/ BAF =Z ADB =Z CAD/ AE为Z BAD的平分线 Z BAE =Z DAE Z BAE-Z BAF =Z DAE-Z DAC即Z FAE =Z CAE Z CAE =Z AEG AC = EC作斜边中线，当有以下情况时常作斜边中线：有斜边中点时例：，如图，AD BE是厶ABC的高，F是DE的中点，G是AB的中点求证：GF丄DE证明：连结GE

46、 GDTAD BE是厶ABC的高，G是AB的中点11 GE = AB, GD = AB22 GE = GD F是DE的中点 GF丄 DE有和斜边倍分关系的线段时1例：，如图，在 ABC中，D是BC延长线上一点，且 DAI BA于A, AC = BD2求证：/ ACB = 2 / B1证明：取 BD中点E,连结 AE,那么 AE = BE = BD2 / 1 = /B1/ AC =BD2 AC = AE / ACB =Z 2/ 2 = / 1 + Z B / 2 = 2 /B / ACB = 2 / B规律52.正方形一条对角线上一点到另一条对角线上的两端距离相等例：，如图，过正方形 ABCD寸

47、角线BD上一点P,作PE丄BC于E,作PF丄CD于 F求证：AP = EF证明：连结AC、PC四边形ABCD为正方形 BD垂直平分 AC / BCD = 90° AP = CP/ PE丄 BC, PF丄 CD / BCD = 90°四边形PECF为矩形 PC = EF AP = EF规律53.有正方形一边中点时常取另一边中点例：,如图，正方形 ABCD中, M为AB的中点，MNL MD BN平分/ CBE并交 MN于N 求证：MD = MN1证明：取AD的中点P,连结PM那么DP = PA = AD2四边形ABCE为正方形 AD = AB, / A = / ABC = 90

48、°/ 1 + Z AMD = 90°,又 DML MN/ 2+Z AMD = 90°/ 1 = / 2 M为AB中点1 AM = MB = -AB2 DP = MB AP = AM/ APM =/ AMP = 45°/ DPM =13弓/ BN平分/ CBE/ CBN = 45°/ MBN =/ MBC-/ CBN = 90°+ 45°= 135 °即/ DPM =/ MBN DPMA MBN DM = MN注意:把M改为AB上任一点，其它条件不变，结论仍然成立。练习:,Q为正方形 ABCD的CD边的中点，P为CQ

49、上一点，且 AP = PC + BC 求证：/ BAP = 2 / QAD规律54.利用正方形进展旋转变换旋转变换就是当图形具有邻边相等这一特征时，可以把图形的某局部绕相等邻边的公共端点旋转到另一位置的引辅助线方法旋转变换主要用途是把分散元素通过旋转集中起来，从而为证题创造必要的条件.旋转变换经常用于等腰三角形、等边三角形与正方形中例：，如图，在 ABC中，AB = AC,/ BAC = 90°, D为BC边上任一点求证：2AD2 = BD 2+ CD证明：把厶ABD绕点A逆时针旋转90°得厶ACE BD = CE / B = Z ACE/ BAC = 90° Z

50、 DAE = 90° DE2 = AD 2+ AE = 2AD2Z B+Z ACB = 90° Z DCE = 90° CD2+ cE = DE2 2AD2 = BD2 + CD注意：把厶ADC绕点A顺时针旋转90°也可，方法同上。练习：，如图，在正方形 ABCD中, E为AD上一点，BF平分Z CBE交CD于 F求证：BE = CF + AE规律55.有以正方形一边中点为端点的线段时，常把这条线段延长，构造全等三角形 例：如图，在正方形 ABCD中, E、F分别是CD DA的中点，BE与CF交于P点求证：AP = AB证明：延长 CF交BA的延长线于

51、K 四边形ABCD为正方形 BC = AB = CD = DA Z BCD =Z D = Z BAD = 90 E、F分别是CD DA的中点 CE = 1CD DF = AF =2!ad CE = DF BCEA CDF Z CBE =Z DCF Z BCF+Z DCF = 90° Z BCF+Z CBE = 90° BEX CF又D = Z DAK = 90° DF = AF CDFA KAF CD = KA BA = KA 又 BEL CF AP = AB练习：如图，在正方形 ABCD中, Q在CD上，且DQ = QC, P在BC上，且 AP = CD+ CP

52、 求证：AQ平分/ DAP规律56.从梯形的一个顶点作一腰的平行线，把梯形分成一个平行四边形和一个三角形例：，如图，等腰梯形 ABCD中, AD/ BC, AD = 3 , AB = 4 , BC = 7 求/B的度数解：过A作AE/ CD交BC于E,那么四边形 AECD为平行四边形 AD = EC, CD = AE/ AB = CD = 4,AD = 3, BC = 7 BE = AE = AB = 4 ABE为等边三角形 / B = 60 0规律57.从梯形同一底的两端作另一底所在直线的垂线，把梯形转化成一个矩形和两个三角形例：，如图，在梯形 ABCD中, AD/ BC AB = AC,/ BAC = 90°, BD = BC, BD 交 AC 于 O 求证：CO = CD证明：过A、D分别作AEL BC DFL BC,垂足分别为 E、F那么四边形 AEFD为矩形 AE = DF/ AB = AC , AE! BC, / BAC = 90° ,1/o AE =BE = CE =BC, / ACB = 452/ BC =BD1 AE = DF = BD又 DFL BC/ DBC = 30°/ BD = BC/ BDC =Z BCD1(180°-Z DBC)2=75/Z DOC =/ DBOZ